persamaan kuadrat

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Disusun Oleh:

Nama : Sulistia Ningrum

Nim : 06111408011

Prodi : Pendidikan Matematika

Kampus Palembang

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

TAHUN AJARAN 2012

1

Peta Konsep

2

A. PERSAMAAN KUADRAT

1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya dua. Bentuk umun

persamaan kuadrat dengan variabel X adalah sebagai berikut.

Dengan a,b,c bilangan real dan a ≠ 0

Bentuk umum persamaan kuadrat diatas disebut juga persamaan kuadrat bentuk real.

Dari bentuk umum diatas dapat diperoleh bentuk-bentuk yang lain,yaitu:

1. Jika a,b,dan c bilangan rasional,maka diperoleh persamaan yang

disebut persamaan kuadrat rasional.

2. Jika a = 1,maka diperoleh persamaan yang dimaksut dengan

persamaan kuadrat biasa.

3. Jika b = 0,maka diperoleh persamaan a yang disebut persamaan kuadrat

sempurna.

4. Jika c = 0,maka diperoleh persamaan yang dimaksud dengan

persamaan kuadrat tak lengkap.

2. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

Untuk menyelesaikan Persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara sebagai berikut:a. Memfaktorkan , b. Melengkapkan bentuk kuadrat.c. Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat).

a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan

1. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

3

Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, diperlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

ax2 + bx + c = ( x + m)(x + n)dengan m + n = b dan mn = c

2. Menggunakan Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, perlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

ax2 + bx + c = ( ax + m)(ax + n)

dengan m + n = b dan mn = ac

Contoh :

Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan!

a. x2 + 2x – 15 = 0 b. 4x2 + 5x – 21 = 0

Jawab :

a. x2 + 2x – 15 = 0x2 + 2x – 15 = 0 = (x + m)( x + n), dengan m + n = 2, mn = -15 Nilai m dan n yang mungkin adalah 5 dan -3, sehingga x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0 x = -5 atau x = 3Jadi, himpunan penyelesaian nya adalah {-5, 3}.

b. 4x2 + 5x – 21 = 0

(4x + m)(4x+ n) = 0, dengan m + n = 5 dan mn = (-21) = -84, maka nilai m

dan n yang mungkin adalah 12 dan -7, sehingga4x2 + 5x – 21 = 0

(4x + 12)(4x - 7) = 0

(x + 3)(4x - 7) = 0

x = -3 atau x =

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah { -3, }

4

b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat

Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk Kuadrat dilakukan dengan cara

mengubah bentuk ax2 + bx + c kebentuk (x+p)2 = q. Hal yang mendasari penggunaan cara ini adalah dengan mengubah ruas kiri persamaan ax2 + x + c, menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Contoh :Dengan cara melengkapkan kuadrat, tentukan penyelesaian dari persamaan berikut!a. x2 – 2x – 4 = 0Jawab :a. .x2 – 2x – 4 = 0Mula-mula pidahkan konstatnta (-4) ke ruas kanan, sehingga x2 – 2x – 4 = 0,

kemudian tambahkan kedua ruas dengan( )2 = 1, sehingga diperoleh:

. x2 – 2x + 1 = 4 + 1(x – 1)2 = 5

x – 1 =

x = 1 + atau x = 1 -

c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kudarat ax2 + bx + c = 0, dengan a 0.

Maka nilai x1 dan x2 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

Contoh :Dengan menggunakan rumus kuadrat tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat

berikut !a. x2 + 3x – 4 = 0Jawab :a. x2 + 3x – 4 = 0, koefisien dari x2 adalah a = 1, koefisien dari x adalah b = 3 dan

suku tetap c = -4.

= =

=

5

X1 = 1 atau x2 = = -4

jadi penyelesaian adalah 1 dan -4.

3. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar persamaan kauadrat dengan a,b,c dan a ≠ 0 adalah

. Bilangan disebut diskriminan dari persamaan

dilambangkan dengan D. Diskriminan akan memengaruhi jenis-jenis akar-

akar persamaan kuadrat.Jika D = 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real atau

akar-akar kembar. Jika D>0,maka merupakan bilangan real sehingga persamaan kuadrat

mempunyai dua akar yang berlainan. Jika D < 0 maka merupakan bilangan imajiner

(khayal) atau tidak real. Dapat dikatakan bahwa,jika D < 0,maka persamaan kuadrat tidak

mempunyai akar real atau kedua akarnya merupakan bilangan imajiner (khayal).

Dari pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan kuadrat

, dengan D = b2-4ac,berlaku sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai

berikut.

1. D > 0 Kedua akar nyata dan berbeda. Jika D merupakan suatu kuadrat

sempurna maka kedua akar adalah rasional,jika tidak maka kedua akar

tersebut adalah bilangan irasional.

2. D = 0 Kedua akar real sama ( kembar )

3. D < 0 Kedua akar tidak nyata ( khayal )

4. D 0 Kedua akarnya nyata

6

Contoh Soal :

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.

a.

b.

c.

Penyelesaian :

a.

D = b2- 4ac

= 32- 4(1)(-28)

= 9 +112

= 121

D > 0 maka akar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang berlainan

b.

D = b2- 4ac

= 122- 4(4)(9)

= 144 -144

= 0

D = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang sama atau

akar-akar kembar.

c.

D = b2- 4ac

= 42- 4(3)(6)

= 16 - 72

= -56

7

D < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang merupakan

bilangan imajiner (khayal).

4. DISKRIMINAN

Jenis – jenis akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan

berdasarkan yang sering dinotasikan dengan huruf D dan disebut diskriminan.

Perhatikan skema sifat akar berikut

Jenis – jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan ( D = )

a. Jika D ≥ 0 maka kedua akarnya nyata (real).

b. Jika D > 0 maka kedua akarnya nyata dan berbeda ( .

i. D = , maka kedua akarnya rasional (terukur).

ii. D , maka kedua akarnya irasional (tidak terukur).

k bilangan bulat.

c. Jika D = 0 maka kedua akarnya nyata dan sama/akar kembar ( , serta

rasional.d. Jika D < maka kedua akarnya tidak nyata (tidak real), tidak real sering dosebut khayal

atau imajiner.

8

Contoh 1:Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:

1. 2x2 + 4x –1 =02. 4x2 + 12x +9 =0

Jawab:

a. 2x2 + 4x –1 =0,

D= b2 – 4ac D= 42 – 4.2.(-1) = 16 +8 D= 24Jadi D>0 , tetapi Bukan Bilangan kuadrat sehinggaakar-akarnya: Real, Berbeda, bilangan Irasional

b. 4x2 +12 4x +9 =0,

D= b2 – 4ac D= 122 – 4.4.9 = 144-144 = 0

Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Real, kembar, bilangan rasional

Contoh 2:

Tentukan nilai m agar x2 + (m+3)x + 4m-3 =0 mempunyai akar kembar !

Jawab:

a= 1 , b= m+3, c= 4m-3 akar kembar , syarat D=0D= b2 – 4ac =0(m+3)2 – 4.1 (4m-3)=0m2 +6m + 9 – 16m +12 =0m2 - 10m + 21=0(m-7 )(m-3) =0(m-7 )=0 atau (m-3) =0

Jadi, akar-akarnya adalah m=7 atau m=3

5. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Kita ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0) ditentukan dengan

rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut

9

x1 = atau x2 =

Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan rumus jumlah akar-akar (x1 + x2) dan

hasil kali akar-akar (x1 . x2) persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 yang dinyatakan dalam

koefisien-koefisien a, b, dan c.

Jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) dapat ditentukan dengan

manipulasi aljabar dan perhitungan teknis sebagai berikut

1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat :

x1 + x2 =

=

=

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :

x1 . x2 =

=

=

=

=

=

Hasil perhitungan diatas menunjukan berlakunya sifat berikut

10

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0, dengan a ≠ 0, maka

jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadarat itu di tentukan dengan rumus :

x1 + x2 = dan x1 . x2 =

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk :

a. menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat,

b. menghitung koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi

sifat-sifat tertentu,

c. menyusun persamaan kuadrat.

a. Menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Sebuah bentuk aljabar yang terdiri atas dua variabel dikatakan simetri/setangkup jika

letak peubah itu ditukarkan maka nilai bentuk itu tetap.

Bentuk a + b; a2 + b2; merupakan contoh bentuk simetri, sebab

a + b = b + a; a2 + b2 = b2 + a2;

tetapi, a – b; a2 – b2; bukan bentuk simetri, sebab

a – b ≠ b – a; a2 – b2 ≠ b2 – a2;

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus

menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu. Agar lebih jelas, simaklah beberapa

contoh berikut

Contoh 1 :

Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 adalah x1 dan x2. tanpa harus menyelesaikan

persamaannya terlebih dahulu, hitunglah :

a) x1 + x2 c) x12 + x2

2

11

b) x1 . x2 d)

Jawab :

Persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 3, dan c = -1.

a) x1 + x2 = =

b) x1 . x2 =

c) x12 + x2

2 = x12 + 2x1 . x2 + x2

2 – 2x1 . x2

= (x1 + x2)2 – 2x1 . x2

=

=

= 9 + 2 = 11

d)

b. Menghitung koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memiliki ciri-ciri

tertentu

Dalam pasal ini akan dibahas cara menghitung koefisien persaman kuadrat yang akar-

akarnya memiliki ciri-ciri tertentu tetapi dikaitkan dengan jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil

kali akar-akar (x1 . x2) dari persamaan kuadrat yang diketahui. Cirri-ciri tertenu yang

dimaksud itu, misalnya :

salah satu akarnya dua kali akar yang lain

salah satu akarnya dua lebihnya adri akar yang lain

12

salah satu akarnya lawan dari akar yang lain

salah satu akarnya kebalikan dari akar yang lain, dan sebagainya.

Contoh 1 :

Salah satu akar persamaan x2 + 6x + p = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai p?

Jawab :

Kofisien-koefisien x2 + 6x + p = 0 adalah a = 1, b = 6, dan c = p.

Jika akar-akar persamaan itu x1 dan x2 maka x1 = 2x2 (perhatikan pada soal: salah satu

akarnya 2 akar yang lain).

Rumus jumlah akar-akar : Rumus hasil kali akar-akar :

x1 + x2 = x1 . x2 =

2x2 + x2 = -6 (-4)(-2) = p

3x2 = -6 p = 8

x2 = -2 jadi, nilai p = 8

Dari x1 = 2x2 diperoleh x1 = 2(-2) = -4

Contoh 2 :

Persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α2 + β2 = 45,

hitunglah nilai p.

Jawab :

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 adalah a = 1, b = -(p + 3), dan

c = 3p, sehingga

13

(α + β) =

= p + 3

(α . β) =

α 2 + β2 = (α + β)2 - 2α . β

= (p + 3)2 – 2(3p)

= p2 + 6p + 9 – 6p

= p2 + 9

Diketahui α2 + β2 = 45, maka

p2 + 9 = 45

p2 = 36

p = -6 atau p = 6

jadi nilai p = -6 atau p = 6

Jumlah dan hasil kali akar-akar dapat digunakan untuk membedakan cirri akar yang

satu dengan akar yang lain dalam sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real.

Perbedaan cirri akar yang satu dengan akar yang lain itu dapat dideskripsikan sebagai berikut.

