6-7. distribusi peluang diskrit dan kontinu - copy.pdf

7/22/2019 6-7. Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu - Copy.pdf

1/36

DISTRIBUSI PELUANG

Awit M. Sakinah S.Si

1


2/36

Definisi

Distribusi peluang menunjukkan hasil-hasil yang

mungkin terjadi dari suatu percobaan atau aktifitas

dengan probabilitas dari setiap hasil tersebut

Contoh :

Berapa peluang meraih untung dari menabung di beberapa bank

Berapa banyak mahasisiwa yang lulus statistika I tiap tahunnya

Berapa peluang mahasiswa psikologi akan lulus tiap tahunnya

2


3/36

Contoh Distribusi Peluang (1)

Tentukan distribusi peluang dari undian dengan tiga buah mata uanguntuk memperoleh Gambar (G)

Jawab:

Pengundian 3 mata uang menghasilkan kejadian: GGG, GGH, GHG, HGG,HHG, HGH, GHH, HHH

X = banyak muka G yang nampak,

maka X = 0, 1, 2, 3.

Didapat :

P(X = 0) = -> HHH

P(X = 1) = -> HHG, HGH, GHH

P(X = 2) = -> GGH, GHG, HGGP(X = 3) = -> GGG

Jadi distribusi peluangnya:

X P(X)

0123

Jumlah 1 3


4/36

Contoh Distribusi Peluang (2)

Tentukan distribusi peluang jumlah anak

perempuan dari keluarga dengan 2 anak

4


5/36

Jawaban :

Misal X = jumlah anak perempuan dari keluarga dengan 2

anak

Maka nilai X yang mungkin : 0, 1, 2

Jadi distribusi peluangnya :

1 1 1( 0) ( )2 2 4

1 1 1 1 2( 1) ( ) ( )

2 2 2 2 4

1 1 1( 2) ( )

2 2 4

P X P L L

P X P L P P P L

P X P P P

X P(X)

012

Jumlah 15


6/36

Sifat Distribusi Peluang

X P(X)

0123

Jumlah 1

X P(X)

01

2

Jumlah 1

0i

p

1i

p

6


7/36

Pembagian Distribusi Peluang

Dist. Peluang Diskrit

Hasil pencacahan

Mengandung bilangan bulat

Contoh : Pelemparan dadu,

munculnya nilai dadu 2

Besarnya peluang = p(x)

Dist. Peluang Kontinu

Hasil pengukuran

Mengandung bilangan pecahan,bulat

Contoh : Berapa peluang tinggibadan kelas D dengan tinggi150 cm = 1, 5 m

Besarnya peluang = f(x)

Contoh :1. Dist. Binomial

2. Dist. Multinomial

3. Dist. Poisson

4. Dist. Hipergeometrik

Contoh :1. Dist. Normal

2. Dist. Gamma

3. Dist. Chi-square

7


8/36

Contoh

Pada contoh (2)

Setelah menentukan distribusi peluang dari jumlah anak perempuandari keluarga dengan 2 anak. Tentukan rata-rata anak perempuanyang akan dimiliki

Jawab :

Jadi, rata-rata jumlah anak perempuan yang dimiliki anak 1 oranganak perempuan

. ( )

1 2 1= 0 1 2

4 4 4

= 0 + 2/4 + 2/4

= 1

Rata rata

E X x p x

X P(X)

012

Jumlah 1

8


9/36

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

9


10/36

Distribusi Peluang Diskrit

1. Dist. Binomial

x n xn

p(x) p (1 p) , x 0,1,2.....nx

Dengan p = Peluang percobaan suksesn = banyaknya percobaanx = banyaknya gejala sukses yang terjadi.

Nilai harapan = np dan variansi 2 = np (1-p)

Ciri-ciri:

Hanya terdiri atas 2 kejadian, Contoh : Sukses dan Gagal

Peluang sukses atau gagal sifatnya tetap

Percobaannya independen -> hasil percobaan satu tidak

mempengaruhi hasil percobaan lain

10


11/36


1. Dist. Binomial Contoh (1):

15% dari mahasiswa yang nilainya tinggi memiliki IQ diatas standar. Jika 5

mahasiswa dengan nilai tinggi diambil, berapa peluang dari :

a. 3 diantaranya memiliki IQ diatas standar

b. Tidak lebih dari 2 mahasiswa memiliki IQ diatas standar

Jawaban:

Misal X= jumlah mahasiswa yang nilainya tinggi

Jadi, peluang 3 diantara 5 mahasiswa memiliki IQ diatas standar adalah 0,024

:

15% 0,15

5

Diketahui

p

n

3 5 3

( ) (1 )

5

( 3) 0,15 (1 0,15)3

=0,024

x n xn

p x p px

P X

11


12/36

Jawaban (lanjutan)

b. Tidak lebih dari 2 mahsiswa IQ diatas standar

Jadi peluang tidak lebih dari 2 mahasiswa yang nilainya tinggi memiliki IQ diatasstandar adalah 0,859

Distribusi Peluang Diskrit1. Dist. Binomial

0 5 0

1 5 1

2 5 2

P X 2 P X 0 P X 1 P X 2

5P(X 0) 0,15 (1 0,15) = 0,444

0

5P(X 1) 0,15 (1 0,15) = 0,391

1

5P(X 2) 0,15 (1 0,15) = 0,024

2

P X 2 0, 444 0,391 0,024 0,859

12


13/36


2. Dist. Multinomial

Dengan p i = Peluang tiap percobaann = banyaknya percobaanxi = banyaknya tiap gejala terjadi.

