kumpulan rumus matematika - idschool...fungsi kuadrat bentuk umum: ax bx c 0 2 + += cara menggambar...

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

1

123

Kumpulan Rumus

MATEMATIKAtingkat SMA/MA/SMK


2

PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum Persamaan Kuadrat:

2ax bx c 0+ + =

Akar-akar persamaan kuadrat:

2

1,2

b b 4acx

2a− ± −

=

Nilai Diskriminan: 2D b 4ac= −

Kriteria dari nilai diskriminan: mmm1. D ≥ 0 (Akar Real)

• D = 0 → Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar

• Dua akar berbeda: D > 02. D < 0 (Akar Imajiner/tidak real)

Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat:

1 2

1 2

1 2

bx x

ac

x xa

Dx x

a

+ = −

⋅ =

− = ±

Rumus lain terkait akar-akar persamaan kuadrat:

( )22 21 2 1 2 1 22

2

2

x x x x 2x x

b c2

a a

b c2

aa

+ = + −

= − −

= −

( ) ( )33 31 2 1 2 1 2 1 23

3

3 2

x x x x 3x x x x

b c b3

a a a

b bc3

a a

+ = + − +

= − − −

= − +

1 2

1 2 1 2

x x1 1x x x x

bc

++ =

= −

Susunan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya meliputi x1 dan x2 memiliki susunan persaman kuadrat seperti berikut.

( )2 1 2 1 2x x x x x x 0− + + ⋅ =

TIPS & TRIK IDSCHOOLRumus cepat persamaan kuadrat baru dengan

akar-akar persamaan kuadrat baru

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuad-rat baru yang akar-akarnya:

Akar-akar Baru Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru

1 2

1 1dan

x x 2cx bx a 0+ + =

1 2n x dan n x⋅ ⋅ 2 2ax nbx n c 0+ + =

1 2x n dan x n+ + ( ) ( )2a x n b x n c 0− + − + =

2 21 1x dan x ( )2 2 2 2a x b 2ac x c 0− − + =

1 22 1

x xdan

x x ( )2 2ac x b 2ac x ac 0⋅ − − + =

1 2 1 2x x dan x x+ ⋅ ( )2 2a x a b c x bc 0+ − − =


3

FUNGSI KUADRAT

Bentuk umum: 2ax bx c 0+ + =

Cara Menggambar Kurva/Grafik Fungsi Kuadrat:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.

2. Menentukan titik puncak melalui titik koor-dinat yang dinyatakan melalui rumus

b D

,2a 4a−

−

Hubungan nilai a, b, c, dan D dengan Kurva:

1. Nilai a berhubungan dengan bentuk kurva, apakah terbuka ke atas atau ke bawah:a. Untuk a > 0: kurva terbuka ke atasb. Untuk a < 0: kurva terbuka ke bawah

2. Nilai b berhubungan dengan letak posisi kurva, kriteria nilai b dan kurva ditunjukkan seperti gambar di bawah.

b > 0

b < 0

b = 0 b < 0

b = 0 b > 0

3. Nilai c berhubungan dengan titik potong den-gan sumbu y.a. Untuk nilai c > 0, memotong sumbu y positif.b. Untuk nilai c = 0, memotong sumbu y = 0.c. Untuk nilai c < 0, memotong sumbu y negatif.

4. Nilai D menujukkan jumlah titik potong kurva dengan sumbu x.a. Untuk nilai D > 0, kurva akan memotong

sumbu x pada dua titik.b. Untuk nilai D = 0, kurva akan menyinggung

sumbu x (memotong sumbu x pada dua titik).

c. Untuk nilai D < 0, kurva tidak memotong sumbu x.

Kriteria definit:1. Definit positif: a > 0 dan D < 02. Definit negatif: a < 0 dan D < 0.

CONTOH SOAL

1. Persamaan kuadrat (p − 1)x2 + 4x + 2p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda. Maka nilai p yang memenuhi adalah ....A. p < −1 atau m > 2B. p ≤ −2 atau m > 1C. 1 < p < 2D. −2 < p < 1E. −1 < p < 2Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang berbeda maka nilai D > 0, sehingga

( )( )

( )( )

2

2

2

2

D 0

16 4 p 1 2p 0

16 4 2p 2p 0

16 8p 8p 0

8p 8p 16 0

p p 2 0

p 2 p 1 0

>

− − >

− − >

− + >

− − >

− − >

− + >

Harga nol: (p −2)(p + 1) = 0Diperoleh nilai p = 2 atau p = −1Mencari daerah yang memenuhi

+ + + + + +− − −

−1 2

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah −1 < p < 2.

Jawaban:E:

Pertidaksamaan

4

CONTOH SOAL

1. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 2

x 2 5 x 2 6− < − − adalah ....A. x < − 6B. − 6 < x < 0C. 0 < x < 6D. x < 0 atau x > 6E. x > 6Pembahasan:Misalkan: p = |x − 2|maka akan diperoleh pertidaksamaan kuadrat

( )( )

2

2

p 5p 6

p 5p 6 0

p 3 p 2 0

< −

− + <

− − < Harga nol: (p − 3)(p − 2) = 0 Diperoleh p = 3 atau p = 2 Daerah yang memenuhi pertidaksamaan

kuadrat.

+ + + + + +− − −

2 3 Sehingga, diperoleh hasil pertidaksamaan

berikut.

2 p 3

2 x 2 3

< <

< − <

Untuk | x − 2 | > 2

x 2 2

x 2 2 atau x 2 2x 2 2 atau x 2 2x 4 atau x 0

− >

− > − < −− > − < −> <

Syarat I

0 4

Untuk | x − 2 | < 3

x 2 3

3 x 2 33 2 x 3 2

1 x 5

− <

− < − <− + < < +

− < <

SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN

Sifat-sifat pertidaksamaan:1. Jika a > b, maka

• a ± p > b ± p• ap > bp, p > 0• ap < bp, p < 0• a3 > b3

2. Jika a > b > 0, maka• a2 > b2

•1 1a b

<

3. Jika a > b dan b > c maka a > c4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Untuk a > 11. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 02. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 0

Untuk 0 < a < 11. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 02. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 0

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1.

x, x 0

xx, x 0

>= − → > < −

4. 2 2x y x y< →

Pertidaksamaan

5

Syarat II

0 6

Gabungan antara syarat I dan syarat II

4 6

Jadi , h impunan penyelesaian untuk per t idaksamaan 2x 2 5 x 2 6− < − − adalah 0 < x < 6.

Jawaban C:

Relasi dan Fungsi

6

PENGERTIAN FUNGSI

1. Relasi dari A ke B disebut fungsi (pemetaan) jika setiap anggota A dipasangkan satu kali ke anggota B.

2. Domain, Kodomain, dan Range

A B

Domain Kodomain

Rang

e

a. Domain: daerah asalb. Kodomain: daerah kawanc. Range: daerah hasil

3. Jenis-jenis fungsi

a. Fungsi Injektif (Fungsi Into)

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)

c. Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi Satu-Satu)

FUNGSI KOMPOSISI

1. Simbol untuk komposisi fungsi adalah o (bundaran).

2. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x))

A B

f(x)

C

g(x)

h(x)

3. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x))4. Sifat-sifat fungsi komposisi

a. Tidak Komutatifb. Asosiatifc. Memiliki elemen identitas

FUNGSI INVERS

1. Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu.

