modul persamaan dan fungsi kuadrat

103
PENDAHULUAN Pembelajar yang cerdas, pada kesempatan ini untuk memudahkan poses pembelajaran yang baik, dan membantu pembelajar memahami dan menguasai materi “ persamaan dan fungsi kuadrat “, saya mencoba menyusun modul “ persamaan dan fungsi kuadrat “ dengan tujuan memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang materi persamaan dan fungsi kuadrat, namun penguasaan materi yang berkaitan dengan pokok bahasan persamaan dan fungsi kuadrat sewaktu di SMP seperti relasi, fungsi, dan pemetaan kemudian penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, sketsa grafik fungsi linier maupun sketsa grafik fungsi kuadrat sangat membantu dalam mempelajari modul ini. Modul “ persamaan dan fungsi kuadrat “ ini dimulai dengan memberikan pengertian, dilanjutkan ke pemahaman, keterampilan dan nilai–nilai sikap. Pengertian bersifat mendasar mengenai pemahaman konsep, selanjutnya pemahaman merupakan pengembangan dari yang dasar menuju kepada penggunaan matematika dalam kehidupan sehari hari, keterampilan untuk memilih , membedakan atau menunjukkan menjadi sangat penting, memahami materi dengan baik, tentunya aplikasinya yang berupa masalah dalam kehidupan sehari– hari terkandung maksud tersampaikannya pesan nilai sikap dalam memberikan tanggapan atau merespon terhadap suatu gagasan serta menghargai sesama dan berperilaku santun. 1

Upload: nanda-wirawan

Post on 14-Jul-2016

274 views

Category:

Documents


35 download

DESCRIPTION

modul mtk

TRANSCRIPT

Page 1: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

PENDAHULUAN

Pembelajar yang cerdas, pada kesempatan ini untuk memudahkan poses pembelajaran

yang baik, dan membantu pembelajar memahami dan menguasai materi “ persamaan dan fungsi

kuadrat “, saya mencoba menyusun modul “ persamaan dan fungsi kuadrat “ dengan tujuan

memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang materi persamaan dan fungsi kuadrat,

namun penguasaan materi yang berkaitan dengan pokok bahasan persamaan dan fungsi kuadrat

sewaktu di SMP seperti relasi, fungsi, dan pemetaan kemudian penyelesaian persamaan kuadrat

dengan cara memfaktorkan, sketsa grafik fungsi linier maupun sketsa grafik fungsi kuadrat sangat

membantu dalam mempelajari modul ini.

Modul “ persamaan dan fungsi kuadrat “ ini dimulai dengan memberikan pengertian,

dilanjutkan ke pemahaman, keterampilan dan nilai–nilai sikap. Pengertian bersifat mendasar

mengenai pemahaman konsep, selanjutnya pemahaman merupakan pengembangan dari yang

dasar menuju kepada penggunaan matematika dalam kehidupan sehari hari, keterampilan untuk

memilih , membedakan atau menunjukkan menjadi sangat penting, memahami materi dengan baik,

tentunya aplikasinya yang berupa masalah dalam kehidupan sehari– hari terkandung maksud

tersampaikannya pesan nilai sikap dalam memberikan tanggapan atau merespon terhadap suatu

gagasan serta menghargai sesama dan berperilaku santun.

Kompetensi yang harus kalian miliki setelah mempelajari modul ini, seperti yang telah

diuraikan di atas meliputi kompetensi inti serta kompetensi dasar. Kompetensi inti mengingatkan

pada diri kalian sebagai manusia beragama haruslah mampu mengamalkan ilmu yang telah

diterima sedangkan kompetensi dasar memuat tiga aspek yaitu pengetahuan, keterampilan dan

sikap. Aspek pengetahuan memiliki makna sejauh mana kalian mampu menggunakan kepandaian

yang dimiliki, aspek keterampilan memiliki makna sejauh mana kalian mampu memanfaatkan

anggota tubuh kalian untuk menyelesaikan masalah sedangkan yang terakhir aspek sikap memiliki

makna sikap kalian dalam menyelesaikan suatu permasalahan.

Selanjutnya untuk memudahkan pemakaiannya, modul ini terbagi menjadi tiga sub pokok

bahasan yaitu kegiatan I, membahas tentang akar akar persamaan kuadrat dimulai dari pengertian

persamaan kuadrat dan jenisnya, masalah dalam matematika yang dapat diubah kedalam

persamaan kuadrat, serta masalah sehari hari yang dapat diubah kedalam persamaan kuadrat,

selanjutnya mencari akar akar persamaan kuadrat yang dapat dilakukan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus persamaan

kuadrat. Kegitan II, membahas tentang persamaan kuadrat yang akar akarnya diketahui meliputi jumlah dan hasil kali akar akar persamaan kuadrat serta menentukan persamaan kuadrat jika

akar akarnya diketahui. Kegiatan III, membahas tentang fungsi kuadrat meliputi grafik fungsi

1

Page 2: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

kuadrat, definit positip dan definit negatip, kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat

dalam menyelesaian permasalahan sehari hari.

Modul ini memberikan latihan untuk dinilai secara mandiri, setiap latihan memiliki

misteri yang harus diugkap, apabila skor kalian > 70% berarti kalian dapat melanjutkan ke bagian

berikutnya. Skor yang kalian peroleh dapat dihitung menggunakan aturan sebagai berikut :

skor akhir= jumlah skor benarjumlah skor total

x100 %

Selamat belajar dan berhasil, kesuksesan perlu diraih melaui kerja keras walaupun

dianugerai bakat luarbiasa, jangan lupa selau berdoa kepada Allah SWT yang telah

menganugerahkan semuanya itu kepada kalian.

Kompetensi yang harus dimiliki setelah mempelajari “Persamaan dan Fungsi Kuadrat“Kompetensi Inti

KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong

royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro–aktif dan menunjukkan

sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara

efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai

cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural,

dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi,

seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,

dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan

prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk

memecahkan masalah.

KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif

dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar

Aspek Sikap

2

Page 3: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa

percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan

menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan

disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli

lingkungan.

Aspek Pengetahuan3.9 Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan

kuadrat.

3.10 Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk

menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya.

3.11 Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah

kontekstual.

3.12 Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model

matematika berupa fungsi kuadrat.

Aspek Keterampilan4.9 Mengidentifikasi dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam

menyelesaikan masalah nyata dan menjelaskannya secara lisan dan tulisan.

4.10 Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi

kuadrat dan menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawabannya.

4.11 Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan

data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya.

4.12 Mengidentifikasi hubungan fungsional kuadratik dari fenomena sehari–hari dan

menafsirkan makna dari setiap variabel yang digunakan

PETA KONSEP

PERSAMAAN KUADRATax2 + bx + c = 0

3

Page 4: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

dimana a, b, c ∈ dan a 0

PERSAMAAN KUADRAT

Beberapa jenis persamaan :

Persamaan dengan variabel x bepangkat n disebut dengan persamaan dengan pangkat tinggi

(polynomial) satu variabel

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0

4

BENTUK IMPLISIT

PERSAMAAN KUADRAT BIASAax2 + bx + c = 0, a=1

PERSAMAAN KUADRAT BAKUax2 + bx + c = 0 , a 0

PERSAMAAN KUADRAT TAK LENGKAPax2 + bx = 0, c=0

PERSAMAAN KUADRAT SEMPURNAax2 + c = 0, b=0

BENTUK EKSPLISIT

PERSAMAAN KUADRAT BAKUax2 + bx = c , a 0

Page 5: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Persamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi 1 disebut persamaan linier,

Persamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi 2 disebut pesamaan kuadrat,

Persamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi 3 disebut persamaan kubik,

Persamaan Kuadrat (PK) berbentuk ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, c ∈ dan a 0. dinamakan

persamaan kuadrat dalam peubah x. Nilai a dan b disebut koeefisien dari x (x disebut

peubah/variabel) sedangkan c disebut suku tetap (konstanta).

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat baku dengan bentuk implisit:

Perhatikan beberapa contoh persamaan kuadrat berikut :

1. x2 + 3x – 10 = 0, nilai a=1, nilai b=3, dan nilai c=–10.

2. 2x2 + 6x = 0, nilai a=2, nilai b=6, dan nilai c=0.

3. 3x2 – 27 =0, nilai a=3, nilai b=0, dan nilai c=–27

4. –2x2 –5x + 12 =0, nilai a=–2, nilai b=–5, dan nilai c=12

5. (2x–1)2+5 =0, untuk menentukan nilai a,b dan c maka bentuk (2x–1)2 harus diuraikan terlebih

dahulu sebagai berikut :

2x – 1

2x

–1

4x2 –2x

–2x 1

4x2 –2x –2x + 1

Sehingga : (2x–1)2+5 =0

Diuraikan menjadi : 4x2 –2x –2x + 1 + 5 = 0

: 4x2 –4x + 6 = 0 nilai a=4, nilai b=–4, dan nilai c=6.

sedangkan apabila persamaan kuadrat (PK) berbentuk ax2 + bx = c disebut persamaan kuadrat

berbentuk eksplisit, apabila persamaan kuadrat berbentuk eksplisit , untuk menentukan nilai a,b

dan c, maka ubahlah ke bentuk baku.

Perhatikan beberapa contoh persamaan kuadrat eksplisit berikut :

1. ( x+2)2 –2x –19 = 2x2 –3x +2,

2. 3x2 +5x + 6 = 2(x–3)2 + 5,

Jawab :

1. ( x+2)2 –2x –19 = 2x2 –3x +2

Bentuk kuadrat (x + 2 )2 dapat diuraikan

sebagai berikut :

5

Page 6: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x +2

x

+2

x2 2x

2x 4

x2 + 2x + 2x + 4

sehingga : ( x+2)2 –2x –19 = 2x2 –3x +2

diuraikan menjadi : x2 + 4x +4 –2x–19 =2x2 –3x +2

: x2 + 2x –15 = 2x2 –3x +2

PK implisit : 2x2 –3x +2 –x2 – 2x +15 = 0

PK baku : x2 – 5x +17 = 0

: a=1, b=–5 dan c=17.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa bentuk kuadrat berikut ini :

Bentuk

kuadrat

Bentuk faktor Hasil kali faktor Bentuk kuadrat

baku

Nilai a, b dan c

( x + 3 )2 (x+3)(x+3) x2 +3x +3x +9 x2 +6x +9 a = 1, b = 6 dan c= 9

(–x + 2)2 (–x + 2)(–x + 2) x2 –2x –2x +4 x2 –4x +4 a = 1, b =–4 dan c= 4

(2x + 5)2 (2x + 5)(2x + 5) 4x2 +10x +10x +25 4x2 +20x +25 a = 4, b =20 dan c= 25

6

2. 3x2 +5x + 6 = 2(x–3)2 + 5

Bentuk kuadrat (x–3) dapat diuraikan sebagai berikut :

x –3

x

–3

x2 –3x

–3x 9

x2 –3x –3x + 9

3x2 +5x + 6 = 2(x–3)2 + 5

Sehingga : 3x2 +5x + 6 =2(x2 – 6x +9) +5

: 3x2 +5x + 6 =2x2 – 12x +18 +5

PK implisit : 3x2 +5x + 6 –2x2 + 12x –23=0

PK baku : x2 + 17x – 17= 0

: a=1, b=17, dan c=– 17.

Page 7: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

(3x – 2)2 (3x – 2)(3x – 2) 9x2 –6x –6x +4 9x2 –12x +4 a = 9, b =–12 dan c= 4

Berkaitan dengan nilai–nilai a, b, dan c, dikenal beberapa penamaan persamaan kuadrat, sebagai

berikut:

(i) Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2 + bx + c = 0, persamaan seperti ini disebut persamaan

kuadrat biasa.

(ii) Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax2 + bx = 0, persamaan seperti ini disebut persamaan

kuadrat tak lengkap.

(iii) Jika b = 0, maka persamaan menjadi ax2 + c = 0, persamaan seperti ini disebut persamaan

kuadrat sempurna.

(iv) Jika a,b,c ∈ maka persamaan menjadi ax2 + bx + c = 0, persamaan seperti ini disebut

persamaan kuadrat baku.

Jika kalian termotivasi untuk mampu menguasai permasalahan yang berkaitan dengan pesamaan

kuadrat silakan selesaikan terlebih dahulu pemasalahan persamaan kuadrat berikut ini dengan

jalan menjodohkan antara pertanyaan dan jawaban yang ada pada pilihan jawaban, selanjunya

pasangkan antara nomor pertanyaan dan huruf dalam kotak di depan pilihan jawaban, pada kotak

kotak yang telah disediakan dibawahnya, kalimat yang terbentuk merupakan sikap yang harus

dimiliki oleh siswa.

Untuk lebih jelas lagi dalam memahami persamaan kuadrat sebaiknya carilah jawaban dari

pertanyaan berikut ini.

Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan jalan menjodohkan dengan jawaban disampingnya.