1. akar yang satu merupakan lawan akar yang lainnya atau sering dikatakan akar-

akarnya berlawanan : x1 = -x2

x1 = -x2

x1 + x2 = 0

b = 0

14

2. akar yang satu merupakan kebalikan akar yang lainnya atau sering dikatakan akar-

akarnya berkebalikan : x1 =

x1 =

x1 . x2 = 1

a = c

3. sebuah akarnya sama dengan 0: x1 = 0

x1 . x2 = x1 + x2 =

(0)x2 = (0) + x2 =

0 = x2 =

c = 0

4. kedua akarnya mempunyai tanda yang sama atau sering dikatakan akar-akarnya

bertanda sama : x1 > 0 dan x2 > 0 atau x1 < 0 dan x2 < 0.

x1 . x2 > 0

, a dan c bertanda sama

5. kedua akarnya mempunyai tanda yang tidak sama atau sering dikatakan akar-

akarnya berlainan tanda : x1 > 0 dan x2 < 0 atau x1 < 0 dan x2 > 0

x1 . x2 < 0

, a dan c berlainan tanda

Deskripsi diatas menunjukan berlakunya sifat yang berkaitan dengan cirri-ciri akar

persamaan kuadrat sebagai berikut :

15

Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0).

1) akar-akarnya berlawanan (x1 = - x2) b = 0

2) akar-akarnya berkebalikan (x1 = ) a = c

3) sebuah akarnya sama dengan 0 (x1 = 0) c = 0 dan x2 =

4) kedua akarnya bertanda sama

5) kedua akarnya berlainan tanda

Contoh :

Persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 akar-akarnya berkebalikan. Hitunglah nilai p dan

akar-akar itu !

Jawab :

2x2 – px + (p – 3) = 0; koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -p, dan c = p – 3. supaya

akar-akarnya berkebalikan, haruslah a = c

2 = p – 3

p = 5

akar-akarnya dapat diperoleh dengan mensubtitusi nilai p = 5 ke persamaan 2x2 – px + (p –

3) = 0, sehingga :

2x2 – (5)x + (5 – 3) = 0

2x2 + 5x + 2 = 0

(2x – 1)(x -2) = 0

x = atau x = 2

jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 berkebalikan untuk nilai p = 5, dan

akar-akar itu adalah x = atau x = 2

16

6. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akanya diketahui

setelah mempelajari cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ,selanjutnya kita akan mempelajari proses kebalikannya, yaitu baaimna menyusun suatu persamaan kuadrat jika

akar-akarnya diketahui. Jika dan adlah kr-akar persaman kuadrat ,

maka untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan cara berikut.

1) Perkalian Faktor

Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat

tersebut adalah sebgai berikut.

2) Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan

Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat

tersebut adalah sebgai berikut.

Contoh :Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!

a. 2 dan b. 2 - dan 2 +

Jawab :

a. Dengan perkalian faktor diperoleh:

b. Dengan jimlah dan hasil kalikar diperoleh:

17

Diketahui 2 - dan 2 +

2 - + 2 +

= 4

(2 - )( 2 + )

= 4 – 3 = 1

Jadi persamaan kuadratnya adalah

b. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya

Jika suatu persamaan kuadrat akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Jika merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka untuk

menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlahdan hasil kaliakar-akarnyadigunakan sebagai berikut.

Contoh :

Diketahui dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dari . Tentukan

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah

a. 2 dan 2

b. Berkebalikan dengan dan

c. dan

Jawab ;

18

Dari persamaan diperoleh dan 3. Jika dan

adalah akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka

a. = 2 + 2

= 2 + = 2 (5) = 10

= (2 (2 = 4 = 4 (3) = 12

Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah

b. Akar-akar yang berkebalikan dengan dan adalah , maka

+ = =

= x = =


c.

=

= ( )

+16

= 3 – 4(5) + 16 = -1


19

B. FUNGSI KUADRAT

1. BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT

Simaklah beberapa fungsi berikut ini :

a.

b.

c.

d.

Perhatikan bahwa pangkat tertinggi dari variabel x pada tiap funsi di atas =2. Fungsi yang mempunyai ciri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam variabel x. Dengan demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi : Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Misalkan a,b,dan c bilngan real dan a 0,maka funsi yang dirumuskan oleh

Dinamakan fungsi kuadrat dalam variabel x

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y= dan grafik fungsi kuadrat

disebut senagai parabola.