2. Invers f(x) dinotasikan f −1(x).

3. Jika y = f(x) maka x = f −1(y)

4. Fungsi invers untuk komposisi fungsi

Relasi dan Fungsi

7

5. Beberapa rumus cepat menentukan fungsi invers.

Fungsi f(x) Invers Fungsi f −1(x)

f(x) ax b= + 1 x bf (x)a

− −=

ax bf(x)

ax b+

=+

1 dx bf (x)cx a

− − +=−

nf(x) ax b= + n1 x bf (x)a

− −=

xf(x) a= 1 af (x) log x− =

pxf(x) a=

11 a pf (x) log x− =

af(x) log x= 1 xf (x) a− =

2f(x) ax bx c= + +2

1 1 b 4ac bf (x) xa 4a 2a

− −= ± + −

6. Sifat invers fungsi pada komposisi fungsi.

a. ( ) ( ) ( )( )1 1 1f g x g f x− − −=

b. ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1f g h x h g f x− − − −=

c. ( )( )( ) ( )( )( )1 1f g g x g g f x f(x)− −= =

d. ( )( )( ) ( )( )( )1 1f f g x g f f x g(x)− −= =

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan 3 x

g(x)2x 1

−=

+

maka ( ) ( )1f g x− adalah ....

A. x 6

5 2x−

−

B. x 62x 5

−−

C. x 6

2x 5+−

D. x 6

2x 5−+

E. 2x 5x 6

−+

Pembahasan:1. Mencari komposisi fungsi

( ) ( )( )

( )

f g (x) f g x

3 x2x 1

3 x2x 1

2 2x 13 x2x 1 2x 13 x 4x 2

2x 13x 52x 1

= +

= ++ +

− + +

2. Mencari invers dari komposisi fungsi yang telah diperoleh di atas (gunakan panduan rumus cepat).

( )

( ) 1

3x 5f g (x)

2x 1x 5

f g (x)2x 3

x 5 12x 3 1x 5

3 2x

−

+=

+− +

=−

− + −= ×

− −−

=−

Jawaban: A

Gradien dan Persamaan Garis

8

GRADIEN

1. Gradien merupakan nilai yang digunakan untuk menyatakan kemiringan suatu garis.

2. Kriteria nilai gradien:a. Condong ke kanan = positifb. Condong ke kiri = negatifc. Datar: 0d. Tegak: ∞

3. Cara menentukan nilai gradien:a. Persamaan garis y = mx + c Nilai gradien = mb. Persamaan garis ax + by + c = 0

Nilai gradien a

mb

= −

c. Melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Nilai gradien 2 12 1

y ym

x x−

=−

d. Sudut antara garis dengan sumbu x positif adalah α maka gradien nya dinyatakan melalui fungsi tangen, m = tan α.

4. Persamaan garis dengan gradien m yang melalui titik (x1, y1) adalah y − y1 = m(x − x1).

HUBUNGAN GRADIEN DUA GARIS

1. Hubungan gradien garis yang saling sejajar: m1 = m2

2. Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus:

m1 × m2 = −1

3. Garis membentuk sudut α: 1 21 2

m mtg

1 m m−

α =+ ⋅

4. Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0

1 1

2 2

ax by cd

a b

+ +=

+


1. Garis 2x + 3y = 6 saling tegak lurus dengan garis (1 − p)x − 6y = 7. Maka nilai p adalah ....A. −10B. −8C. −6D. −4E. −1Pembahasan:

Informasi di soal menerangkan bahwa kedua garis saling tegak lurus, maka m1 × m2 = −1.

Mencari nilai gradien garis 2x + 3y = 6:

12

m3

= −

Mencari nilai gradien garis (1 − p)x − 6y = 7:

2

1 pm

6−

=

Mencari nilai p:

1 2m m 1

2 1 p1

3 62 2p

118

2 2p 182p 16

16p

28

× = −−

− × = −

−=

− == −

= −

= −

Jadi, nilai p adalah −8.Jawaban: B

Program Linear

9

LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PENYELESAIAN OPTIMUM

Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan soal program linear dengan metode titik sudut.1. Menggambar garis lurus pada soal yang mewakili

fungsi kendala dari soal yang diberikan.2. Menentukan daerah layak yang memenuhi.3. Menentukan titik-titik sudut perpotongan dua

garis yang memenuhi daerah layak.4. Menentukan nilai fungsi objektif pada setiap titik

sudut.a. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif

memaksimalkan maka pilih nilai yang paling besar.

b. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif meminimalkan maka pilih nilai yang paling paling kecil.


1. Seorang pedagang besar untuk perabot rumah tangga meja dan kursi akan membeli paling banyak 30 buah barang dagangan. Sebuah meja mempunyai harga senila Rp100.000,00 kemudian akan dijual seharga Rp115.000,00. Sedangkan sebuah harga dibeli dengan harga Rp50.000,00 kemudian akan dijual dengan har-ga Rp60.000,00. Jika pedagang tersebut mem-punyai modal sebesar Rp2.000.000,00 maka keuntungan maksimum yang akan diperoleh pedagang tersebut adalah ....A. Rp500.000,00B. Rp450.000,00C. Rp400.000,00D. Rp350.000,00E. Rp300.000,00

Pembahasan: Misalkan jumlah meja dan kursi yang akan

dibeli diwakilkan oleh dua variabel berikut, Meja = x Kursi = y Fungsi tujuan (fungsi objektif ): memaksimalkan fungsi f(x) = 15.000x + 10.000y Fungsi kendala: x + y < 30 100.000x + 50.000y < 2.000.000 →2x + y = 40

Menentukan daerah layak:

40

10

30

20

10

0

50

y

x20 30 40 50

A(0, 30)

B

C(20, 0)

10x + 5y = 200

x + y = 30

D(0, 0)

Mencari titik pojok dari daerah layak:a. Titik A (0, 30)b. Titik B (metode eliminasi dan substitusi) Mencari nilai x:

x y 302x y 40

+ =+ = −

x 10x 10

− = −=

Mencari nilai y:

x y 3010 y 30

y 30 10y 20

+ =+ =

= −=

c. Titik C (20, 0)d. Titik D (0, 0)Mencari nilai fungsi tujuan:

Titik Nilai fungsi tujuanf(x) = 15.000x + 10.000y

A (0, 30) f(x) = 15.000(0) + 10.000(30) = 300.000

B (10, 20 ) f(x) = 15.000(10) + 10.000(20) = 350.000

C (20, 0) f(x) = 15.000(20) + 10.000(0) = 300.000

D (0, 0) f(x) = 15.000(0) + 10.000(0) = 0

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diper-

oleh adalah Rp350.000,00.

Jawaban D

Trigonometri

10

SEGITIGA

1. Pembagian Kuadran

x

y

Kuadran IAll (+)

Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

Sin danCosec (+)

Tan danCotan (+)

Cos danSec (+)

2. Hubungan sisi segitiga dengan sudut α

α

ry

x

ysin

rα =

xcos

rα =

ytan

xα =

1 rsec

xcosα = =

α

1 rcosec

ysinα = =

α

1 xcotan

ytanα = =

α

TIPS & TRIK IDSCHOOLPerhatikan segitiga di bawah!