(waktu 15 menit)

No Pertanyaan huruf Jawaban

1 Bentuk umum persamaan kuadrat I pesamaan kubik2 Persamaan kuadrat sempurna T ax2 + bx = 03 Persamaan kuadrat tak lengkap I ax2 + bx = c4 Bentuk persamaan kuadrat eksplisit N a=2, b=3, c=95 Persamaan linier D ax3+ 2x2 – 3x – 1 = 0

7

Page 8: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

6 Persamaan pangkat tiga A ax2 + bx + c = 0, a,b,c ∈ 7 Persamaan kuadrat baku F ax + b = 08 Persamaan kuadrat biasa N x2+bx+c =0,9 2x2 –3x –4 = 0 I 2x2 +3x –4 =010 a=2, b=3, dan c=–4 D a=2, b=–3 dan c=–411 a=–1, b=0 dan c=3 A ax2+bx+c =0, a,b.c , a012 (x–3)2 +3(x–1) + 4 =0 I a=1, b=–3, c=1013 (2x – 1)2+3x –5 = 4x2 –2x + 7 S –2x2 +3x +5=–(x–1)2 +x +314 (2x – 1)2+3x –5 = 3x2 –2x + 7 P Persamaan linier15 x(x+1)2 – 2(x–3)+4 = 0 L persamaan kuadrat biasa16 x(x+1)2 – 2(x–3)+4 = x3 –4x +1 K ax2 + c = 0

Pasangkan nomor soal dan huruf pada pilihan jawaban.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Mengerjakan dengan sungguh sungguh bermakna untuk memahami materi berikutnya, kalimat

yang dirangkai diatas menunjukkan sifat yang diharapkan dalam mempelajari ilmu pengetahuan

dan teknologi, untuk selanjutnya diharapkan memiliki sikap dan perilaku seperti apa yang telah

kalian tuliskan dalam jawaban

Pahami jawabanmu tersebut untuk menguasai materi selanjutnya.

Kerjakan soal soal berikut ini untuk melanjutkan ke materi berikutnya. ( waktu 25 menit )

8

2. Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat (x–2)2 +3(x–1) + 4 = 0. (skor 15)

Uraian :

Jawab : a=..., b=..., dan c=....

1. Dari beberapa persamaan berikut; (skor 15)

a. (x +1)4 + 3x2 – 2x + 4 = 0b. 2(x – 3)3 + 7 = 0c. (2x – 1)2 +x – 5 = 0d. (x + 2)2 –x2 + 5 = 0

manakah yang merupakan persamaan kuadrat ? Uraian :

Jawab :

3. Dari beberapa persamaan berikut (skor 15)

a. (x– 2)2 + 3x2 – 2x + 4 = 0b. (x + 2)2 –x2 + 5 = 3x + 9 c. 2(x – 3)2 – 11 = 3(x + 1) + 4 d. (2x – 1)2 +x – 5 = 2x2 – 3x + 4

manakah yang merupakan persamaan kuadrat tak lengkap?

Uraian :

Jawab :

4. Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat 2(x – 2)2 + 3(x – 1) + 4 = x2 – 5x + 1 (skor 15)

Uraian :

Jawab :

Page 9: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnya.

Permasalahan matematika yang cara menyelesaikannya berkaitan dengan persamaan kuadrat

sangatlah banyak seperti pada permasalahan berikut ini:

Permasalahan I :

1. Dua bilangan apabila dikalikan memiliki nilai 54, jika bilangan yang satu tiga lebihnya dari

bilangan yang lain temukan persamaan kuadrat yang mewakili perkalian kedua bilangan

tersbut ….

Untuk menyelesaikan kasus tersebut, perlu di ubah ke persamaan matematik sebagai berikut :

Misalkan bilangan yang satu adalah x, maka bilangan yang lain adalah x+3

Hasil perkaliannya adalah 54 artinya …

x(x+3) = 54

x2 +3x = 54 ( bentuk eksplisit ) ubahlah menjadi ...

x2 +3x –54 =0 (bentuk implisit) untuk mencari penyelesaiannya maka harus ditemukan nilai x yang

memenuhi persamaan kuadrat tersebut, nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat

disebut akar akar persamaan kuadrat.

9

3. Dari beberapa persamaan berikut (skor 15)

a. (x– 2)2 + 3x2 – 2x + 4 = 0b. (x + 2)2 –x2 + 5 = 3x + 9 c. 2(x – 3)2 – 11 = 3(x + 1) + 4 d. (2x – 1)2 +x – 5 = 2x2 – 3x + 4

manakah yang merupakan persamaan kuadrat tak lengkap?

Uraian :

Jawab :

4. Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat 2(x – 2)2 + 3(x – 1) + 4 = x2 – 5x + 1 (skor 15)

Uraian :

Jawab :

6. Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat 2(x – 2)2 + 3(x – 1) + 4 = (x–3)2 + 1 (skor 20)

Uraian :

Jawab :

Page 10: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Permasalaham II :

2. Ditentukan segitiga siku siku dengan sisi x–2, 2x–2, dan sisi miring 13, temukan persamaan

kuadrat yang mewakili hubugan ketiga sisi segitiga tersebut ….

Berlaku hukum pitagoras sebagai berikut :

AB2+AC2=BC2

(2x–2)2+(x–2)2 =132

4x2 – 8x +4 +x2 – 4x +4 =169

5x2 – 12x +8 =169 ( bentuk eksplisit ) ubahlah menjadi ...

5x2 –12x –161 =0 (bentuk implisit) untuk mencari kedua sisi

maka harus ditemukan nilai x yang memenuhi persamaan

kuadrat tersebut, nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat

disebut akar akar persamaan kuadrat.

Sebelum menjawab kedua permasalahan tersebut diatas perlu terlebih dahulu komitmen, untuk

benar benar mempelajari materi pesamaan kuadrat ini dengan sebaik baiknya. Jawaban dari

komitmen kalian diperoleh dengan jalan menyusun jawaban soal setelah itu pasangkan nomor soal

dengan huruf yang ada pada pilihan jawaban .

Luas suatu persegi panjang yang dibatasi oleh sumbu–sumbu koordinat dengan garis 2x+3y=12

adalah 4 satuan luas, temukan persamaan kuadrat yang mewakili luas tersebut.

Uraian : huruf Pilihan jawaban

1. Sket grafik yang ditanyakan

2. Tentukan koordinat titik sudut persegi

panjang pada garis

3. Tentukan lebar persegi panjang sebagai l

dan panjang pesegi panjang sebagai p

4. tentukan luas pesegi panjang sebagai p.l

dengan luas 4 satuan luas, kemudian ganti

nilai p dalam x dan nilai l dalam y

5. ganti nilai y dalam x

10

C

BA2x–2

13x–2

F

A

x+2y=6

P l

6

A (x,y=6−x2 )T

Lebar = lpajang = p

I

RLuas : x .

6−x2

=

E Luas : 6x – x2 = 8

K Luas : x2– 6x +8 = 0

Page 11: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

6. tentukan persamaan kuadrat eksplisit yang

terjadi

7. jadikan kedalam persamaan kuadrat implisit

Pasangkan nomor uraian dan huruf pada pilihan jawaban :

7 5 6 4 2 3 1

Bertindaklah sesuai jawaban untuk mampu memecahkan permasalahan yang kamu hadapi.

Temukan persamaan kuadrat yang diinginkan dari beberapa permasalahan di bawah ini : ( waktu 30 menit )

11

1. Disediakan dua bilangan, bilangan yang satu dua kali bilangan yang lain kurang satu, apabila kedua bilangan tersebut dikurangi 3 hasil kalinya bernilai 84, maka persaman kuadrat yang mewakili perkalian kedua biangan tersebut adalah .... (skor 25 )

Uraian :

Jawab :

3. Panjang dan lebar persegi panjang masing masing 30 cm dan 50 cm, dari setiap ujung persegi panjang diukur x cm, kemudian dihubungkan sehingga membentuk bangun yang luasnya 988 cm2 seperti pada gambar berikut. Persaman kuadrat yang mewakili luas bangun tersebut adalah ....(skor 25)

Uraian :

Jawab :

2. Keliling suatu persegi panjang adalah 30 cm, jika panjang dan lebarnya bertambah dengan 5cm maka luas persegi panjang menjadi 150 cm2, maka persamaan kuadrat yang mewakili luas persegi panjang adalah ....(skor 25 )

Uraian :

4. Terdapat dua kubus dengan selisih rusuk 2 cm dan selisih volumenya 218 cm3, tuliskan pernyataan diatas dalam bentuk persamaan kuadrat...(skor 25)

Uraian :

Luas : p . l = 4Luas : x . y = 4A

Page 12: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnya.SELAMAT KALIAN BOLEH MELANJUTKAN PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT!!

PETA KONSEP

12

2. Keliling suatu persegi panjang adalah 30 cm, jika panjang dan lebarnya bertambah dengan 5cm maka luas persegi panjang menjadi 150 cm2, maka persamaan kuadrat yang mewakili luas persegi panjang adalah ....(skor 25 )

Uraian :

4. Terdapat dua kubus dengan selisih rusuk 2 cm dan selisih volumenya 218 cm3, tuliskan pernyataan diatas dalam bentuk persamaan kuadrat...(skor 25)

Uraian :

Jenis akar akar persamaan kuadrat

D >0 ( positip )

Kedua akar real berbeda

Akar akar persamaan kuadratx1 dan x2

𝑥1=−

−b + √b2−4 ac2a

𝑥2=

−b− √b2−4 ac2a

a(x+

b2a )2 +

ca = 0

(x – x1)(x– x2) = 0

RUMUS ABC

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

MEMFAKTORKAN

MENCARI AKAR AKAR PERSAMAAN KUADRAT

ax2 + bx + c = 0

Page 13: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Telah disinggung di atas, saat mencari penyelesaian persamaan kuadrat artinya mencari nilai akar

akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan akar akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan

beberapa cara yaitu:

a. Memfaktorkan (Pemfaktoran)

b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.

c. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).

d. Menggambar grafik fungsi kuadrat.

a. Menentukan Akar–Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Sebelum dibahas cara menentukan akar akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan,

terlebih dahulu perlu diketahui berkaitan dengan hukum perkalian dengan nol sebagai berikut :

Jika a.b = 0, maka a = 0, atau b = 0

Selanjunya perhatikan cara memfaktorkan sebagai berikut :

1. x2 + 3x – 10 = 0, nilai a=1, nilai b=3, dan nilai c=–10.

nilai a.c = 1.(–10)

= –10

13

Page 14: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Nilai b = 3 ( carilah bilangan jika dikalikan bernilai –10 dan jika dijumlahkan bernilai 3,

yaitu 5 dan –2 )

Selanjutnya persamaan x2 + (3x) – 10 = 0 diuraika menjadi x2 + (5x – 2x) – 10 = 0 (dalam

kurung diuraikan)

x2 + (5x – 2x) – 10 = 0

(x2 + 5x) – (2x + 10) = 0 (sifat asosiatif)

x(x + 5) – 2(x + 5) = 0 (sifat distributif)

(x – 2) (x + 5) = 0

Menggunakan hukum perkalian dengan nol maka diperoleh :

(x – 2) = 0 atau (x + 5) = 0

x = 2 atau x = –5 merupakan akar akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 10 = 0

jadi penyelesaiannya adalah x = –5 atau x = 2.

2. –2x2 –5x + 12 =0, nilai a=–2, nilai b=–5, dan nilai c=12

nilai a.c = (–2).(12)

= –24

Nilai b = –5 ( carilah bilangan jika dikalikan bernilai –24 dan jika dijumlahkan bernilai –5,

yaitu 3 dan –8 )

Selanjutnya persamaan –2x2 +(–5x) + 12 =0 diuraikan menjadi –2x2 +(–8x + 3x) +12 = 0

(dalam kurung diuraikan)

–2x2 +(–8x + 3x) +12 = 0

(–2x2 – 8x) + (3x + 12) = 0 (sifat asosiatif)

–2x(x + 4) – 3(x + 4) = 0 (sifat distributif)

(–2x – 3) (x + 4) = 0

Menggunakan hukum perkalian dengan nol maka diperoleh :

14

Page 15: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

(–2x – 3) = 0 atau (x + 4) = 0

x = –4 atau x = –

32

merupakan akar akar persamaan kuadrat –2x2 –5x + 12 =0

jadi penyelesaiannya adalah x = –4 atau x = –

32

.

Perhatikan cara memfaktorkan persamaan kuadrat baku berikut ini :

persamaan kuadrat baku Jumlah dan hasil kali Sifat distributif Bentuk faktor

Akar akar persamaan

kuadrat

x2 (–4x )– 21=0 x2 (+3x –7x) –21 =0 x(x+3) – 7(x+3) =0 (x–7) (x+3) =0 x = – 3 atau x = 7

2x2( –5x) – 12 =0 2x2 (–8x +3x) –12 =0 2x(x–4) +3(x –4) =0 (2x+3)(x–4) =0x = –

32

atau x = 4

–3x2 (+x) + 10 =0 –3x2 (+6x –5x) +10 =0 –3x(x–2) –5(x–2) =0 (–3x–5)(x+2) =0x =–

53

atau x =–2

–2x2 (+5x) –2 =0 –2x2 (+4x + x) –2 =0 –2x(x –2) + (x–2) =0 (–2x+1)(x–2) =0x =

12

atau x = 2

3x2 (–2x) –5 =0 3x2 (+3x –5x) –5 =0 3x(x +) –5(x +1) =0 (3x – 5)(x +1 ) =0x = – 1 atau x =

53

3. 2x2 + 6x = 0, nilai a=2, nilai b=6, dan nilai c=0.

