rpp persamaan kuadrat
TRANSCRIPT
Nama: FAJAR MIFTAKHURROHMAN
NPM: 13310287
Kelas: 3J
Blog: fajarcoeg.blogspot.com
DO YOU KNOW????????
Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad
Ibn Musa al-khawarizmi. Selain itu beliau
dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin
Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di
Barat sebagai al- Khawarizmi, al-Cowarizmi, al-
Ahawizmi, al-Karismi, al-Goritmi, al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau
dilahirkan di Bukhara.Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan al-Khawarizmi. al-
Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan al-Khawarizmi
hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di
Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di
Baghdad. Dalam pendidikan telah dibuktikan bahawa al- Khawarizmi adalah seorang tokoh
Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang
syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung,
sejarah Islam dan kimia. AL KHAWARIZMI SEBAGAI GURU BESAR ALJABAR DI
EROPA Beliau telah menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan
Khalifah al-Maβmun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah
observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya
untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India
dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis
Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama
kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari
dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu
populer yang masih digunakan sampai sekarang.
A. PERSAMAAN KUADRAT
a) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Masih ingatkah kalian tentang bentuk Persamaan Linear Satu variabel (PLSV)?
PLSV adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 1, contoh a :
2x + 3 = 0, 2q β 11 = 0, 3x + 21 = 0
Nah sekarang coba perhatikan contoh b berikut:
a. π₯ 2 + 3π₯ = 7
b. 2π₯ 2 + 9π₯ = 11
c. π₯ 2 + 3π₯ = 3
AYO BERFIKIR !
Dari yang kalian amati, apa perbedaan dari contoh a dan b yang terlihat?
Jelas terlihat bahwa perbedaannya terletak pada pangkat dari variabel. Pada contoh a
pangkat tertinggi dari variabel adalah 1, sedangkan pada contoh b pangkat tertinggi dari
variabel adalah 2.
Lalu apa yang dapat kita simpulkan dari kedua contoh tersebut?
PERSAMAAN KUADRAT adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat
tertinggi 2 seperti pada contoh 1.2. secara umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai
berikut :
πππ + ππ + π = π, π β π π ππ π, π, π β β
konstanta
Konstanta adalah symbol yang menunjukan
bilangan tertentu. Konstanta yang terletak di
depan variabel juga bias disebut koefisien.
Contoh 1a :
Ubahlah persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat :
2π₯ 2 + 23π₯ β 9 = π₯ 2 β 7π₯ + 3
Penyelesaian :
2π₯ 2 + 23π₯ β 9 = π₯ 2 β 7π₯ + 3
β 2π₯2 + 23π₯ β 11 = π₯ 2 β 7π₯
β 2π₯2 + 30π₯ β 11 = π₯ 2
β π₯ 2 + 30π₯ β 11 = 0
Jadi bentuk umum persamaan kuadrat 2π₯ 2 + 23π₯ β 9 = π₯ 2 β 7π₯ + 3 adalah π₯ 2 + 30π₯ β
11 = 0.
b) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara yaitu :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Rumus ABC
1) Memfaktorkan
REMIND ME
Masih ingatkah kalian dengan perkalian bentuk aljabar?
Mari kita perhatikan contoh berikut ini.
Perkalian bentuk aljabar
π₯(π₯ + 9) = π₯ 2 + 9π₯ (π₯ + 2)(π₯ β 5) = π₯ 2 β 5π₯ + 2π₯ β 10
(π₯ + 2)(π₯ β 5) = π₯ 2 β 3π₯ β 10
Bagaimana jika sebaliknya ????
π₯ 2 + 9π₯ = π₯(π₯ + 9) π₯ 2 β 3π₯ β 10 = (π₯ + 2)(π₯ β 5)
Nah bentuk diatas yang disebut memfaktorkan.
AYO KITA AMATI
Berikut adalah langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat jika π = π.
Jika kita mempunyai persamaan kuadrat πππ + ππ + π = π, dan p,q adalah bilangan bulat
maka hasil pemfaktorannya adalah (π₯ + π)(π₯ + π).