α

Sisi M

iring

Sisi Depan

Sisi Samping

Jembatan Keledai: SinDeMi CosSaMi TanDeSa

3. Identitas Trigonometri

sin2x + cos2x = 1

4. Aturan Sinus

a b Csin A sin B sin C

= =

AB

C

ba

c

5. Aturan Cosinus

AB

C

b

a

c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cos A

b a c 2ac cos B

c a b 2ab cos C

= + − ⋅

= + − ⋅

= + − ⋅

JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

1. Rumus dua sudut trigonometri

( )sin sin cos cos sinα + β = α β + α β

( )sin sin cos cos sinα − β = α β − α β

( )cos cos cos sin sinα + β = α β − α β

( )sin sin cos cos sinα − β = α β + α β

( ) tan tantan1 tan tan

α + βα + β =

− α β

( ) tan tantan1 tan tan

α − βα − β =

+ α β

Trigonometri

11

2. Rumus sudut kembar

sin2 2sin cosα = α α

2 2cos2 cos sin2 1 2sin2 2cos 1α = α − α = − α = α −

2

2tantan2

1 tan

αα =

− α

sin2α sin2α

JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI

1. Jumlah dan selisih → perkali

( ) ( )1 1sin sin 2sin cos2 2

α + β = α + β α − β

( ) ( )1 1sin sin 2cos sin2 2

α + β = α + β α − β–

( ) ( )1 1cos cos 2cos cos

2 2α + β = α + β α − β

( ) ( )1 1cos cos 2sin sin

2 2α − β = − α + β α − β

2. Perkalian → jumlah dan selisih

( ) ( )2sin cos sin sinα β = α + β + α − β

( ) ( )2sin sin cos cos− α β = α + β − α − β

( ) ( )2cos sin sin sinα β = α + β − α − β

( ) ( )2cos cos cos cosα β = α + β + α − β

RUMUS SUDUT TENGAHAN

1 1 cossin

2 2− α

α = ±

1 1 coscos

2 2+ α

α = ±

1 sintan

2 1 cosα

α =+ α

1 1 costan

2 sin− α

α =α

1 1 costan

2 1 cos− α

α = ±+ α

LUAS SEGITIGA SEMBARANG

ABC

ABC

ABC

1L bc sin A

21

L ac sin B21

L ab sin C2

∆

∆

∆

= ⋅

= ⋅

= ⋅

A

B

C

b

c

a

SUDUT ISTIMEWA TRIGONOMETRI

1. Kuadran I

Sudut 0o 30o 45o 60o 90o

sin α 0 12

12

21

32

1

cos α 11

32

12

212

0

tan α 01

33

1 3 ∞

Trigonometri

12

2. Kuadran II

Sudut 120o 135o 150o 180o

sin α1

32

12

212

0

cos α12

− 1 22

−1

32

− –1

tan α 3− –11

33

− 0

3. Kuadran III

Sudut 210o 225o 240o 270o

sin α12

− 1 22

−1

32

− –1

cos α 1 32

−1

22

−12

− 0

tan α1

33

1 3 ∞

4. Kuadran IV

Sudut 300o 315o 330o 360o

sin α 1 32

−1

22

−12

− 0

cos α 12

12

21

32

1

tan α 3− –11

33

− 0


1. Tentukan besar sudut sin 105o + sin 15o!Pembahasan:

o oo o

o o

120 90sin105 sin15 2sin cos

2 22sin60 cos45

1 12 3 2

2 21

62

+ = ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

=

Limit

13

LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Hasil akhir substitusi dari x a

f(x)lim

g(x)→memiliki

bentuk tak tentu

00

a. Kerjakan dengan pemfaktoran:

( )( )x a x a

x a

x a f(x)F(x)lim lim

G(x) x a g(x)

f(x)lim

g(x)f(a)g(a)

→ →

→

− ⋅=

− ⋅

=

=

b. Kerjakan dengan L’ Hospital:

x a x a

F(x) F'(x)lim lim

G(x) G'(x)F'(a)G'(a)

→ →=

=

2. Hasil akhir substitusi dari xf(x)

limg(x)→∞ memiliki

bentuk ∞∞

n n 10 1 n 0

m m 1x0 1 m 0

0, n ma x a x ... a a

lim , n mb x b x ... b b

, n m

−

−→∞

<+ + + = =+ + + ∞ >

3. Bentuk [ ]xlim f(x) g(x)

→∞−

a. ( )2 2x b plim ax bx c ax px q 2 a→∞−

+ + − + + =

b. ( )( )2 2x 2ab plim ax b a x px q 2a→∞−

+ − + + =

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Persamaan dasar dalam limit fungsi trigonometri:

1. x 0

sinxlim 1

x→=

2.

x 0

sin ax alim

bx b→=

3. x 0

ax alim

sin bx b→=

4. x 0

tanxlim 1

x→=

5.

x 0

tan ax alim

bx b→=

6. x 0

ax alim

tan bx b→=


1. Nilai dari ( ) ( )2

2x 0

x x 2 sin x 1lim ...

x 2x 1→+ − −

=− +

A. 12

−

B. 14

−

C. 0D. 2E. 4Pembahasan:

( ) ( )

( )

2

2x 0

x 0

x x 2 sin x 1lim

x 2x 1

x 1lim

→

→

+ − −

− +−

=( ) ( )

( )x 2 sin x 1

x 1

+ −

− ( )

( ) ( )( )x 0

x 1

sin x 1lim x 2

x 1

2 12

→

−

−= +

−

= ×=

Jawaban: D

Turunan

14

RUMUS DASAR TURUNAN

1. Persamaan turunan

( ) ( ) ( )

h 0

f x h f xf ' x lim

h→+ −

=

2. Tabel fungsi dan turunannya

Funsi f(x) Turunan f’(x)

f(x) = k f’(x) = 0

f(x) = xn f’(x) = n⋅kxn−1

f(x) = u ± v f(x) = u’ ± v’

f(x) = u ⋅ v f(x) = u’v + uv’

uf(x)

v= ( ) 2

u'v uv'f ' x

v−

=

y = f(g(x)) y’ = f’(g(x)) ⋅ g’(x)

y = sin x y’ = cos x

y = cos x y’ = −sin x

PENGGUNAAN TURUNAN

1. Menentukan gradien (m) garis singgung Jika titik (x1, y1) terletak pada y = f(x) maka

gradien garis singgung di f(x1, y1) dapat diperoleh dengan persamaan m = f ’(x)

2. Menentukan nilia dan kriteria kurva (naik/turun, minimal/maksimal) a. Turun f’(x) < 0b. Naik f’(x) > 0c. Maksimal f’(x) = 0 f’’(x) < 0d. Minimal f’(x) = 0 f’’(x) > 0e. Titik belok f’’(x) = 0


1. Fungsi ( )2x 3

f xx 1

+=

− akan turun untuk nilai x

yang memenuhi ....A. x < −1 atau x > 4B. x < −3 atau x > 1C. −1 < x < 1 atau 1 < x < 3D. −3 < x < 1 atau x > 1E. −3 < x < −1Pembahasan:

Syarat untuk fungsi turun adalah f’(x)

