EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUXSKRIPSIOleh:DZAWIN NUHA ALHIDAYAHNIM. 05510017JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2010EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUXSKRIPSIDiajukan Kepada:Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim MalangUntuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan DalamMemperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)Oleh:DZAWIN NUHA ALHIDAYAHNIM. 05510017JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2010SURAT PERNYATAANORISINALITAS PENELITIANSaya yang bertanda tangan di bawah ini :Nama : Dzawin Nuha AlhidayahNIM : 05510017Fakultas/Jurusan : MatematikaJudul Penelitian: Ekuivalensi Integral Riemanndan Integral DarbouxMenyatakandengansebenar-benarnyabahwahasilpenelitiansayatidak terdapatunsur-unsurpenjiplakankaryapenelitianataukaryailmiahyangpernah dilakukanataudibuatolehoranglain,kecualiyangsecaratertulisdikutipdalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka.Apabilaternyatahasilpenelitianiniterbuktiterdapatunsur-unsurjiplakan, makasayabersediauntukmempertanggungjawabkan,sertadiprosessesuai peraturan yang berlaku. Malang, 18Januari 2010Yang Membuat Pernyataan, Dzawin Nuha Alhidayah NIM. 05510017EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUXSKRIPSIOleh:DZAWIN NUHA ALHIDAYAHNIM. 05510017Telah Disetujui untuk Diuji :Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing IIHairur Rahman, S.Pd,M.Si.Dr.Ahmad Barizi, M.ANIP. 19800429 200604 1 003 NIP. 19731212 199803 1 001Tanggal, 8 Desember 2009Mengetahui,Ketua Jurusan MatematikaAbdussakir, M.Pd.NIP. 19751006 200312 1 001EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUXSKRIPSIOleh:DZAWIN NUHA ALHIDAYAHNIM. 05510017Telah dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar sarjana Sains (S.Si)Tanggal, 23 Januari2010Susunan Dewan Penguji Tanda Tangan1. Penguji Utama : Usman Pagalay, M.Si () NIP 19650414 200312 1 0012. Ketua Sekretaris: Abdul Aziz, M.Si () NIP 19760318 200604 1 0023. Anggota :Hairur Rahman, S.Pd,M.S.i ()NIP 19800429 200604 1 0034. Anggota : Dr. Ahmad Barizi, M.A () NIP. 19731212 199803 1 001Mengetahui dan MengesahkanKetua Jurusan Matematika Abdussakir, M.Pd.NIP. 19751006 200312 1 001MOTTO Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.....LEMBAR PERSEMBAHANDengan penuh rasa bangga dan penuh rasa syukur kupersembahkan karya kecilku ini kepada kedua orang tuaku yang tiada letih memberiku limpahan kasih sayang, doa, nasehat serta bimbingan juga untuk seluruh keluargaku dan semua pihak yang membantu terselesaikannya skripsi iniKATA PENGANTARAlhamdulillahiRobbilAlamin,segalapujibagiAllahSWT,MahaPengasih danMahaPenyayang.Denganseizin-Mu,penulisdapatmenyelesaikanpenulisan skripsi ini yang berjudulEkuivalensi Integral Riemann dan Integral Darboux. SholawatsertasalamsemogatetaptercurahkankepadaNabiMuhammad SAW, yang telah mengantarkan umat manusia dari zaman kebodohan menuju zaman yang terang benderang yang kaya akan ilmu pengetahuan.Dalampenulisanskripsiini,banyak pihakyang telahberjasadansenantiasa memberikandukungan,bimbingan,arahansertamotivasisehinggaskripsiinidapat terselesaikan.Olehkarenaitupenelitimemberikanucapanterimkasihyangdalam kepada:1. Prof.Dr. H. ImamSuprayogo,selakuRektorUniversitasIslamNegeri(UIN)MaulanaMalikMalangyangtelahmemberikanwadahbelajarbagikeilmuan kami.2. Prof.Drs.H.Sutiman, SU,DScselakuDekanFakultasSainsdanTeknologi Universitas Islam Negeri(UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang3. Abdussakir,M.Pd,selakuketuajurusanMatematikaUniversitasIslam Negeri(UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.4. HairurRahman, S.Pd, M.Si,selakudosenpembimbingIyangselalusetia memberibimbingandanmasukan.SertaDr.AhmadBarizi,M.Aselakudosen pembimbing agama yang juga tak lelah memberi masukan serta nasehat.5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.6. Keduaorangtuapenulisyangtidakpernahberhentimencurahkandoadalam setiaplangkahpenulisdenganpenuhketulusanhatidankesabaranjiwademi keberhasilan penulis.7. Teman-temanMahasiswaJurusanMatematikaangkatan2005UniversitasIslam Negeri(UIN)MaulanaMalikIbrahimMalangyangtelahbanyakmemberikan dukungan dalam penelitian dan penyusunan skripsi ini.8. Sahabat-sahabatpenulis, IkatanMahasiswaMuhammadiyah(IMM)Komisariat Revivalis, Pelopor,Reformer UINMalang.KhususnyakomisariatIMMAWATI yangtelahmemberikansemangatkepadapenulissertateman-temandiUKM Pramuka yang telah memberi dukungan.9. Sertasemuapihakyangtidakdapatpenelitisebutkansatupersatu,yangtelah banyak membantu dalam penulisan skripsi ini.SemogaAllahSWT,melimpahkanrahmatdankarunia-Nyakepadakitasemua. Penulis menyadarisepenuhnyabahwadi duniainitidakada yang sempurna.Begitu jugadalampenulisanskripsiini,yangtidakluputdarikekurangan dankesalahan. Olehkarenaitu,dengansegalaketulusandankerendahanhatipenulissangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun.Akhirnyadengansegalabentukkekurangandankesalahan,penulisberharap semogadenganrahmatdanizin-Nyamudah-mudahanskripsiinibermanfaatbagi penulis khususnya dan pihak-pihak yang bersangkuatn.Malang, Januari 2010PenulisDAFTARISIKATA PENGANTAR................................................................................. iDAFTAR ISI ............................................................................................... ivDAFTAR SIMBOL..................................................................................... vABSTRAK................................................................................................... viiBAB I: PENDAHULUAN1.1. Latar Belakang .......................................................................... 11.2. Rumusan Masalah...................................................................... 51.3. Tujuan Penelitian ....................................................................... 51.3. Batasan Masalah ........................................................................ 61.5. Manfaat Penelitian ..................................................................... 61.6. Metode Penelitian ...................................................................... 61.7. Sistematika Pembahasan ............................................................ 7BAB II: KAJIAN TEORI2.1. Konsep Ekuivalensi dalam Islam................................................ 92.2. Konsep Limit ............................................................................. 162.3. Barisan dan Limit....................................................................... 222.4. Konsep Kontinu......................................................................... 282.5.Supremum dan Infimum............................................................ 302.6. Luas Daerah dan Integral ........................................................... 332.7. Integral darboux. ........................................................................ 52BAB III: PEMBAHASAN3.1.Keterintegralan fungsi kontinu dan fungsimonoton Integral Riemann-Darboux. ............................................... 633.2. Ekuivalensi Integral Riemann-Darboux............................................ 663.3. Sifat-sifat Integral Darboux.............................................................. 71BAB IV: KESIMPULAN DAN SARAN4.1. Kesimpulan...................................................................................... 784.2. Saran................................................................................................ 78

