pg bab 02b persamaan dan fungsi

147PG Matematika Kelas X

Selanjutnya, coba kalian diskusikan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh suatu persamaan kuadrat

supaya kedua akarnya mempunyai sifat khusus yang sudah ditentukan.

1. Lakukan diskusi ini dengan kelompokmu.

2. Lengkapilah tabel berikut untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x

2.

3. Sampaikan hasil diskusi kelompokmu di depan kelas untuk dibahas bersama.

Bila akar-akar persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x

2,

tentukan:

a. x1 – x

2

b. �

�

�

�

Jawaban:

x1 =

��

�� +− dan x

2 =

��

�� −−

a. x1 – x

2 =

�

�

b.�

�

�

� =

��

��

−−

+−

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah

x1 =

��

�� +− dan x

2 =

��

�� −−, dengan D = b2 – 4ac.

1. x1 + x

2= (

��

�� +−) + (

��

�� −−)

= ��

�� −−+ =

��

�� =

��

��

2. x1 · x

2= (

��

�� +−) · (

��

�� −−) =

��

�� −+

= ��

�� − =

��

�� −−

= ��

�� +− =

��

�� =

��

��

No. Akar-Akar Syarat

Kedua akar nyata positif:

x1 positif dan x

2 positif

Kedua akar nyata negatif:

x1 negatif dan x

2 negatif

Kedua akar nyata berlawanan tanda:

x1 positif dan x

2 negatif atau

x1 negatif dan x

2 positif

Kedua akar nyata berlawanan:

x1 = –x

2

Kedua akar nyata berkebalikan:

x1 =

��

�

Kedua akarnya sama:

x1 = x

2

Salah satu akarnya nol:

x1 = 0

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

D > 0

x1 · x

2 ___ 0

x1 + x

2 ___ 0

D ___ 0

x1 · x

2 ___ 0

x1 + x

2 ___ 0

D ___ 0

x1 · x

2 ___0

D ___ 0

x1 + x

2 = ___ → b = ___

D ___ 0

x1 · x

2 = ___ → a = ___

D ___ 0

x1 = x

2 = –

��

��

D ___ 0

c = ___

–b –b

–b –b

ba

b2 b2

b2 b2 4ac

b2

4ac ca

D

–2bD D

D D

>>

><

><

>0

>

>

0

1 c

=

0

b2a

>

148 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut ini.

1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 7 = 0 adalah x1 dan x

2.

Tentukanlah nilai:

a. x1 + x

2 dan x

1 · x

2c.

�

�

� +

�

�

�

b. x12 + x

22

Jawaban:

a. Dari persamaan x2 + 3x – 7 = 0 diperoleh:

a = 1; b = 3; dan c = –7

x1 + x

2 = –

�

� = –

��

�� = . . . .

x1 · x

2 =

�

� =

��

�� = . . . .

b. x12 + x

22 = (x

1 + x

2)2 – 2x

1 · x

2

= . . . . . . – 2 · . . . . .

= . . . . + . . . . = . . . .

c.��

� +

��

�=

��

��

��

��

⋅+

= ��

�� =

��

��

2. Salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 12x – m = 0 adalah

tiga kali akar yang lain. Tentukan nilai m.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan x2 – 12x – m = 0 adalah x1 dan x

2.

Diketahui x1 = . . . .x

2

i) x1 + x

2 = . . . .

⇔ . . . .x2 + x

2 = . . . .

⇔ . . . .x2 = . . . .

⇔ x2 =

��

�� = . . . .

x1

= . . . .x2

= . . . . × . . . . = . . . .

ii) x1 · x

2 = –m

⇔ . . . . × . . . . = –m

⇔ . . . . = –m

⇔ m = . . . . .

Jadi, nilai m adalah . . . . .

3. Tentukan nilai p agar akar-akar p(x2 – x + 2) = x + 1

berlawanan.

Jawaban:

p(x2 – x + 2) = x + 1

⇔ px2 – . . . . + . . . . – . . . . – . . . . = 0

⇔ px2 – (. . . . + . . . .)x + . . . . . . . . = 0

Apabila akar-akar persamaan

kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah αdan β, maka:

α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβα2 – β2 = (α + β)(α – β)

α3 + β3 = (α + β)3 – 3αβ(α + β)

α3 – β3 = (α – β)3 + 3αβ(α – β)

Jika α dan β adalah akar-akar per-

samaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,

tunjukkan bahwa:

a. α2 + β2 = �

�

�

�� −

b. (α – β)2 = �

�

�

�� −

Jawaban:

a. α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ

= �

�

�

� –

��

�

= �

�

� ��

�

−

b. (α – β)2 =

�

�

�

= �

�

� =

�

�

� ��

�

−

–3

–7

3

13

3

7

–71 –7

(–3)2 (–7)

9 14 23

312

3 12

12

12

34

33 3 9

3927

–27–27

4

px 2p xp 1 2p – 1

1


1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar

persamaan kuadrat berikut.

a. x2 + 3x – 10 = 0

b. 3x2 – 5x + 2 = 0

c. px2 – 5x – 3 = 0

Jawaban:

a. x2 + 3x – 10 = 0

x1 + x

2 = –3

x1 · x

2 = –10

b. 3x2 – 5x + 2 = 0

x1 + x

2 =

�

x1 · x

2 =

�

c. px2 – 5x – 3 = 0

x1 + x

2 =

�

�

x1 · x

2 =

�

−

2. Hitunglah nilai �

�

�

� +

�

�

�

�, bila x

1 dan x

2 adalah

akar-akar persamaan x2 + 3x – 1 = 0.