Integral

15

DEFINISI INTEGRAL

1. Simbol integral: ∫

2. Jika turunan fungsi F(x) adalah f(x) maka

f(x)dx F(x) C= +∫

3. Fungsi integral untuk eksponen dengan n ≠ 1 diberikan melalui persamaan di bawah.

n n 11x x dx Cn 1

+= ++∫

INTEGRAL TAK TENTU

Tabel rumus dasar pada integral tak tentu:

Fungsi f(x) Hasil Integral

nkx dx∫ n 11

k x Cn 1

+⋅ ++

1 1x dx dxx

− =∫ ∫ ln x C+

( ) ( )( )f x g x dx±∫ ( ) ( )f x dx g x dx±∫ ∫ sin x dx∫ cos x C− +

cos x dx∫ sin x C+

( ) sin ax b dx+∫ ( )1

cos ax b Ca

− + +

( ) cos ax b dx+∫ ( )1

sin ax b Ca

+ +

INTEGRAL TENTU

[ ] a

b

ab

f(x) dx F(x)

F(b) F(a)

=

= −

∫

JENIS INTEGRAL

1. Integral Substitusi

( )( ) ( ) ( )f g x g' x dx f u du=∫ ∫

2. Integral Parsial

u dv uv v du= −∫ ∫

INTEGRAL TRIGONOMETRI

1. sinx dx cosx C= − +∫

2. cosx dx sinx C= +∫3. tanx dx ln cosx C= − +∫4. 2sec x dx tanx C= +∫5. cotan x dx ln sin x C= +∫6.

aa cos bx dx sin bx C

b= +∫

7. a

a sin bx dx cos bx Cb

= − +∫

8. n n 11

sin x cos x dx sin x Cn 1

+⋅ = ++∫

9. n n 11

cos x sin x dx cos x Cn 1

+⋅ = − ++∫

10. 2cosec x dx cotanx C= − +∫11. sinx tanx dx sec x C⋅ = +∫

12. cosec x cotanx dx cosec x C⋅ = − +∫

13. 2dx

dx cot x Csin x

= − +∫

14. 2dx

dx tan x Ccos x

= +∫

Integral

16

APLIKASI INTEGRAL

1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurvaa. Dibatasi Sebuah kurva

a b

y = f(x)

y

x

b

a

L f(x) dx= ∫

b. Dibatasi Dua Buah Kurva

f(x)

g(x)

y

xa b

( ) ( ){ }= −∫

b

a

L f x g x dx

2. Menghitung Volumea. Dibatasi sebuah kurva dan diputar pada

sumbu x

a b x

y = f(x)

y

x

y = f(x)

y

( )b 2

aV f(x) dx= π∫

b. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu x

a bx

y1 = f(x)

y

b x

y

y2 = g(x)

y1 = f(x)y2 = g(x)

( )( )b

2

a

V f x dx= ∫

c. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y

c

d

x

y = f(x)

y

x

y = f(x)

y

( )d 2

cV f(y) dy= π∫

Integral

17

d. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y

c

d

y

x

y1 = f(x)

y2 = g(x)

y

x

y1 = f(x)y2 = g(x)

( ) ( )( )d 2 2cV f(y) ( g(y) dx= π −∫ dy


1. Perhatikan gambar di bawah!

0 a b c d

y

x

f(x)

g(x)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ....

A. ( )b d c

a b bf(x) g(x) dx g(x) dx f(x) dx− + −∫ ∫ ∫

B. ( ) ( )b d

a bf(x) g(x) dx g(x) f(x) dx− + −∫ ∫

C. ( )d

af(x) g(x) dx−∫

D. ( )d d

a cf(x) g(x) dx g(x) dx− −∫ ∫

E. ( ) ( )b d

a cf(x) g(x) dx g(x) f(x) dx− + −∫ ∫

Pembahasan:

Bagi luas daerah menjadi beberapa bagian, seperti terlihat pada gambar di bawah.

{0 a b c d

y

x

f(x)

g(x)

( )b

a

f(x) g(x) dx−∫

( )c

b

f x dx∫ ( )d

b

g x dx∫

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral pada soal yang diberikan adalah

( )

b d c

a b bf(x) g(x) dx g(x) dx f(x) dx− + −∫ ∫ ∫

Jawaban: A

TIPS & TRIK IDSCHOOL Rumus cepat menghitung luas daerah yang

dibatasi kurva yang memiliki bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0:

dengan D = b2 − 4ac

Lingkaran

18

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

1. Bentuk umum persamaan lingkaran:

2 2x y Ax By C 0+ + + + =

2. Pusat lingkaran:

1 1Pusat A, B

2 2 = − −

3. Rumus jari-jari lingkaran:

- 2 2

1 1Jari jari(r) A B C

4 4= + −

PERSAMAAN LINGKARAN BERBEDA PUSAT

1. Persamaan Umum Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r

y

r−r

r

−r

xO (0,0)

2 2 2x y r+ =

2. Persamaan Umum Lingkaran Pusat P(a,b) dan jari-jari r

r

y

b

a x

P (a,b)

( ) ( )2 2 2x a y b r− + − =

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN

Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran dengan persamaan 2 2x y Ax By C 0+ + + + = dapat dilihat dari hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran, dengan kriteria seperti berikut ini.

Kedudukan Titik Kriteria

Di dalam lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0

Pada lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0

Di luar lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

Kedudukan garis y = mx + c terhadap lingkaran dengan persamaan 2 2x y Ax By C 0+ + + + = dapat dilihat dari nilai diskriminan pada hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

Kriteria kedudukan garis terhadap lingkaran adalah sebagai berikut.

Kedudukan Garis Kriteria

Memotong lingkaran di dua titik

D < 0

Menyinggung lingkaran(hanya ada satu titik potong)

D = 0

Tidak memotong lingkaran D > 0

Lingkaran

19

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Diberikan dua buah lingkaran dengan pusat P1 dan P2 serta masing-masing lingkaran memiliki jari-jari berturut-turut r1 dan r2, dan r1 > r2,

Kedudukan Kriteria

Memiliki pusat sama | P1 P2 | = 0

Bersinggungan didalam lingkaran | P1 P2 | = r1 − r2

Lingkaran kecil terletakdi dalam lingkaran besar | P1 P2 | ≤ r1 − r2

Berpotongan di dua titik r1 − r2 < | P1 P2 | < r1 + r2Bersinggungan di luar lingkaran | P1 P2 | = r1 + r2

Tidak bersinggungan (saling lepas) | P1 P2 | > r1 + r2


1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah ....

A. x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 B. x2 + y2 − 4x − 6y − 25 = 0 C. x2 + y2 − 4x − 6y − 13 = 0 D. x2 + y2 − 2x − 3y − 10 = 0 E. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0

Pembahasan: Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan

jari-jari r memiliki persamaan:

(x − 2)2 + (y − 3)2 = r2

Substitusi titik (5, −1) ke persamaan lingkaran (x − 2)2 + (y − 3)2 = r2 untuk mendapatkan nilai jari-jari.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x 2 y 3 r

5 2 1 3 r

3 4 r

9 16 r r 25

− + − =

− + − − =

+ − =

+ = → =

Sehingga, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah

( ) ( )2 22 2

2 2

2 2

x 2 y 3 25

x 4x 4 y 6y 9 25

x y 4x 6y 4 9 25 0

x y 4x 6y 12 0

− + − =

− + + − + =

+ − − + + − =

+ − − − =

Jawaban:A

Mau kumpulan soal latihan yang lebih banyak lagi dan cara mengerjakannya?