DAFTAR PUSTAKADAFTAR SIMBOLNo Simbol Keterangan1 c Subset dari2 U Upper3 L Lower4 e elemen5 s Kurang dari sama dengan6 > Lebih besar dari sama dengan7 Untuk setiap8 Sup supremum9 Inf infimum10 > Lebih besar dari11 < Kurang dari 12 Irisan 13Gabungan 14 R Himpunan bilangan riil15 N Himpunan bilangan asli16nxBarisan (sampai ke-n)17 Delta(besar)18 Epsilon 19 lim Limit 20Sigma 21}Integral 22}baf DIntegral Darboux23}baf RIntegral Riemann24| | ...Interval tertutup25...Norm(panjang)ABSTRAKAlhidayah,DzawinNuha.2009.EkuivalensiIntegralRiemanndanIntegral Darboux.JurusanMatematika.FakultasSainsdanTeknologi.UINMaulanaMalik Ibrahim.Pembimbing: Hairur Rahman, S.Pd, M.Si.Dr. Ahmad Barizi, M.AKatakunci:TerintegralRiemann,TerintegralDarboux,IntegralRiemann,Integral Darboux, EkuivalensiPada tahun 1875 G. Darboux memodifikasi definisi Integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas dan Darboux bawah, selajutnya mendefinisikan Integral Darboux atas dan Integral Darboux bawah.Keduanyamemilikiekuivalensiyaitu } }=babaf D f R .Suatufungsidikatakan terintegral Darboux jika danhanya jikaia jugamerupakan terintegral Riemann, dan jikanilai-nilaiIntegraldarikeduanyaada,makabersifatsama.IntegralDarboux mempunyai keuntungan lebih sederhanadibanding Integral RiemanKarenaekuivalensimakasifatIntegralRiemannyakniketunggalannilai, kelinieran, keterbatasan juga berlaku pada Integral Darboux.Adapun sifatnya adalah:a. < A f Q S ) ; (b. ) ( ) ( ) )( ( x g D x f D x g f Dbababa} } }+ = +c.} }=babax f D x f D ) ( ) ( ) ( 1BAB IPENDAHULUAN1.1. Latar BelakangDalamMatematikabanyaksekalidikenalcabangilmu.Salahsatu cabangnya adalahAnalisisReal. Analisis sendiri merupakanproses mengurai sesuatuhalmenjadiberbagaiunsuryangterpisahuntukmemahamisifat, hubungan,dan perananmasing-masingunsur.Analisissecaraumumsering juga disebut dengan pembagian. Dalam logika, analisis atau pembagian berarti pemecah-belahanataupenguraiansecarajelasberbedakebagian-bagiandari suatu keseluruhan. SelainAnalisisdalamMatematikakitajugamengenalilmuKalkulus yangmerupakanilmudasarMatematika.Kalkulus(dariBahasaLatin calculusyangartinya"batukecil")adalahcabangilmumatematikayang mencakuplimit,turunan,integral,danderettakterhingga.Kalkulus mempunyaiaplikasiyangluasdalambidangsainsdanteknik.Kalkulus memilikiduacabangutama,kalkulusdiferensialdankalkulusintegralyang salingberhubunganmelaluiteoremadasarkalkulus.Padaperiodezaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis(Cennapedia;2000:1).Perhitunganvolumedanluasyangmerupakanfungsiutamadari kalkulusintegralbisaditelusurikembalipadaPapirusMoskowMesir(1800 SM)dimanaorangMesirmenghitungvolumedarifrustrumpiramid. 2Archimedesmengembangkanpemikiraninilebihjauhdanmenciptakan heuristikyangmenyerupaikalkulusintegral.Sekitartahun1000, matematikawanIrakIbnal-Haytham(Alhazen)menjadiorangpertamayang menurunkanrumusperhitunganhasiljumlahpangkatempat,dandengan menggunakaninduksimatematika,diamengembangkansuatumetodeuntuk menurunkanrumusumumdarihasilpangkatintegralyangsangatpenting terhadap perkembangan kalkulus integral.Teoremafundamentalkalkulusmenyatakanbahwaturunandan integraladalahduaoperasiyangsalingberlawanan.Lebihtepatnya,teorema inimenghubungkannilaidariantiderivatifdenganintegraltertentu.Karena lebihmudahmenghitungsebuahantiderivatifdaripadamengaplikasikan definisi dariintegral,teoremafundamentalkalkulusmemberikancarayang praktisdalammenghitungintegraltertentu.Teoremafundamentalkalkulus menyatakan:Jika sebuah fungsi f adalahkontiniu pada interval [a,b]dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

