Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika“Distribusi Peluang Diskrit 1”

Distribusi Peluang

Distribusi Peluang

Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya

masing-masing, dan peluang terjadinya

peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang

mengikuti suatu pola tertentu yang disebut

dengan distribusi

Distribusi peluang untuk suatu variabel acak

menggambarkan bagaimana peluang

terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak

Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu

fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau

f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap

nilai variabel acak

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Peluang

Distribusi Peluang

Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel

acaknya

Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka

distribusi peluangnya adalah distribusi

peluang diskrit, sedangkan jika variabel

acaknya variabel yang kontinu, maka

distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Uniform

Distribusi Uniform

Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit

adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling

sederhana

Distribusi probabilitas yang paling sederhana

adalah yang semua perubah acaknya

mempunyai probabilitas yang sama

Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2,

… , xk dengan probabilitas yang sama, maka

probabilitas distribusi diskrit diberikan oleh :

kxxxxk

kxf ,,, ,1

);( 21

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang

menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut

bergantung pada parameter x

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Uniform

Contoh Soal

Dalam suatu percobaan, jika sebuah dadu dilempar sebanyak 6

kali, maka setiap elemen dari ruang sampel

S = {1,2,3,4,5,6} memiliki nilai peluang yang sama yaitu 1/6,

karena kesamaan semua nilai peluang ini, kita dapat menyebut

bahwa percobaan tersebut berdistribusi seragam (Uniform)

Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

6,5,4,3,2,1,6

1)6;( xxfkxxxx

kkxf ,,, ,

1);( 21

Distribusi Uniform

Contoh Soal

Mean :

Varians :

k

i

i

k

i

ii xk

xkxfXE11

1);(][

k

i

i

k

i

ii xk

xkxfXE1

2

1

222 )(1

))(;(])[(

5.36

654321

12

35

6

)5.36(...)5.32()5.31( 2222

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa

usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang

dapat dikelompokan menjadi 2 kategori yaitu

sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan

percobaan bebas satu sama lainnya, serta

probabilitas kesuksesan tidak berubah dari

percobaan satu ke percobaan lainnya, maka

proses ini disebut proses Bernoulli

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli

Suatu eksperimen yang hasilnya selalu

diklasifikasikan sebagai S (sukses) dan G

(gagal) saja dengan P(S)=p dan P(G)=q=1-p,

jika X adalah variabel acak yang menyatakan

sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi

probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas

sebagai berikut :

Mean :

Varians :

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Bernoulli

Contoh Soal

Pada ujian pilihan ganda (4 pilihan), maka Peluang memilih

mendapat jawaban benar adalah P(S)=1/4. Sedangkan,

Peluang untuk mendapat jawaban salah adalah P(G)=3/4.

Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

µ = E(Xj) = p = 1/4

σ2 = V(Xj) = p(1-p) = (1/4)(3/4) = 3/16

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli

Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses

Bernoulli adalah :

- Distribusi binomial

- Distribusi geometrik

- Distribusi hipergeometrik

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan salah satu

contoh proses Bernoulli

Pada proses Bernoulli, suatu eksperimen sering

terdiri dari beberapa usaha yang berulang-

ulang, dimana tiap usaha hanya mempunyai

dua kemungkinan keluaran: sukses atau gagal,

kepala atau ekor, barang cacat atau barang

bagus, dll

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Fungsi distribusi probabilitas f(x) yang

menyatakan dari n kali eksperimen

(pengambilan) yang independen mengandung

x buah yang sukses adalah :

n.,…0,1,2,=Dengan x

),;( xnxqpx

npnxb

adalah notasi kombinasi untuk C(n, x)

x

n

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Ciri – ciri distribusi Binomial

Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan

tiap kali pengulangan hanya mempunyai

dua kemungkinan keluaran: “sukses” atau

”gagal”, dll

Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p,

besarnya tetap dari satu percobaan ke

berikutnya

Satu percobaan dengan yg berikutnya

bersifat independen

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Binomial

Contoh Soal

3 barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,

diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.

Misalkan yang cacat disebut cacat dan banyaknya kesuksesan

merupakan perubah acak X dengan nilai 0 sampai 3

Hasil X

TTT

TCT

TTC

CTT

TCC

CTC

CCT

CCC

0

1

1

1

2

2

2

3

C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena

barang diambil secara acak, dan misalkan

dianggap menghasilkan 25% barang cacat,

maka

3 3 914 4 4 64

P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )

Probabilitas untuk hasil kemungkinan yang

lain dilakukan dengan cara yang sama

Distribusi Binomial

Contoh Soal

Dengan persamaan Binomial

Distribusi perubah acak X dinyatakan dengan b(x;n,p).

Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat

Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan probabilitas x

sukses dalam n usaha suatu percobaan binomial b(x;n,p)

914 64

2 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )

0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n

x

314

33 0 1 2 3x xb(x; , ) p q ;x , , ,

x

0

1n

x

b(x;n,p)

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Mean / Nilai Harapan (Ekspektasi) dan Variansi

dari distribusi binominal :

npq

)1(

)(

2

pnp

npxE

x

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Binomial

Contoh Soal

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika

dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4

komponen yang dijatuhkan akan tidak rusak ?

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika

dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4

komponen yg dijatuhkan akan tidak rusak ?

128

27

16

1

16

9

)!24(!2

!4)

4

1()

4

3(

2

4)

4

3,4;2( 242

xnxqp

x

npnxb

Distribusi Binomial

Latihan Soal

1. 90% produk yang dihasilkan sebuah perusahaan berkualitas

baik. Kepala bagian produksi mengambil 5 produk, berapa

probabilitas bahwa sebuah produk tidak berkualitas baik ?

2. Peluang telur tidak menetas adalah 0,2 dan jika terdapat 5

telur, tentukan peluang dari :

a. jika semua telur menetas

b. minimal 4 telur menetas

Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial

Percobaan binomial akan menjadi percobaan

multinomial jika tiap usaha dapat memberikan

lebih dari 2 hasil yang mungkin

Misalnya hasil produksi pabrik dapat

dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan

masih bisa diperbaiki

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial

Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam

hasil

Dengan probabilitasnya maka

distribusi perubah acak yang

menyatakan banyaknya kejadian

Dalam n-usaha bebas adalah

1 2 kE ,E ,....,E

1 2 kp ,p ,....,p

1 2 kX ,X ,....,X

1 2 kE ,E ,....,E

1 21 2 1 2 1 2

1 2

k

k

x x xk; k

k

nf(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...p

x ,x ,...,x

1

k

ii

x n

1

1k

ii

p

Dengan dan

Distribusi

Peluang

Distribusi

Uniform

Distribusi

Bernoulli

Distribusi

Binomial

Distribusi

Multinomial

Distribusi Multinomial

Contoh Soal

Dua buah dadu dilempar 6 kali, berapa probabilitas akan

mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang

bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali ?

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^