Ayo kunjungi idschool.net

Irisan Kerucut

20

ELIPS

1. Bagian-bagian penyusun elips

a−a

b

−b

xO (0,0)

yLoctusRectum

Garis Arah(direktris)

Garis Arah(direktris)

Q

F1(−c,0) F2 (c,0)

Keterangan:Penyusun Elips Bagian

Pusat elips O

Sumbu mayor −a → a

Sumbu minor −b → b

Puncak elips −a, −b, a, b

Fokus elips F1 dan F2

2. Persamaan pada elips horizontal

Pusat O(0, 0)

a−a

b

−b

xO (0,0)

y

x

P (p, q)

y

p

qa satuan

b satuan

Pusat P(p, q)

Keterangan Elips Horizontal Pusat O(0, 0)Elips Horizontal

Pusat P(p, q)

Pusat O(0,0) P(p, q)

Fokus (±c, 0) (p ± c, q)

Panjang Sumbu Mayor 2a 2a

Panjang Sumbu Minor 2b 2b

Puncak (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b)

Bentuk umumpersamaan

2 2

2 2

x x1

a b+ = ( ) ( )

2 2

2 2

x p y q1

a b

− −+ =

Garis arah (direktris)2a

xc

= ±

2ax p

c= ±

Panjang Loctus Rectum22b

LRa

=22b

LRa

=

Eksentrisitasc

ea

=c

ea

=

Irisan Kerucut

21

3. Persamaan pada elips vertikal

Pusat O(0, 0)

y

P (p, q)

xa

bb satuan

a satuan

Pusat P(p, q)

a

−a

b−b xO (0,0)

y

Keterangan Elips Vertikal Pusat O(0, 0)Elips Vertikal Pusat P(p, q)

Pusat O(0,0) P(p, q)

Fokus (±c, 0) (p ± c, q)

Panjang Sumbu Mayor 2a 2a

Panjang Sumbu Minor 2b 2b

Puncak (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b)


2 2

2 2

x x1

a b+ = ( ) ( )

2 2

2 2

x p y q1

b a

− −+ =

Garis arah (direktris)2a

yc

= ±

2ay q

c= ±

Panjang Loctus Rectum22b

LRa

=22b

LRa

=

Eksentrisitasc

ea

=c

ea

=

Irisan Kerucut

22

PARABOLA

1. Parabola dengan pusat O(0, 0)

x

y

F(p, 0)

garis arah (direktris)

Titik Fokus

Titik Puncak

y

xF(0, p)

garis arah(direktris)

Titik Fokus

Titik Puncak

Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal

Puncak O(0,0) O(0, 0)

Fokus (p, 0) (0, p)

Garis arah (direktris) x = −p y = −p

Bentuk UmumPersamaan

2y 4px= 2x 4py=

2. Parabola dengan puncak P(a, b)

y

x

F(a, b + p) garis arah(direktris)

Titik Fokus

Titik Puncaksumbu simetri

x = a

x

y

F(a+p, b)

garis arah (direktris)

Titik Fokus

Titik Puncak

a

bsumbusimetri

y = b

Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal

Puncak P(a, b) P(a, b)

Fokus (a+p, b) (a, b+p)

Garis arah (direktris) x = a − p y = b − p

Bentuk UmumPersamaan ( ) ( )

2y b 4p x a− = − ( ) ( )2x a 4p y b− = −

Irisan Kerucut

23

HIPERBOLA

1. Bagian-bagian penyusun hiperbola

F2(c, 0)

y

x

pusathiperbola

titik puncak

F1(−c, 0) A(−a, 0) B(a, 0)



C(0, b)

D(0, −b)

cb

a

2 2 2c a b= +

asimtotasimtot

Irisan Kerucut

24

2. Persamaan pada hiperbola denga pusat O(0,0)

F2(c, 0)

y

xF1(−c, 0) A(−a, 0)

B(a, 0)

C(0, b)

D(0, −b)

cb

a

Hiperbola Horizontal

F2(c, 0)

x

y

F1(−c, 0)

A(−a, 0)

B(0, a)

C(−b, 0) D(b, 0)cb

a

Hiperbola Vertikal

Persamaan terkait hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal

Keterangan HiperbolaHorizontalHiperbola

VertikalPusat O(0,0) O(0,0)

Fokus (±c, 0) (0, ±c)

Puncak (±a, 0) (0, ±a)

Garis arah(direktris)

2ax

c= ±

2ax

c= ±

Asimtot by

a= ±

by

a= ±

Eksentrisitas ce

a=

ce

a=

Loctus Rectum 22bLR

a=

22bLR

a=


2 2

2 2

x y1

a b− =

2 2

2 2

x y1

b a− = −

Irisan Kerucut

25

3. Persamaan pada hiperbola denga pusat P(p, q)

Hiperbola Horizontal

F2

y

x

F1 A B

C

D

(p, q)ab

(p, q)

F2

x

y

F1

A

B

C D b

a

Hiperbola Vertikal

Keterangan HiperbolaHorizontalHiperbola

VertikalPusat P(p, q) P (p, q)Fokus (p ± c, q) (p, q ± c)Puncak (p ± a, q) (p, q ± a)

Garis arah (direktris)

2ay q

c= ±p

2ay q

c= ±

Asimtot ( )by q x pa

− = ± − ( )by q x pa

− = ± −

Loctus Rectum22b

LRa

=22b

LRa

=


2 2

2 2

(x p) (y q)1

a b− −

− = ( ) ( )2 2

2 2

x p y q1

b a

− −− = −

Dimensi Tiga

26

BAGIAN-BAGIAN PADA DIMENSI

1. Diagonal Sisi: AF, AH, AC, BE, BG, BD, CF, CH, DG, DE, EG, dan FH

A B

CD

E F

GH

2. Diagonal Ruang: AG, EC, BH, dan DF

A B

CD

E F

GH

3. Bidang Frontal: ABFE, BCGF, CDHG, DAEH, ABCD, dan EFGH

A B

CD

E F

GH

4. Bidang Diagonal: BDHF dan ACGE

A B

CD

E F

GH

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Kedudukan Titika. Kedudukan titik pada garis

A B

CD

E F

GH

Titik A terletak pada garis AB

b. Kedudukan titik di luar garis

A B

CD

E F

GH

Titik C terletak di luar garis AB

c. Kedudukan titik pada Bidang

A B

CD

E F

GH

Titik A terletak pada bidang ABCD

d. Kedudukan titik di luar bidang

A B

CD

E F

GH

Titik C terletak pada bidang ABCD

Dimensi Tiga

27

2. Kedudukan Garisa. Garis terletak pada bidang

A B

CD

E F

GH

Garis AB terletak pada bidang ABFE

b. Garis memotong bidang

A B

CD

E F

GH

Garis BC terletak pada bidang ABFE

c. Garis sejajar bidang

A B

CD

E F

GH

Garis GH terletak pada bidang ABFE

3. Kedudukan Bidanga. Berimpit

A B

CD

E F

GH

Bidang ABFE berimpit dengan bidang ABFE

b. Sejajar

A B

CD

E F

GH

Bidang ABFE sejajar dengan bidang ABFE

c. Berpotongan

A B

CD

E F

GH

Bidang ABFE berpotongan bidang ABCD

JARAK PADA DIMENSI TIGA

1. Jarak Titik ke Titika. Jika diketahui letak titik pada gambar kubus

(dimensi tiga) dapat menggunakan rumus pada theorema pythagoras.