} =baa F b F dx x f ) ( ) ( ) (DalamperkembangannyaKalkulusmengalamiperkembanganyang sangatpesat. Demikian juga dengan Integral mengalami perkembangan yang cukup signifikan dengan sumbangan pemikiran dari tokoh-tokoh matematika. SirIsacNewtonadalahorangyangmempunyaikontribusibesardalam Kalkulus.BegitujugaLeibniz.HanyasajaNewtonmemulaidariTurunan sedangkanLeibnizsebaliknya.Ialahyangpertamakalimencetuskannotasi 3Integral yang dipakai hingga sekarang(www. Mate-mati-kaku. Com. Kalkulus dan sejarahnya. Di akses tanggal 22 Desember 2008).TeoremaIntegralsudahdimulaipada abadke-17,tetapi hingga akhir abadtersebutbelumadavaliditasistilah-istilahIntegrasihinggaCauchy membuktikannyasebagaipijakan.Cauchymemberikandefinisimodern tentangkekontinuandanmendefinisikanIntegralsebagaipenjumlahanlimit. Diamemulaipekerjaannyapadatahun1814,duatahunkemudiandia mendefinisikan limit sebagai penjumlahan Cauchy.)) ( (11= i iniix x x fKalkulus dikembangkan lebih lanjut oleh Jacob dan JohannBernoulli disusulolehLHopitalsehinggamakinlengkap.(www.Mate-mati-kaku. Com. Kalkulus dan sejarahnya. Di akses tanggal 22 Desember 2008).SuatudefinisiintegralmatematikajugadiberikanolehBernhard Riemann.Yang didasarkanpada suatuprosedur pembatasanyang mendekati area suatu daerah kurva linierdengan patahan daerah ke dalam papan-papan vertikal. Di dalam analisis real di kenal juga adanya Integral Darboux. Integral Darboux pertama kali dikembangkan oleh Gaston Darboux. Integral Darbouxberawaldarikesulitanuntukmemperlihatkanbahwasemuafungsimonoton adalahterintegraldanmenunjukkanbahwahasilfungsiyangterintegral adalah terintegral juga dengan menggunakan definisi Integral Riemann. Oleh karenaitudigunakanIntegralDarboux yanglebihsederhana.PadaIntegral Darboux kitadapatmenunjukkansemuabagianyangberadapadaIntegral 4Riemann danakanmudahmembuktikanbahwafungsimonotonadalah terintegral.PadadasarnyaIntegralDarboux adalahsamadenganIntegralRiemann.} }=babaf D f RArtinyabahwasuatufungsidikatakanterintegralDarboux jikadan hanyajikaiajugamerupakanterintegralRiemann,danjikanilai-nilai integraldarikeduanyaada,makabersifatsama.IntegralDarbouxmempunyaikeuntunganlebihsederhanadibandingIntegralRieman. (www..wikipedia.org/wiki/Darboux_integral. Di akses tanggal 13 Juli 2009) Adapuntentangsesuatuyangmempunyai nilai yangsama tersebut dijelaskanjugadalamAl-qurandalamsuratAn-Nisa ayat32tentang kesetaraanantaralaki-lakidanperempuanyanghampirsamakonsepnya denganIntegralRiemanndanDarboux.Meskipadadasarnyaperempuan dikatakansamadenganlaki-lakitapitetaplaki-lakilahyangbisamenjadi pemimpin. Demikian juga denganIntegral Darboux,meski mempunyai nilai yangsamadenganIntegralRiemann,tapitetaplahIntegralRiemann yang menjadiacuankarenaIntegralDarboux merupakanperluasandariIntegral Riemann. .... !. _. .-, _ls _-,_l>ll ',.. !..,..,!..ll ',.. !. _,..l:`. .1, __Artinya: Sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran (Al-Qomar: 49)..Adabeberapahalyangmencakupkesetaraanantaralaki-lakidanperempuan antara lain:- Dalam hal penciptaanAl-Qurantidakmembedakanperempuandanlaki-lakidalamkonteks penciptaan dan proses selanjutnyasebagai manusia. Dalam pandangan al-Quran, Laki-lakiPerempuanBerbeda dalam berbagai halFisik/biologisTugasKedudukanNamun kedudukan akan setara dalamPerolehan pahalaKewajiban menuntut ilmuPenciptaan11Allahmenciptakansemuanya(perempuandanlaki-laki) adalahuntuksatu tujuan seperti yang tertulis dalam Firman Allah:!. !.1l> ,...l _ !. !..,, | _>l!,_| s!.l ,. _.! _.l _,.>' __ Artinya:Dan tidaklah kami ciptakan langit dan bumi dan apa yang ada di antara keduanya, melainkan dengan benar. dan Sesungguhnya saat (kiamat) itu pastiakandatang,Makamaafkanlah(mereka)dengancarayangbaik( Al-Hijr: 85)Dalamsuratlainjugadisebutkantentangpenciptaanlaki-lakidanperempuanyang menyatakan tidak ada perbedaan. Seperti yang termaktub dalam surat Al-Isro ayat 70:.1l !.. _., :, ..l.- _ l `>,l .. _. .,,Ll`..l. _ls ,: _.. !.1l> ,.. _ Artinya:Dan Sesungguhnya Telah kami muliakan anak-anak Adam, kami angkut mereka di daratan dan di lautan. kami beri mereka rezki dari yang baik-baikdankamilebihkanmerekadengankelebihanyangSempurnaatas kebanyakan makhluk yang Telah kami ciptakan.Adapuntentangkedudukanlaki-lakidanperempuanAllahmenjelaskan dalam beberapa surat dalam Al-quran antara lain Surat Ali-Imran ayat 195:,!>.`.! l , _. _,. _.- _..s >.. _. : _..>.-,_. _-,_! `>!> `>> _. >.,: : _ _l,,. l.. l.12 .s :!:,. .l>: ..> _> _. !.> `.. !,. _. ..s _>' _. | .,-,l __13Artinya:Dan Aku tidakmenciptakanjindan manusia melainkansupayamereka mengabdi kepada-Ku.Dalamkapasitassebagaihambatidakadaperbedaanantaralaki-lakidan perempuan. Keduanya mempunyai potensi dan peluang yang sama untuk menjadi hamba ideal. Hamba ideal dalam Al-quran biasa diistilahkan sebagai orang-orang yangbertaqwa,danuntukmencapaiderajattaqwainitidakdikenaladanya perbedaanjeniskelamin,sukubangsaataukelompoketnistertentusebagaimana disebutkan dalam surat Al-Hujurat ayat 13.DarikutipanayatdiatasjelasbahwaAllahmemberikanpeluangyang seluas-luasnyabagiperempuan untukmenjalankan tugas-tugasnya asalkanmasih dalam batas-batas yang tidak keluar dari ayat tersebut.Menurut ajaran al-Quran,pengabdian kepada Allah tidak bisa dipisahkan daripengabdiankepadaumatmanusia,atau,dalamistilahIslam,orang-orang yangberimankepadaAllahharusmenghormastiHaqqullah (hak-hakAllah)dan HaqulIbad (hak-hakmakhluq).PemenuhankewajibankepadaTuhandan manusiamerupakanhakekatkesalehan.Laki-lakidanperempuansama-sama diseruolehAllahagarberbuatkebajikan danakan diberipahalayang smauntuk kesalehan mereka. Hal ini dinyatakan dengan jelas dalam sejumlah ayat al-Quran seperti berikut :,!>.`.! l , _. _,. _.- _..s >.. _. : _..>.-, _._-,_! `>!> `>> _. >.,: : _ _l,,. l.. l.14 .s :!:,. .l>: ..> _> _. !.> `.. !,. _. ..s..l _.,1`, :l.l _.`, :l _`-,L`, l >.. _l.>.l >.! _., l:| _, ': ':! _, .. _ . l-l.>: Artinya:Haiorang-orangberimanapabilakamudikatakankepadamu: "Berlapang-lapanglah dalam majlis", Maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu. dan apabila dikatakan: "Berdirilah kamu",Makaberdirilah,niscayaAllahakanmeninggikanorang-orang yangberimandiantaramudanorang-orangyangdiberiilmu pengetahuanbeberapaderajat.danAllahMahamengetahuiapayang kamu kerjakanDariayat tersebut, kita bisa memahami bahwa orang yang berilmu punya posisiyangberbedadenganorangyangtidakberilmu.Ayat-ayattersebutjuga merupakanpendorongbagiumatIslamuntukselaluberusahameningkatkan kualitas keilmuannya. Dariayattersebutjugadapatkitapahamibahwamenuntutilmujuga diwajibkanataslaki-lakidanperempuan.Karenadalamayattersebuttidak dijelaskantentangkewajibanpadasalahsatupihak.DalamhalberprestasiIslam jugatidakmembeda-bedakanantaralaki-lakidanperempuan.Semuanyabisa berprestasi dalam segala hal. Ketiganyamengisyaratkankonsepkesetaraangenderyangidealdan memberikanketegasanbahwaprestasiindividual,baikdalambidangspiritual maupunkarierprofesional,tidakmestididominasiolehsatujeniskelamin 16saja(http://www.lbh-apik.or.id/fact%2054.kesetaraangenderdalamAl-quran.htm. Diakses tanggal 13 Juli 2009).2.2. Konsep LimitDefinisi 2.2.1. Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi suatu selang terbuka yangmemuatbilangana,kecualimungkinpadaaitusendiri.Makadikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan L x fa x=) ( lim(1) Jikauntuksetiapbilangan 0 > terdapatbilanganyang 0 > sedemikian hingga < L x f ) ( bilamana < < a x 0(2) (Stewart; 1999: 105)Contoh 2.2.1.1 Buktikan bahwa5 ) 7 3 ( lim4= xx Andaikan bilanganpositifsebarang.Makadihasilkansuatu0 > sedemikian sehingga < < < 5 ) 7 3 ( 4 0 x xPandang ketaksamaan disebelah kanan < < 12 3 5 ) 7 3 ( x x < ) 4 ( 3 x < 4 3 x17 34< x (Purcell; 1987: 81)Teorema 2.2.2. diberikan dana titik limit A. Jika f(x) mempunyai limit untuka x , maka limitnya tunggalBukti:Ambil bilangan 0 > sebarang dan andaikan f(x) mempunyai limit K dan LdenganL K = untuka x .Jadiuntuksetiapbilangan0 > yang ditunjuk dapat dipilih bilangan01 > r dan bilangan02 > r . Sehingga berlaku3) (< K x fUntuk setiapA x e dengan 10 r a x < < dan3) (< L x fUntuksetiapA x e dengan 20 r a x < < .Selanjutnyadenganmengambil bilangan{ }2 1, min r r r = diperolehL x f x f K L K + = ) ( ) () ( ) ( x f K L x f + + s < + terdapat0 > sehinggajikaA x e dan < < a x 0 berakibat < L x f ) ( .Bukti:(i) (ii). Diketahuibahwaf mempunyailimitLpadaa.Kemudianuntuksetiap bilangan0 > terdapat0 > sehinggajika) (a N A x e dana x = berakibat ) ( ) ( L N x fe . Kemudian karena x terdapat pada) (a Ndana x = jika dan hanya jika < < a x 0 karena) ( ) ( L N x fe jikadanhanya jika < L x f ) ( jadi jikaA x e memenuhi < < a x 0 dan f(x) memenuhi < L x f ) ( .(ii) (i). Jika kondisi (ii) terpenuhi untuk0 > pada( ) + = a a a N , : ) ( dan untuksetiap 0 > pada) , ( : ) ( + = L L L N .Kemudiankondisi(ii)akan 20terpenuhijikax beradapada) (a NdimanaA x e dana x = .Dan ) ( ) ( L N x fe maka f mempunyai limit pada a.Contoh 2.2.4.1:b ba x=limMisalf(x)=b 9 e x didefinisikanbahwab fa x=lim .Jikauntuksetiap bilangan 0 > maka1 = .Kemudianjika1 0 < < a x terdapat < = = 0 ) ( b b b x f . Karena memenuhi makab fa x=limSepertihalnyaIntegralyangmempunyaibatasan(Limit),yaitubatasatas danbatasbawah,makadalamagamaIslampunterdapatbeberapabatasanagar umatmanusiatidakterjerumusdalamperbuatandosa.Sejakawalmanusia diciptakanyangditugasisebagaikhalifahdimukabumiiniIslamtelah mengajarkan bagaimana tugas manusia itu di bumi hingga tidak melampau batas. Ataumengingkariapayangtelahmenjaditugasnya.Namun,adapulamanusia yang mengingkari tugasnya karena merasa tidak mampu.Sebagian besar manusia mengklaim bahwa sangat sulit bagi mereka untuk melaksanakanajaranagamadanitulahalasannyamengapamerekatidak menjalankanprinsip-prinsipagama.Dengancaraini,merekaberharapkesalahan mereka berkurang. Akan tetapi, merekahanya membohongi diri mereka sendiri. Allahsebagaipenguasaalamtidakmembebaniseseorangdiluarbatas kemampuannya. Sebagaimana dikatakan dalam Al-quran:21 l>`, .| !.,. !.!L>!.`, _.`>. !.,ls .| !. ..l.> _ls _ _.!.l,!.`, !.l.>. !. !L !.l .,s !.s s !.l !..>.!.l. !...! _ls ,1l _.l ___

