BAB IV. RUANGBAB IV. RUANG--RUANG RUANG VEKTOR EUCLIDEANVEKTOR EUCLIDEAN

4.1 4.1 RuangRuang Euclidean Euclidean BerdimensiBerdimensi nn

VektorVektor--vektorvektor didi RRnn

DefinisiDefinisi::JikaJika n n adalahadalah bilanganbilangan bulatbulat positifpositif, , makamaka nn--pasanganpasanganterurutterurut adalahadalah suatusuatu barisanbarisan n n buahbuah bilanganbilangan riilriil(a(a11,a,a2,2,...,a...,ann)). . HimpunanHimpunan daridari semuasemua nn--pasanganpasangan terurutterurutdisebutdisebut ruangruang--nn dandan dinotasikandinotasikan dengandengan RRnn..DuaDua vector vector didi RRnn adalahadalahsamasama jikajika uu11=v=v11 , u, u22=v=v22,.....,u,.....,unn=v=vnn . . JumlahJumlahdidefinisikandidefinisikan sebagaisebagai: : & & jikajika adalahadalah k k sskkalaralar, , makamaka perkalianperkalian sskkalaralardidefinisikandidefinisikanOperasiOperasi penjumlahanpenjumlahan & & perkalianperkalian sskkalaralar didi atasatas disebutdisebutoperasioperasi standarstandar padapada RRnn. . VektorVektor didi RRn n dinotasikandinotasikanoleholeh

1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =

u v+1 1 2 2( , , , )n nu v u v u v u v+ = + + +

k u1 2( , , , )nku ku ku ku=

0

0 (0,0, ,0)=

SifatSifat--sifatsifat operasioperasi didi RRnn

k k dandan l l skalarskalar makamaka ::, , nu v w R∈

( )

( )

( ) 0 0

( ) ( ) ( )

( ) 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) 1.

a u v v u

b u u u

c u v w u v w

d u u u u

e k lu kl u

f k u v ku kv

g k l u ku lu

h u u

+ = +

+ = + =

+ + = + +

+ − = → − =

=

+ = +

+ = +

=

RuangRuang n n euclidianeuclidianDefinisiDefinisi::JikaJika adalahadalah vectorvector--vektorvektor didi RRnn, , makamaka Euclidean Inner ProductEuclidean Inner Product((hasilhasil kali kali dalamdalam Euclidean)Euclidean)didefinisikandidefinisikan oleholeh: :

RRnn disebutdisebut RuangRuang--nn Euclidean, Euclidean, apabilaapabiladilengkapidilengkapi dengandengan operasioperasi inner product inner product euclideaneuclidean

1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =

.u v1 1 2 2. ... n nu v u v u v u v= + + +

TEOREMA:TEOREMA:

JikaJika dandan k , l k , l sebarangsebarang skalarskalar ::, , nu v w R∈

( )( ) ( )

a. b.

c.

d. 0, 0 0

u v v uu v w u w v w

k u v k u v

v v v v v

=

+ = +

=

≥ = ↔ =

i ii i i

i i

i i

Norm & Norm & JarakJarak didi RRnn EuclideanEuclidean

•• Norm Euclidean vector Norm Euclidean vector didefinisikandidefinisikan oleholeh::

•• JarakJarak Euclidean 2 Euclidean 2 titiktitik

•• PertidaksamaanPertidaksamaan CauchyCauchy--Schwarz :Schwarz :JikaJika verktorverktor--vektorvektor didi RRnn

makamaka::

1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =

1, 2( ,..., )nu u u u=

12 22

1( . ) . . . nu u u u u= = + +

2 21 1( , ) ( ) ... ( )n nd u v u v u v u v= − = − + + −

1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =

.u v u v≤

TeoremaTeorema ::JikaJika uu dandan vv vektorvektor--vektorvektor didi RRnn dandan k k skalarskalar ::

. 0

. 0 0

.