Jawaban:

x1 + x

2 = –3 dan x

1 · x

2 = –1

�

�

�

� +

�

�

�

�=

��

��

��

��

��

⋅+

= ��

��

��

��

��

⋅⋅−+

= �

��

−−⋅−−

= �

��

−+

= –11

3. Akar-akar dari x2 – 5x – m = 0 adalah

x1 dan x

2. Tentukan nilai m, jika:

a. x1 : x

2 = 2 : 3

b. x1 + 4x

2 = 14

Jawaban:

Dari persamaan x2 – 5x – m = 0 diperoleh

x1 + x

2 = 5 dan x

1 · x

2 = –m.

a. x1 : x

2= 2 : 3

�

�

�

�=

� → x

2 =

�

x

1

• x1 + x

2 = 5

⇔ x1 +

�

x

1 = 5

⇔�

�x

1 = 5

⇔ x1 = 2

⇔ x2 =

�

x

1 =

�

· 2 = 3

• x1 · x

2 = –m

⇔ 2 · 3 = –m

⇔ m = –6

Jadi, nilai m adalah –6.

b. • x1 + 4x

2 = 14

x1 + x

2 + 3x

2 = 14

⇔ 5 + 3x2 = 14

⇔ 3x2 = 9

⇔ x2 = 3

x1 + 4 · 3 = 14

⇔ x1

= 14 – 12 = 2

• x1 · x

2 = –m

⇔ 3 · 2 = –m

⇔ m = –6

Jadi, nilai m adalah –6.

Kerjakan sesuai perintah.

Misal akar-akar persamaannya adalah x1 dan x

2.

Karena berlawanan, maka x1 + x

2 = . . . .

x1 + x

2 = . . . .

⇔��

�� + = . . . .

⇔ p + 1 = . . . .

⇔ p = . . . .

Jadi, nilai p adalah . . . .

0

0

p

–1–1

0

0


4. Tentukan nilai a jika jumlah kebalikan akar-

akar persamaan kuadrat 3x2 – (a + 3)x + 6 = 0

adalah 2.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan kuadrat

3x2 – (a + 3)x + 6 = 0 adalah x1 dan x

2, maka

x1 + x

2 =

� + dan x

1 · x

2 = 2.

Diketahui ��

� +

��

� = 2.

��

� +

��

� =

��

��

��

��

⋅+

⇔ 2 = �

� +

⇔ a + 3 = 12

⇔ a = 12 – 3 = 9

Jadi, nilai a adalah 9.

5. Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan

x2 – 2x + b = 0 adalah 38. Tentukan nilai b.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + b = 0

adalah x1 dan x

2, maka x

1 + x

2 = 2 dan

x1 · x

2 = b.

Diketahui x13 + x

23 = 38.

x13 + x

23= (x

1 + x

2)3 – 3x

1x

2(x

1 + x

2)

38 = (2)3 – 3 · b · 2

38 = 8 – 6b

6b = –30

b = –5

Jadi, nilai b adalah –5.

4. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya

Memenuhi Kondisi Tertentu

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun apabila akar-akarnya

diketahui. Terdapat 3 cara penyusunan persamaan kuadrat sebagai

berikut.

a. Menggunakan Perkalian Faktor

Jika akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

adalah x1 dan x

2, maka:

ax2 + bx + c = 0 ⇔ x2 + �

�x +

�

�= 0

⇔ (x – x1)(x – x

2) = 0

dengan x1 + x

2 = –

�

� dan x

1 · x

2 =

�

�.

Dengan menggunakan perkalian faktor, persamaan kuadrat yang

akar-akarnya x1 dan x

2 adalah ___________________.(x – x1)(x – x2) = 0


Ayo, kita berlatih menyusun persamaan kuadrat dengan meng-

gunakan perkalian faktor.

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3.

Jawaban:

x1 = 2 dan x

2 = 3

Persamaan kuadratnya adalah (x – x1)(x – x

2) = 0

⇔ (x – . . . )(x – . . . ) = 0

⇔ x2 – . . . + . . . = 0

2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a + �

dan a – � .

Jawaban:

x1 = . . . . . . . . dan x

2 = . . . . . . . .

Persamaan kuadratnya adalah:

(x – x1)(x – x

2) = 0

⇔ (x – . . . . . . . . .)(x – . . . . . . . . . .) = 0

⇔ x2 – (. . . . . . .)x – (. . . . . .)x + (. . . . . .)(. . . . . .) = 0

⇔ x2 – . . . .x + . . . . . . . . = 0

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-

akarnya:

a. –3a dan –7a

b. 3 + � dan 3 – �

c. a � + b dan a � – b

Jawaban:

a. x1 = –3a dan x

2 = –7a


(x – (–3a))(x – (–7a)) = 0

⇔ (x + 3a)(x + 7a) = 0

⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0

b. x1 = 3 + � dan x

2 = 3 – �


(x – (3 + � ))(x – (3 – � )) = 0

⇔ x2 – (3 + � )x – (3 – � )x

+ (3 + � )(3 – � ) = 0

⇔ x2 – 3x – � x – 3x + � x + 9 – 5 = 0

⇔ x2 – 6x + 4 = 0

c. x1 = a � + b dan x

2 = a � – b


(x – (a � + b ))(x – (a � – b )) = 0

⇔ x2 – (a � + b )x – (a � – b )x

+ (a � + b )(a � – b ) = 0

⇔ x2 – a � x – b x – a � x + b x

+ 2a2 – 3b2 = 0

⇔ x2 – 2ax � + 2a2 – 3b2 = 0

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0

adalah x1 dan x

2. Tentukan nilai x

1 dan x

2,

kemudian susunlah persamaan kuadrat baru

yang akar-akarnya:

a. x1 + 2 dan x

2 + 2

b. 3x1 dan 3x

2

c.��

� dan

��

�

Selesaikanlah soal-soal berikut.