Artinya:Allahtidakmembebaniseseorangmelainkansesuaidengan kesanggupannya.iamendapatpahala(darikebajikan)yang diusahakannyadaniamendapatsiksa(darikejahatan)yang dikerjakannya.(merekaberdoa):"YaTuhankami,janganlahEngkau hukum kami jika kami lupa atau kami tersalah. Ya Tuhan kami, janganlah EngkaubebankankepadakamibebanyangberatsebagaimanaEngkau bebankankepadaorang-orangsebelumkami.YaTuhankami,janganlah Engkaupikulkankepadakamiapayangtaksanggupkamimemikulnya. berima'aflahKami;ampunilahKami;danrahmatilahkami.Engkaulah penolongkami,Maka tolonglahkamiterhadap kaum yangkafir.(Q.S.Al-Baqarah: 286)"DidalamsyariatIslam,semuaperintahAllahsesuaidenganfitrahalami kemampuanmanusia.berbagaiperintahTuhanyangdiberikanpunmasihdalam bataskemampuandankelemahanmanusia.Olehkarenaitutiapmanusiaakan ditanya pertanggung-jawaban mereka masing-masing.Namun, manusia meski dikatakan sebagai makhluk yang sempurna dalam beberapahaljugamempunyaiketerbatasantermasukdalamilmupengetahuan. MeskikemampuannyaterbatasAllah tetapmenjanjikan akanmeninggikanorang derajat orang yang giat menuntut ilmu.Dalam surat Al-Mukminun ayat 62juga disebutkan l>. !.. | !-`.`!., '.. _L., _>'!,`> .L`, __22Artinya:Kami tiada membebani seseorang melainkan menurut kesanggupannya, danpadasisikamiadasuatuKitabyangmembicarakankebenaran,dan mereka tidak dianiaya.Yangdimaksudkitabdisiniadalahkitabtempatmalaikatmenuliskan perbuatan seseorang biarpun buruk atau baik dihari kiamat.2.3. Barisan dan LimitBarisanpadahimpunanSadalahsuatufungsidengandomaiandan mempunyai range dalam S.Definisi 2.3.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan N dengan range dalamR .BarisanseringdinotasikandenganXatau) (nx atau{ }1 > n nx .Apabiladiketahui suatu barisan Y artinya( )ky Y = .(Riyanto;2008: 38)Contoh 2.3.1.1a). Barisan( )nx dengan( )nnx 1 = adalah barisan -1, 1, -1, 1, ,( )n1 ,...b). Barisan( )nx dengan n n nnN n x21,..,81,41,21:21,21= |.|

\|e = .c). Barisan konstan( )nk dengan3 =nk adalah 3,3,3....Definisi 2.3.2 : Diberikan barisan bilangan real ( )nx dan ( )ny dan R a e . Maka dapat didefinisikan (i).( ) ( ) ( )n n n ny x y x = 23 (ii).( ) ( )n nx x = (iii).( )( ) ( )n n n ny x y x . . =(iv). ( )( )||.|

\|=nnnnyxyx, asalkan0 =ny(Riyanto;2008:39)Definisi2.3.3.(limitBarisan): Diketahui( )nx barisanbilanganreal.Suatu bilanganrealxdikatakanlimitbarisan( )nx .Jikauntuksetiap 0 > terdapatN k e sedemikianhinggauntuksetiapN n e dengan ( ) k n > berlaku < x xn.Jika x adalah limit suatu barisan( )nx , maka dikatakan( )nx konvergen ke x.Dalamhaliniditulis( ) x xnn= lim atauataux xn .Jika( )nx tidak konvergen maka( )nx dikatakan divergen.(Riyanto;2008:39)Teorema 2.3.4: jika barisan( )nx konvergen maka( )nx mempunyai paling banyak satu limit(limitnya tunggal).Bukti:Andaikan( )'lim x xnn= dan( )' 'lim x xnn= dengan ' ' 'x x = .Makauntuk sebarang0 > terdapat 'K sedemikian hingga 2'< x xnuntuk setiap 'K n > danterdapat ' 'K sedemikianhingga 2' '< x xnuntuksetiap ' 'K n > .Dipilih 24{ }' ' ', max K K K = .Menggunakanketaksamaansegitiga,makauntukK n >diperoleh' ' ' ' ' 'x x x x x xn n + =

' ' 'x x x xn n + = = + , maka0' ' '= x x yang berarti ' ' 'x x =. Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi terbukti bahwa limitnya tunggal.(Riyanto;2008:39-40)Definisi 2.3.5(Teorema-TeoremaLimit): Barisanbilanganreal ) (nx X =dikatakanterbatasjikaterdapatbilanganreal 0 > M sedemikianhinggaM xn s untuk semua N n e .Olehkarenaitubarisan) (nx jikadanhanyajikahimpunan{ } N n xne :merupakan subset terbatas dalamR(Riyanto;2008: 45)Teorema2.3.6 : Diketahui ) (nx X = konvergen, maka ) (nx X = terbatas.Bukti:Diketahui) (nx X = konvergen,misalkan konvergen ke x. Diambil1 = . Maka terdapat N K e sedemikian hingga untuk setiapK n > berlaku1 < x xn. Menggunakanketaksamaansegitiga,maka1 < x xnataux xn+ < 1 untuk 25semuaK n > .Namakan{ } 1 , ,..., , max1 2 1+ =x x x x Mk.MakaM xn < untuk semuaN n e . Jadi terbukti bahwa) (nx X = terbatas.Teorema 2.3.7: Jika x x Xn = ) ( , ( ) y y Yn = dan R c e maka(i).y x Y X (ii).y x Y X . . (ii). cX= cxBukti:(i).Ambilsebarang0 > karenax x Xn = ) ( makaterdapatN n e0sedemikianhinggauntuksetiap 0n n > berlaku 2< x xn.Karena ( ) y y Yn = ,makaterdapatN n e sedemikianhinggauntuksetiap 1n n >berlaku 2< y yn.Pilih{ }1 0 2, max n n n = ,makaakibatnyauntuk 2n n >berlaku ) ( ) ( ) ( y y x x y x y xn n n n+ + =

= + < + s2 2y y x xn n Karenaberlakuuntuksebarang 0 > ,maka) (n ny x + konvergenke y x + .Dengancarayangsamdiperolehbahwa) (n ny x konvergenkey x . Jadi terbukti bahway x Y X .(ii).Akandibuktikanbahwauntuksetiap0 > terdapatN K e sedemikian hingga untuk setiapK n > berlaku < y x y xn n. . . Diketahui26y x y x y x y x y x y xn n n n n n. . . . . . + = xy x y x y xn n n n + s . .y x x y y xn n n + =Karenax xn ) ( maka( )nx terbatas,akibatnyaterdapat01 > Msedemikianhingga 1M xn s ,untuksemuaN n e .Namakan{ } y M M , max = . Diambilsebarang0 > .Karenax xn ) ( makaterdapatN K e1sedemikian hinggauntuksetiap 1K n > berlaku Mx xn2< .Karenay yn ) ( maka terdapatN K e2.Sedemikianhinggauntuksetiap 2K n > berlaku My yn2< . Namakan{ }2 1, max K K K = maka untuk setiapK n > berlakuy x x y y x xy y xn n n n n + s = + = + terdapatN K e sedemikian hingga untuk setiapK n > berlaku < xy y xn n.Dengan kata lain terbukti bahway x Y X . . .(iii).Ambilsebarang0 > karena( ) x xn makaterdapatN K e sedemikian hingga untuk setiapK n > berlaku 2< x xn. Perhatikan bahwax x x cx x cxn n n n + = x x x cxn n n + s27 x x c xn n + = 1Karena( ) x xn maka) (nx terbatas,yaituterdapat0 > M sedemikian hinggaM xn s untuk semuaN n e akibatnya < + = + < + 2) 1 . (21 1 c M c M x x c xn nTerbuktibahwauntuksetiap0 > terdapatN K e sedemikianhingga untuksetiapK n > berlaku < x Cnx.DengankatalainterbuktibahwacX= cx.(Riyanto;2008: 45-47)Teorema 2.3.8 : jika ) (nx X = barisan bilangan real dengan0 >nx untuk semua N n e danx xn ) ( maka0 > x .Bukti:Diambil0 > = x karenax xn ) ( makaterdapatN K e sedemikian hingga untuk setiapK n > berlaku < < < x x x xn n + < < x x xn) ( ) ( x x x x xn + < < 0 2 < < nx xKontradiksidenganpernyataanbahwa0 >nx ,untuksemuaN n e .Jadi pengandaian salah, yang benar adalah0 > x .(Riyanto;2008: 48)28Teorema 2.3.9: Jikay y x xn n ) ( , ) ( dan n ny x s untuksemua N n e maka y x sBukti:Diberikan n n nx y Z = : sehinggaX Y z Zn = = ) ( : dan0 >nZ untuksemua N n e . Diperoleh bahwa) lim( ) lim( lim 0n nx y Z = s atau) lim( ) lim(n ny x s .(Riyanto;2008: 48-49)2.4. Konsep KontinuDefinisi2.4.1. fdikatakankontinupada 0x jika) ( ) ( lim00x f x fx x=ataubisa dikatakanuntuk0 > makaada0 > sehingga < ) ( ) (0x f x f dimana < 0x xDaridefinisidiatasmakadapatdikatakanterdapattigasyaratagarkontinu terpenuhi, yaitu:1.) (0x f ada atau terdefinisikan2.) ( lim0x fx xada, dan 3.) ( ) ( lim00x f x fx x=(Parzynski & Zipse;1982:94)Contoh 2.4.1.1. Diberikan fungsi=Axxx g11) (2

untukuntuk 11==xxCari) ( lim1x gxdan tentukan nilai A agar fungsi g kontinu di 1, maka 29211lim ) ( lim21 1== xxx gx xMenurut yang diketahuiA e 1 danA g = ) 1 ( . Oleh karena itu agar fungsi g kontinu di 1, harus berlaku 2 ) ( lim ) 1 (1= = =x g g AxLebihlanjut,untuk 1 = x rumusfungsig dapatdisederhanakanmenjadi 1 ) ( + = x x g dandenganrumusinimudahdiperlihatkanbahwafungsig kontinu disetiap titik 1 = x . Digabung dengan hasil di atas, yaitu dengan mengambil A= 2maka fungsi g kontinu pada R.Mengenaifungsikontinusesuai denganamalibadahyangapabiladilakukansecarakontinudanterusmenerusakanmendapatkanpahala.Seperti halnya fungsi yang kontinu ia akan punya nilai pada titik tertentu.Dalam hadist telah disebutkan!! ! !! !! ! ! !!! ! !!!!!! ! !!!!!! !!!!!!!! !! !!!!!! ! !! !! !!! !!!!!! ! !! !!!!!! ! !! !!!! ! !!!!!! !!!!! !!!! !!!! !! ! !! !!!! !!! !!!!! !!!!!!!!!!!!!!! !!Lakukanlah amal sesuai kesanggupan. Karena sesungguhnya Allah tidak akanbosansehinggaengkaumenjadibosan.Dansesungguhnyaamalyang palingAllahsukaiialahyangterus-menerusdikerjakanwalaupunsedikit.(HR Abu Dawud 1161)Allah juga berfirman dalam surat Ibrahim ayat 33>. `>l _.:l . 1l _,,:>. `>l _,l !.l __Artinya:DandiaTelahmenundukkan(pula) bagimumataharidanbulanyang terusmenerusberedar(dalamorbitnya);danTelahmenundukkan bagimu malam dan siang.30Maksudayattersebutadalahbahwamataharidanbulanjugaberedar secarakontinudalamorbitnyahinggaharikiamatyangbisadikatakania keluar dari orbitnya.2.5. Supremum dan InfimumDefinisi 2.4.1. Misalkan S suatu himpunan bagian dari R(i) BilanganR u e dikatakanbatasatas Sjikau s s untuksetiap S s e(ii) BilanganR we dikatakan batas bawah S jika s w s untuk setiap S s eContoh 2.5.1.1Diberikan| | 1 , 0 := S ,makabatasatasS adalahhimpunan{ } 0 : s x x dan batasbawahS adalah{ } 1 : > x x .Diperhatikan0merupakanbatasbawahdan termasuk di dalam S, sedangkan 1 batas atas, tetapi ia tidak termuat di dalam S(Hernadi; 2000:17)Definisi 2.5.2. Diberikan S subset tak kosong 1. Jika S terbatas ke atas, maka suatu himpunan bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi.(1). u merupakan batas atas S dan(2). Jika v adalah sebarang batas atas S makav u s Ditulis u = sup S2. JikaS terbataskebawah,makasuatubilanganu disebutinfimum(batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut(1). w merupakan batas bawah S dan31(2). Jika t adalah sebarang batas bawah S, makaw t sDitulis w = inf S.(Riyanto;2008: 18)Contoh 2.5.2.1a. Himpunan)`e =)`= N nnE1,..31,, 21, 1 terbatasdiatasolehsebarang bilanganreal1 > v danterbatasdibawaholehsebarangbilanganreal 0 s u . Batas atas terkecil adalah 1 dan batas bawah terbesar adalah 0.b. , ) (nxx f = R x N n e e & mempunyaibatasatastakhinggadanbatas bawahnya negatif takhingga. Dengan demikian nxmempunyai supremum 1 dan infimum 0.Dari definisi di atas muncul sebuah lemma Lemma 2.5.3. Supremum suatu himpunan selalu tunggalBukti:Andaikanu=sup S danS u sup1 = dengan 1u u = .Karenaituada2 kemungkinanyangdapatterjadi,yaitu 1u u < atau 1u u > berartiubukanbatas atas S, ini berlawanan dengan u = sup S. Untuk 1u u > berartibukan batas atas S. Ini bertentangan denganS u sup1 = . Jadi pengandaian 1u u = salah. Seharusnya 1u u = .(Hernadi; 2000:17)Berikutadalahkriteriayangseringdigunakanuntukmengetahuisuatu batas atas merupakan supremum atau bukan.32Teorema 2.5.4: . Misalkan u suatu batas atas S.ambil0 > sebarang. Karena diketahui u = sup S, maka u bukan batas atas S, jadi adaS s e sehinggas u < akanditunjukkanbahwau yangmemenuhisebelahkananmerupakan supremumS. Misalkanuntuksebarangbilanganrealv,u v < .Ambil 0 : > = v u maka adaS s e sehinggas u v u u u < = = ) ( Iniberartiv bukanbatasatasS danberdasarkankarakteristiksupremum disimpulkan bahwaS u sup =(Hernadi; 2000:17)Al-quransebagaikitabsuciumatIslamdapatdikatakansebagai supremum.Selainsebagaipedoman,Al-quranjugamerupakanacuansekaligus sumber ilmu pengetahuan. Sebagai contoh penemuan manusia dalam bidang sains, dahuluorangmenyangkabahwaatomadalahpartikelterkecil,karenamereka belum menemukan elektron. Tapi kemudian ditemukan lagi yang lebih kecil yakni quark.Simpulannya,sainshanyadapatmenjangkausebahagiankecildariapa yang ditantangkan Alquran.Lebih lanjut terdapat ayat berikut:_ _l> _,. ,.. . !!,L!. _. _l> _..-l _. ,'.._>!.,l _> _ . _. L _ . _> .,l _,. `l1., ,,l| .,l !..l>> ,.> _Artinya:Dialah Allah yang menciptakan tujuh langit belapis-lapis. Kamu sekali-kalitidakmelihatciptaanAllahYangMahaRahmanituseuatuyang 33tidak seimbang. Maka perhatikanlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang? Kemudian pandanglah sekali lagi niscaya penglihatanmu akan kembali kepadamu dengan kesimpulan bahwa tidak ada yang cacat dan pengamatanmu itupun dalam keadaanpayah.(QS. Al-Mulk 3-4)Ayat di atas di samping sebagai perintah, juga berkesan sebagai tantangan. Penekananyanghendakdigarisbawahidariayatiniadalah,"niscayapenglihatan (observasi)-mu itu akan kembali kepadamu dengan keadaan payah".2.6. Luas daerah dan Integral Riemann2.6.1. Luas daerahPadatahun1630-anPierredeFermattertarikuntukmenghitungluas daerahdibawahkurva.Misalkanf kontinupadainterval[a,b].Untukmembahas luasdaerah dibawah kurvay= f(x) makaluas daerah setidaknyalebihbesar dari pada L.Gambar 2.5.1.1luas daerah LMisalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh sebagaijumlahluasdaerahpersegipanjangkecilsebagaimanadalamgambardi atas.Makaluasdaerahdibawahkurvay=f(x) mestilahlebihbesardaripada setiap anggota L. 34Makadidefinisikanluasdaerahdibawahkurvay=f(x) sebagaibilangan terkecil yang lebih besar dari pada setiap anggota L, yakni sup L.(Gunawan; 2000: 113-114)2.6.2. Integral Riemann2.6.2.1. PartisiMisalkanR I f : terbatasdan{ }nx x x P ,.., , :1 0= partisidariIpada selang [a,b] suatu himpunan berhingga{ } b x x x an = = ,...., ,1 0Sedemikian hinggab x x x x an n= < < < < =1 1 0.... .gambar 2.6.2.1 Partisi Pada [a,b]NormapartisiP yangdinyatakandenganP nilaiterbesardiantarabilangan ( ) . ,.. 2 , 1 ,1n i x xi i= Kemudian didefinisikan{ }1 1 2 0 1,...., , max : =n nx x x x x x P .... (4)JikaP adalahpartisisepertiyangtampakpadagambardiatas,maka definisi jumlah Riemann pada fungsiR I f :1t1 nx2x1xnx0x A =35) )( ( ) ; (11= = i iniix x t f P f S (5)(Bartle; 2000:194-195)Definisi2.6.2.1.1. Diberikanintervaltertutup[a,b],partisiQdisebutpenghalus (refinement) partisi P pada [a,b] jikaQ P _ .Untuk suatu interval [a,b] tak berhingga banyak partisi yang dapat dibuat. Koleksi semua partisi pada interval [a,b] dinotasikan dengan P [a,b].Contoh 2.6.2.1.1.1:Diberikan interval I=[0,1]. Berikut ini adalah beberapa partisi pada I.)`=)`=)`=)`=)`=)`=1 ,87,43,85,42,83,41,81, 0 1 ,87,86,85,84,83,82,81, 01 ,65,64,63,62,61, 0 , 1 ,43,42,41, 0 , 1 ,21,31, 0 , 1 ,41, 054 3 2 1PP P P PDapat dihitung bahwa 41,21,433 2 1= = = P P P5P merupakanpenghalusdari 3P sebab 5 3P P _ tetapi 5P bukanpenghalus 2Pmaupun 4P sebab 5 2P P . dan 5 4P P . .Partisi 3P , 4P dan 5P disebutpartisi seragam(Herawan-Thobirin; 2008).Teorema2.6.2.1.2. Untuksetiapbilanganreal0 > terdapatpartisiPpada [a,b] sehingga < P (6)36Diberikanintervaltertutup[a,b].Karenaa a b .Olehkarenanyasembarang0 > dan berdasarkan sifat archimedes, terdapat bilangan asli n sehingga terdapatbilangan0 > dengansifat } ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = partisipada[a,b]dengan < Pberlaku( ) < =A x x f Pnii i i11) ( ) ( (9)Atau( ) < A f P S ;Bilangan real A pada definisi diatas disebut nilai Integral Riemann fungsi fpada interval [a,b] dan ditulis ()}=badx x f R A ) ( (10)39Selanjutnyauntukmemudahkanpenulisan,koleksisemuafungsiyang terintegralRiemann pada[a,b]dinotasikandengan] , [ b a R .Jadijika R b a f ] , [ : dikatakan terintegral Riemann cukup ditulis dengan] , [ b a R f eDefinisi Integral Riemann di atas juga dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan persamaan berikut:A f P Sp=) ; ( lim0(11)Contoh2.6.2.3.2:Misal| | R f 1 , 0 : adalah sebuah fungsi yang mengambil nilai 1 pada setiap titik. MakajumlahRiemann pada interval[0,1]akanmempunyainilai1.Dan Integral Riemannya akan bernilai satu.2.6.2.4. Integral Sebagai LimitDefinisi2.6.2.4.1. Diberikan fungsi f real dan terbatas pada selang [a,b]. Untuk setiap partisi{ }nx x x P ,...,1 , 0= pada [a,b] dibentuk jumlah) )( ( ) , (11= = i iniix x t f f P SDimana it titiksembarangpadasubselangtertutup| | n i x xi i,.. 2 , 1 , ,1=. BilanganrealAdisebutlimitS(P,f) untuknorma0 P danditulis A f P SP=) , ( lim0jikadanhanyajikauntuksetiap0 > yangdiberikandan sembarangpengambilantitik it e | |i ix x ,1 ,terdapat0 > sedemikianuntuk semua partisi P pada [a,b] dengan < P berlaku40 < A f P S ) , ((Rahman. 2008;213)Contoh 2.6.2.4.1.1Jika }baf dimanax x f = ) ( padainterval[a,b]makahitungnilaiintegralnyadan apakah terdapat limit dalam integral tersebut.Penyelesaian:] , [ b a C f e danfterintegralRiemannpada[a,b].misalPadalahpartisipada[a,b]. pilih tag point) (211 =i i ix x untuk i = 1, 2, ,n. kemudian) )( (21) ( ) ; ; (1 11 1 = = + = A i i i iniiniix x x x x f f P S ( ) ( ) ( )2 2 20212 2212121a b x x x xnnii i = = = =Hasildiatasmenunjukkanbahwasetiappartisitersebutdidapat ( ) ( )2 221; ; a b f P S = . Ini menunjukkan bahwa( ) ( )2 2021; ; lim a b f P Sp = .(Parzynski & Zipse;1982:164)Teorema 2.6.2.4.2 Misalkan f terbatas pada I. Misalkan terdapat suatu bilangan 9 e A sedemikian hingga untuk setiap0 > terdapat partisi P dari I sedemikian hinggauntuksembarangpartisi P P _ dansembarangjumlahRiemannS(P;f) berlaku41( ) < A f P S ;Maka f terintegralkan pada I dan }=baA dx x f ) (Bukti:Dengan menggunakan teorema sebelumnya yakni < }badx x f f P S ) ( ) ; ( .SedangsebelumnyatelahdidefinisikanbahwaIntegralRiemann dapatpula dinyatakan sebagai limit denganA f P Sp=) ; ( lim0maka < }badx x f A ) ( sehingga }=baA dx x f ) ( .Jadi teorema terbukti.2.6.2.5. Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi MonotonTeorema 2.6.2.5.1. jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegralkan pada [a,b].Bukti:Fungsiyangkontinupada[a,b]mestilahkontinuseragampada[a,b]. Karenaitudiberikan0 > sembarangterdapat0 > sedemikianhinggauntuk | | b a y x , , e dengan < y x berlaku a by f x f< ) ( ) (42SelanjutnyauntuktiapN n e dengan a bn> ,tinjaupartisi { }nx x x P ,.., , :1 0= dengann ka bk a xk,.., 1 , 0 , . =+ =(disiniinterval[a,b] terbagi menjadi n, sub interval sama panjang).Setiap sub interval| |k kx x ,1 , f mencapai nilai maksimum kM dan minimum km , maka k kM u f = ) ( dan k km v f = ) (Dalam hal ini diperoleh a bv f u f m Mk k k k< = ) ( ) (Dan akibatnya=s = s ==na ba bx x m M f P L f P Unkk knkk k n n. ) )( ( ) , ( ) , ( 0111Kemudiandisimpulkanbahwa| | 0 ) , ( ) , ( lim = f P L f P Un nn.Dankarenanyaf terintegralkan pada [a,b].(Gunawan; 2000: 113-114)Contoh 2.6.2.5.1.1Buktikan bahwa }10) ( dx x f ada, dimana=1sin) (xxx f 00==xx43xx sinadalahkontinuuntuk0 = x dan) 0 ( 1sinlim0fxxx= =((

.Sehinggafadalah kontinu pada [0,1] dan f terintegral Riemann pada [0,1]. Sehingga }10) ( dx x f ada.Teorema 2.6.2.5.2: Jika f monoton pada [a,b] maka f terintegralkan pada [a,b].Bukti:Asumsikanf naikpada[a,b]untuktiapN n e tinjaupartisi { }nx x x P ,.., , :1 0= dengann ka bk a xk,.., 1 , 0 , . =+ =.Karenaf naikpada | |k kx x ,1 , maka) (1 =k kx f m dan) (k kx f M= . Dalam hal ini kita peroleh suatu deret teleskopis| | = == nkk k k k knkkx f x fna bx x m M11 11) ( ) ( ) )( (| | ) ( ) ( a f b fna b=Sekarang jika0 > diberikan, maka untuk tiapN n edengan| | ) ( ) ( a f b fna bn > berlaku < = s=) )( ( ) , ( ) , ( 011k knkk k n nx x m M f P L f P UDengan demikian f mestilah terintegralkan pada [a,b].Teoremaberikutmemberikansuatukriteriauntukketerintegralanf pada [a,b].UntukselanjutnyaterintegralkanberatiterintegralRiemanndanintegral berarti integral Riemann.44Teorema 2.6.2.6: f terintegral pada [a,b] jika dan hanya jika untuk setiap0 > terdapat suatu partisiP dari [a,b] sedemikian hingga < ) , ( ) , ( f P L f P U(12)Bukti:Misalkanfterintegralkanpada[a,b].Ambil0 > sebarang.Daridefinisi supremum terdapat suatu partisi 1P dari [a,b] sehingga) , (2) (1f P L f L < Dari definisi infimum terdapat pula suatu partisi 2P dari [a,b] sehingga 2) ( ) , (2 < f U f P USekarangmisalkan 2 1P P P=,maka P merupakanperhalusan 1P dan 2P . Akibatnya2) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (2) (1 + < s s s < f U f P U f P U f P L f P L f LNamun) ( ) ( f U f L = sehingga kita peroleh( ) < f P L f P U , ) , (Sebaliknyamisalkanuntuksetiap0 > terdapatsuatupartisi P dari[a,b] sedemikian hingga < ) , ( ) , ( f P L f P UMaka, untuk setiap0 > berlaku < s s ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 f P L f P L f P U f L f U45Dari sini disimpulkan bahwa) ( ) ( f L f U = atau f terintegralkan pada [a,b].(Gunawan; 2000: 111-112)2.6.2.7. Sifat-Sifat Dasar Integral RiemannBagianinimembahassifat-sifatdasarIntegralRiemann, diantaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan semua fungsi terintegral Riemann.Teorema 2.6.2.7.1 Jika| | b a R f , e maka nilai Integralnya tunggalBukti:Diketahui| | b a R f , eAdib : 2 1A A =Diberikansembarangbilangan0 > . Misalkan 1A dan 2A keduanyanilai integral Riemann fungsi f.1A nilai integral fungsi f pada [a,b], maka terdapat bilangan01 > sehingga untuk setiappartisi} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = pada[a,b]dengansifat 1 1 < P berlaku2) ; (1 1< A f P S(i)2A nilaiintegralfungsif pada[a,b],makaterdapatbilangan02 > sehingga untuksetiappartisi} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = pada[a,b]dengan sifat 2 2 < P berlaku2) ; (2 2< A f P S (ii)46Dipilih{ }2 1, min = ,akibatnyajikaPsembarangpartisipada[a,b]dengan sifat < P berlaku 1 < P dan 2 < P . Akibatnya2) ; (1< A f P SDan 2) ; (2< A f P SLebih lanjut2 1 2 1) ; ( ) ; ( A f P S f P S A A A + =

2) ; ( ) ; ( A f P S f P S A + s

2 1) ; ( ) ; ( A f P S A f P S + s = + .Karena] , [ b a R f e makaterdapat }=badx x f R A ) ( ) (1dan01 > sehingga untuk setiap partisi 1P pada [a,b] dengan sifat 1 1 < P berlaku2) ; (1 1< A f P SKarena] , [ b a R g e makaterdapat }=badx x f R A ) ( ) (2dan02 > sehingga untuk setiap partisi 2P pada [a,b] dengan sifat 2 2 < P berlaku2) ; (1 2< A f P SDipilih{ }2 1, min = akibatnyajika Psembarangpartisipada[a,b] dengan sifat < P berlaku 1 1 < P dan 2 2 < P . Akibatnya) ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) ; (2 1 112 1A A x x g f P A A g f P Sinii i+ + = + +={ }= + =nii i i i i iA A x x g x x f P12 1 1 1) ( ) )( ( ) )( ( ) ( = = + + =ninii i i i i iA A x x g P x x f P1 12 1 1 1) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( == + snii i inii i iA x x g P A x x f P12 111 1) )( ( ) ( ) )( ( ) ( = + danmerupakan konstanta.Karena] , [ b a R f e makaterdapat }=badx x f R A ) ( ) ( dan0 > sehingga untuk setiap partisiP pada [a,b] dengan sifat < P berlaku < A f P S ) ; (Jika P sembarang partisi pada [a,b] dengan sifat < P berlaku < = =A x x f P A f P Sinii i) )( )( ( ) ( ) ; (11 < ==nii i iA x x f P11) )( ( ) (Karena merupakan konstanta maka dapat kita keluarkan sehingga. < ==nii i iA x x f P11) )( ( ) ( }=< =badx x f RA f P S) ( ) () ; ( Terbukti ( ) ] , [ b a R fe dan } }=babadx x f R dx x f R ) ( ) ( ) )( ( ) ( (Herawan-Thobirin; 2008)49Teoremaberikutmenyatakanhubunganketerintegralansuatufungsidengan keterbatasanTeorema 2.6.2.7.3. Jika] , [ b a R f e maka f terbatas pada [a,b].Bukti:Sifatketerbatasan: jikaM x f m s s ) ( pada [a,b] maka} s s baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) (Berdasarkan jumlahan Riemann yaitu) ( ) )( ( ) (111111=== s s k knkk k knkk k knkkx x M x x t f x x msehingga) ; ( ) ; ( ) ; ( f P U f P S f P L s s dankarenaS(P;f)=A danA sendiriadalah }bax f ) ( sesuaidenganteoremasebelumnyadanberdasarteoremadasarkalkulus yaitu } =baa F b F dx x f ) ( ) ( ) ( maka untuk sifat keterbatasan berlaku } s s baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) (Dengan persamaan tersebut dikatakan bahwa f terbatas pada [a,b].Teorema2.6.2.7.4.Jika] , [ b a R f e dan] , [ b c R f e dengana sehinggauntuksetiappartisi 1P pada[a,c]dengansifat 1 1 < P berlaku4) )( ( ) (11 1 1 < =nii i iA x x f PDanjugaterdapat02 > sehinggauntuksetiappartisi 2P pada[c,b] dengan sifat 2 2 < P berlaku4) )( ( ) (12 1 2 < =nii i iA x x f PDipilih{ }2 1, min = akibatnyajikaPsembarangpartisipada[a,b] dengan sifat < P maka terdapat dua kemungkinan:(i) c merupakan salah satu titik partisi P(ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi Pkemungkinan (i)jikacmerupakansalahsatutitikpartisiP,makaPterbagiatas 1P pada intervalbagian[a,c]dan 2P padaintervalbagian[c,b].Karena { }2 1, min = dan < P ,makaberlakupula 1 1 < P dan 2 2 < Psehingga51=+ nii i iA A x x f P12 1 1) ( ) )( ( ) ( = ==+ + nii inii i i iA A x x f P x x f P12 1 112 1 1) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( = == + nii inii i i iA x x f P A x x f P12 112 1 1 1) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 11211 1 1) )( ( ) ( ) ( ) ( A x x f P A x x f Pi iniinii i + s= = < + sembarang,terdapatpartisi{ }nx x x P ,..., , :1 0=sedemikian hingga 3) , ( ) , ( < f P L f P UAkibatnya,jika P P _ maka 3) , ( ) , (< f P L f P U .Selanjutnyamisalkan { } I x x f M e = : ) ( : dan Mn 12: = .54Ambilsembarangpartisi{ }ny y y Q ,..., , :1 0= dariIdengan < Q dan misalkan P Q Q= :*maka P Q _*dan *Q mempunyaisebanyak-banyaknya n-1titiklebihbanyakdaripadaQ,yaknititik-titik 1 1,....., nx x yangadadi PtetapitidakdiQ. Selanjutnyakitaakanmembandingkan) , ( f Q U dengan ) , (*f Q U serta) , ( f Q L dengan ) , (*f Q L .KarenaQ Q _*,kitamempunyai0 ) , ( ) , (*> f Q U f Q U .Jikakita tuliskan{ }pz z z Q ,.., ,1 0*= maka) , ( ) , (*f Q U f Q U dapatdinyatakansebagai jumlah dari sebanyak-banyaknya 2(n-1) suku berbentuk) )( (1* k k k jz z M MDengan jM menyatakan supremum dari f pada interval ke-j dalam Q dan *kM menyatakansupremumdarif padasub-intervalke-k dalam *Q .Karena M M Mk j2*s dan < s s Q Q z zk k*1, kita peroleh3. 2 ). 1 ( 2 ) , ( ) , ( 0* < s s M n f Q U f Q UAkibatnya didapatkan3) , ( ) , (*+ < f Q U f Q USerupa dengan itu terdapat) , (3) , (*f Q L f Q L < 55SelanjutnyabahwaS(Q,f) dan }badx x f ) ( terletakdalaminterval | | ) , ( ), , ( f Q U f Q L , dan karena itu keduanya berada dalam interval((