Jika persamaan kuadrat memiliki bentuk tak lengkap maka cara memfaktorkannya

sebagai berikut :

2x2 + 6x = 0

15

Page 16: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

2x(x + 3) = 0

Menggunakan hukum perkalian dengan nol maka diperoleh :

2x = 0 atau (x + 3) = 0

x = 0 atau x = –3 merupakan akar akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x = 0

jadi penyelesaiannya adalah x =–3 atau x = 0.

Perhatikan cara memfaktorkan bentuk kuadrat tak lengkap berikut ini :

persamaan kuadrat tak lengkap Bentuk faktor Akar akar persamaan kuadrat

x2 – 6x =0 x(x–6) =0 x=0 atau x=6

2x2 – 6x =0 2x(x–3) =0 x=0 atau x=3

–3x2 + 5x =0–3x(x–

53

) =0 x=0 atau x=

53

5x2 – 3x =05x(x–

35

) =0 x=0 atau x=

35

4. 3x2 – 27 =0, nilai a=3, nilai b=0, dan nilai c=–27

Jika persamaan kuadrat memiliki bentuk sempurna maka cara memfaktorkannya sebagai

berikut :

3x2 – 27 = 0

3(x2 – 9) = 0

3(x +√9)(x – √9) = 0

Menggunakan hukum perkalian dengan nol maka diperoleh :

(x + 3) = 0 atau (x – 3) = 0

x = –3 atau x = 3 merupakan akar akar persamaan kuadrat 3x2 – 27 =0

jadi penyelesaiannya adalah x = –3 atau x = 3.

Perhatikan kembali beberapa contoh cara memfaktorkan kadrat sempurna berikut ini :

Persamaan kuadrat Bentuk faktor Akar akar persamaan

16

Page 17: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

sempurna kuadrat

x2 – 6 =0 (x+√6)(x–√6)=0 x=–√6 atau x=√6

–2x2+9 =0(–x –

√ 92

)(x–√ 9

2)=0 x= –

√ 92

atau x=√ 9

2

3x2 – 5 =0(x+

√ 53

)(x –√ 5

3)=0 x= –

√ 53

atau x=√ 5

3

2(x –1)2 – 3 =0((x +1)+

√ 32

)((x +1) –√ 3

2)=0 x=–1 –

√ 32

atau x=–1 –√ 3

2

Untuk lebih jelas lagi dalam memahami menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara

memfaktorkan sebaiknya carilah jawaban dari pertanyaan berikut ini.

Tentukan akar akar dari persamaan kuadrat berikut :Waktu menyelesaikan (90 menit).

No pertanyaan huruf jawaban

1 x2 + 3x – 18 = 0 L –5 atau –12 2x2 + 12x = –10 U –6 atau 33 3x2 + 7x = 0 T –6 atau 04 (x+3)2 – 9 = 0 E −7

3atau 0

5 2x2 – 12 = 0 S –√6 atau √66 2(x–2)2 +8x – 26 = 0 K –3 atau 17 2(x+1)2 –8 = 0 U –3 atau 38 x2 – x = 20 A –4 atau 59 2x2 = 10x T 0 atau 510 (2x – 1)2 +x – 5 = 2x2 – 3x + 2 A –√3 atau √311 Dua bilangan apabila dikalikan memiliki nilai 54, jika

bilangan yang satu tiga lebihnya dari bilangan yang lain maka kedua bilangan tersebut adalah ….

A 4 dan 1 atau 2 dan 2

12 Ditentukan segitiga siku siku dengan sisi x–2, 2x–2, dan sisi miring 13, panjang kedua sisi segitiga lainnya adalah ….

N 6 dan 9

13 Luas suatu persegi panjang yang dibatasi oleh sumbu–sumbu koordinat dengan garis 2x+3y=12 adalah 4 satuan luas, tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut

T 5 dan 12

14 Disediakan dua bilangan, bilangan yang satu dua kali bilangan yang lain kurang satu, apabila kedua bilangan tersebut dikurangi 3 hasil kalinya bernilai 84, maka kedua bilangan tersebut adalah ....

N 9 dan 17

17

Page 18: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

15 Keliling suatu persegi panjang adalah 30 cm, jika panjang dan lebarnya bertambah dengan 5 cm maka luas persegi panjang menjadi 150 cm2, maka panjang dan lebar persegi panjang tersebut adalah....

N 5 dan 7

16 Panjang dan lebar persegi panjang masing masing 30 cm dan 50 cm, dari setiap ujung persegi panjang diukur x cm, kemudian dihubungkan sehingga membentuk bangun yang luasnya 988 cm2, maka nilai x yang mungkin adalah....

A 8 atau 32

17 Terdapat dua kubus dengan selisih rusuk 2 cm dan selisih volumenya 218 cm3, tentukan panjang kedua rusuk kubus.

G 5 dan 10

Pasangkan nomor soal dan huruf didepan pilihan jawaban :6 2 3 9 5 1 7 16 4 13 17 12 10 14 15 8 11

Maju terus pantang menyerah, tidak ada hal yang sulit jika berusaha.

18

Page 19: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

b. Menentukan Akar–Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Perhatikan bentuk kuadrat sempurna x2 = p dan (x+a)2 = p berikut ini:

Pada kasus pertama,

Jika p<0 akan ditemukan penyelesaiannya bukan bilangan real, jika p=0 akan ditemukan satu

penyelesaian real yaitu x=0, dan jika p>0, akan ditemukan dua penyelesaian real yang berbeda

yaitu x=√p atau x= –√p

Pada kasus kedua,

Jika p<0 akan ditemukan penyelesaiannya bukan bilangan real, jika p=0 akan ditemukan satu

penyelesaian real yaitu x=–a, dan jika p>0, akan ditemukan dua penyelesaia real yang berbeda

yaitu x=–a+√p atau x=–a –√p

Mengubah bentuk kuadrat ax2 +bx +c = 0 menjadi bentuk (x+

b2a

)2 + p =0 disebut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Perhatikan beberapa masalah berikut ini :

Persamaan

kuadrat baku

Persamaan

kuadrat biasa

Setengah

nilai b

Melengkapkan kuadrat

sempurna

persamaan kuadrat

sempurna

x2 + 4x –7 = 0 x2 + 4x –7 = 0 2(x+2)2 – (2)2 –7 = 0

(x+2)2 – 11 = 0

(x+2)2 = 11, p=11 >0

ada dua penyelesaian

real

3x2 + 6x +3 = 0 x2 + 2x + 1 = 0 1(x+1)2 – (1)2 +1 = 0

(x+1)2 = 0

(x+1)2 = 0, p= 0 ada

satu penyelesaian

real

–2x2 + 8x –10 = 0 x2 – 4x + 5 = 0 –2(x–2)2 – (2)2+5 = 0

(x–2)2 + 1 = 0

(x–2)2 = –1, p=–1 <0

tidak ada

penyelesaian real

2x2 + 5x –6 = 0x2 +

52 x –3 = 0

54

(x+

54 )2 – (

54 )2 –3 = 0

(x+

54 )2 –

7316 = 0

(x+

54 )2 =

7316 , p=

7316

>0 ada dua

penyelesaian real

Contoh 1.

19

Page 20: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Cari akar akar persamaan kuadrat x2 – 2x – 17 = 0. ( persamaan kuadrat biasa )

Nilai b= –2 setengah dari nilai b = – 1.

(x–1)2 – (–1)2 –17 = 0 (melengkapkan kuadrat sempurna)

(x–1)2 – 18 = 0 (jadikan ke bentuk kuadrat sempurna)

(x–1)2 = 18 p>0 (maka ada dua penyelesaian real)

(x–1) = √18

x12 = 1 3√2 (adalah penyelesaian akar akar persamaan kuadrat)

x1= (1+3√2) atau x2= (1–3√2) (ada dua akar real)

Contoh 2.

Cari akar akar persamaan kuadrat 3x2 –12x –7 = 0,

x2 –4x –

73

= 0 (jadikan ke bentuk kuadrat biasa)

Nilai b= –4 setengah dari nilai b = –2

(x–2)2–(–2)2 –

73

= 0 (melengkapkan kuadrat sempurna)

(x–2)2 – 4 –

73

= 0

(x–2)2 –

193

= 0 (jadikan ke bentuk kuadrat sempurna)

(x–2)2 =

193

p>0 (maka ada dua penyelesaian real)

(x–2) =

±√193

x

1 = 2 +√19

3

atau x2 = 2 – √19

3

(akar akar persamaan kuadrat)

20

Page 21: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Contoh 3.

Cari akar akar persamaan kuadrat berikut (2x-3)2 -7 = 2-4x

(2x-3)2 -7 = 10 – 4x

4x2 -12x +9 – 7 = 10 – 4x

4x2 – 16x – 8= 0 (kedua ruas dibagi dengan 4)

x2 – 4x – 2= 0

(x – 2)2 – 4 – 2=0 (jadikan ke bentuk kuadrat sempurna)

(x – 2)2 = 6

(x – 2) = 6

x1= 2 + 6 dan x2 = 2 – 6

Pasangkan persamaan kuadrat berikut dengan kuadrat sempurnanya dengan memasangkan

nomor soal dah huruf didepan jawaban pada kotak kotak yang telah disediakan.

Waktu penyelesaian ( 30 menit )

Jadikan ke dalam bentuk persamaan kuadrat sempurna:

no Pertanyaan huruf jawaban

1 x2 – 6x = 0 T (x – 4)2 =11

2 x2 – 8x + 5 = 0 M(x –

32 )2 =

294

3 x2 – 2bx + c = 0 E (x– 3)2 = 9

4 3x2 –9x +15 = 0 G (x–b)2 = (b2 – c)

5 –2x2 +10x + 3 = 0 A(x –

52 )2 =

132

6 (x–2)2 –3x +5 = 0 A(x –

72 )2 =

134

7 (2x – 1)2 –4(x + 3) = 5 N(x –

32b

)2 =

9b+16c4

8 (x – b)2 + 3c = b(x+b) +7c S (x – 2)2 =8

Pasangkan nomor soal dengan huruf di depan pilihan jawabanmu.

7 1 4 6 8 3 5 2

Jawabanmu ... memiliki makna jangan malas dan mudah menyerah untuk terus belajar.

21

Page 22: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Kerjakan soal dibawah ini (waktu 45 menit)

9

c. Menentukan Akar–Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Persamaan Kuadrat

22

3. Cari akar akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Uraian :

Jawab :

1. Cari akar akar persamaan kuadrat x2 –6x–8=0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Uraian :

Jawab :2. Cari akar akar persamaan kuadrat x2–

2px–6=0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Uraian :

Jawab :

Page 23: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Cara mencari akar akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

pada persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 akan menghasilkan rumus persamaan kuadrat sebagai

berikut :

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0Bentuk kuadrat baku

𝑎(𝑥2+ba 𝑥+___) = −𝑐 + ___

Kedua ruas dikurangi dengan c, selanjutnya pada ruas kiri nilai a

dikeluarkan, tambahkan dengan (b

2a )2

𝑎(𝑥2+ba 𝑥+(

b2a )2)=−𝑐+𝑎(

b2a )2

Sehingga ruas kanan harus ditambahkan

dengan nilai yang sama yaitu a.(b

2a )2

(𝑥2+ba 𝑥+(

b2a )2)=−

ca +(

b2

4 a2 )Ruas kiri maupun ruas kanan dibagi dengan a

(𝑥+b

2a )2 =− 4 ac4 a2 +(

b2

4 a2 )

= (b2−4 ac

4a2 )

Selanjutnya ruas kiri dijadikan kuadrat

sempurna (𝑥+b

2a )2, dan ruas kanan disamakan penyebutnya

(𝑥+b

2a )= √ b2−4 ac4a2

Karena ruas kiri berbentuk kuadrat, dan ruas kanan konstan maka nilai ruas kiri yaitu dari akar konstan diruas kanan

𝑥1=−b

2a +√ b2−4 ac4a2 dan 𝑥2=−

b2a −

√ b2−4 ac4a2

𝑥1= −b + √b2−4 ac

2a dan 𝑥2= −b− √b2−4 ac

2a

Pindahkan nilai b

2a dari ruas kiri ke ruas kanan, dan penyebut diruas kanan yaitu

√ b2−4 ac4a2 juga 2a, karena penyebutnya

sama maka penyebutnya dijadikan satu sehingga ditemukan nilai akar akar persamaan kuadratnya yaitu x1 dan x2.