2. MENGGAMBAR GRAFIK FUGSI KUADRAT

Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠

0 disebut fungsi derajad dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f: ax2

+ bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.

I. Nilai Ekstrim Fungsi

20

f(x) = ax2 + bx + c , a≠0

= a(x2 + x) + c

= a(x + )2 - , dimana D = b2 – 4ac

Jika a > 0, maka a(x + )2 ≥ 0, nilai minimum f(x) = - untuk x= -

Jika a < 0, maka a(x + )2 ≤ 0, nilai maksimum f(x)= - untuk x= -

D = b2 – 4ac disebut diskriminan

Jika titik P adalah titik puncak parabola maka P ( - , - ). sumbu simetri parabola

adalah x= - .

II. Kedudukan Grafik y= ax2+ bx + c terhadap sumbu x

Nilai- niao x yang menyebabkan nilai f(x) = ax2 + bx + c dengan nol, disebut nilai nol

fugsi f(x). Nilai nol fungsi uadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diperoleh dari penyelesaian

persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0.

Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat

21

Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa

kurva y= ax2 + bx + c dengan cara sebagai berikut:

a. Jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan.

• Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y

• Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x

• Tentukan titik puncak

b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan.

– Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y.

– Tentukan titik puncak dengan memperhatikan sumbu simetri.

– Tentukan beberapa titik lain yang mudah.

22

a > 0

D < 0

a < 0

D < 0

a > 0

D = 0

a < 0

D = 0

a < 0

D > 0

a > 0

D > 0

Contoh Soal:

Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x – x2, jika asalnya

{x│-2 ≤ x ≤ 6, x R}

Jawab:

f(x) = 5 + 4x – x2 tidak dapat difaktorkan, maka:

a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, (0, 5)

b. y = - = 9 ; x = - = 2. Jadi (2, 9)

c. Mengambil titik lain yang lebih mudah

x = 5 maka y = 0; (5, 0)

x = -1 maka y = 0; (-1, 0)

23

9

5

-1 2 5

Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain

pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f(x) yang bersesuain dengan titik

maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi.

3. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT SECARA UMUM

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum . Dari bentuk aljabar tersebut dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut.

Jika,

1. a > 0, maka parabola terbuka ke atas2. a < 0, maka parabola terbuka ke bawah3. D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X4. D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X5. D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut

a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0

c. Menentukan persamaan sumbu simetri

d. Menentukan nilai ekstrim grafik

e. Koordinat titik balik

Contoh soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0= 0

24

= 0

x = 0 atau (x + 4) = 0

x = – 4

Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0)

b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0maka,

y = 02 + 4.0

= 0

Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0)

c. Persamaan sumbu simetri

Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2

d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2y = (–2)2 + 4(–2)

= –4

e. Koordinat titik balik:(–2, –4)

4. MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT

Apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui,maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat.

Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut

1. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan B(X2,0) serta melalui sebuah titik tertentu .Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :

y=f(x)=a(x-x1)(x-x2)dengan nilai a ditentukan kemudian.

2. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :Y=f(x)= a(x-x1)2

Dengan nilai a ditentukan kemudian.3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak dan titik balik P(xp-yp) dan melaui titik

tertentu.

25

-4

-4

-2 X

Y

0

x = -2

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :y=f(x)=a(x-xp)2+yp

dengan nilai a ditentukan kemudian.4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(X1,Y1), B(X2,Y2),dan B(X3,Y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :

y=

dengan nilai a,b,dan c ditentukan kemudian.