2 2r a b= +b. Jika diketahui dua titik koordinat A(x1, y1, z1)

dan B(x2, y2, z2)

( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z= − + − + −

2. Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang

garis tegak lurus titik A ke garis g (proyeksinya titik A pada garis g).

A

A’g

Dimensi Tiga

28

3. Jarak Titik ke BidangJarak antara titik A ke bidang α adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang α.

A

A’α

4. Jarak Garis ke Garis Jarak antara dua garis adalah panjang ruas

garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua.

g

h

P

P’

5. Jarak Garis ke Bidang Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak

antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang.

Ag

A’

α

6. Jarak Bidang ke Bidang Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke

bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut.

α

β A

A’


1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah ....A. 2 cmB. 2 3 cmC. 3 cmD. 3 3 cmE. 4 3 cm

Pembahasan:Perhatikan gambar berikut!

H’6 cmA B

CD

E FGH

D’

Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.BD = diagonal bidang = 6 2 cmmaka

1DH' BD 3 2 cm

2DH 6 cm

= =

=

Dimensi Tiga

29

sehingga,

2 2

2 2

HH' DH DH'

6 (3 2)

1836

54

3 6 cm

= +

= +

= +

=

=

Selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!

H

D

D’

H’

6 cm

3 2 cm

36 cm

Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh:

1 1·HH'·DD' ·DH'·DH

2 2HH'·DD' DH'·DH

DH'·DHDD'

HH'3 2·63 6

18 2 63 6 6

18 1218

12

2 3 cm

=

=

=

=

= ×

=

=

=

Jadi jarak D ke bidang ACH adalah DD’ = 2 3 cm

Jawaban: B

Eksponen & Logaritma

30

EKSPONEN

1. Sifat-sifat Eksponeni. ap ⋅ aq = ap + q

ii. ap : aq = ap − q

iii. (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp

vi. (ap)q = apq

v. p

p

1a

a− =

vi. q

p qpa a=

vii. p p pa b a b⋅ = ⋅

viii.

pp

p

a ab b

=

xi. p q pq pq1

a aa

= =

x. p q pqrrpqr

1a a

a= =

2. Grafik Fungsi Eksponena. Untuk nilai x > 1

y = ax

y

x

(0, 1)

0

b. Untuk nilai 0 < x 0 dan g(x) > 0

5. Pertidaksamaan Fungsi Eksponeni. Untuk a > 1

• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)

ii. Untuk 0 < a < 1• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)

LOGARITMA

1. Sifat-Sifat Logaritmai.

a ylog x y a x= → = , dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0

ii. a a alog xy log x log y= +

iii. a a axlog log x log y

y= −

iv. a p alog x p log x= ⋅

v.

ca

c

log blog b

log a=

vi. alog a 1=

vii. a log ba b=

viii. c

da d a ac dlog b log b log b

c= = ⋅

2. Persamaan Fungsi Logaritmai. ( ) ( ) ( ) ( ) a alog f x log g x f x g x= → =

ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f xlog g x log h x g x h x= → =Syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0

Eksponen & Logaritma

31

3. Grafik Fungsi Logaritmaa. Untuk nilai 0 < a < 1

y = alog x

y

x(0, 1)

0

b. Untuk nilai a > 1

y = alog x

y

x(0, 1)0

4. Pertidaksamaan Logaritmai. Untuk 0 < a < 1

• Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0

• Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0

ii. Untuk a > 1• Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 0• Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x)

dan f(x) > 0, g(x) > 0


1. ( ) ( )2 23 3

3

log36 log4....

log 12

−=

A. 2B. 4C. 8D. 12E. 18

Pembahasan:

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 23 3

3

3 3 3 3

13 2

3 3

3

3 3

3

3 2 3 2

3

3 3

3

3

log36 log4

log 12

log36 log4 log36 log4

log 12

36log36 4 log

41

log 122

log 144 log 91

log 122

log 12 log 31

log 122

2 log 12 2 log 31

log 122

2 log 12

−

+ −=

⋅ =

⋅

=⋅

=⋅

⋅ ⋅=

⋅

⋅=

3

2 11

log 122

× ⋅

⋅

2 2 112

8

× ⋅=

=

Jawaban: C

Barisan & Deret

32

DERET ARITMETIKA

1. Beda = b = U2 − U1 = U3 − U2 = U4 − U3 = ....

2. ( )nU a n 1 b= + −

3. ( )

( )( )

n n

n

nS a U

2n

S 2a n 1 b2

= +

= + −

4. n n n 1U S S −= −

5. nta U

U2

+=

6. k l k l2

U U 2U ++ =

DERET GEOMETRI

1. Rasio = 32 41 2 3

UU Ur ...

U U U= = = =

2. n 1nU ar−=

3. ( )n

n

a r 1S

r 1

−=

−

4. n n n 1U S S −= −

5. t nU a U= ⋅

6. 2

k l k l2

U U U +

⋅ =

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

1. Untuk deret geometri konvergen (mempunyai jumlah) dengan −1< r < 1, maka berlaku rumus jumlah deret geometri tak hingga berikut ini.

aS

1 r∞=

−

TIPS & TRIK IDSCHOOL

Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah deret/

barisan geometri baru maka rasio deret/barisan tersebut dapat diketahui melalui rumus berikut.

n 1p

ra

+=


1. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Pada tahun 2019, jumlah penduduk kota tersebut mencapai ... orang.A. 100.000B. 120.000C. 160.000

D. 200.000E. 400.000

Pembahasan: Misal: U1 = jumlah penduduk tahun 2019 Un = jumlah penduduk tahun 2069

Berdasarkan soal, diperoleh informasi seperti berikut.

r = 2 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat)

n = 6 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat)

Un = 3,2 juta orang (Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang)

Sehingga,

n 1n 1

6 11

51

1

U U r

3,2 juta U 2

3,2 juta U 2

3.200.000U 100.000 orang

32

−

−

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= = Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada

tahun 2019 mencapai 100.000 orang.

Jawaban:A

Logika Matematika

33

KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN EKUIVALENSI

1. Konjungsi (atau): ∧2. Disjungsi (dan): ∨3. Implikasi (jika ... maka ...): →4. Ekuivalensi ( ... bila dan hanya bila ...): ↔5. Nilai kebenaran untuk konjungsi, disjungsi,

implikasi, dan ekuiivalensi.

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

B B B B B B

B S S S S S

S B S S B S

S S S S B B

IMPLIKASI, KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q→~p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU IMPLIKASI

p → q q → p

~p → ~q ~q → ~p

Konvers

Konvers

Invers InversKontraposisi

Sutau implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

SIFAT-SIFAT EKUVALENSI

1. p ∧ (q ∨ r) ≡ (q ∧ r) ∨ (q ∧ r)2. p ∨ (q ∧ r) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ r)3. p → q ≡ ~p ∨ q4. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q6. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q7. p → q ≡ (p → q) ∧ (q → p)8. p → q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

PENARIKAN KESIMPULAN

1. Modus Ponen

1

2

P p q (benar)

P p (benar)

q (benar)

= →=

∴=

2. Modus Tollens

1

2

P p q (benar)

P ~ q (benar)

~ p (benar)

= →=

∴=

3. Silogisme

1

2

P p q (benar)

P q r (benar)

p r (benar)

= →= →

∴= →

Matriks

34

KOMPONEN MATRIKS

1. Susunan matriks: baris, kolom, diagonal

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

x x ... xx x ... x

X

x x ... x

=

Baris

KolomDiagonal

2. Ordo matriks: banyak baris × banyak kolom

OPERASI MATRIKS1. Penjumlahan dan Pengurangan

a. Am×n + Bm×n = Cm×nb. Berlaku sifat A + B = B + Ac. Am×n − Bm×n = Dm×nd. Contoh:

a b e f a e b fc d g h c g d h

+ + + = + +

a b e f a e b fc d g h c g d h

− − − = − −

2. Perkaliana. Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah

kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks ke dua.

m n n k m kA B C× × ×× =sama

b. A × B ≠ B × Ac. Contoh:

a b p q r ap bs aq bt ar buc d s t u cp ds cq dt cr du

+ + + × = + + +

DETERMINAN MATRIKS

1. Determinan Matriks Orda 2 × 2

a bA A ad bc

c d

= → = −

2. Determinan Matriks Orda 3 × 3

( ) ( ) ( )

a b cA d e f

g h i

a b cA d e f

g h i

e f d f d ea b c

h i g i g h

a ei hf b di gf c dh ge

=

=

= − +

= − − − + −

TIPS & TRIK IDSCHOOL

a b cA d e f

g h i

A aei bfg cdh gec hfa i

a bd eg h

db

=

= + + − − −

− − −+ + +

INVERS MATRIKS

1. 1a b d b1

A Ac d c aad bc

− − = → = −−

2. AX = B → X = A−1B3. XA = B → X = BA−1

4. A−1⋅A = I


1. Diketahui matriks 1 2

A3 4

=

dan matriks AB

yang memenuhi persamaan 1 0

AB0 1

=

.

Matriks B yang dapat memenuhi persamaan tersebut adalah ....

A. 2 1

3 12 2

− − −

Matriks

35

B. 2 1

3 12 2

− −

C. 2 1

3 12 2

−

D. 2 1

3 12 2

− −

E.

2 13 12 2

− −

Pembahasan:

1

1 0AB AB I

0 1

B A−

= → =

=

Mencari Invers A:

1

1 2A

3 4

4 21A

3 14 6

4 213 12

2 13 12 2

−

=

−

= −− −

= −− −

= −

Jawaban: D

2. Jika 1 2

B3 5

=

dan 1

2 1AB

4 3− =

maka A = ....

A. 5 9

13 23

B. 13 59 23

C. 5 39 13

D. 9 5

12 3

E. 3 59 23

Pembahasan:

1

1

2 1AB

4 3

2 1 1 2AB B

4 3 3 5

2 1 1 2A I

4 3 3 5

2 3 4 5 5 9A

4 9 8 15 13 23

−

−

=

⋅ =

⋅ =

+ + = = + +

Jawaban A:

Transformasi Geometri

36

PENCERMINAN

1. Pencerminan Terhadap Sumbu-x

( ) → = = = − − Sumbu ' 1 0, '

' 0 1x a a aA a b A

b b b

Matriks Transformasi:

y

x

A’(a,b)

A(a,–b)

a

b

–b

0

2. Pencerminan Terhadap Sumbu-y

y

x

A’(–a,b) A(a,b)b

a–a 0

( )− −

→ = = =

Sumbu ' 1 0, '' 0 1

y a a aA a b Ab b b


3. Pencerminan Terhadap Garis y = x

( ) = → = = =

garis ' 0 1, '' 1 0

y x a a bA a b Ab b a

y = x

x

A(b, a)

A(a,b)

a

a b0

b

y


4. Pencerminan terhadap Garis y = − x

y = –x

x

A(–b, –a)

A(a,b)

–aa–b

0

b

y

( ) =−− −

→ = = = − − garis ' 0 1, '

' 1 0y x a a bA a b A

b b a

5. Pencerminan Terhadap Titik Asal O(0, 0)

( ) ( )− −

→ = = = − −

titik 0,0 ' 1 0, '' 0 1

O a a aA a b Ab b b

x

A(–a, –b)

A(a,b)

–a a

–b

0

b

y

6. Pencerminan Terhadap Garis x = h

( ) =−

→ = =

garis ' 2, ''

x h a h aA a b Ab b

x

A’(2h – a, b)A(a,b)

2h – aa0

b

y

x = h

Transformasi Geometri

37

ROTASI/PERPUTARAN

1. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α

α αα α

− = =

' cos sin'

' sin cosa a

Ab b

x

y

α

P(a,b)

P(a’, b’)

O(0,0)

2. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α

x

y

α

A(a,b)

A’(a’, b’)

P(m,n)

α αα α

− − = = + −

' cos sin'

' sin cosa a m m

Ab b n n

3. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β

x

y

α

A(a,b)

A’(a’, b’)

O(0,0)

β

A’’(a’’, b’’)

( ) ( )( ) ( )α β α βα β α β

+ − + = = + +

cos sin''''

sin cos''a a

Ab b

4. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β

'' cos( ) sin( )''

'' sin( ) cos( )a a m m

Ab b n n

α + β − α + β − = = + α + β α + β −

x

y

α

A(a,b)

A’(a’, b’)

P(m,n)

β

A’’(a’’, b’’)

DILATASI

1. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala m

x

y

A

Bc

A’

B’

= = =

' 0'

' 0a m a am

Ab m b bm

2. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) den-gan faktor skala m

x

y

A

BP(k,l)

A’

B’

− = = + −

' 0'

' 0a m a k k

Ab m b l l

Vektor

38

PENYAJIAN VEKTOR

1. Bentuk Analitik

x ai djy bi ejz ci fj

= += += +

2. Bentuk Komponen

x a d x a dy b e y b ez c f z c f

+ = + → = + +

3. Penyajian Vektor pada bidang kartesius

5u

3

=

5v

3−

=

5w

5−

= −

5 sat. ke kanan

3 sat. ke atas

3 sat. ke atas

5 sat. ke kiri

5 sat. ke kiri

5 sat. ke bawah

Keterangan:

a. Tanda positif (+): arah vektor ke kanan atau ke atas

b. Tanda negatif (−): arah vektor ke kiri atau ke bawah.