Rumus persamaan kuadrat tersebut, disebut dengan rumus ABC.

Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0 , dengan menggunakan rumus ABC

diperoleh:

x1 =

−b +√b2−4ac2a

dan x2=

−b −√b2−4 ac2a

23

Page 24: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Contoh 1.

Cari akar akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 11 = 0 dengan menggunakan rumus ABC.

Jawab :

x2 + 3x – 11 = 0, a= 1, b= 3 dan c= –11

akar akarnya x1 dan x2 dengan :

x1 =−b+√b2−4 ac

2a

x1 =−3+√32−41(−11)21

x1 =−3+√53

2

Sedangkan :

x2 =−b−√b2−4ac

2a

x2 =−3−√53

2

Contoh 2 :

Tentukan akar akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 5 = 0 menggunakan rumus ABC.

Jawab :

2x2 – 3x – 5 = 0

a = 2, b = –2 dan c = –5

x12 =

−b±√b2−4 ac2a

=

2±√(−2)2−4 .2 .(−5)2 . 2

24

Page 25: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

=2±√4+40

4

=

2±√444

=2±2√11

4

x1 =12

(1+√11) atau x2 =

12

(1−√11)

Selesaikan soal soal di bawah ini : (waktu 30 menit)

25

Nilai 151. Cari penyelesaian dari persamaan

kuadrat 2x2 + 3ax = –a2 dengan cara faktorisasi.

Uraian :

Jawab :

Nilai 152. Cari penyelesaian dari persamaan

kuadrat 3x2 – 18 = 6x dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Uraian :

Jawab :

Nilai 153. Cari akar akar persamaan kuadrat 4x2 =

5(3x+5) dengan cara menggunakan rumus kuadrat.

Uraian :

Jawab :

Nilai 204. Cari penyelesaian dari persamaan kuadrat

(2x – 1)2 + 2x – 9 = 2x2 – 3x + 4 dengan cara faktorisasi.

Uraian :

Jawab :

Nilai 155. Cari penyelesaian dari persamaan kuadrat x2

– ax + b =0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Uraian :

Jawab :

Nilai 206. Ditentukan persamaan kuadrat 2(x – 2)2 +

3(x – 1) + 4 = x2–5x+1 carilah akar akarnya dengan cara menggunakan rumus kuadrat.

Uraian :

Jawab :

Page 26: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnya.SELAMAT KALIAN BOLEH MELANJUTKAN PADA PERMASALAHAN BERIKUTNYA!!d. Jenis akar akar persamaan kuadrat

Perhatikan kembali rumus ABC berikut ini :

x1 =

−b +√b2−4ac2a dan x2=

−b −√b2−4 ac2a

terdapat nilai √b2−4ac

, nilai dibawah akar yaitu b2 – 4ac disebut dengan pembeda dan

dilambangkan dengan lambang “D” diambil dari huruf depan kata “Diskriminan” berarti “yang

membedakan” oleh karena itu nilai D= b2 – 4ac tersebut memiliki pengaruh membedakan

akar akar persamaan kuadrat, jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis–jenis

akar persamaan kuadrat, maka jika :

a. D > 0 ; jenis akarnya : real / nyata dan berlainan

1). Jika D kuadrat sempurna, akarnya real, berlainan dan rasional

Catatan : Kuadrat sempuna seperti 1,4,9,16,25 dsb

2). Jika D bukan kuadrat sempurna, akarnya real, berlainan dan irasional

b. D = 0 ; jenis akarnya : real dan kembar

c. D < 0 ; jenis akarnya imaginer / khayal

Pemakaian diskriminan dapat digambarkan lebih jelas disaat menyelesaikan persamaan

kuadrat dengan menggunakan grafik, seperti pada contoh berikut ini :

Contoh 1.

Selesaikan persamaan kuadrat 2x2 + 3x –5 = 0, dengan cara sketsa grafik dan menyelidiki

nilai diskriminannya

26

Page 27: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika persamaan kuadrat 2x2 + 3x –5 = 0 dituliskan dalam bentuk y= 2x2 + 3x –5 , maka akan

memiliki nilai yang sama untuk y=0. Bentuk y= 2x2 + 3x –5 apabila kita pilih sembarang nilai

x, akan diperoleh nilai y sebagai berikut

x –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5y= 2x2 + 3x –5 4 0 –3 –5 –6 –6 –5 –3 0 4

Dari tabel terlihat untuk nilai x=–2.5 maka nilai y= 0 dan untuk nilai x = 1 maka nilai y = 0

Dan digambarkan grafiknya seperti pada gambar berikut :

Pada gambar disamping terlihat grafik

memotong sumbu x didua titik artinya nilai

y= 0 saat grafik memotong sumbu x. Nilai y=

0 diperoleh saat nilai x= –2.5 atau saat nilai

x= 1.

Namun apabila diselidiki menggunakan “Diskriminan” dan diselesaikan menggunakan rumus

ABC akan diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut :

2x2 + 3x –5 = 0; nilai a= 2, b=3 dan c=–5

Diskriminan: D= b2–4ac

D= 32–4.2.(–5)

D= 9 + 40

D= 49 >0. (nilai 49 merupakan kuadrat sempurna berarti kedua akar persamaan kuadrat

berbeda, real, dan rasional)

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut :

x12 =

−b ±√b2−4 ac2a

x12 =

−3±√492.2

x1 =

−3 −74

atau x2 =

−3 +74

27

y= 2x2 + 3x –5 y

x

Page 28: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x1 = –2.5 atau x2 = 1 merupakan akar akar persamaan kuadrat (kedua akarnya berbeda, real,

dan rasional)

Contoh 2.

Selesaikan persamaan kuadrat 3x2 + 5x –1 = 0, dengan cara sketsa grafik dan menyelidiki

nilai diskriminannya

Jika persamaan kuadrat 3x2 + 5x –1 = 0 dituliskan dalam bentuk y= 3x2 + 5x –1, maka akan

memiliki nilai yang sama untuk y=0. Bentuk y= 3x2 + 5x –1 apabila kita pilih sembarang nilai x,

akan diperoleh nilai y sebagai berikut:

x –2 –1.9 –1.87 –1.85 –1.847 –1 0 0.18 0.2 0.5 1

y = 3x2 + 5x –11 0.33 0.1407 0.0175 –0.00077 –3 –1

–0.0028 0.12 2.25 7

Dari tabel terlihat untuk x=–1.847 nilai y=– 0.00077 dan untuk x = 0.180 nilai y = –0.0028 y

mendekati 0 untuk ketepatan dua angka dibelakang koma.

Dan digambarkan grafiknya seperti pada gambar berikut :

pada gambar disamping, terlihat grafik memotong

sumbu x di dua titik, artinya nilai y=0 saat grafik

memotong sumbu x. Nilai y=0 didekati oleh nilai

x=–1.847 yaitu y=–0.00077 atau oleh nilai x

=0.180 yaitu y=–0.0028 (pendekatan sampai

dengan tiga angka dibelakang koma).

Namun apabila diselesaikan menggunakan rumus

ABC akan diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut

:

3x2 + 5x –1 = 0 ; nilai a= 3, b=5 dan c=–1

D=b2–4ac

D=52–4.3.(–1)

D= 25 + 12

D= 37 >0 (nilai 37 bukan kuadrat sempurna berarti jenis akar persamaan kuadratnya real,

berlainan, dan irasional).

x12 =

−b ±√b2−4 ac2a

x12 =

−5 ±√372 .3

28

y

x

y= 3x2 + 5x –1

Page 29: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x1 =

−5 +√376 atau x2 =

−5 −√376

(memiliki dua akar real, berlainan, dan irasional)

dengan pendekatan tiga angka dibelakang koma diperoleh nilai x1 =–1.847 atau nilai x2 =

0.180

Contoh 3.

Selesaikan persamaan kuadrat x2 – 4x + 4 = 0, dengan cara sketsa grafik dan menyelidiki nilai

diskriminannya (masih pada masalah yang sama dengan contoh 2 )

Jika persamaan kuadrat x2 – 4x + 4 = 0 dituliskan dalam bentuk y = x2 – 4x + 4, maka akan

memiliki nilai yang sama untuk y=0. Bentuk y= x2 – 4x + 4 apabila kita pilih sembarang nilai

x, akan diperoleh nilai y sebagai berikut :

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y= x2 – 4x + 4 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4

Dari tabel terlihat untuk nilai x=2 diperoleh y=0 hanya ada satu nilai x yang memenuhi.

Dan digambarkan grafiknya seperti gambar berikut :

Pada gambar disamping terlihat grafik y= x2 –

4x + 4 memotong sumbu x hanya di satu titik,

yaitu nilai y=0 terjadi saat nilai x=2.

Namun apabila diselesaikan menggunakan

rumus ABC akan diperoleh nilai x1 dan x2

sebagai berikut :

x2 – 4x + 4 = 0 , nilai a=1, b= –4 dan c = 4

D=b2–4ac

D=(–4)2–4.1.4

D= 16 – 16

D= 0 (jenis akar persamaan kuadratnya real

dan kembar)

x1= x2=

−b2a

29

y

x

y= x2 – 4x + 4

Page 30: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x1= x2=

−(−4 )2. 1

x1= x2= 2 (akar persamaan kuadratnya real

dan kembar yaitu 2)

Contoh 4.

Selesaikan persamaan kuadrat x2 – 4x + 6 = 0, dengan cara sketsa grafik dan menyelidiki nilai

diskriminannya (masih pada masalah yang sama dengan contoh 3)

Jika persamaan kuadrat x2 – 4x + 6 = 0 dituliskan dalam bentuk y =x2 – 4x + 6, maka akan

memiliki nilai yang sama untuk y=0. Bentuk y = x2 – 4x + 6 apabila kita pilih sembarang nilai x,

akan diperoleh nilai y sebagai berikut :

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y= x2 – 4x + 4 6 4.25 3 2.25 2 2.25 3 4.25 6

Dari tabel terlihat tidak ada nilai x yang menyebabkan nilai y=0, karena nilai y terkecil adalah 2.

Dan digambarkan grafiknya sebagai berikut :

pada gambar disamping terlihat grafik y = x2 –

4x + 6 berada diatas sumbu x, artinya tidak

mungkin ada nilai y=0 untuk semua harga x,

sehingga persamaan x2 – 4x + 6 = 0 untuk x

tidak ada nilai x real yang memenuhi.

Namun apabila diselesaikan menggunakan

rumus ABC akan diperoleh nilai x1 dan x2

sebagai berikut :

x2 – 4x + 6 = 0 , nilai a=1, b= –4 dan c = 6

D=b2–4ac

D=(–4)2–4.1.6

D= 16 – 24

30

y =x2 – 4x + 6

y

x

Page 31: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

D= –8 <0 karena D<0 maka tidak ada akar real

yang memenuhi, akar akarnya

imaginer.

Dari keempat contoh diatas semakin jelas manfaat dari diskriminan “D”, yaitu untuk menentukan

jenis jenis akar persamaan kuadrat. Perhatikan kembali tampilan dari grafik berikut ini :

Pada persamaan kuadrat ax2 +bx +c =0, jika

dituliskan dalam bentuk y = ax2 +bx +c akan

memiliki bentuk yang sama jika nilai y=0.

bentuk y = ax2 +bx +c dapat ditampilkan dalam

bentuk gafik seperti pada gambar disamping.

Jika dilihat dari nilai diskriminannya D=b2–4ac

Untuk nilai D>0 terdapat dua nilai x real yang

memenuhi agar nilai y=0,

Untuk nilai D=0 terdapat satu nilai x real yang memenuhi agar nilai y=0, dan untuk nilai D<0 tidak

ada nilai x real yang memenuhi agar nilai y=0,

Contoh 5.

a. Selidiki jenis jenis akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 7 = 0 dengan menunjukkan sket

grafiknya jika dituliskan dalam bentuk y= 2x2 + 3x – 7 untuk y=0 dan tanpa harus

menyelesaikan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

Tabel untuk nilai x yang dipilih dan nilai y

x –3 –2 –1 0 1 2

y= 2x2 + 3x – 7 2 –5 –8 –7 –2 7

untuk x= –3 nilai y=2 (bernilai positip) dan untuk x= –2 nilai

y=–5 (bernilai negatip) berarti diantara nilai x= –3 dan x= –2

terdapat nilai y=0 (dari positip menuju negatip) demikian pula

untuk nilai x= 1 nilai y= –2 (bernilai negatip) dan untuk nilai x=2

nilai y=7 (bernilai positip) berarti diantara nilai x= 1 dan

x= 2 terdapat nilai y= 0 (dari negatip menuju positip)

31

x

y

Page 32: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

artinya ada dua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 7 = 0, yaitu diantara nilai

x= –3 dan x= –2 atau diantara nilai x= 1 dan x= 2.

Tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadrat, hanya perlu menyelidikinya melalui nilai

diskriminannya saja dapat dilakukan sebagai berikut :

D=b2 – 4ac

D=32 – 4 2 (–7)

D=9 + 56

D=65 > 0 ( 65 bukan kuadrat sempurna maka kedua akarnya berbeda, real, dan irasional)

Contoh 6.

Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat 3x2 – (2m + 1)x – 4m = 2 akar akarnya sama.

Penyelesaian :

Kedua akarnya sama jika D=0;

D=0 maka b2 – 4ac =0,

(–(2m+1))2 – 4.3.– (4m +2) =0

(2m+1)2 –12.(2(2m +1)) =0

(2m+1).(2m+1) –24(2m +1) =0

((2m+1)–24)(2m+1) =0

(2m –23)(2m+1) =0

m=

232

atau m=

−12

Jadi jika nilai m=

232

atau m=

−12

akar akar persamaan kuadrat 3x2 – (2m + 1)x – 4m = 2

keduanya sama

Contoh 7.

Tentukan batas batas nilai m agar persamaan kuadrat x2 –4(m+1)x + 5 = 0, kedua akarnya

berbeda dan real.

32

Page 33: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Penyelesaian :

Kedua akar berbeda dan real jika D>0;

D>0 maka b2 – 4ac >0

(–4(m+1))2 – 4.1.5 > 0

16(m+1)2 – 20 > 0

16(m+1)2 > 20

(m+1)2 >

2016

(m+1) >±√20

16

(m+1) <−√20

16 atau (m+1) >√20

16

(m+1) <−1

2 √5 atau (m+1) >

12 √5

m < −(1+ 1

2 √5 ) atau m >

−1+ 12 √5

jadi jika nilai m < −(1+ 1

2 √5 ) atau nilai m >

−1+ 12 √5

kedua akarnya berbeda dan real

Contoh 8.

Tentukan batas batas nilai m agar persamaan kuadrat x2 – (2m+1)x + (m2 + 5) = 0, akarnya

imaginer(khayal).

Penyelesaian:

akar imaginer jika D <0;

D<0 maka b2 – 4.a.c <0,

(– (2m+1))2 – 4.1.(m2+5) <0

4m2 +4m+1 – 4m2 –20 <0

4m–19 <0

4m <19

33

Page 34: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

m <

194

Jadi jika nilai m <

194 persamaan kuadrat x2 – (2m+1)x + (m2 + 5) = 0 akarnya imaginer (khayal)

Selesaikan soal soal dibawah ini : (waktu 20 menit)

1. Selidiki jenis akar persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0, dengan cara sketsa grafik.

( Skor 30 )

Penyelesaian :

Persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0, jika dituliskan dalam bentuk y= x2 + 5x – 2, memiliki nilai yang

sama jika nilai y= ....

Apabila dipilih sembarang nilai x akan diperoleh nilai y seperti pada tabel berikut :

x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

y= x2 + 5x – 2 .... .... .... –8 .... .... .... 4

Sketsa grafik. Penjelasan : ....

2. Selidiki jenis akar persamaan kuadrat –2x2 – 5x + 3 = 0, dengan menggunakan Diskriminan (skor 15)

3. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat m(x+1)2 –3(x–m)+3=0 m 0, kedua akarnya real. (skor 25)

4. Tentukan nilai a agar persamaan kuadrat x2 –ax –(a+1) = 0 akar akarnya x1>1 dan x2<1.(skor 30)

34

Page 35: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnya.

PETA KONSEP

35

Mencari nilai tertentu jika x1, x2, dan dapat dicari

PERSAMAAN KUADRATpx2 + qx + r = 0

akar akarnya dan

Operasi pada akar akar persamaan kuadrat

Hasil kali akar akar persamaan kuadrat

x1 . x2 =

ca

Jumlah akar akar persamaan kuadrat

x1+ x2 =

−ba

menyusun persamaan kuadrat baru dengan akar akar dan dimana dalam x1 dan dalam x2

PERSAMAAN KUADRATax2 + bx + c = 0

akar akarnya x1 dan x2

Page 36: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

e. Rumus jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar–akar (penyelesaian) x1 dan x2. Jumlah dan hasil

kali akar–akar persamaan kuadrat dapat dirumuskan sebagai berikut :

x1 + x2 = –

ba Jumlah akar–akar

x1 . x2 =

ca

hasil kali akar–akar

Ingat kembali akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, dengan a0, dengan menggunakan rumus ABC.

Mencari nilai x1 + x2 :

x1 =

−b2a

+ √b2−4 ac2a

x2 =

−b2a

−√b2−4 ac2a

Diperoleh x1 + x2 =

−2b2a

=

−ba

Mencari nilai x1. x2 :

(x1.x2) = (

−b2a

+ √b2−4 ac2a )(

−b2a

−√b2−4 ac2a )

Ingat kembali pada perkalian sekawan ( a – b )(a + b ) = a2 – b2

Diperoleh (x1.x2) =

(−b2a

)2−( √b2−4 ac2a

)2

= ( b

2

4a2 )−( b2−4 ac4a2 )

36

Page 37: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

= ( b

2

4a2 )−( b2

4a2 )+(4 ac4 a2 )

=

ca

Contoh 1.

Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat 3x2 – 5x +9=0, cari nilai dari

a. x1 + x2

b. x1.x2

c. x12 + x2

2

Penyelesaian :

a. x1 + x2 = –

ba

x1 + x2 = –

(−5)3

x1 + x2 =

53

b. x1 . x2 =

ca

x1 . x2 =

93

x1 . x2 = 3

c. x12 + x2

2 = .... ( dicari dahulu bentuk simetrinya)

(x1 + x2)2 = x12 +2x1x2 +x2

2 maka

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 (bentuk simetri dari x12 + x2

2)

x12 + x2

2 = (

53

)2 – 2.3

37

Page 38: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x12 + x2

2 =

259

– 6

x12 + x2

2 =

259

549

x12 + x2

2 = –

299

Jika x1 dan x2 akar akar persamaa kuadrat ax2 +bx + c = 0, pasangkan operasi akar akar

pesamaan kuadrat dengan nilai yang sesuai.

Waktu penyelesaian (30 menit)

No Operasi akar akar persamaan kuadrat huruf Nilai yang sesuai / Bentuk simetri

1 x12

+ x2

2J x1x2( x1 + x2 )

2 x12

x2 + x1

x22

E√Da

3 (x1 – x2)2 J−b√Da2

4 x1 – x2 A ( x1 + x2 )3 – 3x1.x2( x1 + x2 )

51x1

+

1x2

N( x1+x2)

2−2 x1 x2

x1 .x2

6x1

x2+

x2

x1U

√Dc

7x1

x2–

x2

x1B ( x1 + x2 )2 – 2x1.x2

38

Page 39: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

81x2

1x1

Uc√Da2

9 x12

– x2

2R

−b√Dac

10 x12

x2 – x1

x22

I ( x1 + x2 )2 – 4x1.x2

11 x13

+ x2

3R

x1+ x2

x1 . x2

Pasangkan nomor soal dengan huruf di depan pilihan jawabanmu

1 4 7 11 6 3 2 8 9 10 5

Jawabanmu ... memiliki makna betanggung jawab atas apa yang dilakukan

Contoh 2.

Ditentukan persmaan kuadrat x2 –6x + 3 = 0, akar akarnya x1 dan x2, carilah nilai dari...

a. x12

x2 + x1x2

2

b. (x1 + 3)(x2 + 3)

c.

x1

x2 –

x2

x1

Penyelesaian :

x1 + x2 = 6

x1.x2 = 3

a. nilai dari x12

x2 + x1x2

2 = x1x2( x1 + x2 )

= 3.(6)

= 18

39

Page 40: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

b. nilai dari (x1 + 3)(x2 + 3) = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 3 + 3(6) + 9

= 30

c. nilai dari

x1

x2 –

x2

x1 =

x12−x22

x1 . x 2

=

( x1+x2 )(x1−x2 )x1 .x 2

=

(−ba) √Da

ca

=

−b√Dac

=

−(−6 )√(−6 )2−4 .1.31.3

=

6√243

= 2 24

= 4 √6

Contoh 3.

1. Ditentukan persamaan kuadrat 2x2 – (1+a)x + 1 = 0, Tentuan nilai a jika x12

– x22

= 22

Penyelesaian :

x12

– x22

= 22

(x1+x2)(x1–x2)= 22

−ba

√Da

=2 √2

(−(−(1+a ))

2 )( √(1+a )2−4 . 2. 12 )=2 √2

40

Di cek.Untuk a= –5 maka persamaan kuadratnya

2x2 +4x +1 = 0,

x12 – x2

2 =

−ba

√b2−4aca

x12 – x2

2 =

−( 4 )2

√( 4 )2−4 . 2.12

x12 – x2

2 = –2

√16−82

x12 – x2

2 = –√8

x12 – x2

2 = – 2√2

yang diminta adalah :

x12 – x2

2 = 2√2

jadi untuk a= –5 tidak memenuhi

Page 41: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

(1+a )√(1+a)2−84 =2 √2

(1+a )√(1+a)2−8 =8 √2

(1+a )2((1+a)2−8 )=128

Misalkan p= (1+a)2

p( p−8) =128

P2 –8p –128 =0

(p–16)(p+8) =0

p= 16 atau p= –8

Karena p=(1+a)2 maka untuk p = –8 tidak ada akar real yang memenuhi,

Untuk p=16 maka

(1+a)2 = 16

(1+a) = 4

a = –1 4

a = –5 atau a= 3

Selesaikan soal soal dibawah ini ( waktu 30 menit )

nilai ( 5 )1. Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat x2 + px + (p + 3) = 0 dan x1 + x2 = –5,

tentukan nilai p

nilai ( 10 )2. Salah satu akar persamaan kuadrat x2 – px + 20 = 0 adalah lima kali akar yang lain. Hitunglah

nilai p

nilai ( 15 )

41

Di cek.Untuk a= –5 maka persamaan kuadratnya

2x2 +4x +1 = 0,

x12 – x2

2 =

−ba

√b2−4aca

x12 – x2

2 =

−( 4 )2

√( 4 )2−4 . 2.12

x12 – x2

2 = –2

√16−82

x12 – x2

2 = –√8

x12 – x2

2 = – 2√2

yang diminta adalah :

x12 – x2

2 = 2√2

jadi untuk a= –5 tidak memenuhi

Page 42: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

3. Akar–akar persamaan kuadrat x2 + 3x = m adalah a dan , jika diketahui a + 3 = 5. hitunglah nilai m..

nilai ( 20 )4. Akar–akar persamaan x2–(p + 2)x + 2p =0 adalah x1 dan x2. Jika x1

2 + x22 = 20. Tentukan nilai p.

nilai ( 25 )5. Jika akar akar persamaan kuadrat ax2+5x–12=0 adalah 2 dan b, tentukan nilai dari 4a2–4ab +b2

nilai (25)6. Misalkan selisih kuadrat akar akar pesamaan x2 –(2m+4)x +8m=0 adalah 20 tentukan nilai

dari m2 –4 =....

BERANI JUJUR.Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnyaf. Menyusun Persamaan Kudrat

Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya dapat ditentukan

dengan cara :

Cara faktor : Cara rumus jumlah dan hasil kali:

(x – x1)(x – x2) = 0 atau x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0

Contoh 1.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar–akarnya :

a. –2 dan 3. 2 + √5

dan 2 – √5

42

Page 43: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Penyelesaian :

Cara faktor :

a. x1 = –2 dan x2 = 3

(x – x1)(x – x2) = 0

(x + 2)(x – 3) = 0

x2 – 3x + 2x – 6 = 0

Persamaan kuadrat :

x2 –x – 6 = 0

Cara rumus jumlah dan hasil kali :

x1 + x2 = –2 + 3

= 1

x1 . x2 = (–2).3

= –6

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

Persamaan kuadratnya :

x2 –x – 6 = 0

b. x1 = 2 +√5

; x2 = 2 –√5

Cara rumus jumlah dan hasil kali :

x1 + x2 = (2 + √5

) + ( 2 – √5

)

= 4

x1 . x2 = (2 + √5 ) ( 2 – √5 )

= -1

Persamaan kuadratnya

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – 4x – 1 = 0

Contoh 2.

43

Page 44: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Susunlah persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3 lebihnya dari akar–akar persamaan kuadrat

x2 – 3x – 10 = 0

Penyelesaian :

x2 – 3x – 10 = 0 akarnya x1 dan x2

a dan akar–akar persamaan kuadrat baru

a = x1 + 3 dan = x2 + 3

x1 + x2 = 3

x1.x2 = –10

a + = ( x1 + 3 ) + ( x2 + 3 )

= x1 + x2 + 6

= 3 + 6

= 9

a . = ( x1 + 3 )( x2 + 3 )

= x1x2 + 3(x1 + x2) + 9

= –10 + 3.3 + 9

= 8

Persamaan kuadratnya :

x2 – (a + )x + a. = 0

x2 – 9x + 8 = 0

Selesaikan soal soal ibawah ini : (waktu 30 menit) nilai (20)

1. Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat 3x2 – (a –1)x – 1 = 0, susunlah persamaan

kuadrat yang akar akarnya

1x1 dan

1x2

nilai (20)2. Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat x2 –2x – 1 =0, susunlah persamaan kuadrat

yang akar akarnya x12 + x2 dan x1 +x2

2.