(π₯ + π)(π₯ + π) = π₯2 + ππ₯ + ππ₯ + ππ
= π₯ 2 + (π + π)π₯ + ππ
Sehingga persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 ekivalen dengan π₯ 2 + (π + π)π₯ + ππ.
Jadi dapat kita simpulkan bahwa π + π = π πππ π. π = π.
Contoh 1.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari π₯ 2 + 6π₯ + 8 = 0.
Penyelesaian :
Mencari dua bilangan yang merupakan faktor dari 8 dan jika kedua bilangan dijumlahkan
menghasilkan 6. Jika bilangan itu p dan q maka π. π = 8 πππ π + π = 6.
Jadi kita peroleh π = 2 πππ π = 4
Sehingga persamaan kuadrat π₯ 2 + 6π₯ + 8 = 0
dapat difaktorkan sebagai berikut :
π₯2 + 6π₯ + 8 = 0
π₯ 2 + 6π₯ + 8 = 0
P Q π + π π. π
1 8 9 8
2 4 6 8
-1 -8 -9 8
-2 -4 -6 8
(π₯ + 2)(π₯ + 4) = 0
π₯ = β2 ππ‘ππ’ π₯ = β4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {β4, β2}.
Contoh 2.b :
Selesaikan x2 β 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 β 4 x + 3 = 0
(x β 3) (x β 1) = 0
x β 3 = 0 atau x β 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 β 4 x + 3 = 0
adalah 3 dan 1.
Contoh 3.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x β
2)2 = x β 2.
Jawab: (x β 2)2 = x β 2
x2 β 4 x + 4 = x β 2
x2 β 5 x + 6 = 0
(x β 3) (x β 2) = 0
x β 3 = 0 atau x β 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3
, 2}.
Contoh 4.b :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6
= 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = β2 atau x = β 1
Jadi, penyelesaiannya adalah β2 dan β1.
Cara memfaktorkan persamaan kuadrat jika π β π.
Untuk mengetahui bagaimana caranya mencari akar-akar persamaan kuadrat jika π₯ 2 + ππ₯ +
π = 0, π β 1. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 2π₯ 2 + π₯ β 3 = 0 !
Penyelesaian :
Kita mencari dua bilangan jika dikalikan hasilnya π. π dan jika dijumlahkan hasilnya b.
Didalam soal π. π = 2. (β3) = β6 πππ π = 1.
Kita peroleh kedua bilangan tersebut adalah β2 πππ 3.
2π₯ 2 + π₯ β 3 = 2π₯ 2 + β― β 3
= 2π₯ 2 β 2π₯ + 3π₯ β 3 jabarkan x menjadi βππ + ππ
= (2π₯ 2 β 2π₯) + (3π₯ β 3) beri tanda kurung
= 2π₯(π₯ β 1) + 3(π₯ β 1) faktokan bentuk aljabar didalam kurung
= (2π₯ + 3)(π₯ β 1) gunakan sifat distributif
Sehingga dapat diselesaikan sebagai berikut :
2π₯ 2 + π₯ β 3 = 0
(2π₯ + 3)(π₯ β 1) = 0
π₯ = β3
2 ππ‘ππ’ π₯ = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {β3
2, 1}.
2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi
Ada beberapa langkah, yaitu :
1. Koefisien x2 harus 1
2. Konstanta pindah ke ruas kanan x2 + mx = n
3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q
Contoh 6.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari π₯ 2 + 8π₯ + 12 = 0!