. (Ketaksamaan segitiga Cauchy Schwarz)

a u

b u u

c k u k u

d u v u v

≥

= ⇔ =

=

+ ≤ +

TeoremaTeorema ::

JikaJika vektorvektor--vektorvektor didi RRnn dandan k k skalarskalar ::, dan u v w

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

a. d , 0

b. d , 0

c. d , d ,

d. d , d , d , ( disebut ketidaksamaan segitiga)

u v

u v u v

u v v u

u v u w w v

≥

= ⇔ =

=

≤ +

OrthogonalityOrthogonalityVektorVektor dandan didi RRnn disebutdisebut orthogonal orthogonal jikajika::

JikaJika orthogonal, orthogonal, makamaka ::

VektorVektor dapatdapat ditulisditulis: :

u v

1

21, 2 ,..., n

n

uu

u atau u u u u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1, 2( ,..., )nu u u u=

&u v2 2 2

u v u v+ = +

0u v• =

Euclidean Inner ProductEuclidean Inner Product dalamdalam matriksmatriks::

1 1

2 2

1

21 1 1

,

.

n n

T

n n n

n

u vu v

u v

u v

uu

u v v u v v u v u v

u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = = + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…

JikaJika A A matriksmatriks n x n x n,n,uu dandan vv vektorvektor didi RRnn

makamaka::

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

*

*

TT T T T

T T T T T

T

T

u v v u v u v u u v

u Av v u v u v u u v

u v u vu v u v

= = = =

= = = =

∴ =

=

A A A A A

A A A A

A AA A

i i

i i

i ii i

ContohContoh ::

1 2 3 1 22 4 1 2 01 0 1 4 5

1 2 3 1 72 4 1 2 101 0 1 4 5

1 2 1 2 72 4 0 0 4

3 1 1 5 17.( 2) 10.0 5.5 11

T

T

u v

u

v

u vu v

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + + =

=

A

A

A

AAii ( 1)( 7) 2.4 4( 1) 11

Tu v u v− − + + − =

=A Ai i

4.2 4.2 TransformasiTransformasi daridari RRnn keke RRmm

FungsiFungsi daridari RRnn R :R :contohcontoh : :

FungsiFungsi daridari RRnn RRmm

JikaJika m=m=nn,maka,maka f :f :RRnn RRnn, f , f disebutdisebut operator operator padapada RRnn

MisalMisal::

PersamaanPersamaan tersebuttersebut mendefinisikanmendefinisikan transformasitransformasi daridariRRnn RRmm yaituyaitu T: T: RRnn RRmm didefinisikandidefinisikan : :

2 2 21 2( ... )

1 2( , ,..., ) nx x xnf x x x e− + + +=

( )( ) ( )

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

1 2 1 2

( , , , )( , , , )

, , ,

, , , didapat unik , , ,

n

n

n n n

n nn n

w f x x xw f x x x

w f x x x

x x x R w w w R

=

=

=

∀ ∈ ∈

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n mT x x x w w w=

ContohContoh: : persamaanpersamaan : : mendefinisikanmendefinisikan

transformasitransformasi daridari RR22 RR33 , , makamakatransformasitransformasi dapatdapat pula pula didefinisikandidefinisikan::T : T : RR22 RR33 sbbsbb::

T(1,T(1,--2)=(1+(2)=(1+(--2),3.1.(2),3.1.(--2),12),122 --((--2)2)22 )=()=(--1,1,--6,6,--3)3)BilaBila persamaanpersamaan transformasitransformasi berbentukberbentuk linier, linier, disebutdisebut transformasitransformasi linier.linier.

1 1 2

2 1 22 2

3 1 2

3w x xw x x

w x x

= +=

= −

2 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ,3 , )T x x x x x x x x= + −

PersamaanPersamaan transformasitransformasi diatasdiatas dapatdapatdinyatakandinyatakan dalamdalam bentukbentuk matriksmatriks sbbsbb::

MatriksMatriks disebutdisebut matriksmatriks standarstandaruntukuntuk transformasitransformasi linier T.linier T.T T disebutdisebut multiplication by A.multiplication by A.

1 11 1 1

2 21 2 2

1

n

n

n m mn n

w a a xw a a x

w a a x

w Ax

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦

BeberapaBeberapa NotasiNotasi PentingPenting::

* T: * T: RRnn RRmm ,,dinotasikandinotasikan TTAA: : RRnn RRmm artinyaartinyaTerkadangTerkadang matriksmatriks A A ditulisditulis ::sehinggasehingga transformasitransformasi dapatdapat ditulisditulis : :

•• KomposisiKomposisi daridari TransformasiTransformasi Linier:Linier:TTAA: : RRnn RRkk & T& TBB: : RRkk RRmm adalahadalah transformasitransformasilinier, linier, makamaka ::