2 35x 6

a + 2 a – 2

(a + 2 ) (a – 2 )

a+ 2 a– 2 a+ 2 a– 22a a2 – 2


1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 8.

Jawaban:

x1 = –3 dan x

2 = 8

x1 + x

2= . . . . + . . . . = . . . .

x1 · x

2= . . . . × . . . . = . . . .


x2 – (x1 + x

2)x + x

1 · x

2 = 0

x2 – . . . .x – . . . . = 0

Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut.

Jawaban:

x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x = –4 atau x = 3

Diperoleh x1 = –4 dan x

2 = 3.

a. α = x1 + 2 = –4 + 2 = –2

β = x2 + 2 = 3 + 2 = 5


(x – α)(x – β) = 0

⇔ (x + 2)(x – 5) = 0

⇔ x2 – 3x – 10 = 0

b. α = 3x1 = 3(–4) = –12

β = 3x2 = 3 · 3 = 9


(x – α)(x – β) = 0 ⇔ (x + 12)(x – 9) = 0

⇔ x2 + 3x – 108 = 0

c. α = ��

� =

�

�− = –

�

�

β = ��

� =

�


(x – α)(x – β) = 0

⇔ (x + �

�)(x –

�

) = 0

⇔ x2 – ��

�x –

��

� = 0

⇔ 12x2 – x – 1 = 0

b. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x

2 adalah:

(x – x1)(x – x

2) = 0 ⇔ x2 – x

2x – x

1x + x

1x

2 = 0

⇔ x2 – (x1 + x

2)x + x

1x

2 = 0

x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali, persamaan

kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x

2 dapat dicari dengan rumus

_________________________.

–3 8 5

–3 8 –24

5 24



akarnya:

a. –3a dan –7a

b. 3 + � dan 3 – �

c. a � + b dan a � – b

Jawaban:

a. x1 = –3a dan x

2 = –7a

x1 + x

2 = –3a + (–7a) = –10a

x1 · x

2 = –3a × (–7a) = 21a2


x2 – (x1 + x

2)x + x

1 · x

2 = 0

⇔ x2 – (–10a)x + 21a2 = 0

⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0

b. x1 = 3 + � dan x

2 = 3 – �

x1 + x

2 = 3 + � + 3 – � = 6

x1 · x

2 = (3 + � )(3 – � ) = 9 – 5 = 4


x2 – (x1 + x

2)x + x

1 · x

2 = 0

x2 – 6x + 4 = 0

c. x1 = a � + b dan x

2 = a � – b

x1 + x

2= a � + b + a � – b

= 2a �

x1 · x

2= (a � + b )(a � – b )

= 2a2 – 3b2


x2 – (x1 + x

2)x + x

1 · x

2 = 0

x2 – 2a � x + 2a2 – 3b2 = 0

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0

adalah x1 dan x

2. Tentukan persamaan kuadrat

baru yang akar-akarnya:

a. x1 + 2 dan x

2 + 2

b. 3x1 dan 3x

2

c.��

� dan

��

�

Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0

adalah x1 dan x

2, maka x

1 + x

2 = –1 dan x

1 · x

2

= –12.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang

baru adalah α dan β.

a. α = x1 + 2 dan β = x

2 + 2

α + β = x1 + 2 + x

2 + 2

= x1 + x

2 + 4 = –1 + 4 = 3

α · β = (x1 + 2) (x

2 + 2)

= x1 · x

2 + 2(x

1 + x

2) + 4

= –12 + 2(–1) + 4 = –10


x2 – 3x – 10 = 0

b. α = 3x1 dan β = 3x

2

α + β = 3x1 + 3x

2 = 3(x

1 + x

2)

= 3 · (–1) = –3

α · β = 3x1 · 3x

2 = 9x

1 · x

2

= 9 · (–12) = –108


x2 – (–3)x – 108 = 0

⇔ x2 + 3x – 108 = 0

Kerjakanlah dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 + dan

5 – .

Jawaban:

x1 = 5 + dan x

2 = 5 –

x1 + x

2 = . . . . . . . . + . . . . . . . . = . . . .

x1 · x

2= . . . . . . . . . . × . . . . . . . . . .

= . . . . – . . . . = . . . .


x2 – (x1 + x

2)x + x

1 · x

2 = 0

x2 – . . . .x + . . . . = 0

5 + 3 5 – 3 10(5 + 3 ) (5 – 3 )

25 223

10 22


Menyusun persamaan kuadrat

baru yang akar-akarnya simetri

dapat dilakukan dengan metode

substitusi.

Contoh:

Susunlah persamaan kuadrat baru

yang akar-akarnya 2 kurangnya dari

akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0.

Jawaban:

Misal akar-akar 3x2 – 4x + 1 = 0

adalah x1 dan x

2, serta akar-akar

yang baru adalah y1 dan y

2, maka:

y1 = x

1 – 2 ⇒ x

1 = y

1 + 2

y2 = x

2 – 2 ⇒ x

2 = y

2 + 2

Substitusikan x = y + 2 ke per-

samaan kuadrat.