(x + p)2 = q
Penyelesaian :
π₯ 2 + 8π₯ + 12 = 0
π₯ 2 + 8π₯ = β12
π₯ 2 + 8π₯ + (1
2. 8)
2
= β12 + (1
2. 8)
2
π₯ 2 + 8π₯ + 16 = β12 + 16
(π₯ + 4)2 = 4
(π₯ + 4) = Β±β4
(π₯ + 4) = Β±2
π₯ = 2 β 4 = β2 ππ‘ππ’ π₯ = β2 β 4 = β6
Jadi himpunan penyelesaiannya {β6,β2}
Contoh 7.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 β 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 β 6 x + 5 = 0
x2 β 6 x + 9 β 4 = 0
x2 β 6 x + 9 = 4
(x β 3)2 = 4
x β 3 = 2 atau x β 3 = β2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
3) Menggunakan Rumus Kuadratik
Selain menggunakan pemfaktoran, mencari akar-akar persamaan kuadrat πππ + ππ +
π = π adalah dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa disebut rumus abc. Rumus
kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :
ππ₯ 2 + ππ₯ + π
kedua ruas ditambah βc, maka menjadi :
ππ₯ 2 + ππ₯ + π
Kedua ruas dibagi dengan a
ππ₯ 2
π+
ππ₯
π=
βπ
πβ π₯ 2 +
ππ₯
π=
βπ
π
Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambahkan (π
2π)
2
pada kedua ruas, maka
diperoleh:
π₯ 2 +ππ₯
π+ (
π
2π)
2
=βπ
π+ (
π
2π)
2
Nyatakan ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna, yaitu :
(π₯ +π
2π)
2
=βπ
π+
π2
4π2
(π₯ +π
2π)
2
= β 4ππ
4π2+
π2
4π2
(π₯ +π
2π)
2
=π2 β 4ππ
4π2
π₯ +π
2π= Β±β
π2 β 4ππ
4π2
π₯ +π
2π= Β±
βπ2 β 4ππ
β4π2
π₯ +π
2π= Β±
βπ2 β 4ππ
2π
π₯ = βπ
2πΒ±
βπ2 β 4ππ
2π
π₯ =βπ Β± βπ2 β 4ππ
2π
Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 adalah
Contoh 8.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 6π₯ 2 β 5π₯ +
1 = 0.
Penyelesaian :
6π₯ 2 β 5π₯ + 1 = 0
π = 6, π = β5, π = 1
ππ,π =βπ Β± βππ β πππ
ππ
π₯1,2 =β(β5) Β± β(β5)2 β 4.6.1
2.6
π₯1,2 =5 Β± β25 β 24
12
π₯1,2 =5 Β± β1
12
π₯1,2 =5 Β± 1
12
Jadi diperoleh π₯1 =5+1
12=
6
12=
1
2 dan π₯2 =
5β1
12=
4
12=
1
3. Himpunan penyelesaian {
1
3,
1
2}
Contoh 9.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 11π₯ 2 +
9π₯ β 17 = 0.
Penyelesaian :
11π₯ 2 + 9π₯ β 17 = 0
π = 11, π = 9,π = β17
ππ,π =βπ Β± βππ β πππ
ππ
π₯1,2 =β(9) Β± β(9)2 β 4.11.17
2.11
π₯1,2 =β9 Β± β81 β 748
22
ππ,π =βπ Β± βππ β πππ
ππ
π₯1,2 =β9 Β± β667
22
Jadi diperoleh π₯1 =β9+β667
22 dan π₯2 =
β9ββ667
22. Himpunan penyelesaian {
β9+β667
22,
β9ββ667
22}
Latihan 1
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
a. x2 β 3x + 2 = 0
b. 3x2 β 9x = 0
c. 6x2 β 13x + 6 = 0
d. 5p2 + 3p + 2 = 0
e. 9x2 β 3x + 25 = 0
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian
tentukanlah akar-akarnya!
a. 2x β x(x + 3) = 0
b. (x β 3) (x + 2) β 2x2 + 12 = 0
c. (x β 3)2 + 2(x β 3) β 3 = 0
3. Salah satu akar x2 β mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a β 1)x2 + (3a β 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang
lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang
dengan panjang dan lebar berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah
panjang dan lebar kartu nama itu!
c) Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari rumus kuadratik tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh
nilai ππ β πππ. Bentuk ππ β πππ disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat
ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 dan dilamangkan dengan huruf D, sehingga π· = ππ β πππ.
Pemberian nama/istilah diskriminan π· = ππ β πππ, dikarenakan nilai π· = ππ β πππ ini
yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan
diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut :
Contoh 1.c :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat x2
+ 5 x + 2 = 0
Penyelesaian :
x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 β 4ac = 52 β 4 . 1 . 2 = 25 β 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan
Contoh 2.c :
Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar
1) π· > 0 maka D merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real berlainan.