Contoh soal :1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(1,0),B(2,0). Jika fungsi kuadrta

otu melalui titik (0,4), tentukan persamaan fungsi kuadrat itu ?Penyelesaian :Persaman fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai y= a(x-1)(x-2) nilai an di tentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu mellui titik (0,4),aretinya untuk x=0 diperoleh y= 4. 4 = a(0-1)(0-2)

Jadi,persamaan fungsi kuadratnya adalah :y =f(x)y =2(x-1)(x-2)y =2x2-6x+4

C. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Pada perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentu sering Anda

jumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Permasalahan-

permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat itu mempunyai karakteristik atau ciri

tertentu. Agar Anda memahami dan terampil merancang(menyusun) model matematika yang

berkaitan dengan persamaan kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:

Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3.

Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Langkah 1:

Misalkan bilangan itu = x

26

Di sini x dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan

kuadrat.

Langkah 2:

Berdasarkan ketentuan, pada soal diperoleh hubungan x2 – 4x = -3

bentuk x2 – 4x = -3 merupakan persamaan kuadrat sebagai model matematika

dari permasalahan di atas.

Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah x2 – 4x = -3.

Contoh 2:Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab:

•) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y,maka x + y = 20y = 20 – x

•) Anda buat model matematikanya sebagai berikut:⇔ x . y = 75⇔ x (20 – x) = 75⇔ 20x – x2 = 75⇔ -x2 + 20 – 75 = 0 (kedua ruas dikalikan (-1))⇔ x2 – 20 x + 75 = 0

•) Penyelesaiannya:⇔ (x –15) (x – 5) = 0⇔ x – 15 = 0 atau x – 5 = 0⇔ x = 0 + 15 atau x = 0 + 5⇔ x = 15 atau x = 5

•) Anda cari nilai y sebagai berikut:Untuk x = 15, maka y = 20 – 15⇔ y = 5lalu diperiksa: x + y = 15 + 5 = 20x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar)Untuk x = 5, maka y = 20 – 15⇔ y = 15lalu diperiksa: x + y = 5 + 15 = 20x . y = 5 . 15 = 75 (ternyata benar)

Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya pada

permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang dengan

pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menuju

27

jaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuran lipatan

talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya.

Matematika dalam kehidupan sehari-hari dapat dipergunaan sebagai alat untuk

menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah, misalnya fungsi kuadrat dalam

kegiatan ekonomi dapat dipakai dalam berbagai analisis berbagai permasalahan yang

berkaitan dengan permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas, harga keseimbangan, dan

sebagainya.

Dalam penelitian ini penulis bertujuan unuk mengetahui bagaimanakah fungsi kuadrat

dapat diaplikasikan dalam estimasi kegiatan ekonomi terutama berkaitan dengan masalah

permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas serta estimasi keuntungan dari produk

barang atau jasa.

Fungsi kuadrat bentuk umum y = f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c suatu konstanta dalam

penelitian ini membuktikan bahwa penerapannya dapat dipergunakan untuk melakukan

estimasi harga dan fakor-faktor produksi dalam menentukan besarnya permintaan,

penawaran, penerimaan, harga keseimbangan, titik impas dan estimasi keuntungan.

Bagaimana memecahkan masalah, misalnya pada contoh berikut ini :

Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk

kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi

panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluas-luasnya.

Penyelesaian:

Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam

m2 adalah

L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat

dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut :

L = 400x – 2x2

= – 2x2 + 400x

= - 2( x - 100 )2 + 20000

Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x

=100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000

Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m

28

Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan

dengan kata-kata yang berlainan :

a. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, dan lain sebaginya dapat

dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat.

b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat

dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat.

Contoh soal :

1. Tentukan luas terbesar dari suatu persegi panjang jika keliling persegi panjang

diketahui 60 cm

2. Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang

dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang

dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

Penyelesaian:

1. Misal : panjang = x cm

lebar = y cm

keliling = 2(x + y) cm

maka,

2(x + y) = 60

x + y = 30

y = (30 – x) cm

Misal luas persegi panjang L(x) = x . y cm

= x (30 – x)

= 30x – x2

Luas bernilai maksimum = = = 225 cm2

29

Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm2

2. h(t) = 40t – 5t2

Waktu saat mencapai tinggi maksimum

t =

=

= 4 detik

Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik

h(t) = 40(4) – 5(4)2

= 160 – 80

= 80 meter

SOAL-SOAL EVALUASI

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3+ dan 3- !