3(y + 2)2 – 4(y + 2) + 1 = 0

⇔ 3y2 + 12y + 12 – 4y – 8 + 1 = 0

⇔ 3y2 + 8y + 5 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang di-

maksud adalah 3x2 + 8x + 5 = 0.

x = y + 2

c. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Diketahui

Mempunyai Hubungan dengan Akar Persamaan Kuadrat Lain

Selesaikanlah soal-soal berikut dengan melengkapi isiannya.

1. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2

kurangnya dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0 adalah x1 dan

x2, maka:

x1 + x

2 = . . . . dan x

1 · x

2 = . . . .

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan βdengan α = x

1 – . . . . dan β = x

2 – . . . ., maka:

α + β = . . . . . . . . + . . . . . . . .

= . . . . . . . . – . . . . = . . . . – . . . . = . . . .

α · β = . . . . . . . × . . . . . . .

= . . . . . . . – 2(. . . . . . . .) + . . . .

= . . . . – 2 × . . . . + . . . . = . . . . – . . . . + . . . . = . . . .

Persamaan kuadrat yang baru adalah:

x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 – . . . . .x + . . . . = 0––––––––––––––––––– × 3

⇔ . . . .x2 + . . . .x + . . . . = 0

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ber-

lawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 4 = 0.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan x2 – 5x + 4 = 0 adalah x1 dan x

2,

maka x1 + x

2 = . . . . dan x

1 · x

2 = . . . .

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan βdengan α = . . . . dan β = . . . ., maka:

α + β = . . . . . + . . . . . = –(. . . . + . . . .) = . . . .

α · β = . . . . . × . . . . . = . . . . . . . = . . . .


x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 – . . . . .x + . . . . = 0

⇔ x2 – . . . .x + . . . . = 0

c. α = ��

� dan β =

��

�

α + β = ��

� +

��

� =

��

��

��

��

⋅+

= ��

�

−−

= ��

�

α · β = ��

� ·

��

� =

��

�

⋅ =

��

�

− = –

��

�


x2 – ��

�x –

��

� = 0

⇔ 12x2 – x – 1 = 0

⇔ 12x2 – x – 1 = 0

x1 – 22

x2 – 2

x1 + x2 4 4 – 83

2

43

13

43

x1 – 2 x2 – 2x1 · x2 4

4

x1 + x2

4

(–38 )

3 58

53

13

43

13

83

53

–x2–x1

45

(–x1) (–x2) x1 x2 –5(–x1) (–x2) x1 · x2 4

(–5) 45 4


Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0

adalah x1 dan x

2. Susunlah persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya:

a. x1 + 3 dan x

2 + 3

b. 3 + ��

� dan 3 +

��

�

c. �

�

� − dan

�

�

� −Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0

adalah x1 dan x

2, maka: x

1 + x

2 = –

�

� dan

x1 · x

2 =

�.

a. Misal akar-akar persamaan kuadrat baru

adalah α dan β dengan α = x1 + 3 dan

β = x2 + 3, maka:

α + β = x1 + 3 + x

2 + 3

= x1 + x

2 + 6

= –�

� + 6 = 5

�

�

α · β = (x1 + 3) (x

2 + 3)

= x1 · x

2 + 3(x

1 + x

2) + 9

= �

+ 3 · (–

�

�) + 9 = 9


x2 – (α + β)x + α · β= 0

⇔ x2 – 5�

�x + 9 = 0

–––––––––––––– × 2⇔ 2x2 – 11x + 18 = 0

b. Misal akar-akar persamaan kuadrat baru

adalah α dan β dengan α = 3 + ��

� dan β =

3 + ��

�, maka:

α + β = 3 + ��

� + 3 +

��

�

= 6 + ��

� +

��

� = 6 +

��

��

��

��

⋅+

= 6 + �

�

�− = 6 –

� = 5

� =

��

3. Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya dua kali akar-akar

persamaan kuadrat 2x2 – ax + 2 = 0 adalah

2x2 – 2ax + a + 3 = 0. Tentukan nilai a.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan 2x2 – ax + 2 = 0 adalah x1 dan

x2, maka x

1 + x

2 = . . . . dan x

1 · x

2 = . . . .

Misal akar-akar persamaan 2x2 – 2ax + a + 3 = 0 adalah αdan β, maka α + β = . . . . dan α · β = . . . . .

Diketahui α = . . . .x1 dan β = . . . .x

2, sehingga:

α · β = . . . . .⇔ . . . .x

1 · . . . .x

2 = . . . . .

⇔ . . . .x1 · x

2 = . . . . .

⇔ . . . . × . . . . = . . . . .

⇔ . . . . = ��

� +

⇔ a + 3 = . . . .

⇔ a = . . . .

Jadi, nilai a = . . . .

1a2

a+32

a

2 2

2 2

4

4 1

4

8

5

5

a+32 a+3

2

a+32a+32

2


Jawaban:

Misal akar-akar persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0

adalah x1 dan x

2, maka x

1 + x

2 = 2 dan

x1 · x

2 =

�

.

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru

adalah α dan β dengan α = ��

� dan β =

��

�,

maka:

α + β = ��

� +

��

�

= ��

��

��

��

⋅+

=

�

� =

�

α · β = ��

� ·

��

�

= ��

�

⋅ =

�

� =

�


x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 –

�x +

�= 0

–––––––––––––––– × 3⇔ 3x2 – 4x + 2 = 0

3. Akar-akar dari x2 – 2px + 3q = 0 adalah 2

kurangnya dari akar x2 – 3px + 7q = 0. Carilah

nilai p dan q.