2) π· = 0 maka nilai D sama dengan nol, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real yang sama (akar kembar).
3) π· < 0 maka D merupakan bilangan yang tak real (imajiner),maka persamaan kuadrat
tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real
(imajiner).
Penyelesaian :
Syarat akar kembar D = 0, maka
π2 β 4ππ = 32 β 4ππ
0 = 9 β 4π2
4π2 = 9
π = Β±β9
4
π = Β±3
2
Jadi agar persamaan kuadrat mempunyai akar kembar π = Β±3
2
Contoh 3.c :
Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2 β 2x + (m + 1) = 0 Tidak mempunyai
akar nyata.
Penyelesaian :
Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka
b2 β 4ac < 0
22 β 4.1. (m + 1) < 0
4 β 4π β 4 < 0
β4π < 0
π < 0
jadi agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata π < 0.
Latihan 2
1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat
berikut ini:
a. x2 + 6x + 6 = 0
b. x2 + 2x + 1 = 0
c. 2x2 + 5x + 5 = 0
d. β2x2 β 2x β 1 = 0
e. 6t2 β 5t + 1 = 0
f. 4c2 β 4c + 3 = 0
2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama
(kembar)!
a. 4x2 + 8px + 1 = 0
b. 4x2 β 4px + (4p β 3) = 0
c. px2 β 3px + (2p + 1) = 0
3. Persamaan x2 β 4px β (p β 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
4. Buktikan bahwa persamaan x2 β px β (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
5. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
d) Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 mempunyai akar π₯1 πππ π₯2 dari rumus kuadratik
π₯1 =βπ+βπ2β4ππ
2π dan π₯2 =
βπ ββπ2β4ππ
2π dapat di tentukan :
a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
π₯1 + π₯2 =βπ +βπ2β4ππ
2π+
βπββπ2β4ππ
2π
π₯1 + π₯2 =βπ + βπ2 β 4ππ β π β βπ2 β 4ππ
2π
π₯1 + π₯2 =β2π
2π
π₯1 + π₯2 =βπ
π
b. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
π₯1 . π₯2 = (βπ + βπ2 β 4ππ
2π) (
βπ β βπ2 β 4ππ
2π)
π₯1 . π₯2 =(βπ)2 + βπ2 β 4ππ β πβπ2 β 4ππ β (π2 β 4ππ)
4π2
π₯1 . π₯2 =π2βπ2 +4ππ
4π2
π₯1 . π₯2 =4ππ
4π2
π₯1 . π₯2 =π
π
ππππ
π₯1 + π₯2 =βπ
π
ππππ
π₯1 . π₯2 =π
π
Contoh 1.d :
Akar-akar 2π₯ 2 β 5π₯ + 4 = 0 adalah π₯1 dan π₯2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan
tersebut hitunglah π₯12 + π₯2
2.
Penyelesaian :
π₯1 + π₯2 =βπ
π=
β(β5)
2=
5
2 , π₯1 . π₯2 =
π
π=
4
2= 2
π₯12 + π₯2
2 = (π₯1 + π₯2)2 β 2π₯1 . π₯2 = (5
2 )
2
β 2.2 =25
4β 4 =
25 β 16
4=
9
4=
3
2
Contoh 2.d :
Persamaan kuadrat β2π₯ 2 + 4π₯ β 5 mempunyai akar-akar πΌ πππ π½.
Tentukan :
a. πΌ + π½
b. πΌ. π½
c. πΌ2 + π½2
d. πΌ3 + π½3
e. 1
πΌ+
1
π½
f. 1
(πΌ+2)+
1
(π½+2)
Penyelesaian :
β2π₯ 2 + 4π₯ β 5
π = β2 ,π = 4 , π = β5
a. πΌ + π½ =βπ
π=
β4
β2= 2
b. πΌ. π½ =π
π=
β5
β2=
5
2
c. πΌ2 + π½2 = (πΌ + π½)2 β 2πΌ. π½
= 22 β 2.5
2
= 4 β 5
= β1
d. πΌ3 + π½3 = (πΌ + π½)3 β 3πΌ. π½(πΌ +
π½)
= 23 β 3.5
2. 2
= 8 β 15
= β7
e. 1
πΌ+
1
π½=
πΌ+π½
πΌ.π½=
2
5/2=
4
5
f. 1
(πΌ+2)+
1
(π½+2)
=(π½ + 2) + (πΌ + 2)
(πΌ + 2)(π½ + 2)
=(πΌ + π½) + 4
πΌ. π½ + 2πΌ + 2π½ + 4
=(πΌ + π½) + 4
πΌ. π½ + 2(πΌ + π½) + 4
=2 + 4
52 + 2(2) + 4
=6
212
=12
21
=4
7
e) Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
1. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x
β x1) (x β x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika
akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x β x1) (x β x2) = 0.
Contoh 1.e :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Penyelesaian :
(x β x1) (x β x2) = 0
(x β 3) (x β (-2)) = 0
(x β 3) (x + 2) = 0
x2 β 3 x + 2 x β 6 = 0
x2 β x β 6 = 0.
Jadi persamaan kuadrat yag terbentuk adalah x2 β x β 6 = 0.
Contoh 2.e :
Susunlah Persamaan kuadrat baru (PKB) yang akar-akarnya adalah
a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)
= x2 - 9x +14
b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}
= (x+3) (x+4)
= x2 + 7x + 12
c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)
= (x+7) (x-2)
= x2 + 5x β 14
2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat
Dengan menggunakan π₯1 + π₯2 =βπ
π dan π₯1 .π₯2 =
π
π maka akan diperoleh persamaan sebagai
berikut :
Contoh 3.e :
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 β 3x + 1 = 0.
Penyelesaian :
π = 2 ,π = β3 ,π = 1
π₯1 + π₯2 =βπ
π=
β(β3)
2=
3
2
π₯1 . π₯2 =π
π=
1
2
β’ Misalkan akar-akar persamaan 2x2 β 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan
kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2. 3
2= 3
a. b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . 1
2= 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 β (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 β 3x + 2 = 0.
ππ β (ππ + ππ)π + ππ . ππ = π
Contoh 4.e:
1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+β5 dan 2-β5!
Jawaban : x1 + x2 = (2+β5) +(2-β5) = 4
x1.x2 = (2+β5) (2-β5) = -1
Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
=> x2 - 4x - 1 = 0
2. x1 dan x2 adalah akar2 persamaan kuadrat x2 - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat
baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.
Jawaban : x1 + x2 = -b/a = 2 dan x1.x2 = c/a = 5
x1 = (x1 + 3) dan x2 = (x2 + 3)
maka, x1 + x2 = (x1 + 3) + (x2 + 3) dan x1.x2 = (x1 + 3) (x2 + 3)
= (x1 + x2) + 6 = x1.x2 + 3(x1+x2) + 9
= 2 + 6 = 5 + 3.2 + 9
= 8 = 20
Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
=> x2 - 8x + 20 = 0
LATIHAN 3
1. Akar-akar x2 β 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan
tersebut, hitunglah nilai:
a. x1 + x2
b. x1.x2
c. x12 + x2
2
d. x13 + x2
3
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya β2 dan β3.
3. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar
persamaan x2 β 2x + 3 = 0.
4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 β 3x + 1 =
0 .
B. FUNGSI PERSAMAAN KUADRAT
Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan) , dan Range (Daerah Hasil)
a) Pengertian Domain, Kodomian, Range
Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B.
a. Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta fungsi f
b. Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi f
c. Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota
himpunan A disebut dengan daerah hasil atau range atau peta fungsi f.
Contoh 1:
Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut.
a. F(x) = 4x+1
b. F(x) =βπ₯ β 16
c. F(x) = 5
5βπ₯
Jawab :
a. Untuk sembarang x bilangan real , f(x) = 4x+1 akan bernilai real atau terdefinisi.