VEKTOR POSISI DAN PANJANG VEKTOR

1. Vektor Posisi pada Dimensi Dua

1

2

xOP p

y

= =

y1

x1

y

xp

2. Vektor Posisi pada Dimensi Tiga

1

1

1

xOA a y

z

= =

z1

x1

z

x

ya

3. Panjang Vektor

VektorVektor Posisi Panjang Vektor

p

p (x, y)=

2 2p x y= +

a

b

1 1a (x , y )=

2 2b (x , y )=

( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y= − + −

q

q (x, y, z)=

2 2 2q x y z= + +

c

d

1 1 1c (x , y , z )=

2 2 2d (x , y , z )=

( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1CD x x y y z z= − + − + −

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

1. Penjumlahan Vektor

2 22 cosa b a b a b+ = + + α

A A

B B

a x i y j

b x i y j

= +

= +

( ) ( )A B A Ba b x x i y y j+ = + + +

2. Pengurangan Vektor

2 22 cosa b a b a b− = + − α

( ) ( )A B A Ba b x x i y y j− = − + −

A A

B B

a x i y j

b x i y j

= +

= +

Vektor

39

PERKALIAN VEKTOR1. Sifat-sifat perkalian

a. =

ka akb. ( ) ( )− = − k a k ac. =

ka k a

d. ( ) ( )= km a k ma , ∈,k m Re. ( )+ = +

k m a ka ma , ∈,k m R

f. ( )+ = + k a b ka kb2. Sifat-sifat Perkalian Dua Vektor

a. ⋅ = ⋅

a b b a

b. ( )⋅ + = ⋅ + ⋅ a b c a b a cc. ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ⋅ k a b ka b a kbd. ⋅ =

2a a a

PEMBAGIAN/PERBANDINGAN VEKTOR

1. Perbandingan Vektor di Dalam

P

A

B

m

n

m B n Ap

m n⋅ + ⋅

=+

2. Perbandingan Vektor di Luara. Titik pembagi berada sebelum ruas garis

AP

Bm

n

m B n Ap

m n− ⋅ + ⋅

=− +

PA : PB m : n

AP : PB m : n

=

= −

b. Titik pembagi berada setelah ruas garis

BA P

m

n

m B ( n) Ap

m n⋅ + − ⋅

=−

AP : BP m : n

AP : PB m : n

=

= −

CONTOH SOAL PEMBAHASAN

1. Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, −3, −3), dan R(1, 0, −4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah-tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah ....A. 1 : 3B. 3 : 1C. 1 : 2

D. 2 : 1E. 2 : 3

Pembahasan: Ilustrasi segItiga pada soal dapat dilihat pada

gambar di bawah.

P(3, 0, 6)

Q(0, 3, −3)

A

B

C

2

1

11

2

−1

R (1, 0, −4)

Mencari titik koordinat A:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3,0,6 0,3, 3A

2 16,0,12 0,3, 3

A3

6 0,0 3,12 ( 3)A

36,3,9

A 2,1,33

+ −=

++ −

=

+ + + −=

= =

Vektor

40

Mencari titik koordinat B:

( ) ( )

( )

( ) ( )

3,0,6 1,0, 4B

1 13 1,0 0,6 ( 4)

B2

4,0,2B 2,0,1

2

+ −=

++ + + −

=

= =

Mencari titik koordinat C:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1,0, 4 ( 1) 0,3, 3C

2 12,0, 8 0, 3,3

C1

2 0,0 3, 8 3C

12, 3, 5

C 2, 3, 51

− + − −=

−− + −

=

+ − − +=

− −= = − −

Panjang AB:

( ) ( )( )( )

2 2 2

AB B A

AB 2,0,1 2,1,3

AB 2 2,0 1,1 3

AB 0, 1, 2

AB 0 ( 1) ( 2)

AB 0 1 4 5 satuan

= −

= −

= − − −

= − −

= + − + −

= + + =

Panjang BC:

( ) ( )( )( )

2 2 2

BC C B

BC 2, 3, 5 2,0,1

BC 2 2, 3 0, 5 1

BC 0, 3, 6

BC 0 ( 3) ( 6)

0 9 36

BC 45 9 5 3 5 satuan

BC

= −

= − − −

= − − − − −

= − −

= + − + −

= + +

= = × =

Sehingga, perbandingan AB : BC adalah

AB 5BC 3 5AB 1

AB : BC 1: 3BC 3

=

= → =

Jawaban: A

Statistika dan Peluang

41

STATISTIKA

1. Mean, Median, dan Modus Data Kelompoka. Mean: rata-rata

1 1 2 2 n n

1 2 n

x f x f ... x fx

f f ... f+ + +

=+ + +

n

i i1 1 2 2 n n i 1

n1 2 n

ii 1

x fx f x f ... x f

x atau xf f .... f f

=

=

+ + += =

+ + +

∑

∑

b. Median: nilai tengah data setelah diurutkan

k

2i

1n f

2Me Q Tb pf

− = = +

c. Modus: nilai yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi paling tinggi).

1

1 2

dMo Tb p

d d

= + +

2. Rumus Kuartil, Desil, dan Persentila. Data Tunggal

• KuartilJenis

KuartilRumus KuartilData Tunggal

Kuartil Bawah ( )1 1 n 14

Q x+

=

Kuartil Tengah ( )2 1 n 12

Q x+

=

Kuartil Atas ( )3 3 n 14

Q x+

=

• Desil

( )i

i n 1D datake

10+

= −

• Persentil

( )i

i n 1P datake

100+

= −

b. Data Kelompok• Kuartil

k

ii

in f

4Q Tb pf

− = +

• Desil

k

ii

in f

10D Tb pf

− = +

• Persentil

k

ii

in f

100P Tb pf

− = +

PELUANG

1. Permutasia. Rumus Permutasi k unsur dari n unsur

( )n k

n!P , k n

n k != ≤

−

Statistika dan Peluang

42

b. Rumus Permutasi a dan b unsur dari n unsur

n!P

a!b!=

c. Permutasi siklik

( )P n 1 != −

2. Kombinasi

( )

n kn k

Pn!C , k n

n k !k ! k != = ≤

−


1. Dalam sebuah kotak ada 4 bola merah dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola pertama dan satu buah bola kedua secara berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih adalah ....

A. 27

B. 37

C. 57

D. 25

E. 35

Pembahasan:A : kejadian terambilnya sebuah bola merah

pada pengambilan pertama

4

P(A)7

=

B : kejadian terambilnya sebuah bola hitam pada pengambilan kedua

( ) 3 1P B | A

6 2= =

Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua hitam adalah:

( ) ( )

( )

( )

P A B P(A)·P B | A

4 1P A B ·

7 22

P A B7

∩ =

∩ =

∩ =

Jawaban: A

2. Perhatikan tabel di bawah!

Berat Badan Frekuensi

50 – 54 4

55 – 59 6

60 – 64 8

65 – 69 10

70 – 74 8

75 – 79 4

Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....A. 69,50B. 69,78

C. 70,08D. 70,78

E. 71,08

Pembahasan:Kuartil atas = Q3Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40

Letak kuartil atas (Q3) pada data ke 3

40 304

= × =

Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas.

Berat Badan Frekuensi fkk

50 – 54 4 4

55 – 59 6 10

60 – 64 8 18

65 – 69 10 28

70 – 74 8 36

75 – 79 4 40

Letak Q3fi = 36

Tb = 70 – 0,5 = 69,5

fkk sebelumkelas Q3

panjangkelas (p = 5)

Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah:

3

3

3

3

3·40 28

4Q 69,5 536

30 28Q 69,5 5

36

2Q 69,5 5

36Q 69,5 0,28 69,78

− = + ×

− = + × = + ×

= + =

Jawaban: B

kumpulan rumus matematika - idschool...fungsi kuadrat bentuk umum: ax bx c 0 2 + += cara menggambar...

Documents