Persamaan dan Fungsi Kuadrat

BAB 7

Definisi• Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya

sama dengan dua. Contoh :Y2+ 4y +1 = 0x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0

• Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabeltersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh.

• Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0

• x adalah peubah atau variabela adalah koefisien x2b adalah koefisien xc adalah konstanta

• Persamaan kuadrat yang tidakditulisdalambentukumuminidikenaldengannamapersamaantersamar. Untukmemastikan , memudahkanpenulisandanpenyelesaian, sebaiknyapersamaantersamartersebutdiubahdalambentukumumini a𝑥2+ bx + c =0 , a ≠0

Contoh :

Ubahkebentukumumdantentukanapakahpersamaanberikutiniadalahpersamaankuadrat

a. (𝑥2+ 3 )2 – ( 𝑥4+ x + 4 ) = 0 b. 1

𝑥2+ 1

5= 4

𝑥

Jawab :

a. ( 𝑥2 + 3 )2 – ( 𝑥4+ x + 4 )=0

• 𝑥4 + 6x2 + 9 –𝑥4 - x - 4 )=0

• 6𝑥2 + - x + 5=0 , persamaankuadrat

b. 1

𝑥2+ 𝑥

5+ 2

3= 0

------------------------ x 152

15 + 3𝑥3 + 10 𝑥2= 0, bukanpersamaankuadrat

• Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukanbilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akardari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35

• Untuk x = -5, • <--> 2x2 + 3x = 35• <--> 2(-5)2 + 3(-5) = 35 • <--> 50 – 15 = 35, • <-->35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar

• Untuk x = 3,• <--> 2x2 + 3x = 35 • <--> 2(3)2 + 3(3) = 35 • <--> 18 + 9 = 35, • <-->27 = 35 salah, jadi x= 3 bukan akar

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Penyelesaian persamaan kuadrat :

• Mencari akar persamaan kuadrat adalahmenentukan bilangan yang memenuhi persamaankuadrat tersebut.

• Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua) akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar

• Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukandengan : Pemfaktoran , Melengkapkan bentukkuadrat dan menggunakan rumus kuadrat

• Skema bentuk dan penyelesaian persamaan kuadrat

1. Mencari akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Contoh Soal 1 (sederhana)

carilah akar persamaan kuadrat darix2-6x+5= 0

Cari 2 bilangan yang ditambahkan = b dan dikalikan = a.cCari nilai a.c, 1×5 = 5Cari Faktor dari 5 yang bisa menghasilkan angka -6–> -5 dan -1Tulis Ulang PersamaanMenjadix2-6x+5 = 0x2-5x-x+5 = 0x(x-5)-x+5 = 0x(x-5)-(x-5) = 0(x-1) (x-5) = 0

Contoh Soal 2 (medium)

carilah akar persamaan kuadrat dari2x2-25x-63 = 0 —> (bisa di awang-awang tapi aga susah)

Cari 2 bilangan yang ditambahkan = b dan dikalikan = a.cCari nilai a.c, 2×63 = 126Cari Faktor dari 126 yang bisa menghasilkan angka -25faktor 126 : 1,2,3,7, 9, 18, 63 –> -7 dan -18 (7 dan 18)untuk penentuan ini sobat harus sering-latihan, saran :” carilah faktor yang tengah-tengah tidak terlalu kecil (ex:1,2,3) dan tidak terlalu besar.”Tulis Ulang Persamaan Menjadi2x2-25x-63 = 02x2-18x-7x-63 = 02x(x-9)-7(x-9) = 0 (pakai aturan asosiasi, semoga paham)(2x-7) (x-9) = 0 (selesai) mudah bukan :D

Contoh mencari akar persamaan kuadarat dengan bentuk berbeda

4x2 – 5x = 04x(x-5) = 04x = 0 atau x-5 = 0 —> x = 0 atau x = 5x2 – 4 = 0 –> jika ada (a2-b2) bisa diubah mejadi (a-b) (a+b)(x-√4) (x+√4) = 0 —> x =2 atau x = -2x2 – 16 = 0(x-√16) (x+√16) = 0(x-4) (x+4) = 0(x+2) (x-2)(x+4) = 0 —> x bernilai -2, 2, dan -4 (ada 3 nilaii x untuk akarpersamaan kuadrat tersebut)