Jawaban:

Misal akar-akar persamaan x2 – 3px + 7q = 0

adalah x1 dan x

2, maka x

1 + x

2 = 3p dan

x1 · x

2 = 7q.

Misal akar-akar persamaan x2 – 2px + 3q = 0

adalah α dan β dengan α + β = 2p dan

α · β = 3q.

Diketahui α = x1 – 2 dan β = x

2 – 2, sehingga:

α + β = 2p

⇔ x1 – 2 + x

2 – 2 = 2p

⇔ x1 + x

2 – 4 = 2p

⇔ 3p – 4 = 2p

⇔ p = 4

α · β = 3q

⇔ (x1 – 2)(x

2 – 2) = 3q

⇔ x1 · x

2 – 2(x

1 + x

2) + 4 = 3q

⇔ 7q – 2(3p) + 4 = 3q

⇔ 7q – 2 · 12 + 4 = 3q

⇔ 4q = 20

⇔ q = 5

Jadi, nilai p dan q adalah 4 dan 5.

α · β = (3 + ��

�)(3 +

��

�)

= 9 + 3(��

� +

��

�) +

��

� ·

��

�

= 9 + 3 · ��

��

��

��

⋅+

+ ��

�

⋅

= 9 + 3 ·

�

�

�− +

�

�

= 9 – 1 +

� = 8

� =

��


x2 – (α + β)x + α · β= 0

⇔ x2 –

��x +

��= 0

––––––––––––––– × 3⇔ 3x2 – 17x + 26 = 0

c. Misal akar-akar persamaan kuadrat baru

adalah α dan β dengan α = �

�

� − dan

β = �

�

� −, maka:

α + β = �

�

� − +

�

�

� −

= � �

� �

��

��

−−−+−

= ��

��

��

��

++−⋅−+

= �

�

�

�

�

�

�

+−−

−−

= ��

��

�− = –

��

�

α · β = �

�

� − ·

�

�

� −

= ��

�

�� +⋅−⋅ = ��

�


x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔ x2 – (–��

� )x +

��

�= 0

––––––––––––––– × 24

⇔ 24x2 + 13x + 2 = 0


akarnya berkebalikan dengan akar-akar

persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0.


Sifat optik parabola: semua sinar

datang sejajar sumbu utama

(sumbu simetri) dipantulkan ke arah

fokus dan sebaliknya sinar datang

dari fokus dipantulkan sejajar sumbu

utama.

Apabila parabola tersebut diputar

menurut sumbu utamanya maka

akan diperoleh suatu bentuk yang

banyak digunakan dalam kehidup-

an. Misalnya pada lampu sorot dan

teleskop (teropong bintang).

Perhatikan gambar parabola di

samping. Garis t = 1 merupakan

sumbu simetri parabola. Secara

matematis, parabola simetri ter-

hadap garis t = 1 karena nilai fungsi

h sama untuk t = 1 + a dan t = 1 – a,

yaitu h(1 + a) = h(1 – a).

fokus sumbu utama

h

t

3

2

1

O 0,4 0,8 1 1,2 1,6 2 2,4 3

☞

Apabila a = 0, maka f(x) = bx + c

yaitu menjadi fungsi linear.☞

B. Fungsi Kuadrat

Ingat kembali kasus Dito dalam melemparkan bola ke dalam

keranjang di depan. Ketinggian bola yang dilempar memenuhi rumus

h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 dengan t adalah waktu dalam detik. Bentuk

h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 disebut fungsi kuadrat dengan variabel bebas t.

Berikut ini tabel posisi bola (h) pada waktu (t) yang ditentukan.

t 0 0,4 0,8 1 1,2 1,6 2 2,4

–1,2t2 0 –0,192 –0,768 –1,2 –1,728 –3,072 –4,8 –6,912

2,4t 0 0,96 1,92 2,4 2,88 3,84 4,8 5,76

2 2 2 2 2 2 2 2 2

h(t) 2 2,768 3,152 3,2 3,152 2,768 2 0,848

Dari tabel tersebut dapat digambarkan lintasan bola basket yang

dilemparkan Dito seperti berikut.

Kurva lengkung di atas adalah lintasan bola basket dari dilemparkan

sampai jatuh di lantai (asumsi bola tidak mengenai keranjang). Kurva

lengkung secara lengkap adalah parabola yang merupakan bentuk

geometri dari fungsi kuadrat h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2.

Contoh fungsi kuadrat yang lain adalah:

1. f(x) = x2 + 4x – 5

2. g(a) = 6 + a – a2

3. f(t) = 2t2 – 5t

4. g(x) = 4x2 – 9

Bentuk umum fungsi kuadrat dalam x adalah:

f(x) = ax2 + bx + c

dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata.


X

Y

x1

x2

nilai minimum

–�

��

sumbu simetri

–�

��

X

Y

x1

x2

nilai maksimum

–�

��

sumbu simetri

–�

��

1. Grafik Fungsi Kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c.

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Grafik fungsi tersebut dapat digambarkan dengan bantuan beberapa

titik berikut.

a. Titik potong dengan sumbu Y

Grafik memotong sumbu Y apabila x = 0.

f(x) = ax2 + bx + c

f(0) = a. (0)2 + b · 0 + c = c

Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, c).

b. Titik potong dengan sumbu X

Grafik memotong sumbu X apabila y = f(x) = 0, yaitu

ax2 + bx + c = 0.