44

Page 45: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x2 –8x +14 =0nilai (20)

3. Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat ax2 – (a – 2)x + 1 = 0, dan x12 +x2

2 =11

susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya

1x1+x2

dan

1x2+x1

nilai (20)4. Jika akar akar persmaan kuadrat x2 + 5x +a = 0 adalah dua kali akar akar persamaan kuadrat

2x2 +bx – 3 = 0 carilah nilai a + b.

nilai (20)5. Misalkan selisih akar akar persamaan kuadrat x2+2x – a = 0 dan selisih akar akar

persamaan kuadrat x2–8x +(a–1)=0 bernilai sama, hitunglah perkalian semua akar persamaan kuadrat di atas.

BERANI JUJUR.Jika skor (nilai) kalian sudah >70 maka lanjutkan pada materi berikutnya

PETA KONSEP

45DOMAIN, KODOMAIN DAN

RANGE

RELASI DAN FUNGSI

FUNGSI KUADRAT BENTUK FAKTORf(x) = a(x–x1)(x–x2)

FUNGSI KUADRAT BAKU

f(x) = ax2 + bx + c

FUNGSI KUADRATf(x) = ax2 + bx + c a,b,c , a 0

x1+ x2=2x1 x2=−1x

12 + x2+x1+x22=( x1+x2)2 -2 x1 x2+x2+x1

=(2 )2−2(−1 )+2=8

( x12 + x2 ) (x1+x22)=x13+x12 x22+x1 x2+x23

=( x1+ x2 )3−3 x1 x2 ( x1+x2)+( x1 x2 )

2+x2 x1

=(2)3−3(−1)(2 )+(−1))2−1=14

Page 46: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

FUNGSI KUADRAT

Masalah yang sangat esensial dan penting dalam mempelajari matematika adalah memahami

konsep tentang fungsi, sedangkan untuk dapat mempelajari fungsi dengan baik maka konsep

dasar yang harus dikuasai adalah konsep tentang relasi. Oleh karena itu sebelum mempelajari

fungsi kuadrat diharapkan telah memahami konsep relasi dan fungsi, sehingga dapat digunakan

untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dengan baik.

RELASI DAN FUNGSI:A. RELASI

Adanya dua himpunan tidak kosong dengan aturan pengawanan antara elemen kedua

himpunan tersebut.

Sebagai contoh:

46

Page 47: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

A = {2, 3, 4, 5, 6}

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9}

Aturan pengawanannya yaitu “a faktor dari b” dengan aA dan bB

Pengawanan antara elemen himpunan dapat bernilai benar atau salah, apabila bernilai

benar dituliskan degan R(a,b) tetapi apabila salah dituliskan dengan R(a,b)

Relasi bernilai benar:

2R2, 2R4, 2R6, 2R8, 3R3, 3R6, 3R9, 4R4, 4R8, 5R5, dan 6R6

Relasi bernilai salah:

2R1, 2R3, 2R5,...

Cara menyajikan relasi dapat dilakukan dengan :

1. Diagram panah.

3. Diagram cartesius

2. Pasangan terurut

R={ (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4,8), (5,5), dan (6,6)

Suatu relasi memiliki cakupan :

(i). Himpunan A disebut daerah asal (domain)

(ii). Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)

(iii). Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut

daerah hasil (range).

B. FUNGSI :

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B, dengan

aturan memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada

himpunan B.

Perhatikan contoh diagram panah di bawah ini.

47

fa

b

c

d

abcdef

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

Page 48: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

f menujukkan suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B, dituliskan dengan

lambang f: A B

- f memetakan a A ke a B, dan dituliskan dengan lambang f(a) = a

- f memetakan b A ke d B, dan dituliskan dengan lambang f(b) = d

- f memetakan c A ke e B, dan dituliskan dengan lambang f(c) = e

- f memetakan d A ke g B, dan dituliskan dengan lambang f(d) = g

Suatu fungsi memiliki cakupan :

A ={ a,b,c,d } disebut dengan domain ( daerah asal )

B ={ a,b,c,d,e,f,g } disebut dengan kodomain (daerah kawan )

R =( a,d,e,g ) disebut dengan range ( daerah hasil )

Apabila f menunjukkan suatu fungsi yang memetakan xA ke yB maka dapat dituliskan

dengan lambang AB: f(x) = y, lambang tersebut menyatakan rumus untuk fungsi f.

Perhatikan contoh berikut :

f: x x2 dibaca x2 adalah peta dari x oleh fungsi f dapat dituliskan dengan rumus f(x) = x2

untuk A={ x| –3 x 3, x } dan B={ y| y }

- f memetakan x = –3 ke 9 dan dituliskan dengan f(–3) = 9

- f memetakan x = –2 ke 4 dan dituliskan dengan f(–2) = 4

- f memetakan x = –1 ke 1 dan dituliskan dengan f(–1) = 1

- f memetakan x = 0 ke 0 dan dituliskan dengan f( 0) = 0

- f memetakan x = 1 ke 1 dan dituliskan dengan f( 1) = 1

- f memetakan x = 2 ke 4 dan dituliskan dengan f( 2) = 4

- f memetakan x = 3 ke 9 dan dituliskan dengan f(–3) = 9

fungsi tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut :

x –3 –2 –1 0 1 2 3

48

a

b

c

d

abcdef

Page 49: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

f(x) = x2 9 4 1 0 1 4 9

Juga dapat disajikan dalam gambar (grafik) sebagai berkut :

Keterangan :

f(–3) = 9 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan

koordinat (–3,9)

f(–2) = 4 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan

koordinat (–2,4)

f(–1) = 1 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan

koordinat (–1,1)

f(0) = 0 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan

koordinat (0,0)

x = 0 merupakan pembuat nol artinya untuk x = 0 nilai y = 0f(1) = 1 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan koordinat (1,1)

f(2) = 4 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan koordinat (2,4)

f(3) = 9 dapat digambarkan oleh sebuah titik dengan koordinat (3,9)

Jika titik titik tersebut dihubungkan akan membentuk grafik fungsi f(x)= x2.

Fungsi tersebut memiliki cakupan :

A= { x| –3 x 3, x } disebut dengan domain ( daerah asal )

B= { y| y } disebut dengan kodomain (daerah kawan )

R ={ y| y 0, y } disebut dengan range ( daerah hasil )

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRATUntuk dapat menggambarkan grafik fungsi kuadrat dengan baik, perlu mengikuti langkah langkah

sebagai berikut:

1. Menentukan titik potong terhadap sumbu y dengan x=0,

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dengan y=0,

Dengan jalan terlebih dahulu menentukan nilai Diskriminannya D= b2 – 4.a.c

Jika D> 0: grafik memotong sumbu x didua titik yaitu :

x1 =

−b2a

+ √b2−4 ac2a

x2 =

−b2a

−√b2−4 ac2a

49

Page 50: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Jika D= 0: grafik memotong sumbu x disatu titik yaitu :

x1 = x2 =

−b2a

Jika D< 0:

- Grafik tidak memotong sumbu x

3. Menentukan nilai a

Jika a> 0 ( positip ), grafik terbuka keatas

Jika a< 0 ( negatip ), grafik terbuka kebawah

4. Menentukan sumbu simetri x=

−b2a

5. Menentukan titik puncak (

−b2a ,

−D4a )

6. Menentukan selang terbatas pada daerah asal ( domain fungsi )

Df = { x| p x q, x )

7. Membuat tabel bantu

8. Menggambarkan grafik fungsi kuadratnya

a. Fungsi kuadrat berentuk baku y= f(x) = ax2 +bx + c, dengan a, b, c dan a 0.

Perhatikan contoh berikut ini :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2 + 3x – 5.

1. Menentukan titk potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = 2.02 + 3.0 – 5.

= –5 titik koordinatnya ( 0, –5)

2. Menentukan titik potog terhadap sumbu x maka y= 0

Diselidiki diskriminannya terlebih dahulu :

D = b2 – 4.a.c

D = 32 – 4 2.(–5)

D = 9 + 40

D = 49 >0 (49 kuadrat sempurna maka grafik memotong sumbu x di dua titik yaitu pada x1

dan x2 dimana nilai x1 dan x2 keduanya rasional)

50

Page 51: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Nilai x1 rasional :

x1 =

−b2a

+ √b2−4 ac2a

x1 =

−322 + √32−42(−5 )

22

x1 =

−34

+ √494

x1 =

−34

+ 74

x1 = 1

Niai x2 rasional:

x2 =

−b2a

−√b2−4 ac2a

x2 =

−322 −√32−42(−5)

22

x2 =

−34

−√494

x2 =

−34

− 74

x2 = – 2.5

koordinat titik potong terhadap sumbu x yaitu ( – 2.5 ,0 ) dan ( 1, 0 )

3. Nilai a= 2 > 0 maka grafik terbuka keatas

4. Sumbu simetri x =

−b2a

x =

−32.2

51

Page 52: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x =

−34

5. Menentukan titk puncak (

−b2a

,

−D4a

)

(

−34

,

−494 . 2

)

(

−34

,

−6 18

)

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 2, x )

7. Membuat tabel bantu :

x –3 – 2.5 –2 –1−3

4 0 1 2

f(x) = 2x2 + 3x – 5. 4 0 –3 –6 −6 18 –5 0 9

8. Menggambarkan grafik fungsi kuadratnya

Keterangan :

- Domain fungsi “Df ”Df={ x| x ) {x|-3<x<2,x)

- Kodomain fungsi “ Kf ‘Kf = { y| y }

- Range fungsi “ Rf “

Rf = { y| y−6 1

8 , y }

52

Page 53: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat

berbentuk seperti “U“ dan

para ahli matematika menyebutnya dengan nama parabola.

b. Fungsi kuadrat bentuk faktor y= f(x) = a(x – x1)(x – x2).

Langkah langkah untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat bentuk faktor f(x) = a(x–x1)(x–x2)

tidak berbeda dengan langkah langkah menggambarkan grafik fungsi kuadrat bentuk baku f(x)

= ax2 +bx + c, namun untuk fungsi kuadrat bentuk faktor f(x) = a(x – x1)(x – x2) titik potong

terhadap sumbu x telah diketahui yaitu x1 dan x2 yang merupakan akar akar persamaan kuadrat

tersebut saat f(x) = 0.

Perhatikan contoh berikut ini :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = –2(x – 3)(x +2 )

1. Menentukan titk potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = –2(0 – 3)(0 +2 ).

= 12 titik koordinatnya ( 0, 12)

2. Menentukan titik potog terhadap sumbu x maka y= 0 ( tanpa harus menyelidiki

diskriminannya)

koordinat titik potong terhadap sumbu x yaitu ( – 2,0 ) dan ( 3, 0 )

3. Nilai a= –2 > 0 maka grafik terbuka kebawah

4. Sumbu simetri x =

−b2a

Bentuk f(x) = –2(x – 3)(x +2 ) harus diubah kedalam bentuk baku f(x) = –2x2 + 2x + 12,

a= –2, b= 2 dan c= 12

Diperoleh x =

−22.(−2)

53

Page 54: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x =

12

5. Menentukan titik puncak (

−b2a

,

−D4a

)

Mencari nilai D= b2 – 4.a.c

D= 22 – 4.(–2).12

D= 100

Titik Puncaknya :

(

12

,

−1004 .(−2)

)

(

12

,

12 12

)

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 4, x )

7. Membuat tabel bantu :

x –3 –2 –1 012 1 2 3 4

f(x) = –2(x – 3)(x +2 ). –12 0 8 12 12 12 12 8 0 –12

8. Menggambarkan grafik fungsi kuadratnya

54

(

12 ,

12 12 )

Page 55: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

c. Fungsi kuadrat bentuk sempurna y= f(x) = a(x – m)2 + n .

Langkah untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat bentuk sempurna f(x) = a(x – m)2 + n tidak berbeda dengan langkah menggambarkan fungsi kuadrat bentuk baku f(x) = ax2 +bx + c,

namun untuk fungsi kuadrat bentuk sempurna f(x) = a(x – m)2 + n sumbu simetri grafik fungsi

tersebut yaitu x =

−b2a

telah diketahui bernilai m dan titik puncaknya (

−b2a

,

−D4a

) juga

telah diketahui pula yaitu ( m,n). Untuk lebih mudahnya memahami bentuk tersebut perhatikan

contoh paling sederhana berikut ini.

Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x)= x2.

perhatikan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dengan f(x)=1.(x – 0)2 + 0 berati nilai m=0 dan

nilai n=0

1. Menentukan titik potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = 0 sehingga koordinatnya (0,0)

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dengan y=0

Maka x2=0, benar untuk x=0, sehingga koordinatnya (0,0)

3. Nilai a=1 >0 maka grafiknya terbuka keatas

4. Sumbu simetri x=0 karena nilai m=0

5. Titik puncak (0,0) karena nilai (

−b2a

,

−D4a

) bernilai ( m,n ) dengan m=0 dan n=0

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 3, x )

7. Membuat tabel bantu :

55

x = 12

Page 56: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

x –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) = x2 9 4 1 0 1 4 9

8. Menggambar grafik fungsi kuadratnya

Bagaimana jika fungsi kuadratnya berbentuk f(x)= (x-2)2

perhatikan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dengan f(x)=1.(x-2)2 + 0 berati nilai m=2 dan

nilai n=0

1. Menentukan titik potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = 4 sehingga koordinatnya (0,4)

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dengan y=0

Maka (x-2)2=0, benar untuk x=2, sehingga koordinatnya (2,0)

3. Nilai a=1 >0 maka grafiknya terbuka keatas

4. Sumbu simetri x=2 karena nilai m=2

5. Titik puncak (2,0) karena nilai (

−b2a

,

−D4a

) bernilai ( m,n ) dengan m=2 dan n=0

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 3, x )

7. Membuat tabel bantu :

x –1 –0 1 2 3 4 5

f(x) = (x-2)2 9 4 1 0 1 4 9

56

x

y

Page 57: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

8. Menggambar grafik fungsi kuadratnya

Perhatikan grafik fungsi kuadrat dengan garis titik titik adalah grafik fungsi kuadrat f(x)=x2.

sedangkan grafik dengan garis tegas merupakan grafik fungsi kuadrat f(x)=(x-2)2.

Terlihat bahwa untuk m=2 grafik f(x)=x2

digeser searah sumbu x dengan jarak 2 satuan kekanan.

Bagaimana jika fungsi kuadratnya berbentuk f(x)= x2 + 3

perhatikan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dengan f(x)=1.(x-0)2 + 3 berati nilai m=0 dan

nilai n=3

1. Menentukan titik potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = 3 sehingga koordinatnya (0,3)

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dengan y=0

Maka x2 + 3 =0, tidak ada nilai x real yang memenuhi artinya grafik fungsi kuadrat tidak

memotong sumbu x

Apabila hendak dibuktikan dengan mencari nilai D dapat dilakukan sebagai berikut:

f(x)= x2 + 3, maka nilai a=1, nilai b=0 dan nilai c=3

D=b2 – 4ac

D=0 – 4.1.3

D= – 12 < 0 ( grafik tidak memotong sumbu x )

3. Nilai a=1 >0 maka grafiknya terbuka keatas

4. Sumbu simetri x=0 karena nilai m=0

5. Titik puncak (0,3) karena nilai (

−b2a ,

−D4a ) bernilai ( m,n ) dengan m=0 dan n=3

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 3, x )

57

x

y

Page 58: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

7. Membuat tabel bantu :

x –3 –2 -1 0 1 2 3f(x) = x2 + 3 12 7 4 3 4 7 12

8. Menggambar grafik fungsi kuadratnya

Perhatikan grafik fungsi

kuadrat dengan garis titik

titik adalah grafik fungsi

kuadrat f(x)=x2.

sedangkan grafik dengan

garis tegas merupakan

grafik fungsi kuadrat

f(x)=x2 + 3.

Terlihat bahwa untuk n=3 grafik f(x)=x2 digeser searah sumbu y dengan jarak 3 satuan

keatas.

- Domain fungsi “Df ” yaitu Df = { x| x )- Range fungsi “ Rf “ yaitu Rf = { y| y3, y }

d. Fungsi kuadrat melalui tiga titik sembarang A(x1,y1), B(x2,y2) dan C(x3,y3)

Untuk menggambarkan fungsi kuadrat melalui tiga titik, terlebih dahulu dicari bentuk fungsi

kuadratnya, setelah itu diselesaikan menurut aturan yang telah ditentukan.

sebagai contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,3), B(-1,3) dan C(-2,7)

Terlebih dahulu dicari fungsi kuadratnya sebagai berikut:

Misal fungsi kuadrat bakunya adalah f(x)= ax2 +bx +c.

Melalui titik A(0,3):

58

y

Page 59: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

maka substitusikan titik tersebut ke dalam fungsi kuadrat bakunya sehingga diperoleh

persamaan berikut:

3 = a(0)2 +b(0) + c diperoleh nilai c=3 (1)

Melalui titik B(-1,3):

3 = a(-1)2 +b(-1) + 3 ingat nilai c=3

3 = a – b+ 3 diperoleh a – b = 0 (2)

Melalui titik B(-2,7):

7 = a(-2)2 +b(-2) + 3 ingat nilai c=3

7 = 4a – 2b+ 3 diperoleh 4a – 2b = 4 (3)

Dari (2) dan (3) diselesaikan menggunakan cara menyelesaiakn persamaan linier dengan dua

variabel

a – b = 0 x2 2a – 2b = 0

4a – 2b = 4 x1 4a – 2b = 4 –

–2a = –4

a = 2

substitusikan ke (2) diperoleh:

2 – b = 0 maka b= 2

Sehingga diperoleh nilai a=2, nilai b=2 dan nilai c=3 substitusikan ke dalam fungsi kuadrat

bakunya, sehingga diperoleh f(x)= 2x2 +2x +3.

Setelah fungsi kuadratnya diketahui, kemudian ikuti langkah langkah untuk menggambarkan

grafik fungsi kuadratnya sebagai berikut:

1. Menentukan titk potong terhadap sumbu y dengan x=0

Maka f(0) = 2.02 + 2.0 + 3.

= 3 titik koordinatnya ( 0, 3)

59

Page 60: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x maka y= 0

Diselidiki diskriminannya terlebih dahulu :

D = b2 – 4.a.c

D = 22 – 4.2.3

D = 4 – 24

D = -20 <0 ( kurva tidak memotong sumbu x)

3. Nilai a= 2 > 0 maka grafik terbuka keatas

4. Sumbu simetri x =

−b2a

x =

−22.2

x =

−12

5. Menentukan titk puncak (

−b2a

,

−D4a

)

(

−12

,

−(−20 )4 .2

)

(

−12

,

2 12

)

6. Menentukan selang terbatas Df = { x| p x q, x )

Df = { x| –3 x 2, x )

60

Page 61: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

7. Membuat tabel bantu :

x – 3 –2 –1−12

0 1 2

f(x) = 2x2 + 2x +3. 15 7 3 2 12

3 7 15

8. Menggambarkan grafik fungsi kuadratnya

Keterangan :

- Domain fungsi “Df ”Df = { x| x )

- Kodomain fungsi “ Kf ‘Kf = { y| y }

- Range fungsi “ Rf “

Rf = { y| y2 1

2 , y }

Untuk selanjutnya agar lebih memahami tentang fungsi kuadrat dan grafiknya, silakan pasangkan

antara pertanyaan dan jawaban seperti soal soal diatas, kemudian pindahkan huruf disetiap

pasangan soal dan jawaban pada kotak kotak yang telah disediakan. Temukan pesan dan harapan

yang terkandung dalam kalimat pada jawaban tersebut dengan harapan selalu diingat dan

diamalkan untuk kepentingan pribadi, agama, nusa dan bangsa

Waktu (60) menitNo Pertanyaan huruf Jawaban

1

Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4, memotong sumbu x di dua titik. Batas–batas nilai p yang memenuhi adalah …

O y = –x2 + 2x + 3

2Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + 2√2 x + (a – 1), a ≠ 0 memotong sumbu x di dua titik berbeda. Batas–batas nilai a yang memenuhi adalah …

L 1 dan – 3

3Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, – 6) adalah … A y = –2x2 + 12x – 10

61

f(x) = 2x2 + 2x +3

(−1

2 , 2 1

2 ) x

y

Page 62: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

4Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah … R p <

25 atau p > 2

5

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

T y = –2x2 + 8x – 6

6

Grafik fungsi pada gambar di atas mempunyai persamaan …

N y = – ½ x2 + 2x + 3

7Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu x di titik … I

1 dan –

35

8

Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah …

S –2 < a < 1

9Parabola y = (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 menyinggung sumbu x, nilai a yang memenuhi adalah … . E y = 2x2 + 4x + 4

Pasangkan antara nomor soal dengan huruf didepan jawaban yang dipilih

3 4 7 5 1 6 8 2 9

Jawaban tersebut menunjukkan sikap saling menghargai dalam perbedaan, selalu

bersikap santun dalam pergaulan, mensyukuri anugerah yang telah diterima.

Kerjakan soal berikut ini: waktu (45 menit)

1. Gambarlah grafik fungsi f(x)= 2x2 + 3x – 5 (selidikilah posisi grafik terhadap sumbu x)

Uraian :

62

Page 63: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

2. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2(x – 2)2 (selidikilah posisi grafik terhadap sumbu x)

Uraian :

3. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2(x – 2)2 + 2, (selidikilah posisi grafik terhadap sumbu x)

Uraian :

e. Definit positip dan definit negatip

Definit positip dapat diartikan semua titik pada fungsi kuadrat f(x)= ax2 +bx + c seluruhnya

berada diatas sumbu x, sedangkan definit negatip dapat diartikan semua titik pada fungsi

kuadrat f(x)= ax2 +bx + c seluruhnya berada dibawah sumbu x.

Suatu fungsi kuadrat f(x)= ax2 +bx + c dikatakan definit positip atau definit negatip jika

memenuhi syarat syarat seperti yang tertera seperti pada tabel dibawah ini :

Fungsi kuadrat baku Syarat definit Fungsi kuadrat sempurna Syarat definit

f(x)= ax2 + bx + c Definit positip

a>0, D < 0

f(x)=a(x-m)2 + n Definit positip

a>0, n > 0

Definit negarip Definit negatip

63

Page 64: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

a<0, D < 0 a<0, n < 0

Dari beberapa contoh fungsi kuadrat diatas,

a) apakah fungsi kuadrat f(x)= x2 + 3 definit positip ?

Jawab.

1. Jika dilihat dari fungsi kuadrat baku maka nilai a=1, b=0 dan c= 3.

nilai a=1 >0 dan

nilai D= -12 < 0

karena memenuhi syarat definit positip, maka fungsi kuadrat f(x)= x2 + 3 definit positip

2. jika dilihat dari fungsi kuadrat sempurna, yaitu f(x) = 1(x - 0)2 + 3

nilai a=1 > 0 dan

nilai n=3 > 0

karena memenuhi syarat definit positip, maka fungsi kuadrat f(x)= x2 + 3 definit positip

b) apakah fungsi kuadrat f(x)= 2x2 +2x +3 definit positip ?

1. Jika dilihat dari fungsi kuadrat baku maka nilai a=2, b=2 dan c= 3.

nilai a=2 >0 dan

nilai D= -20 < 0

karena memenuhi syarat definit positip, maka fungsi kuadrat f(x)= 2x2 +2x +3 definit

positip

2. jika dilihat dari fungsi kuadrat sempurna, yaitu f(x) = 2(x +

12 )2 +

2 12

nilai a=2 > 0 dan

nilai n=2 1

2 > 0

karena memenuhi syarat definit positip, maka fungsi kuadrat f(x)= 2x2 +2x +3 definit

positip

Contoh soal 1:

Dintentukan fungsi kuadrat f(x) = (2-p)x2 + 4x – 2p, tentukan batas batas p agar fungsi definit

positip.

Jawab.

Fungsi berbentuk kuadrat baku maka syarat definit positip yaitu:

1. a > 0 dan

2. D< 0

64

Page 65: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Untuk:

a. a > 0 maka (2 – p )> 0

2 > p

p < 2. kondisi (1)

b. D< 0 maka 42 – 4(2-p)(-2p)< 0

16 – 4(-4p + 2p2) < 0

16 +16p – 2p2 < 0

8 +8p – p2 < 0

nilai p12 =

−b2a

±√b2−4 ac2a

=

−82(−1 )

±√(−8 )2−4 (−1 )82(−1 )

= 4±√64+32

−2

= 4±√96

−2

= 4± 4√6

−2

= 4±2√6

Untuk menentukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan 8 +8p – p2 < 0 maka perlu dibuat

garis selidik yang mewakili bilangan real untuk batas batas p1 dan p2 sebagai berikut.

p1= 4 – 26 0 p2= 4 + 26

diantara nilai p1 dan p2 ada nilai p= 0, jika disubstitusika pada 8 +8p – p2 < 0, diperoleh

nilai 8< 0 bernilai salah berarti nilai p yang memenuhi adalah disebelah kiri p1= 4 – 26

atau disebelah kanan p2= 4 + 26

kondisi (2)

p1= 4 – 26 0 p2= 4 + 26

dari kondisi (1) dan kondisi (2) nilai p yang memenuhi adalah p< 4 – 26

maka fungsi f(x) = (2-p)x2 + 4x – 2p definit positip untuk nilai p< 4 – 26

65

Page 66: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Contoh soal 2:

Ditentukan fungsi kuadrat y = ax2 + x + a, tentukan batas batas nilai a yang memenuhi agar

fungsi definit negatif.

