STATISTIKADISTRIBUSI PELUANG

I KETUT GORDE YASE MASLABORATORIUM BIOMETRIKA

FAKULTAS PETERNAKAN UNIV.DIPONEGORO

RUANG CONTOH DAN KEJADIAN

• DEFINISI : Ruang Contoh adl himpunan semua kemungkinan hasil su atu

percobaan Kejadian adl.suatu himpunan bagian dari ruang contoh, di-

bedakan atas kejadian sederhana dan kejadian majemuk Ilustrasi: Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52) kartu

bridge, dinyatakan sbg A = {hati} yg merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S={hati,sekop,klaver,wajik}. Dan A adalah kejadian sederhana, sedangkan kejadian majemuk dari ilustrasi diatas (dinyatakan sebagai B) berupa teram-bilnya kartu merah. B={hati U wajik} = {hati,wajik}

PELUANG SUATU KEJADIANTeori peluang bagi ruang contoh terhingga memberi-

kan segugus bilangan nyata yg disebut pembobot atau peluang dengan nilai dari nol (0) sampai satu (1).

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang se-mua titik contoh dalam A

0≤p(A)≤1 p(ø)=0 p(S)=1Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan

yg berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkin- an yg sama utk terjadi dan bila tepat n diantara hasil percobaan tsb. menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A adalah : p(A) = n/N

DISTRIBUSI PELUANG

Pendahuluan Dalam suatu percobaan pelemparan sekeping mata uang akan

diperoleh p(G)=p(A)=1/2. Kalau dihitung banyaknya muka G yg nampak, maka muka H=0G dan muka G=1G dan kalau ba-nyaknya muka G diberi simbul X, maka utk muka H dan G, masing-masing X=0 dan X=1, shg didapat notasi baru p(X=0)=1/2 dan p(X=1)=1/2 seperti terlihat pada tabel berikut.

X P(X)

01

1/21/2

T o t a l 1

Untuk percobaan pelemparan 2 dan 3 keping mata uang, diperoleh distribusi peluang sbb. :

X P(X)012

1/42/41/4

T o t a l 1

X P(X)0123

1/83/83/81/8

T o t a l 1

Simbul X diatas bersifat variabel dan hanya memiliki har ga 0, 1, 2…, dst. dan setiap harga tsb terdapat nilai peluangnya yang disebut variabel random diskret.

Dalam ke-3 tabel tsb jumlah peluangnya selalu = 1 dan dikatakan bahwa distribusi peluang utk X telah terbentuk. Jadi variabel random diskret X menen-tukan distribusi peluang suatu kejadian.

Jika utk nilai-nilai X = x₁, x₂, x3, … ,xn terdapat peluang p(xi) = p(X=xi), shg: ∑p(xi)=1 ; maka p(x) disebut fungsi peluang variabel random X.

Variabel random yg tidak diskret disebut variabel random kontinyu, dimana harga X dibatasi oleh -∞<X<+∞

Distribusi Peluang Variabel Acak Diskret dan Kontinyu

• Distribusi Peluang Variabel Acak Diskret (DPD) adl. sebuah tabel atau rumus yg mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak

• Distribusi Peluang Variabel Acak Kontinyu (DPK) adl. sebuah rumus yg merupakan fungsi nilai peubah acak kontinyu, sehingga dapat digambarkan sbg suatu kurva kontinyu. Kurva ini disebut fungsi kepekatan peluang

Contoh DPD : tentukan distribusi probabilitas bagi jumlah bilangan bi-la sepasang dadu dilemparkan sekali

Jawab: Mis : X adl sebuah variabel random yg menyatakan

jumlah bilangan dari ke-2 dadu tsb. Maka X dapat mengambil sebarang nilai bulat dari 2 sampai 12. Dua dadu dapat terjadi dalam (6)(6) = 36 cara, masing2 dgn peluang 1/36.

p(X=3)=2/36, krn jumlah 3 hanya dapat terjadi dlm 2 cara. Dengan memperhatikan kemungkinan nilai -nilai lainnya maka sebaran peluangnya adl sbb.:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Contoh DPK

Sebuah var random kontinyu X yg mengambil nilai antara x=2 dan x=4 mempunyai fungsi kepekatan peluang

(a) Buktikan bahwa p(2<X<4)=1(b) Hitunglah p(X<3,5)(c) Hitunglah p(2,4<X<3,5) Jwb.: karena x dari fungsi densitasnya berderajat 1, maka kurva-nya adl

sebuah garis lurus dan dlm gambar utk daerah yg diarsir berupa trapesium, sehingga luasnya sama dengan jumlah ke-2 sisi sejajar kali alas dibagi dua

81)(

xxf

Dalam rumus dinyatakan sebagai :

{[f(2) + f(4)](2)}/2 karena f(2) = (2+1)/8 =3/8 dan f(4) = (4+1)/8 = 5/8 , maka :

p(2<X<4) = [(3/8+5/8)(2)]/2 = 1 (y)

2 4 (x)

2)..( xAlassejajarsisijumlahluas

Lanjutan

(b). f(2) = 3/8 dan utk f(3,5) diperoleh 4,5/8 sehingga luas yg diarsir memberikan p(X<3,5) = [(3/8+4.5/8)(1,5)]/2 = 0,70 (c). Utk f(2,4)=3,4/8 dan f(3,5)=4,5/8 sehingga luas yg diarsir memberikan p(2,4<X<3,5) = [(3,4/8+4,5/8)(1,1)]/2 = 0,54

Lanjutan ilustrasi kurva

(y)

2 3,5 4 (x) (y)

2 2,4 3,5 4 (x)

Jika X sebuah var random kontinyu, maka kita mempunyai fungsi densitas f(x) darimana probabilitas dapat di

hitung :

untuk menentukan prob bahwa X antara a dan b maka digunakan rumus

Ekspektasi utk var random kontinyu x ditentukan :

1)( dxxf

b

a

dxxfbXap )()(

dxxxfX )()(

Contoh :

Masa pakai,dinyatakan dgn X, utk semacam onderdil dapat dilukiskan oleh fungsi densitas eksponensial dengan persamaan :

Tentukan peluang sebuah onderdil demikian yang dapat dipakai selama antara 3 dan 3,5 bulan.Jwb:

0,2/1)( 2/1 xexf x

5,33

5,05,3

3

5,05,05,33(

xx

xx edxexp

Lanjutan

Untuk e = 2,7183Maka :

= -0,1738 + 0,2231 = 0,0493

5,175,1 ee

Grafik Berbagai Fungsi Densitas dari Data Statistik yang Bersifat Kontinyu

• Grafik untuk data berdistribusi Kai-kuadrat :

0 1 2 3 4 5 6 70123456

Y-Values

Y-Values

uv euKufXfY 2/112/1.)()(

Grafik untuk data berdistribusi non linear dgn 4 puncak

• Persamaan non linear : Y=f(X) = aX⁴+bX²+cX³+dX⁶y=f(x)

0 x1 x2 (X)

Lanjutan

• Fungsi densitas untuk persamaan garis lurus : Y = f(X) = a+bXY(X)

(X) x1 x2

Lanjutan

• Fungsi densitas distribusi normal :

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50123456

Y-Values

Y-Values

2)(2/1

21)(

x

eXfY

Beberapa Distribusi Peluang Diskret

• Sebaran Binomial adl suatu sebaran data hasil percobaan yg diulang-ulang dan masing-

masing mempunyai 2 kemungkinan hasil (dapat dinya- takan sbg berhasil atau gagal) dan bila setiap kejadian yg teram bil merupakan hasil pengembalian shg setiap kejadian memiliki peluang yg sama (0,5) maka percobaan ini disebut percobaan Binom.

Dengan ciri-ciri sbb.:1. Percob. terdiri dari n ulangan2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berha sil atau

gagal3. Peluang berhasil yg dilambangkan dgn p , utk setiap ulangan adl sama,

tidak berubah-ubah4. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain

Contoh :

• Sebuah percob Binom berupa pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali telah dilakukan, dikatakan berhasil jika muncul sisi gambar (G). Maka banyaknya keberhasilan dapat dipandang sbg sebuah peubah acak X yg mengambil nilai bulat dari 0 sampai 3. Kemungki nan hasil berikut nilai X-nya adl sbb.:

Hasil Percobaan P(X=x)

AAA AGA AAG GAA AGG GAG GGA GGG

0 1 1 1 2 2 2 3

Lanjutan Karena ulangan satu dgn lain bebas dan masing-masing memiliki peluang yg

sama ½ , maka p(GAG) = P(G)P(A)P(G) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8 Begitu pula utk setiap kemungkinan hasil percobaan lainnya terjadi dengan

peluang sebesar 1/8. Maka sebaran peluangnya adl

atau dengan rumus :

utk x = 0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

8)()(3xxf

RUMUS BINOMIAL

• Definisi Sebaran Binom Jika suatu ulangan binom mempunyai peluang

keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p , maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binom X, yi banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yg bebas, adl.:

untuk x = 0, 1, 2, 3, … , n

xnxnx qppnxb ),;(

Contoh (1)

• Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 jika sebuah dadu seimbang dilemparkan 5 kali

Jwb :Peluang keberhasilan setiap ulangan yg bebas = 1/6 dan peluang kegagalannya = 5/6. Dlm hal ini munculnya bila-ngan 2 dianggap keberhasilan, maka :

b(3;5,1/6)=(⁵₃)(1/6)³(5/6)² = [(5!)/(3! 2!)][(5²)/(6⁵) = 0,032

Contoh (2)

• 10% dari semacam benda tergolong kedalam kategori A. Sebuah sampel berukuran n=30 telah diambil secara random. Berapa probabilitas sampel itu akan berisikan benda kategori A :

(a). Semuanya (c). Paling sedikit sebuah(b). Dua buah (d). Paling banyak dua buahJwb.:(a) Kita artikan X=banyak benda kategori A, maka p=probabilitas

benda termasuk kategori A=0,10. Semuanya tergolong kategori A berarti X=30

= 10³°

0303030 )90,0()10,0()30( xp

Lanjutan..

(b). Dua buah termasuk kategori A berarti X = 2

(c). Paling sedikit sebuah termasuk kategori A, ini ber- arti X = 1

(d). Paling banyak 2 buah kategori A, berarti x = 0, 1, 2 Maka perlu dicari p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) =(0,0423)+(0,1409)+(0,2270) = 0,4102

2270,0)90,0()10,0()2( 282302 xp

1409,0)90,0()10,0)(()1( 291301 xp

*Sebaran Poisson• Variabel random diskret X dikatakan mempunyai distribusi

Poisson jika fungsi peluang-nya berbentuk

dimana : x = 0, 1, 2, 3, …, n dan e = 2,718 serta mempunyai parameter : dan

dan

!)()(

xexXPxp

x

Contoh :

• Misalkan rata-rata ada 1,4 buah yg rusak utk setiap 100 chip komp. yg dihasilkan. Sebuah sampel diam bil secara acak berukuran 200. Jika x = banyaknya chip yang rusak untuk setiap 200 buah yang dihasilkan, maka λ = 2,8. Peluang tidak terdapat chip yang rusak adalah :

= 0,0608!0)8,2()0(08,2

ep

*Distribusi Normal

• Juga disebut sebagai kurva normal atau dist Gauss Jika variabel random kontinyu X mempunyai fungsi densitas

pada X=x dengan persamaan :

dimana : π = nilai konstanta dalam 4 desimal yakni 3,1416 e = nilai konstanta dalam 4 desimal yakni 2,7183 μ = parameter, rata-rata untuk distribusi σ = parameter, simpangan baku utk distribusi

2)(2/1

21)(

x

exf

nilai x mempunyai batas -∞<x<∞ dan dikatakan bahwa variabel random X berdistribusi normal

• Sifat-sifat penting distribusi normal :1. Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar x2. Bentuknya simetris terhadap x = μ3. Mempunyai satu modus, jadi kurva unimo-dal,

tercapai pada x = μ sebesar (0,3989)/σ4. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu da tar

x dimulai dari x=μ+3σ kekanan dan x = μ – 3σ kekiri5. Luas grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Grafik kurva normal :

P(x≤) = 0,5P(x) = 0,5Luas kurva normal :

0,50,5

Hubungan antara μ dan σ dalam distribusi normal

• Untuk setiap pasang μ dan σ sifat dari dist. Normal selalu dipenuhi. Tetapi jika σ makin besar, kurva-nya makin rendah (platikurtis) dan untuk σ makin kecil, maka kurva-nya makin tinggi (leptokurtis). Jadi pola hubungannya terlihat pada bentuk kurva nya.

keterangan : A B A: Leptokurtis B : Platikurtis

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi kurva normal dengan dan berbeda

85 850

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m

Mesokurtic Platykurtic Leptokurtic

Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda

SIFAT: Luas daerah grafik = 1 unit persegi

Dari fungsi densitas distribusi normal, maka probabi-litas harga X antara a dan b yakni P(a<X<b) dapat dihitung. Dalam prakteknya rumus tsb tidak perlu di gunakan krn sebuah daftar telah disusun utk itu. Daftar tsb adl Daftar Distribusi Normal Standard yg da pat dilihat pada lampiran buku statistika.

Distribusi normal standard adl dist normal dengan rata-rata μ=0 dan simpangan baku σ=1 , utk mengu-bah dist normal umum ke normal standard digunakan transformasi :

xZ

Luas kurva normal antara x=a & x=b

= probabilitas x terletak antara a dan b

a b x

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x z

Di mana nilai Z:

Z = X -

Setelah dist normal umum ditransformasi ke dist normal standard, maka daftar dist. normal standard dapat digu-

nakan

• Prosedur penggunaan :(1). Hitung Z hingga dua desimal(2).Gambar kurva-nya(3).Letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis verti-kal

hingga memotong kurva(4).Luas yg tertera dalam daftar adl luas daerah antara garis ini

dengan garis tegak dititik nol(5).Dlm daftar cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya

utk 1 desimal, desimal ke-2 cari pada baris paling atas(6).Dari Z dikolom kiri maju kekanan dan Z dibaris atas tu-run

kebawah, maka didapat bilangan yg merupakan luas yg dicari, merupakan bilangan dalam bentuk 4 desimal

Beberapa contoh penggunaan daftar normal standard

• Cari luas (peluang) daerah antara Z=0 dan Z=2,15 Dibawah Z pada kolom kiri Y=f(X) 0,4842 cari 2,1 dan dari baris paling atas cari angka 5. Dari 2,1 ma- ju kekanan dan dari 5 turun didapat 4842. Luas daerah yg dicari daerah diarsir = 0,4842 -3 -2 -1 0 1 2 3 (X)

Contoh :1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean = 55 dan deviasi standar σ = 15a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III)

Atau

Tabel III A = 0,4082

b).P(60≤x≤80) =

= P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

=

= P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?

P( ≤ x ≤ 0) = 0,45P( ≤ Z ≤ 0) = = -1,645 (x<)

= . + = (-1,645) . 7 + 74

= 62,485

Jika data percobaan berdistribusi normal, maka bagian luas dari dist.normal dapat ditentukan sbb.:

(1). Kira-kira 68,27% ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yakni antara μ – σ dan μ + σ

(2).Kira-kira 95,45% terletak dalam daerah dua simpang an baku sekitar rata-rata, yakni antara μ – 2σ dan μ + 2σ

(3).Hampir 99,73% ada dalam daerah tiga simpangan ba ku sekitar rata-rata, yi.antara μ - 3σ dan μ + 3σ

Contoh soal

• Daya tahan suatu produk elektronik rata-rata 3750 hari dengan simp.baku 325 hari. Jika daya tahan ini berdist. normal, maka tentukan ada :

(1).ada berapa % produk tsb yg daya tahannya >4500 hr.(2).ada berapa produk yg daya tahannya antara 3500 dan 4500 hr.(3).berapa produk elektronik tsb.yg daya tahannya lebih atau sama dengan 4000 hr jika semuanya ada 10000 produk.(4).berapa produk yg daya tahannya 4250 hr, jika semua- nya ada 5000 produk yg dihasilkan.

Hubungan antara distribusi normal dengan distribusi binomial

• Jika dist.Binomial memiliki N yg cukup besar dan p=P(A)=prob.kejadian A tidak terlalu dekat ke nol, maka dist.Binomial dapat didekati oleh dist.Normal dengan rata-rata μ=Np dan σ=√Np(1-p) dgn angka baku Z = (X – Np)/(√Npq)

dimana q = 1-p dan X = var.random dari kejadian ACatatan :Karena var.random diskret diubah kedalam var.random

kontinyu dlm dist.normal, maka harga-harga X perlu dikoreksi dgn jalan me+ atau me- dgn 0,5. Pendekatan ini sangat berfaedah utk mempermudah perhitungan.

Contoh : 10% produksi tergolong kategori A. Sebuah sampel acak ta.400 produk tsb. diambil. Tentukan prob.akan terdapat :

(1).paling banyak 30 bh produk tsb tergolong kategori A(2).antara 30 dan 50 bh produk tsb tergolong kategori A(3).55 bh atau lebih produk tsb termasuk kategori A

Jwb : Soal ini adl soal binom, dimana X=banyaknya produk termasuk kategori A, maka utk pendekatan normal, dicari : μ = 0,10 x 400 = 40 σ = √(400)x(0,1)x(0,9) = 6

Lanjutan :

(1).Paling banyak 30 bh produk adl kategori A, berarti X = 0, 1, 2, 3, … , 30. Lakukan penyesuaian terhadap X, ma-ka X menjadi (-0,5 < X < 30,5) sehingga :

Z₁ = (-0,5 – 40)/(6) = -6,57 dan Z₂ = (30,5 – 40)/(6) = -1,58 Luas daerah yg diarsir = 0,5 – 0,4429 = 0,0571. Prob.terdapat produk berkate- gori A adl. 0,0571

Lanjutan :

(2).Untuk dist.normal, penyesuaian adl. 30,5 < X < 49,5

sehingga angka baku Z, masing-masing : Z₁ = (30,5 – 40)/(6) = -1,58 Z₂ = (49,5 – 40)/(6) = -1,58 Dari distribusi normal baku,

probabilitas yg ditanyakan adl. = 2 (0,4429) = 0,8858

Lanjutan :

(3). 55 atau lebih termasuk kategori A, utk dist.normal bernilai X > 54,5 sehingga angka baku Z-nya Z = (54,5 – 40)/(6) = 2,42 Sehingga diperlukan luas daerah dari Z = 2,42 ke- kanan. Dari daftar dist. normal baku diperoleh probabilitas yg dicari = 0,5 – 0,4922 = 0,0078

DISTRIBUSI t - STUDENT

Persamaannya : berlaku utk harga-harga t yg me- menuhi (-∞ < X < ∞) dan K meru pakan bilangan tetap yg besarnya tergantung pada n sedemikian sehingga luas dibawah kurva sama dgn satu. Bilangan (n – 1) disebut derajat be bas (db). Jika sebuah populasi mempunyai model dgn persamaan tsb maka dikatakan pop tsb berdist.-t dgn db = n – 1. Utk n > 30 dist-t mendekati dist normal.

n

ntKtf

5,02

))1

(1)(

Lanjutan :

Bentuk grafik dist-t seperti grafik dist-normal standard,simetris terhadap t=0. Untuk perhitungan daftar dist-t sudah disusun dan ada pada buku lampiran statistik, berisi nilai-nilai t utk db.dan probabilitas tertentu. Utk penggunaan tabel t, gambar berikut merupakan grafik dist-t dgn db.=v dimana v = n – 1. luas bag yg diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp dan harga tp ini dicari dari daftar utk pasa ngan db dan prob yg diberikan.

DIST. CHI-KWADRAT (Dist. Chi-Square)

• Pers.Dist Chi-Kwadrat dinyatakan sbb.:

dimana : u = χ² dan harga u > 0 v = derajat bebas K = bilangan tetap yg tergantung pada v , se- demikian shg luas dibawah kurva = 1 e = 2,7183Grafik dist.Chi-Kwadrat umumnya merupakan kurva po-sitip, yi miring kekanan. Kemiringan makin berkurang jika db. v makin besar

uv euKuf 2/112/1.)(

Contoh grafik dist-χ² yg memuat luas tertentu.

Untuk perhitungan, daftar dist-χ² telah disiapkan dan dapat dilihat pada lampiran buku statistik. Gambar ini memperlihatkan grafik dist-χ² secara umum dengan db = v. Daftar dist-χ² utk pasangan db (yg terdapat pada kolom paling kiri) dan prob p (yg terdapat pada ba- ris paling atas) yg besarnya tertentu,dimana luas yg diarsir sama dgn prob p , yi luasdari χ²p kesebelah kiri.

DISTRIBUSI-F (FISHER)

• Fungsi densitasnya mempunyai persamaan sbb.: dimana variabel random F memenuhi batas F > 0 , K = bil tetap yg harganya tergantung pada v₁ dan v₂ sedemikian sehingga luas dibawah kurva = 1 v₁ = derajat bebas (db) pembilang dan v₂ = db penyebut.Dist-F mempunyai dua db. Dan grafiknya tidak simetris,umumnya sedikit positip

)(2/1

2

1

)2(2/1

21

1

)1(.)(

vv

v

vFv

FKFf

Lanjutan dist-F

• tk keperluan perhitungan, daftar F telah tersedia yg berisi nilai-nilai F utk prob. 0,01 dan 0,05 dgn db v₁ dan v₂. Prob. ini sama dgn luas daerah ujung kanan yg diarsir . db v₁ ada pada baris paling atas dan db v₂ ada pada kolom paling kiri.

Untuk tiap db v₂, daftar terdiri dari dua baris, yang atas untuk probabilitas p = 0,05 dan yang bawah utk probabilitas p = 0,01