Jika x1 dan x

2 adalah penyelesaian persamaan kuadrat tersebut,

maka titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x

2, 0).

c. Titik puncak

Misal koordinat titik puncaknya adalah (x0, y

0). Garis x = x

0 disebut

sumbu simetri dan y0 disebut nilai puncak (maksimum atau mini-

mum). Jika titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x

2, 0),

maka sumbu simetrinya adalah x = �

�� + =

�

�

�

− = –

��

�.

Nilai puncak diperoleh dengan mensubstitusikan nilai

x = –��

� ke f(x). Diperoleh rumus: y = –

��

�.

sumbu simetri

puncak minimumsumbu simetri

puncak maksimum

☞

☞

☞

☞

Parabola terbuka ke atas Parabola terbuka ke bawah

Apa syarat grafik memotong

sumbu X bila dikaitkan dengan

nilai diskriminannya?☞


Agar lebih jelas dalam menggambar grafik, lakukanlah kegiatan

berikut.

1. Buatlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5.


x = 0 ⇒ f(0) = (. . . .)2 – 4 · . . . . – 5 = . . . .

Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah

(0, . . . .).


f(x) = 0 ⇒ x2 – 4x – 5 = 0

⇔ (x – . . . .)(x + . . . .) = 0

⇔ x = . . . . atau x = . . . .

Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah

(. . . ., 0) dan (. . . ., 0).

c. Titik puncak

Dari fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 diperoleh:

a = . . . ., b = . . . ., c = . . . .

D = b2 – 4ac = . . . . – . . . . . . = . . . .

x = ��

�− =

��

��

⋅−

= ��

�� = . . . .

y = ��

�− =

��

��

⋅ = . . . . atau

y = f�

��

−

= f(2) = (. . . .)2 – 4 · . . . . – 5 = . . . .

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. . . ., . . . .).

Tentukan letak titik potong dengan sumbu X dan sumbu

Y serta titik puncak yang telah kalian peroleh pada

bidang koordinat seperti di samping. Kemudian buatlah

sketsa parabola melalui titik-titik tersebut. Bila perlu,

tentukan titik bantu yang lain.

2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2.


x = 0 ⇒ f(0) = 3 – 2 · . . . . – (. . . .)2 = . . . .

Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah

(. . . ., . . . .).


y = 0 ⇒ 3 – 2x – x2 = 0

⇔ x2 + 2x – 3 = 0

⇔ (x + . . . .)(x – . . . .) = 0

⇔ x = . . . . atau x = . . . .

Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah

(. . . ., . . . .) dan (. . . ., . . . .).

Lengkapilah penemuan rumus nilai

puncak berikut.

f(–��

�) = a(

��

��)2 + b(

��

��) + c

= a��

�� –

��

�� + c

= ��

�� –

��

�� + c

= ��

�� +−

= ��

�� +

= � � � � � � � � �

��

− −

= –��

��

–b2a

–b2a

b2

4a2

b2

2a

b2

2ab2

4a

b2 2b2 4ac

–b2 4ac

b2 4ac

D

4a

0 0 –5

–5

15–15

–15

1 –4 –536

–9

2

–9

2

2

–92

42

–41

–36

1

16 (–20)

X

Y x = 2

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

(–1, 0) (5, 0)

(0, –5)

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9(2, –9)

0 0 3

0 3

131–3

1–3 00


Lakukan diskusi ini secara berkelompok.

1. Perhatikan lagi grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 dan

f(x) = 3 – 2x – x2.

2. Mengapa grafik fungsi f(x) = x2 – 4x – 5 terbuka ke atas dan

grafik f(x) = 3 – 2x – x2 terbuka ke bawah?

3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.

a. f(x) = x2 – x – 12 c. h(x) = 2x2 – 6x

b. g(x) = 8x – x2 d. i(x) = 2 – x – 3x2

Manakah yang grafiknya terbuka ke atas?

Manakah yang grafiknya terbuka ke bawah?

c. Titik puncak

Dari fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2 diperoleh:

a = . . . ., b = . . . ., c = . . . .

D = b2 – 4ac = . . . . – . . . . . = . . . .

x = ��

�− =

��

��

⋅−

= ��

�� = . . . .

y = ��

�− =

��

��

⋅ =

��

�� = . . . .

atau y = f�

��

−

= f(. . . .)= 3 – 2 · (. . . .) – (. . . .)2

= . . . . + . . . . – . . . . = . . . .

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. . . ., . . . .).

Dengan menghubungkan titik-titik yang telah diperoleh,

gambar sketsa grafiknya seperti gambar di samping.

3. Suatu persegi panjang mempunyai keliling 50 cm. Tentukan

luas maksimum persegi panjang tersebut.

Jawaban:

Rumus keliling persegi panjang: K = 2(p + ). Keliling persegi

panjang adalah 50 cm, berarti:

2(p + ) = . . . .

p + = . . . .

= . . . . – . . . .

Luas persegi panjang:

L = p ×

= p ×(. . . . – . . . .) = 25p – . . . .

Luas merupakan fungsi kuadrat dengan variabel p dan

a = . . . . b = . . . . c = . . . .

Lmaks

= –��

��

−

= –��

��

− ⋅ ⋅⋅

= –��

��

− = –

��

�� = . . . .

