Nama:

FAJAR MFTAKHURROHMAN

3J / 13310287

1. Menyelesaikan Persamaan

kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a) memfaktorkan,

b) melengkapkan kuadrat sempurna,

c) menggunakan rumus.

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2)

= 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan

kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

c) Menggunakan rumus abc

Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk

menentukanakar-akarpersamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering

disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan

cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

• Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐

Kedua ruas dibagi dengan a dimana a

𝑎𝑥2

𝑎+𝑏𝑥

𝑎=−𝑐

𝑎

↔ 𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎=−𝑐

𝑎Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan

cara menambah 𝑏

2𝑎

2pada kedua ruas,

maka di peroleh :

𝑥2 +𝑏𝑥

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

=−𝑐

𝑎+

𝑏

2𝑎

2

Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat

sempurna yaitu :

𝑥 +𝑏

2𝑎

2

= −𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎

2

= −4𝑎𝑐

4𝑎2+

𝑏2

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat

ax2+ bx+ c =0

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

dengan cara menggunakan rumus

kuadrat 6𝑥2– 5x + 1 = 0

Jawab :

a=6 , b=-5, c=1

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−(−5) ± (−5)2−4.6.1

2.6

𝑥1,2 =5 ± 25 − 24

12

𝑥1,2 =5 ± 1

12

𝑥1,2 =5 ± 1

12

Jadi :

𝑥1 =5 + 1

12=

6

12=1

2

Atau 𝑥2 =5−1

12=

4

12=

1

3

Hp =1

2,1

3

Penggunaan Diskriminan

Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar

persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 (a) dengan menggunakan rumus kuadrat atau

rumus abc, yaitu:

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan

oleh nilai 𝑏2– 4ac.

Bentuk 𝑏2– 4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat a𝑥2+ bx

+ c= 0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = 𝑏2– 4ac.

Pemberian nama/istilah diskriminan D = 𝑏2– 4ac , dikarenakan nilai D = 𝑏2-4ac

ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan

kuadrat.Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar

persamaan kuadrat

Jenis-jenis Akar Persamaan

Kuadrat• D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga

persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .

• D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua

akar real sama. .

• D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka

persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat

mempunyai akar tidak real.

• Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis

akar persamaan kuadrat x2 + 5 x + 2 = 0

Jawab :x2 + 5 x + 2 = 0

• a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar

real berlainan

Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 mempunyai akar x1dan x2 , dari rumus

𝑥1 =−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎dan 𝑥2 =

−𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Dapat ditentukan :

a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎+−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

b) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

𝑥1. 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1. 𝑥2 =−𝑏 2 + 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1. 𝑥2 =𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1. 𝑥2 =4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1. 𝑥2 =𝑐

𝑎

CONTOH

Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan

persamaan tersebut, hitunglah nilai x12 + x2

2

Jawab :

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎=−(−3)

1= 3

𝑥1. 𝑥2 =𝑐

𝑎=4

1= 4

x12 + x2

2 = x12 + x2

2 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2(3)2– 2 . 4 =9-8= 1

Menyusun Persamaan Kuadrat

a) Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan

perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0

dapat dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2) = 0 sehingga

diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan

demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka

persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh

• Tentukan persamaan kuadrat yang akar-

akarnya 3 dan -2.

Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0

x2 – x – 6 = 0.

Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan

hasil kali akar-akar

Dengan menggunakan x1 + x2 = −𝑏

𝑎dan

𝑥1. 𝑥2 =𝑐

𝑎, maka akan diperoleh persamaan:

• x2– (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

Contoh

• Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan

2x2 – 3x + 1 = 0.

Jawab:

• Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta

persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2

a + b = 2(x1 + x2) = 2

a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x2 – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..

Menyusun persamaan kuadrat yang akar-

akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan

kuadrat lainSeringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya

berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar

persamaan x2 – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2

= 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q

= x2 +3

p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.

Fungsi Kuadrat

Ingat !• Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang

memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

pada himpunan B.

• Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan

dengan lambang f: A →B (dibaca: f memetakan A ke B).

Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b,

dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-

nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

• Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f

2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Lanjutan

• Jawab:

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f(0) = –7

x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

Gambar grafik fungsi kuadrat

Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan

f(x)= ax2 +bx +c (a ≠ 0), a, b, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu

adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.

Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara

umum, dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

(i). titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.

(ii). titik balik atau titik puncak parabola.

(iii). Persamaan sumbu simetri.

Langkah-langkah

Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y

a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X

• Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y= 0, sehingga ax2+bx + c

= 0 merupakan kuadrat dalam x.

Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya

dengan sumbu x. nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0, yaitu

D = b2- 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x.

1. jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang

berlainan.

2. Jika D=0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang

berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X.

3. Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung

sumbu x.

Titik Potong Grafik dengan sumbu y

Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0,

sehingga

y = 𝑎(0)2+ b(0) + c = c- Jadi, titik potong grafik dengan

sumbu y adalah (0,c)

titik balik atau titik puncak dan Persamaan sumbu

simetri

cara 1 :

Mencari nilai xp menggunakan 𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎

Untuk mencari 𝑦𝑝, substitusikan nilai 𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎ke 𝑦 =

𝑓 𝑥 =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

• Cara 2 : menggunakan rumus untuk menentukan titik

𝑥𝑝, 𝑦𝑝 =−𝑏

2𝑎,𝑏2−4𝑎𝑐

−4𝑎atau 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 =

−𝑏

2𝑎,𝐷

−4𝑎

• Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik

stationer)

Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya

dengan menstubstitusikan nilai x pada fungsi f

Buat daftar nilai f dalam tabel

Gambar titik-titik pada bidang koordinat

Dengan memperhatikan nilai a dan D dari suatu fungsi

kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan

grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X.

Contoh Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1

Jawab :

• Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2+2x – 1 adalah sebuah parabola dengan

• persamaan y = x2+2x -1, berarti a= -1, b =2, dan c = -1.

(i). Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.

a). Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0.

ini berarti: -x2-2x-1 = 0 (kedua ruas dikalikan -1)

⇔ x2-2x+1 = 0

(x-1)(x-1) = 0

x-1 = 0 atau x-1 = 0

x = 0+1 atau x = 0+1

x = 1 atau x = 1

Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (1,0) atau grafik menyinggung

sumbu x di titik (1,0).

b). Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x=0.

Ini berarti: y = -(0)2+2(0)-1

y = 0 + 0-1

y = -1

Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,-1).

(ii). Koordinat titik balik.

𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎=

−2

2.−1= 1

Oleh Karena a = -1<0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga

parabolanya terbuka ke bawah

(iii). Persamaan sumbu simetri adalahx =−𝑏

2𝑎=

−2

2.−1= 1

Jadi sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1adalah

Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga

buah titikContoh:

• Tentukan persamaan grafik fungsi

kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 ,

8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah y = a x2 +

b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–

1)2 + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8) ®

=a (1)2 + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6

= a (2)2 + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

• Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat

ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara

eliminasi.

Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong

sumbu-XMisalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan

0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p2 – q2) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p2 – q2)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0

ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0

ap2 – ap2 – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka

y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa

= a(x2 – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0)

dan (q,0).

• Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (5,0)

dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

• Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi

kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3 – 1)

= –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 +

4x – 5.

• Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu

diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q

• Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik

(0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)2 + 3

y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3

y = –3x2 + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.

Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

• Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik

akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik

tertinggi atau terendah adalah (x,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2

• Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui

titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)2

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)2 = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.