( )AT x Ax=

[ ]AT

[ ]AT x A x=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) & ( ) ( ( ))

transformasi linier, karena :

adalah multiplication by BA

n k k mA A B A

B A B A

B A B A B

B A

x R T x R T x R T T x R

T T x T T x

T T x T T x T Ax B Ax BA x

T T

∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈

∴ = →

= = = =

∴

i

i

i

GeometriGeometri Operator Linier Operator Linier TTAA: : RRnn RRnn

nn-- tupletuple terurutterurut dapatdapat dipandangdipandangsebagaisebagai suatusuatu titiktitik atauatau vector vector didi RRnn

1 2( , ,..., )na a a

( )T x

x ( )T xx

0Transformasi nol : T (x)=0x=0

Transformasi Identitas : ( )IT x I x x= =

Operator Operator RefleksiRefleksi terhadapterhadap sumbusumbu Y Y didi RR22

( , )x y( , )x y−

( )T x x

x

y 1

2

1

2

00 1

1 00 1

1 0Matriks standar refleksi sb Y:

0 1

w x x yw y x y

w xw y

= − = − += = +

↓

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

3

Refleksi terhadap bidang XY :1 0 00 1 00 0 1

w xw yw z

= ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎝ ⎠

( , , )x y z

( , , )x y z−

Operator Operator ProyeksiProyeksi padapada sumbusumbu X :X :

Operator Operator ProyeksiProyeksi Orthogonal Orthogonal padapada bidangbidang XZ :XZ :

x

x

y

( , )x y

( ,0)xw

1

2

Persamaan transformasi :

01 0

Matriks transformasi :0 0

w xw==

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

3

Persamaan transformasi :

0

Matriks transformasi :1 0 00 0 00 0 1

w xww z

===

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x

( , , )x y z

y

x

z

w

( ,0, )x z

Operator Operator rotasirotasi didi RR22 sebesarsebesar

θ

θ

1x

2x1 2( , )w w w=

1 2( , )x x x=r

r

θ φ 1 2

1

2

cos , sincos( ) cos cos sin sinsin( ) sin cos cos sin

x r x rw r r rw r r r

φ φθ φ θ φ θ φθ φ θ φ θ φ

= == + = −= + = +

1 1 2 1 1

2 22 1 2

cos cos sinsin cos sin cos

w x x sin w xw xw x x

θ θ θ θθ θ θ θ

= − −⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

θ

Operator Operator rotasirotasi didi RR33

rotasirotasi berlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam mengelilingimengelilingisumbusumbu X X positifpositif sebesarsebesar θ

x

y

x

z

w

1

2

3

1 0 0cos sin 0 cos sinsin cos 0 sin cos

w xw y zw y z

θ θ θ θθ θ θ θ

= ⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎝ ⎠

RotasiRotasi berlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam mengelilingimengelilingisumbusumbu Y Y sebesarsebesar θθ

x

y

x

z

w

1

2

3

cos sin cos 0 sin0 1 0

sin cos sin 0 cos

w x zw y

w x z

θ θ

θ θ θ θ

= + ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟= − + −⎝ ⎠

θ

Operator Operator DilatasiDilatasi & & KontraksiKontraksi

KontraksiKontraksi dengandengan faktorfaktor k (o k (o << k k <<1), 1),

DilatasiDilatasi dengandengan faktorfaktor k ( k k ( k >> 1)1)

UntukUntuk RR33

1

2

0matriks standar

0w kx kw ky k

= ⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟= ⎝ ⎠

( )T x k x=y

x

( , )x y

( , )kx kyx

w

y

x

( , )x y

( , )kx kyx

w1

2

0matriks standar

0w kx kw ky k

= ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠

0 00 00 0

kk

k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

KomposisiKomposisi daridari TransformasiTransformasi LinierLinier

disebutdisebut komposisikomposisi daridari

Operator Operator PencerminanPencerminan terhadapterhadap TitikTitik AsalAsal ::

MisalMisal padapada RR22 ,,

: , : adalah transformasi linier n k k m nA BT R R T R R x R→ → ∀ ∈

( ) ( ( )), transformasi linier n mA B Ax T x T T x R R→ → →

:B A B AT dengan T T T•

( )( )B A B A

B A A B

T T T TT T T T

=

≠

ii i

( )1 0

( ) , matriks transformasi T0 1

T x x−⎛ ⎞

= − = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Komposisi 3 atau Lebih Transformasi LinierKomposisi 3 atau Lebih Transformasi Linier

MatriksMatriks standarstandar ::

( )( ) ( )( )( )1 2 3

3 2 1 3 2 1

: , : , :n k k l l mT R R T R R T R R

T T T x T T T x

→ → →

• • =

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

3 2 1 3 2 1

3 2 1 3 2 1 C B A CBA

T T T T T T

T T T T T T dan T T T T

• • =

• • = • • =

SifatSifat--sifatsifat transformasitransformasi linier T: linier T: RR22 RR33

DefinisiDefinisi::SuatuSuatu transformasitransformasi linier T linier T daridari RR22 RR33

disebutdisebut satusatu-- satusatu jikajika T T memetakanmemetakan vektorvektor--vektorvektor ((titiktitik--titiktitik) yang ) yang berbedaberbeda didi RR22 keke vektorvektor--vektorvektor ((titiktitik--titiktitik) yang ) yang berbedaberbeda didi RR33 ..