Jadi, luas maksimum adalah . . . . . . cm2.

Fungsi luas L = 25p – p2 dapat

digambarkan sebagai berikut.

Luasnya maksimum pada saat

p = 12,5 cm. Panjangnya semakin

besar (lebarnya semakin kecil),

tidak mengakibatkan luas yang

semakin besar.

L

pO 12,5 25

X

Y

–4 –3 –2 –1 0 1 2

4

3

(–1, 4)

(0, 3)

(1, 0)(–3, 0)

x = 1

–1 –2 316

4

–1

–1–1 –1

23

2–2

–2

–1

–16–1

–16–4

1 4–1 4

4 (–12)

502525 p

25 p p2

–1 25 0

–1 0–1

625 0 –2

625 –2

312,5

312,5


1. Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas adalah ____.

2. Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah adalah ____.

Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.

1. f(x) = x2 – x – 2

Jawaban:

• Titik potong dengan sumbu Y → (0, –2)

• Titik potong dengan sumbu X

x2 – x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

⇔ x = 2 atau x = –1

Jadi, titik potongnya dengan sumbu X

adalah (2, 0) dan (–1, 0).

• Titik puncak

x = ��

�

⋅−−

= �

�

y = f(�

�) = (

�

�)2 –

�

� – 2 = –2

�

�

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah

(�

�, –2

�

�).

Grafiknya adalah:

4. Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas?

Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah?

Petunjuk guru

Setelah siswa dapat menggambarkan grafiknya, tanyakan kaitannya

dengan nilai a (koefisien dari x2).

Grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas bila a > 0.

Grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah bila a < 0.

a>0a<0

X

Y

–1 2

–2�

�–2

�

�

2. f(x) = 2x2 + 2x – 4

Jawaban:



2x2 + 2x – 4 = 0

⇔ (2x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –2 atau x = 1


adalah (–2, 0) dan (1, 0).

• Titik puncak

x = ��

�

⋅−

= –�

�

y = f(–�

�) = 2 · (–

�

�)2 + 2 · (–

�

�) – 4

= –4�

�


(–�

�, –4

�

�).

Grafiknya adalah:

X

Y

1–2

–4�

�–4

–�

�


3. f(x) = 6x – x2

Jawaban:

• Titik potong dengan sumbu Y → (0, 0)


6x – x2 = 0

⇔ x(6 – x) = 0

⇔ x = 0 atau x = 6


adalah (0, 0) dan (6, 0).

• Titik puncak

x = ��

�

−⋅−

= 3

y = f(3) = 6 · 3 – 32 = 9


(3, 9).

Grafiknya adalah:

4. f(x) = –x2 + 3

Jawaban:

• Titik potong dengan sumbu Y → (0, 3)


–x2 + 3 = 0

⇔ x2 – 3 = 0

⇔ (x + )(x – ) = 0

⇔ x = – atau x =


adalah (– , 0) dan ( , 0).

• Titik puncak

x = ��

�

−⋅−

= 0

y = f(0) = (0)2 + 3 = 3


(0, 3).

Grafiknya adalah:

5. f(x) = –2x2 + 4x – 3

Jawaban:



–2x2 + 4x – 3 = 0

D = 42 – 4 · (–2) · (–3) = –8

Karena D < 0, maka grafik tidak

memotong sumbu X.

• Titik puncak

x = ��

�

−⋅−

= 1

y = ��

�

−⋅−−

= –1


(1, –1).

Grafiknya adalah:

X

Y

9

0 3 6

X

Y

1

–3

–1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat.

1. Sebuah benda dilemparkan dari permukaan

bumi dengan kecepatan awal 100 m/detik.

Setelah t detik, benda tersebut mencapai

ketinggian 100t – 5t2 meter. Tentukan tinggi

maksimum yang dicapai benda tersebut.

Jawaban:

Misal ketinggian yang dicapai h(t), maka

h(t) = 100t – 5t2.

Tinggi maksimum dicapai pada:

t = ��

��

−⋅−

= ��

�� = 10

h(10) = 100 · 10 – 5 · (10)2

= 1.000 – 500 = 500 m.

Jadi, ketinggian maksimum benda tersebut

adalah 500 meter.

2. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah

dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya

proyek (3x – 900 + �

��) ratus ribu rupiah per

hari. Agar biaya proyek minimum, berapa hari

proyek tersebut harus diselesaikan?

X

Y

–

3


Jawaban:

Biaya proyek selama x hari:

B(x) = x(3x – 900 + �

��)

= 3x2 – 900x + 120

Biaya minimum jika: x = – ��

��

− = 150

Jadi, agar biayanya minimum, proyek harus

diselesaikan dalam 150 hari.

3. Selisih dua bilangan adalah 4p. Tentukan nilai

terkecil dari hasil perkalian dua bilangan

tersebut.

Jawaban:

Misal 2 bilangan itu adalah a dan b.

a – b= 4p

⇔ a = b + 4p

Misal F merupakan hasil kali kedua bilangan.

F = a × b = (b + 4p) × b = b2 + 4pb

Nilai terkecil dicapai pada

b = ��

��

⋅−

= –2p

Fmin

= (–2p)2 + 4p(–2p)

= 4p2 – 8p2

= –4p2

Jadi, nilai terkecilnya adalah –4p2.

4. Suatu persegi dengan lebar x cm dan panjang

(50 – x) cm. Tentukan ukurannya agar luasnya

maksimum.