2. Tentukan nilai p agar persamaan mempunyai akar

kembar !

3. Tentukan batas-batas nilai k agar persamaan

tidak mempunyai akar real !

4. Diketahui dan merupakan akar-akar persamaan .

Tentukan nilai p dan q !

5. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan

kuadrat!

30

a. x2 – 2 = 0

b. x2 + 3x – 1 = 0

c. x2 + 2x – 3 = 0

6. Jika x = -7 adalah salah satu persamaan kuadrat px2 + (7p + 1)x + (3p + 1) =

0, tentukan :

a. Nilai p

b. Jumlah akar-akarnya.

c. Hasil kali akar-akarnya

7. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 1 = 0, tentukan nilai dari

:

a. (

b. (

8. Tentukan jenis akar masingmasing persamaan kuadrat di bawah ini tanpa

menyelesaikan persamaannya :

a.

b.

c.

9. Tentukan nilai m agar persamaan

mempunyai akar kembar.

10. Tentukan nilai m agar persamaan mempunyai akar tidak

real.

11. Salah satu akar persamaan x2 + mx + 10 = 0 adalah 3 lebihnya dari akar yang

lain. Hitunglah nilai m.

12. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 adalah α dan β. Tanpa harus

menyelesaikan persamaanya terlebih dahulu, hitunglah :

a) α + β c) (α – β)2

b) α . β d)

31

13. Jika akar-akar persamaan 2x2 – 6x – p = 0 adalah x1 dan x2 serta x1 – x2 = 5,

tentukan nilai p.

14. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 2a + 2 = 0 adalah x1 dan x2,

tentuka nilai a positif agar x1 = 3x2.

15. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah sebagai berikut!

a. 2 dan -3

b. dan

c.

d. 2 - dan 2 +

16. Jika adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 - x - 4 = 0,

tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!a. x1x2 dan x1 + x2

b. dan +

c.

d.

17. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x –2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnyaadalah sebagai berikut!

a. 3x1 dan 3x2

b. x1 – 2 dan x2 -2

c.

d.

18. Jika adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 -b x - c = 0,

tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!a. x1 + p dan x2 – pb. px1 dan px2

c.

d.

32

19. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 5x - 1 = 0

20. Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.21. Jumlah 2 bilangan sama dengan 100. Tentukan hasil kali bilangan itu yang

terbesar.

22. Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setelah t

detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t2. Tentukan berapa lama waktu yang

dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

23. Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa

tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 x 2 cm2 di masingmasing

pojoknya. Panjang kotak 4 cm lebih dari lebarnya dan volum

kotak itu 90 cm3. Tentukan panjang dan alas kotak tersebut serta jelaskan penafsiran

solusi masalahnya.

24. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah inia. y = (x – 2)2

b. y = x2 – 4x + 3c. y = 8 – 2x – x2

d. y = (1 + x) ( 3 – x )e. y = (2x – 9) (2x + 7)

25. Manakah yang benar dan manakah yang salah?a. kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis x = 3b. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis x = - 2 c. kurva y = x2 – 2x + 5 tidak memotong sumbu Xd. Titik balik minimum kurva y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2)e. Nilai maksimum kurva y = -x2 + 2x + 4 adalah 4

33

DAFTAR PUSTAKA

Cunayah, dkk. 2007. Pelajaran Matematika. Jakarta : Yrama Widya.

Marwanta, dkk.. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Yudhistira.

Sukino. 2007. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Erlangga.

Sunardi, dkk.. 2008. Matematika 1 SMA/MA. Jakarta : Bumi Aksara.

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika Untuk SMA Kelas X Semester 1. Jakarta :

Erlangga.

34

persamaan kuadrat

Documents