2 3

3 2

satu ( ) dan hanya ada satu ( )

x R w R T x ww R x R w T x

∀ ∈ ∃ ∈ → =

∀ ∈ ∈ ∋ =

MisalMisal , , AnxnAnxn matriksmatriks invertible: invertible: sifatsifat--sifatsifat TTAA : : * A * A dapatdapat dibalikdibalik ((mempunyaimempunyai inversinvers) ) * * * * tepattepat mempunyaimempunyai satusatu solusisolusi, , jikajika sistimsistim

konsistenkonsisten..TeoremaTeorema ::

JikaJika AAnxnnxn dandan TTAA : : RRnn RRnn adalahadalah perkalianperkalian dengandengan A ,A ,makamaka pernyataanpernyataan berikutberikut ekivalenekivalen ::* A * A dapatdapat dibalikdibalik* * DaerahDaerah hasilhasil daridari TTAA adalahadalah RRnn

* T* TAA adalahadalah satusatu--satusatu..

, : n nn n AA T R R× →

konsisten Ax w w= ∀

Ax w=

InversInvers daridari OperasiOperasi LinierLinier

JikaJika operasioperasi linier linier satusatu--satusatumakamaka A invertible.A invertible.

, , inversinvers TTAA jugajuga operasioperasi linierlinier

: n nAT R R→

1 : n nAT R R− →

1

1 1

1 1

1

( ( )) ( )

( ( )) ( )A AA

AA A

T T x T A x AA x I x x

T T x T Ax A Ax I x x

−

− −

− −

−

= = = =

= = = =

1 1

1 1

atau

A IA AA

A IA A A

T T T T

T T T T− −

− −

• = =

• = =

ContohContoh: :

JawabJawab ::

2 21 1 2 2 1 2: , 2 , 3 4 adalah transf 1-1T R R w x x w x x→ = + = +

11 2( , )?T w w−

[ ]1 1

2 2

2 1 2 1,

3 4 3 4w x

Tw x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] 114 1

5 53 2

5 5T T −−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 21 11

2 2 1 2

4 1 4 15 5 5 53 32 2

5 5 5 5

w ww wT

w w w w−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 2 1 2 1 2

4 1 3 2( , ) ,5 5 5 5

T w w w w w w− ⎛ ⎞∴ = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

SifatSifat--sifatsifat kelinierankelinieran ::

TeoremaTeorema : : JikaJika

: linier, n mT R R→ ⇔

( )

, dan c skalar berlaku : a. ( ) ( ) ( ) b. c = c ( )

nu v RT u v T u T vT u T u

∀ ∈+ = +

[ ] ( ) ( )1

1 2

: transf linier, basis standar , maka :

( )

n n

nn

n

T R Re e R

T T e T e T e

→

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

SecaraSecara umumumum ::

1 2

1 0 00 1 0

, ,..., basis standar di ... ... ...0 0 1

nne e e R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ]1 2( ) ( ) ... ( )nA T e T e T e=

[ ]1 1

2 21 2Jika , ( ) ( ) ... ( )

.... ....n

n

n n

x xx x

x R A x T e T e T e

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∈ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1

1 1

1 1

( ) ... ( )( ) ... ( )( ... )( )

n n

n n

n n

Ax x T e x T eAx T x e T x eAx T x e x eAx T x

= + += + += + +

=

ContohContoh : : proyeksiproyeksi bid XY bid XY 3 2( : )T R R→

11 1 2 3 1

22 1 2 3 2

3

2 3 2 1 35 4 5 4 1

xw x x x w

xw x x x w

x

⎡ ⎤= − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 3

1 0 02 1 3

( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 05 4 1

0 0 1

2 1 35 4 1

T e T T e T T e T

T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = = = →⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1

2 2

3 3

1 0 02 1 3

0 1 05 4 1

0 0 0

x xx x x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A T