Jawaban:

Luas persegi panjang = panjang × lebar

L(x) = (50 – x) × x

L(x) = 50x – x2

Luas maksimum dicapai pada

x = ��

�− =

��

��

−⋅−

= 25

Jadi, lebar persegi panjang adalah 25 cm dan

panjangnya (50 – 25) = 25 cm.

5. Tali dengan panjang 100 m dipotong menjadi

2 bagian. Potongan tali masing-masing dibuat

persegi.

a. Tentukan rumus fungsi g yang menyata-

kan jumlah luas persegi itu.

b. Tentukan jumlah luas maksimum/mini-

mum kedua persegi dan ukuran potongan

kedua tali tersebut.

Jawaban:

a. Tali dipotong menjadi 2 bagian misal x

meter dan (100 – x) meter.

Pada persegi pertama.

Keliling = panjang tali = x

Panjang sisi persegi (s1) =

�

�x

Luas (L1) = (

�

�x)2 =

��

�x2

Pada persegi kedua.

Keliling = panjang tali = 100 – x

Panjang sisi persegi (s2) =

�

�(100 – x)

Luas (L2) = [

�

�(100 – x)]2

= ��

�(10.000 – 200x + x2)

= ��

�x2 –

�

��x + 625

Jumlah luas kedua persegi:

g(x) = L1 + L

2

= ��

�x2 +

��

�x2 –

�

��x + 625

= �

�x2 –

�

��x + 625

b. x = ��

�− =

�

�

��

��

⋅

− −

= 50

g(50) = �

�(50)2 –

�

��(50) + 625

= 312,5

Jadi, jumlah luas minimum 312,5 m2

dengan potongan tali masing-masing 50 m

dan (100 – 50) m = 50 m.


Bentuk Parabola

D > 0 D < 0D = 0

a > 0

2. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan Negatif

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut.

a. f(x) = x2 – 8x + 12

b. g(x) = x2 – 8x + 16

c. h(x) = x2 – 8x + 20

2. Tentukan nilai diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac, dari masing-

masing fungsi kuadrat pada nomor 1.

3. Lakukan kegiatan pada nomor 1 dan 2 terhadap fungsi

kuadrat berikut.

a. p(x) = –x2 + 6x – 5

b. q(x) = –x2 + 6x – 9

c. r(x) = –x2 + 6x – 13

4. Amatilah hubungan antara nilai diskriminan (D) dan per-

potongan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Kesimpulan

apa yang kalian peroleh?

Dari praktikum dapat disimpulkan bahwa:

1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik bila

______.

2. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik bila

______.

3. Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X bila ______.

Diskusikan bersama teman sebangkumu.

Gambarlah sketsa hubungan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X pada kotak-kotak yang tersedia

berikut ini.

D > 0

D = 0D < 0

x1

x2

x1 = x

2

sumbu X

sumbu Xsumbu X


Bentuk Parabola

D > 0 D < 0D = 0

a < 0

Agar dapat membedakan fungsi yang definit positif dan negatif

lengkapilah isian berikut.

1. Fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5.

a = . . . .

D = (. . . .)2 – 4 · . . . . · . . . . = . . . . – . . . . = . . . .

Nilai a . . . . . . . . dan D . . . . . . . . .

Jadi, fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5 definit . . . . . . . .

2. Diberikan fungsi kuadrat g(x) = –x2 + 10x – 30.

a = . . . .

D = . . . . – 4 · . . . . · . . . . . = . . . . . – . . . . . = . . . . .

Nilai a . . . . . . . . dan D . . . . . . . . .

Jadi, fungsi kuadrat g(x) = –x2 + 10x – 30 definit . . . . . . . . .

3. Diberikan fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5.

a = . . . .

D = (. . . .)2 – 4 · . . . . · (. . . .) = . . . . + . . . . = . . . .

Nilai D . . . . . . . .

Jadi, fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5 . . . . . . . . . . . . . . .

Akan dibuat fungsi kuadrat ber-

bentuk y = x2 + bx + c dengan b

dan c anggota himpunan {1, 2, 3,

4, 5, 6}. Berapa banyak fungsi

kuadrat definit positif yang dapat

dibuat?

Jawaban:

a = 1 bernilai positif

Syarat definit: D < 0

b2 – 4ac < 0

b2 < 4c

c = 1 → b = 1 (1 fungsi)

c = 2 → b = 1, 2 (2 fungsi)

c = 3 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi)

c = 4 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi)

c = 5 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi)

c = 6 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi)

Jadi, dapat disusun 17 fungsi yang

definit positif.

x1 x

2

x1 = x

2

sumbu X

sumbu Xsumbu X

Perhatikan hasil diskusimu.

Khusus D < 0, grafik seluruhnya akan berada di atas sumbu X (terbuka ke atas) atau grafik seluruhnya

berada di bawah sumbu X (terbuka ke bawah).

Fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di atas sumbu X disebut fungsi kuadrat definit positif.

Sebaliknya, fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di bawah sumbu X disebut fungsi kuadrat

definit negatif.

Syarat fungsi kuadrat definit adalah nilai D _______.

Syarat fungsi kuadrat definit positif adalah nilai D _______ dan a _______.

Syarat fungsi kuadrat definit negatif adalah nilai D _______ dan a _______.

negatifnegatif

positifnegatif

negatif

1–4 51 2016 –4

positif

–1102 –30–1 120100 –20

negatif

1–4 –51 2016 36

tidak definit

negatifpositif

negatif negatif

positif

pg bab 02b persamaan dan fungsi

Documents