Jawab:

Fungsi berbentuk kuadrat baku y = ax2 + x + a,

Fungsi definit negatip jika:

1. a< 0

2. D< 0

untuk (1)

a. a< 0

untuk (2)

b. b2 – 4.a.c < 0

12 – 4.a.a < 0

12 – 4.a2 < 0

(1 + 2a)(1 – 2a)< 0

Diperoleh nilai yang memenuhi dibatasi oleh nilai a= –

12

atau nilai a=

12

, akan diselidiki

untuk nilai a=0, diperoleh 1< 0 bernilai salah, maka daerah yang memenuhi

penyelesaiannya adalah disebelah kiri nilai a= –

12

atau disebelah kanan nilai a=

12

,

yaitu a <–

12

atau nilai a >

12

Dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian yang memenuhi keduanya adalah a <

12

maka fungsi

y = ax2 + x + a definit negatip untuk nilai a <

12

66

−12

12

0

Page 67: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Contoh soal 3:

Ditentukan fungsi kuadrat y = (a-1)(x+2)2 + (a2 – 4), tentukan batas batas nilai a yang

memenuhi agar fungsi definit negatif.

Jawab:

Fungsi berbentuk kuadrat sempurna y = (a-1)(x+2)2 + (a2 – 4),

Fungsi definit negatip jika:

1. a< 0

2. n< 0

untuk (1)

a. (a-1)<0 maka a< 1

Untuk (2)

b. (a2 – 4)< 0 maka

(a+2)(a– 2) < 0

Diperoleh nilai yang memenuhi dibatasi oleh nilai a=–2 atau nilai a=2, akan diselidiki untuk

nilai a=0, diperoleh – 4< 0 bernilai benar, maka daerah yang memenuhi penyelesaiannya

adalah diantara a= –2 dengan a=2, yaitu –2< a <2.

Dari (1) dan (2) penyelesaian yang memenuhi keduanya adalah -2< a < 1 maka fungsi y

= ax2 + x + a definit negatip untuk nilai -2< a < 1

e. Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat

pada prinsipnya sebutan maksimum atau minimum pada fungsi kuadrat bergantung pada nilai

konstanta yang mengikuti variabel kuadratnya, yaitu nilai yang mengakibatkan fungsi terbuka

keatas atau terbuka kebawah, dijelaskan seperti keterangan di bawah ini:

- Fungsi kuadrat baku f(x)= ax2 + bx + c, memiliki nilai maksimum atau minimum sebagai berikut

1. Jika a> 0 maka fungsi kuadrat baku f(x)= ax2 + bx + c memiliki nilai minimum di y=

−D4a

67

2-2

0

Page 68: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

2. Jika a< 0 maka fungsi kuadrat baku f(x)= ax2 + bx + c memiliki nilai maksimum di y=

−D4a

Demikian juga apabila fungsi kuadrat merupakan fungsi kuadrat sempurna,

- Fungsi kuadrat sempurna f(x)=a(x- m)2 + n, memiliki nilai maksimum atau minimum sebagai berikut

1. Jika a> 0 maka fungsi kuadrat f(x)=a(x- m)2 + n, memiliki nilai minimum di y= n

2. Jika a< 0 maka fungsi kuadrat f(x)=a(x- m)2 + n memiliki nilai maksimim di y= n

Contoh 1.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi kuadrat

a. f(x)= -3x2 -4x +1.

b. f(x)= -(x -4)(x +1)

c. f(x)= -2(x -3)2+ 7

Jawab:

a. f(x)= -3x2 -4x +1, a= -3, b= -4 dan c= 1

nilai maksimum untuk y=

−D4a

D= b2 – 4ac

D= 32 – 4(-3)1

D= 9 + 12

D= 21

y=

−214 (−3 )

y=

2112 Jadi nilai maksimum fungsi kuadrat f(x)= -3x2 -4x +1 adalah y=

74

b. f(x)= -(x -4)(x +1) diuraikan terlebih dahulu menjadi f(x)= -x2 + 3x + 4

diperoleh nilai a= -1, b= 3 dan c= 4

D= b2 – 4ac maka D= 25

y=

−D4a

y=

−25−4 Jadi nilai maksimum fungsi kuadrat f(x)= -x2 + 3x + 4 adalah y=

6 14

68

Page 69: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

c. f(x)= -2(x -3)2+ 7 berbentuk kuadrat sempurna maka nilai maksimumnya adalah y=n

dengan n=7.

Jadi nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x)= -2(x -3)2+ 7 adalah y=7.

Contoh 2.

Diberikan tabel seperti berikut ini.

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 31 18 9 4 3 6 13

Tentukan nilai terkecil (minimum) yang paling mungkin.

Jawab :

Akan diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi pada tebel merupakan fungsi kuadrat ?

Ambil tiga titik sembarang pada tabel, andaikan titik yang diambil adalah A(0,4), B (1,3)

dan C(-1,9).

Kemudian misalkan fungsi kuadratnya adalah y=ax2 + bx + c

Melalui titik A(0,4) maka berlaku:

4=a.02 +b.0 + c sehingga diperoleh nilai c=4 (1)

Melalui titik B(1,3) maka berlaku:

3= a.(1)2 +b.1 + 4 (karena nilai c=4) sehingga diperoleh a + b = –1 (2)

Melalui titik C(-1,9) maka berlaku:

9=a(-1)2 + b(-1) + 4 (karena nilai c=4) sehingga diperoleh a – b = 5 (3)

Dari (2) dan (3) diselesaiakan dengan cara SPLDV sebagai berikut:

a + b= -1

a – b= 5 +

2a = 4 maka a= 2

Dan b= -3

Sehingga fungsi kuadratnya adalah y= 2x2 -3x + 4 dicek kembali apakah nilai nilainya

sudah sesuai dengan nilai yang ada pada tabel.

x -3 -2 -1 0 1 2 3y ... ... 9 4 3 ... ...

Karena untuk x= -3 nilai y=31, untuk x=-2 nilai y=18, untuk x=2 nilai y=6 dan untuk x=3

nilai y=13 maka fungsi kuadrat y= 2x2 -3x + 4 merupakan fungsi yang sesuai dengan tabel.

Karena nilai a=2 > 0 maka fungsi kuadrat tersebut memiliki nilai minimum untuk y=

−D4a

69

Page 70: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

D= (-3)2 - 4.2.4

D= -23

Sehingga minimum untuk y= -

−234 . 2

y= 2

78

f. Pemakaian fungsi kuadrat untuk menyelesaikan permasalahan matematika atau dalam permasalahan kehidupan sehari hari.

Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk menyelesaiakn permasalahan yang berkaitan dengan

masalah matematik maupun masalah dalam kehidupan sehari hari, beberapa masalah sebagai

contohnya digunakan untuk mencari nilai maksimum ataupun nilai minimum, namun masih

banyak hal dalam kehidupan sehari hari yang cara menyelesaikannya menggunakan bentuk

kuadrat. Untuk lebih jelasnya pelajarilah lebih baik lagi kasus kasus berikut yang dapat dibuat

menjadi persamaan kuadrat maupun fungsi kuadrat seperti berikut ini:

Contoh 1.

Jumlah luas dua persegi adalah 468 m2, jika keliling masing masing persegi memiliki selisih 24

m, tentukan panjang masing masing persegi.

jawab:

Diketahui: x2 + y2 = 468

4x - 4y = 24

x – y = 6

y = x – 6

sehingga x2 + (x – 6)2=468

x2 + x2 – 12x +36 = 468

2x2 – 12x – 432 = 0

x2 – 6x – 162 = 0

(x – 18)(x – 12)= 0

x = 18 atau x = 12

Contoh 2.

Jika akar akar persamaan kuadrat (a-b)x2 + (b-c) x+ (c - a)= 0 kembar,

buktikan bahwa nilai 2a = b + c

Jawab :

70

x

Luasnya = x2

Keliling = 4x

y Luasnya= y2

Keliling = 4y

Untuk x =18maka y = 12,

untuk x = 12maka y = 6 (Tidak memenuhi)

jadi x =18m dan y =12m

Page 71: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Syarat kedua akarnya kembar

B2 – 4AC = 0

(b-c)2 – [4(a-b) (c - a)] = 0

b2-2bc + c2 – [4(ac-a2 – bc + ab)] = 0

b2-2bc + c2 – 4ac + 4a2 + 4bc - 4ab = 0

b2+ 2bc + c2 + 4a2 – 4ac – 4ab= 0

(b + c - 2a)2 = 0

b + c = 2a (terbukti)

Contoh 3.

Pada segitiga sama kaki ABC yang memiliki luas 36 cm2 dibuat persegi panjang dengan salah

satu sisi berhimpit dengan sisi alas segitiga dan dua titik sudut persegi panjang berhimpit

dengan sisi miring segitiga. Jika persegi panjang memiiki panjang 6 cm dan lebar 3 cm, carilah

panjang alas dan tinggi segitiga.

Uraian :Luas segitiga = 36 Alas segitiga = 6 + 2xtinggi = t12alas x tinggi=36

12(6+2x ) x t=36

t=72(6+2x )

t=363+x

71

O

tS R

QPx

C

BA

3

6

Perhatikan segitiga COB dengan segitiga RQB x2−6 x+9=0( x−3 )( x−3)=0x=3Panjang alas segitiga = 6+2.3

= 12 cmDan tinggi segitiga

=363+3

=6cm

Jawab : alas = 12 .

tinggi = 6 .

COOB

=RQQB

t3+x

=3x

xt=3(3+x )

x (363+x

)=9+3 x

36 x=(3+ x )(9+3 x )36 x=27+18 x+3 x2

3 x2−18 x+27=0

Page 72: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Contoh 4:

Perahu cepat yang menghubungkan kota Jepara dan pulau Karimun Jawa yang berjarak 36

km, berangkatnya lebih lama dibandingkan waktu pulangnya dikarenakan gelombang air

menuju pantai jepara memiliki kecepatan 4 km/jam. Apabila selisih waktu berangkat dengan

waktu kembali adalah 1.6 jam, berapakah kecepatan rata rata perahu cepat saat berada dilaut.

Uraian :

Misalkan x adalah kecepatan rata rata perahu cepat saat dilaut

Waktu yang dibutuhkan saat berangkat adalah :

36x−4

Waktu yang dibutuhkan saat kembali adalah :

36x+4

Pantai jepara pulau karimun jawa

Selisih waktu saat berangkat dan saat kembali adalah 1.6 jam maka:

36x+4 –

36x−4 = 1.6

36(x + 4) – 36(x – 4) = 1.6(x –4)(x – 4)

36x + 144 – 36x + 144 = 1.6x2 – 25.6

1.6x2 = 313.6

x2 = 196

x12 = 196

x12 = 14

x1 = 14

x2 = –14 (tidak memenuhi, karena kecepatan selalu positip)

Jadi yang benar rata-rata kecepatan perahu cepat adalah 14 km/jam

Waktu tempuh saat berangkat =

3614−4

= 3 .6

Waktu tempuh saat kembali =

3614+4

= 2

Jadi selisih waktu tempuh saat berangkat dan saat kembali adalah 3.6 – 2 = 1.6 jam

72

Page 73: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

Kerjakan Soal soal berikut ini:

1. Dua komputer model lama dan baru digunakan secara serentak untuk menghitung kekuatan

kontruksi jembatan layang, perhitungan dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam, apabila

komputer model lama kecepatan memproses perhitungan 5 jam lebih lambat dari komputer

model baru, berapa lama komputer tersebut dapat menyelesaikan perhitungan jika digunakan

secara mandiri.

2. Berikanlah ulasan jika diberikan persamaan sebagai berikut ini:

Pernyataan ulasan

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Benar atau salah? (...) alasan ...

(a – b)2 = b2 – 2ab + a2 Benar atau salah? (...) alasan ...

(a – b)2 = (b – a)2 Benar atau salah? (...) alasan ...

(a – b) = (b – a) Benar atau salah? (...) alasan ...

(a – b) + (a+b) = (b – a) + (a+b) Benar atau salah? (...) alasan ...

2a = 2b Benar atau salah? (...) alasan ...

a = b Benar atau salah? (...) alasan ...

Kesimpulan, langkah yang salah ada pada pernyataan...?

3. Bola tenis dilemparkan dari puncak gedung yang memiliki ketinggian 120m, dimana gerakan

dari bola tenis tersebut dapat dirumuskan dengan h(t) = -1.6t2 + 26t + 120.

a. Berapa ketinggian bola setelah bergerak selama 5 detik

b. Hitung waktu yang dibutuhkan sampai bola menyentuh tanah.

73

Page 74: Modul Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

4. Tiga tahun yang lalu usia Tante 6 kali usia Rudi, dan usia Om delapan kali usia Rudi. Dua

tahun yang akan datang usia Rudi kali usia Tante sama dengan enam kali usia Om ditambah

usia kakak. Jika usia kakak pada saat ini 8 th, berapa usia Rudi, Tante dan Om.

74