Ciri-ciri:

Terdiri atas lebih dari 2 kejadian, Contoh : Sukses, seri dan gagal

Percobaannya independen -> hasil percobaan satu tidak mempengaruhi hasilpercobaan lain

kpppxxx

n xk

xx

k

...!!...!

!=xk),x2,P(x1, 22

1

1

21

13


14/36

Contoh (1):Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang

terdapat mata 1, mata 2, mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah

Jawaban:

Misal :

X1=peluang terdapat mata uang 1

X2=peluang terdapat mata uang 2...

X6=peluang terdapat mata uang 6

P(X=X1)= P (X=X2) = P(X=X3) = P(X=X4) = P(X=X5) = P (X=X6) = 1/6

Jadi, peluang peluang terdapat mata 1, mata 2, mata 6 masing-masing tepat

dua kali adalah 0,0034

Distribusi Peluang Diskrit2. Dist. Multinomial

0,0034

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

2!!2!2!2!2!2

!12=X6),X2,P(X1,

222222

14


15/36

Contoh (2):

Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh

mesin B dan 5 oleh mesin C. Sebuah barang diambil secara acak dari

kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam

kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan

demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.


15


16/36

Jelas bahwa

P (dari mesin A) = 3/12

P (dari mesin B) = 4/12

P (dari mesin C) = 5/12.P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

Jadi peluang 1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C adalah0,1206


kpppxxx

N xk

xx

k

...!!...!

!=xk),x2,P(x1, 22

1

1

21

1206,012

5

12

4

12

3

!3!2!1

!6

XC)XB,P(XA,

321

3A 4B 5C 12

16


17/36



DenganD = Ukuran sub populasi dengan kategori tertentu

N = Ukuran populasi

n = ukuran sampel

x = banyaknya kategori D di antara n objek yang terambil

Ciri-ciri:

Misalkan ada sebuah populasi berukuran N di antaranya terdapat D buahtermasuk kategori tertentu. Dari pupolasi ini sebuah sampel acak diambilberukuran n. Pertanyaan: berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buahtermasuk kategori tertentu itu

D N D

x n xP(X x) , x 1, 2,3,....n

N

n

17


18/36



Contoh:

Sekelompok wanita terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal21 Juni. Secara acak diambil 5 orang. Berapa dari 5 orang tersebut :

a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 21 Juni

b. Terdapat tidak lebih dari satu orang yang lahir tanggal 21 Juni

18


19/36



Diketahui:D = 3

N = 50

n =5

a. P(X 0)

D N D

x n xP(X x) , x 1,2,3,....n

N

n

3 50 3 3 47

0 5 0 0 5P(X 0) 0,724

50 50

5 5

Jadi peluang tidak ada satu pun dari 5 orang tersebut yang lahir tangga

l 21 Juni adalah 0,724

b. P(X 1)??

Ditanyakan :

a. P(X=0) ?

b. P(X1) ?

19


20/36


4. Dist. Poisson

Dengan :

P(X=x) = peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian N.x = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,

=rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.

N = jumlah kejadian.

e = 2,71828

Ciri-ciri:

Peluang peristiwa yang jarang terjadi, contoh : peluang kecelakaan pesawatterbang dalam setahun

N besar tapi peluang terjadinya sesuatu bernilai sangat kecil

Diketahui nilai rata-rata kejadian

!)(

x

exXP

x

dengan

N p

20


21/36


4. Dist. Poisson

Jawab :

Diketahui:

p= 0,0005N = 4000

Maka = 4000 x 0,0005 = 2

Contoh :

Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik =0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yangmendapat reaksi buruk:a) tidak ada

b) ada 2 orangc) lebih dari 2 orang, dand) Berapa rata-rata yang mendapatkan reaksi buruk.

21


22/36


4. Dist. Poisson

a) tidak ada

P(X=0)

1353,0

!0

2)0(

20

e

XP

!

)(

x

exXP

x

Jadi peluang tidak ada yang mendapatkan reaksi buruk adalah 0,1353

22


23/36

Ringkasan Distribusi Peluang Diskrit

Dist. Binomial

Peluangnyadiketahui danbesarnilainya

Hanya 2kejadian

DistMultinomial

Lebih dari 2kejadian

DistHipergeometrik

Ada kategoritertentu yangmenjadibatasan

Dist. Poisson

Peristiwa yangjarang terjadi(peluangnyakecil)

Diketahui nilairata-rata

23


24/36

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

24


25/36

Distribusi Peluang Kontinu1. Dist. Normal

Distribusi normal adalah distribusi yang paling penting di antara distribusi

yang lain.

Ciri-ciri:

Kurva dari distribusi normal mempunyai bentuk setangkup seperti lonceng

Simetris Memiliki 2 parameter ( dan )

Grafik berasimtut (selalu mendekati sumbu x)

Luas Grafik=1

25


26/36


26


27/36


27


28/36


21

21( )

2

x

f x e

Tranformasi

xZ

28


29/36


29


30/36


30


31/36


31


32/36


32


33/36

Distribusi Peluang Kontinu2. Aproksimasi Binomial pada Normal

Karena sampel (n) cukup besar maka distribusi binomial memiliki aproksimasi

(pendekatan) pada distribusi Normal agar perhitungannya menjadi lebih mudah

33


34/36


34


35/36


35


36/36


:

. Peluang kurang dari 30 orang akan sembuh

(0 29) ( 0,5 29,5)

0,5 40 29,5 40=P

4,899 4,899

=P(-8,26 < Z < -2,14)

=P

Jawab

b

P X P X

Z

(-2,14) - P(-8,26)

= 0,016 - 0,00

= 0,016

36

6-7. distribusi peluang diskrit dan kontinu - copy.pdf

Documents