Jadi domainnya adalah x β¬ R atau DF = { X | X β¬ R }
b. Fungsi f(x) = βπ₯ β 16 akan terdefinisi jika bilangan di dalam tanda akar tidak bernila
negatif
x-16 β₯ 0 x β₯ 16
dengan demikian , domain dari f adalah Df = {x | x β₯ 16}
c. Fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Oleh karena
itu,
5 β x β 0 atau x β 5
Jadi domainnya {x |x β¬ R, x β 5}
b) Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh rumus π(π₯) = ππ₯ 2 +
ππ₯ + π, dengan π, π, π β π πππ π β 0 dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah x. Jika f(x) =
0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi
persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
c) Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Contoh 2:
Ditentukan: f(x) = x2 β 6x β 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = β2
3. Jawab:
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 β 6 x β 7 = 0
(x β 7) (x + 1) = 0
Bentuk umum fungsi kuadrat:
π(π₯) = ππ₯ 2 + ππ₯ + π, ππππππ π, π, π β πππ π β 0
x = 7 atau x = β1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan β1
Untuk x = 0 maka f(0) = β7
x = β2 maka f(β2) = (β2)2 β 6 (β2) β 7 = 9
d) Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:
i. titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
ii. titik balik atau titik puncak parabola.
iii. Persamaan sumbu simetri.
Berikut ini adalah penjelasan dari langkah- langkah di atas :
i. Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y
a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y= 0, sehingga ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0
merupakan kuadrat dalam x.
Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu
x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 ,yaitu π· = π2 β 4ππ menentukan
banyak titik potong grafik dengan sumbu x.
b) Titik Potong Grafik dengan Sumbu y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika π₯ = 0, sehingga
1. Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit.
Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x.
3. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu
x.
π¦ = π(0)2 + π(0) + π β π¦ = π
Jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,π).
c) Titik balik atau titik puncak dan persamaan sumbu simetri
Cara 1 :
Mencari nilai π₯π menggunakan π₯π =βπ
2π
Untuk mencari π¦π, substitusikan nilai π₯π =βπ
2π ke π¦ = π(π₯) = ππ₯ 2ππ₯ + π
Cara 2 :
Menggunakan rumus untuk menentukan titik (π₯π ,π¦π) = (βπ
2π,
π2β4ππ
β4π) atau (π₯π , π¦π) =
(βπ
2π,
π·
β4π)
Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik stationer)
d) Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya dengan menstubstitusikan nilai x
pada fungsi
e) Buat daftar nilai f dalam table seperti dibawah ini :
x
y
(x,y)
f) Gambarlah titik-titik (x,y) pada bidang koordinat.
Dengan memperlihatkan nilai D dari suatu fungs kuadrat π¦ = π(π₯) = ππ₯ 2 + ππ₯ + π, ada 6
kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x, yaitu sebagai berikut :
Contoh :
Gambarlah sketsa grafik βπ₯ 2 + 2π₯ β 1 !
Penyelesaian :
Grafik fungsi kuadrat π¦ = π(π₯) = βπ₯ 2 + 2π₯ β 1 adalah sebuah parabola.
π = β1 ,π = 2 ,π = β1
Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y
a) Titik potong grafik jika π¦ = 0
βπ₯ 2 + 2π₯ β 1 = 0
Kedua ruas dikalikan dengan β1, menjadi :
βπ₯ 2 β 2π₯ + 1 = 0
(π₯ β 1)(π₯ β 1) = 0
π₯ = 1
Jadi diperoleh titik potong (1,0) atau grafiknya menyinggung sumbu x di (1,0)
b) Titik potong grafik jika π₯ = 0
Ini berarti π¦ = β(0)2 + 2(0) β 1 = β1
Jadi diperoleh titik potong (0, β1)
c) Koordinat titik balik
π₯π =βπ
2π=
β2
2(β1)= 1
Oleh karena π = β1 < 0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga
parabolanya terbuka ke bawah.
d) Persamaan sumbu simetri adalah π¦ππ2β4ππ
β4π=
22 β4 (β1)(β1)
β4(β1)= 0
e) π¦ = π(π₯) = βπ₯ 2 + 2π₯ β 1
x 0 1 2
y -1 0 -1
(x,y) (0,β1) (1,0) (2,β1)
f) Jadi sketsa grafiknya sebagai berikut :