Fungsi KuadratFungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berderajat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah :

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekivalendengan bentuk umumnya, yaitu :

Dari bentuk (2) ini, nilai D = b2 - 4ac disebut Diskriminan fungsi kuadrat, sehinggabentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai berikut

• Dari bentuk (3), maka :

• Rumus persamaan sumbu simetri fungsikuadrat adalah:

Rumus nilai ekstrem fungsi kuadrat, adalah:

• Rumus titik ekstrem fungsi kuadrat, adalah:

Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, dengan sifat-sifat seperti diabawah ini:

• Jika a > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan mempunyai nilai balik minimum

• Jika a < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan mempunyai nilai balik maksimum

• Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik

• Jika D = 0, parabola memotong sumbu x hanya pada satu titik saja

• Jika D < 0, parabola tidak memotong sumbu x.

ada beberapa cara dalam menentukan titik puncak grafik fungsi kuadrat selainmenggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrem, yaitu dengan caramelengkapkan kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya adalah:

Untuk lebih jelasnya tentang ilustrasi fungsi kuadratdan grafiknya, perhatikan gambar dibawah ini:

Langkah2 menggambar grafik y = ax2 + bx +c adalah sebagaiberikut :1. Titik potong sumbu x, y = 02. Titik potong sumbu y, x = 03. Persamaan sumbu simetri -b/2a4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b2- 4ac/-4a5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaansumbu simetri.

Contoh Soal :1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x2 - 4x - 5

Jawaban : a. Titik potong sumbu x, y = 0.

y = x2 - 4x - 5 => 0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 50 = x2 - 4x - 5 Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

b. Titik potong sumbu y, x = 0.y = x2 - 4x - 5 Gambar Grafiky = (0)2 - 4(0) - 5y = -5

maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

= -(-4)/2.1= 2

d. Nilai maks/min b2- 4ac /-4a= {(-4)2 - 4.1.(-5)} / -4(1)= 36/-4= -9

e. Titik puncak {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)} = (2,-9)

Membentuk Fungsi Kuadrat

1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.

menggunakan y = ax2 + bx +c

Contoh Soal :

* Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

Jawaban :

melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c

0 = a - b + c ... (1)

melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c

-9 = 4a + 2b + c ... (2)

melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c

-5 = 16a + 4b + c ... (3)

Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)

Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)

Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'

Dari (5) - (4)' => 10b = -40

b = -4

Substitusikan b = -4 ke (4)

maka => -3a + 12 = 9

-3a = -3

a = 1

Substitusikan a = 1 dan b = -4

maka => 1 - (-4) + c = 0

2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

menggunakan y = a(x - p)2 + q titik puncak (p,q)

Contoh Soal :

* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)

serta melalui titik (-1,0)

Jawaban :

y = a(x - p)2 + q

= a(x - 2)2 - 9

melalui (-1,0) => y = a(x - 2)2 - 9

0 = a(-1 - 2)2 - 9

9 = 9a

a = 1

Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)2 - 9

= (x2 - 4x + 4) - 9

= x2 - 4x - 5

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

menggunakan y = a(x - p) (x - q)

Contoh Soal :

* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).

serta melalui (4,-5)

Jawaban :

y = a(x - p) (x - q)

= a{x -(-1)}(x - 5)

= a(x + 1) (x - 5)

kerna melalui (4,-5) maka

-5 = a(4 + 1) (4 - 5)

-5 = -5a

a = 1

Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)

= x2 - 4x - 5

Hubungan Persamaan kuadrat danFungsi Kuadrat

• Persamaan kuadratadalahsuatupersamaanaljabar yang dinyatkandalambentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c, adalahbilangan real dan a ≠ 0

• Fungsikuadratadalahsuatufungsi yang dinyatakandalambentuk f(x)= ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalahbilangan real a ≠ 0