“Barisan dan deret”&

“persamaan kuadrat”

“Barisan dan deret”&

“persamaan kuadrat”

Khairul Umam

Puspa Ristina KusumawardaniNur Laili Mustofa

>201010060311104

<

>201010060311115

<

>201010060311122

<

Jurusan Matematika & KomputasiFKIP-UMM

2010

MateriBarisan & Deret

Pola Bilangan Barisan Bilangan

Barisan AritmetikaBarisan geometri

DeretDeret AritmatikaDeret Geometri

Penerapan Pola, Barisan, dan Deret Bilangan

Persamaan Kuadrat

PengertianPenyelesaian Persamaan Kuadrat Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat

sempurna Rumus Formula (ABC)

Pola Bilangan

Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan. Ada banyak macam pola bilangan. Seperti pola berikut:

1.      Bilangan asli = n 2.      Bilangan genap = 2 x n 3.      Bilangan ganjil = 2n-14.      Bilangan persegi = n2

5. Bilangan segitiga = n(n+1) : 26. Bilangan persegi panjang = n(n+1)7. Bilangan segitiga pascal = 2(n-1)

Barisan Bilangan

Barisan Bilangan adalah urutan bilangan. Bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Contoh:

Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu bilangan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut beda.

Maka bisa diambil kesimpulan, mencari beda pada bilangan artimatika adalah b=Un-U(n-1).

• Jika b > 0 = barisan aritmetika naik

• Jika b < 0 = barisan aritmetika turun

Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Aritmetika

A. Menentukan suku ke-n dengan polaUntuk menentukan suku tertentu dari suatu

barisan bilangan, diperlukan pola tertentu untuk mempermudahnya. Pola tersebut merupakan rumus aljabar yang menghubungkan barisan bilangan yang diketahui dengan barisan bilangan asli.

B. Menentukan suku ke-n dengan rumusMisalkan barisan aritmetika dengan suku

pertama a dan beda b. Suku ke-n (Un) barisan tersebut adalah:

U1 = a

U2 = a + b = a + (2-1) b

U3 = a + 2b = a + (3-1) b

Un = ……………………………a + (n-1) b

Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika digunakan rumus:

Un = a + (n-1)b

Dengan:Un = Suku ke-na = Suku pertamab = Bedan = banyak suku

Barisan Geometri

Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol dinamakan barisan geometri. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio).

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:a, ar , ar2

, ar3, . . .arn-1

r rr rr

Dengan:Un = Suku ke-na = Suku pertamar = Rasion = banyak suku

Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Geometri

Misalkan barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Suku ke-n (Un ) barisan tersebut adalah

• U1 = a = a x r1-1

• U2 = a x r1 = a x r2-1

• U3 = a x r2 = a x r3-1

• Un = …………………a x rn-1

Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika digunakan rumus:

Un = a x rn-1

Deret Bilangan

Deret Bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan.

A. Deret AritmetikaDeret Aritmetika adalah penjumlahan suku-

suku dari barisan aritmetika . Jadi bentuk umum deret Aritmetika adalah:

a = suku awal (U1)

b = bedan = banyak suku

+ ++ ++ +

Contoh: 2 + 6 + 10 + 14 + 18

Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika

Kita dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika dengan rumus. Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn maka:

Dengan:= Jumlah n suku pertama

n = Banyak suku b = Beda a = Suku pertama

Rumus tersebut didapat dari:

Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a

2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)+

n faktor sama

Didapat:maka

Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Karena Un = a + (n-1)b, rumus Sn dapat dituliskan sebagai berikut:

B. Deret Geometri

Jika adalah bentuk dari barisan geometri, maka penjumlahan dari bentuk barisan geometri tersebut di sebut Deret Geometri. Jadi deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku baris geometri. Bentuk umumnya adalah:

Dengan:a = Suku pertamar = Rasion = Banyak suku

Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika

Misalkan, jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan Sn maka berlaku hubungan berikut:

Untuk r>1

Untuk r<1

Dengan:Sn = jumlah n suku pertama deret geometria = Suku pertamar = Rasion = banyak suku

Penerapan Pola, Barisan, dan Deret BilanganUntuk memahami penerapan pola, barisan dan

deret Bilangan, kita dapat perhatikan contoh berikut!

Gambar tersebut adalah persegi. Dimana titik tengah persegi ABCD membentuk persegi EFGH, titik tengah persegi EFGH membentuk persegi IJKL, dan seterusnya.Jika panjang sisi AB adalah 1 satuan, maka kita dapat menentukan panjang persegi ke-n dengan menggunakan rumus aljabar suku ke-n.

A B

CD

E

F

G

H

I J

KL

Dari gambar:

Persegi terluar

Persegi ke-2

Persegi ke-3

Persegi ke-nDari panjang-panjang persegi tersebut didapat barisan bilangan berikut:

A B

CD

F

G

H

I J

KL

Sehingga didapat suatu barisan geometri, sebab:

Pengertian

• Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

• Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 .

• Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0,x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

• Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat.

• Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat :1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

Memfaktorkan

Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang

bilangan dengan bilangan nol adalah nol.

Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka

salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa

jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah

satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.

• Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.a. 4x2 − 32x = 0

b.

d. x2 + 5x + 6 = 0

• Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif.

• Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh4x = 0 atau x − 8 = 0

• Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . • Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0

adalah x = 0 atau x = 8

Penyelesaian:

Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ?

Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini.

Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1berikut ini.

a) b) c)

1

x2

x

x x1

1

• Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta.

• Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

• Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama.

x +3

x +2

• Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3).

• Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 .

• Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.

• Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .

• Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3.

• Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.

• Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

• Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q 0

• Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir.

• (x + p) = , atau x = -p q q

Rumus abc (Al-khawarizmi)

• Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

• Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi)

• ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = - c

2

22

4a

4acb

2a

bx

Rumus abc (Al-khawarizmi)

• Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0

• Maka

2a

4acbbx

2

12

Buku-buku Referensi: