Pertemuan 25

Matriks

Tujuan

Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse

Pengertian Matriks

Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolomyang membentuk persegi panjang serta termuat di antara sepasang tanda kurung

Notasi Matriks

A = --

a11 a12 …. a1n

a21 a22 …. a2n

.

.am1 am2 …. amn

Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah m x n

dimana :m = banyak barisn = banyak kolom

Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I dan kolom ke-j pada matrik A

Bentuk Matriks

Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n

Matriks bukan bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m n

Jenis-jenis matriksMatriks Nol adalah matriks yang elemen-

elemennya nol Matriks diagonal adalah matriks yang

hanya elemen-elemen diagonal tidak sama dengan nol

Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol

Matriks Transpose Bila A (m x n) maka transpose dari A

dinyatakan dengan AT adalah matriks berordo (n x m).

Dengan perkataan lain terjadi perubahan dari baris menjadi kolom , sedangkan kolom menjadi baris

Operasi matriks

Pengurangan dan penjumlahanA(m x n ) B( m x n ) = C( m x n )

Syarat dua buah matriks atau lebih agar dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah ordo masing-masing matriks harus sama

Perkalian Skalar k A =

ka11 ka12 …. ka1n

ka21 ka22 …. ka2n

.

...

kam1 kam2 …. kamn

Perkalian matriks dengan matriks Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat

dikalikan apabila memenuhi syarat:• Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik

A sama dengan jumlah baris matriks B• Ordo matriks hasil perkalian A dan B

adalah ( m x k )

Sifat-sifat Matriks

AT + BT = ( A + B )T

( A B )T = BT AT

( k A )T = k AT , k = skalar (AT )T = A

Determinan Matriks

Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya

Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A |

Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut

Determinan matriks ordo 2 x 2

A =

det.A = |A| = a11a22 - a21a12

a11 a12

a11 a12

Determinan matriks ordo 3 x 3

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:

| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32

- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12

Beberapa sifat-sifat Determinan

Bila matrik A dan B adalah bujur sangkar: Det ( A ± B ) = det A ± det B Det ( AB ) = det A . det B Det ( AT ) = det A Determinan A sama dengan nol jika unsur-

unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol

Matriks Invers

Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku:

A-1 A = A A-1 = Idimana I adalah matriks identitas

Menentukan matriks invers

Menggunakan metode Adjoin:

A- 1 = Adjoin A

Det. A

Det. A 0

Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A

Adjoin A =

A11

A12

.

.A1n

... An1

An2

.

.Ann...

Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |

Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A

Sifat-sifat matriks invers

( A B ) – 1 = B – 1 A – 1

( k A ) – 1 = 1/k A – 1

(A – 1) – 1 = A

Contoh:Tentukan Adjoint matriks A dan invers matriks

berikut ini:

A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9