+ =3) , ( ,3) , ( :* * f Q U f Q L IKarena P Q _*kitamempunyai 3) , ( ) , (*< f Q L f Q U ,sehingga panjang I lebih kecil daripada . Jadi jarak antara S(Q,f) dan }badx x f ) ( mestilah lebih kecil daripada . Jadi teoremanya terbukti. (Gunawan,119:2002)2.7.2. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux BawahDiberikanintervaltertutup| | R b a _ , dan| | R b a f , : fungsibernilai realyangterbataspada[a,b].Jika} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = =sembarang partisi pada [a,b] maka didefinisikan{ } ] , [ : ) ( sup b a f Mi ie = dan{ } ] , [ : ) ( inf b a f mi ie = KeterbatasanfungsifdapatmenjamineksistensiduabilanganM danmtersebut. Selanjutnya untuk i = 1,2,....n didefinisikan| | { }1: ) ( sup e =i i i i ix x f M | | { }1: ) ( inf e =i i i i ix x f m Dapat dipahami bahwaM M f m mi i is s s s ) ( untuk setiap i = 1,2,....n.56DariuraiandiatasmakauntukjumlahDarboux atasfungsif terkait dengan partisi P, dinyatakan dengan U(P;f), dan didefinisikan sebagai berikut) ( ) ; (11= = i iniix x M f P U (17)SedangkanjumlahDarboux bawahdenganpartisi yangsamadengan jumlah Darboux atas didefinisikan sebagai berikut) ( ) ; (11= = i iniix x m f P L(18)Lemma 2.7.2.1. Diberikan | | R b a _ , dan| | R b a f , : terbatas pada [a,b] dan } ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = sembarangpartisipada[a,b],maka berlaku) ; ( ) ; ( f P U f P L s(Herawan-Thobirin; 2008)Bukti:Diberikan dan} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = sembarang partisi pada[a,b],berdasarkandefinisisupremumdaninfimumsuatuhimpunanmaka diperoleh i iM m s untuk setiap i = 1,2,....n. oleh karenanya diperoleh) ; ( ) ( ) ( ) ; (1111f P U x x M x x m f P Li inii i inii= s === Denganmenggunakandefinisiyangsamauntukpenghaluspartisipada integral Riemann, maka muncul lemma sebagai berikut57Teorema2.7.2.2.Diberikan| | R b a _ , dan| | R b a f , : fungsiyangterbatas pada [a,b]. Jika 1P dan 2P sembarang dua partisi pada [a,b] , maka berlaku ) ; ( ) ; (2 1f P U f P L s (19)Bukti:Diket:| | R b a _ , dan| | R b a f , : fungsiyangterbataspada [a,b].Jika 1P dan 2P sembarang dua partisi pada [a,b]Adib: ) ; ( ) ; (2 1f P U f P L sDibentuk 2 1P P P= ,makaP PdanP P _ _2 1,sehinggadiperoleh ) ; ( ) ; (1f P L f P L s dan) ; ( ) ; (1f P U f P U s .Berdasarkanteorema2.7.2.1diperoleh) ; ( ) ; ( f P U f P L s . Akibatnya diperoleh) ; ( ) ; (2 1f P U f P L s .2.7.3. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux BawahP [a,b]dimaksudkansebagaihimpunansemuapartisipada[a,b].Selanjutnya integralDarbouxatasfungsif padainterval[a,b],dinotasikandenganU(f) atau }badx x f D ) ( didefinisikan sebagai{ }}P e = =bab a P f P U dx x f D f U ] , [ ); ; ( inf ) ( ) ( (20)SedangkanintegralDarboux bawahfungsif padainterval[a,b], dinotasikan dengan U(f) atau }badx x f D ) ( didefinisikan sebagai{ }}P e = =bab a P f P U dx x f D f U ] , [ ); ; ( sup ) ( ) ((21)Mengenai Integral tersebut diatas terdapat beberapa teorema yakni58Teorema2.7.3.1.Diberikan| | R b a _ , dan| | R b a f , : fungsiyangterbatas pada [a,b]. Jika fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [a,b], maka) ( ) ( f U f L s (22)Bukti:Diket:fungsif terintegralDarbouxatasdanterintegralDarboux bawah,artinya dapatdipilihsembarang] , [1b a P P e dan] , [2b a P P e .Dipilih2 1P P P= ,maka berdasarkan lemma 2.7.2.1 dan teorema 2.7.2.2 berlaku) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; (2 1f P U f P U f P L f P L s s sJadibilanganreal) ; (2f P U merupakansuatubatasatasdari { } ] , [ : ) ; ( b a P f P L P e . Akibatnya { } ) ; ( ] , [ : ) ; ( sup ) (2f P U b a P f P L f L s P e = .DemikianpulaL(f) merupakanbatasbawahdari{ } ] , [ : ) ; ( b a P f P U P e sehingga{ } ) ( ] , [ : ) ; ( inf ) (2f U b a P f P U f L = P e = . Jadi terbukti) ( ) ( f U f L sDaribeberapauraiandiatasselanjutnyadiberikandefinisiIntegral Darboux sebagai berikutDefinisi2.7.3.2.(DefinisiIntegralDarboux)Fungsibernilairealdanterbatas | | R b a f , : dikatakan terintegral Darboux pada [a,b] jika L(f)=U(f) atau} } }= =bababadx x f D dx x f D dx x f D ) ( ) ( ) ( (23)Atau bisa didefinisikan 59 < = ) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P f .Integral Darboux menggunakan partisi Riemann yang lebih kecil yakniP P _Contoh 2.7.3.2.1:Diberikan, ) ( x x f =] 1 , 0 [ e x . Apakah f terintegral Darboux pada [0,1].Penyelesaian:Ambilsembarangpartisiseragam )` = 1 ,1,...,2,1, 0nnn nPnpada[0,1].Karena , ) ( x x f =] 1 , 0 [ e x maka nx xi i11 = n i ,.., 2 , 1 = ,niMi =n i ,.., 2 , 1 = ) ( ) ; (11= = i inii nx x M f P U ( )|.|

\| + =+=+ + + =====nn nnnninn ninini11212) 1 ( 1... 2 111122121nimi1 =n i ,.., 2 , 1 = ) ( ) ; (11= = i inii nx x m f P L60

( )( )|.|

\| == + + + = ====nn nnnninn ninini11212) 1 ( 11 ... 2 11111 122121Diperoleh01121 1121lim ) ; ( ) ; ( lim =||.|

\||.|

\| |.|

\| + = n nf P L f P Unn nnMaka f terintegral Darboux pada [0,1] dengan nilai Integral 21 1121lim ) ; ( lim ) ( = |.|

\| + = = }nf P U dx x f Dnnban2.7.3.3. Fungsi Kontinu dan Monoton Pada Integral DarbouxTeorema 2.7.3.3.1Setiap fungsi real dan kontinu pada interval [a,b], terintegral Darboux pada[a,b].Bukti:Diberikansembarangf fungsirealdankontinupadainterval[a,b], berdasarkanteoremakekontinuanseragam,makaf kontinuseragam.Selanjutnya diberikansembarangbilangan0 > .Karenaf kontinuseragam,makaterdapat bilangan0 > sehingga jika} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = sembarang partisi pada [a,b] dengan sifat < P berlaku61( )ii ia bm M2 < Sehingga diperoleh) ( ) ( ) ; ( ) ; (1111== = i inii i iniix x M x x M f P L f P U ) )( (11= = i i iniix x m M

( )) (21a ba bnii ,terdapatpartisiRiemann P pada[a,b]sehinggauntuksetiappartisiRiemannPpadainterval[a,b] dengan sifatP P _, berlaku < ) ; ( ) ; ( f P L f P U (24) Bukti:Syarat perlu;Diketahuifungsi| | R b a f , : terintegralDarboux pada[a,b],berarti L(f)=U(f).Diberikansembarangbilangan0 > , berdasarkandefinisiU(f) maka terdapat partisi Riemann1P pada [a,b] sehingga2) ( ) ; ( ) (1+ < s f U f P U f U64Karena L(f)=U(f). Maka berlaku2) ( ) ; ( ) (1+ < s f L f P U f LSelanjutnyauntuk bilangan0 > tersebut berdasarkan definisiL(f) maka terdapat partisi Riemann2P pada [a,b] sehingga ) ( ) ; (2) (2f L f P L f L s < Berdasarkanteorema2.7.2.2 berlaku) ; ( ) ; (1 2f P U f P L s .Olehkarenaitu diperoleh2) ( ) ; ( ) ; (2) (1 2 + < s < f L f P U f P L f LDipilih 2 1P P P=makaP P _1dan P P _2sehingga diperoleh2) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; (2) (1 2 + < s s s < f L f P U f P U f P L f P L f LAkibatnya 2) ( ) ; ( ) ; (2) ( + < s < f L f P U f P L f L .SelanjutnyajikadiambilsembarangpartisiriemannPpadainterval[a,b]dengan sifatP P _berlaku2) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; (2) ( + < s s s < f L f P U f P U f P L f P L f LMaka didapat 2) ( ) ; ( ) ; (2) ( + < s < f L f P U f P L f LAkhirnya diperoleh < ) ; ( ) ; ( f P L f P U65Syarat cukup;Diketahuiuntuksetiapbilangan0 > terdapatpartisiRiemannP pada [a,b]sehinggauntuksetiappartisiRiemann Ppadainterval[a,b]dengansifat P P _berlaku < ) ; ( ) ; ( f P L f P U .Ini ekuivalen dengan + < ) ; ( ) ; ( f P L f P U . Berdasarkan definisi L(f) dan U(f), maka untuk setiap partisi Riemann P pada [a,b] berlaku) ; ( ) ( f P U f U s dan ) ( ) ; ( f L f P L sSehingga diperoleh + s + < s ) ( ) ; ( ) ; ( ) ( f L f P L f P U f UDiperoleh + < ) ( ) ( f L f UKarena bilangan0 > diambil sembarang maka didapatkan ) ( ) ( f L f U s66BAB IIIPEMBAHASANPadababiniakandipaparkantentang bukti ekuivalensiIntegralRiemanndanIntegralDarboux. Kemudiandipaparkanjugabuktisifat-sifatIntegral Darbux dengan menerapkan sifat-sifat Integral Riemann .3.1. Ekuivalensi Integral Riemann dan Integral DarbouxSelainIntegralRiemann terdapatIntegralDarboux.IntegralDarbouxadalah ekuivalen dengan Integral Riemann. Suatu fungsi terintegral Darboux jika danhanyajikaiajugaterintegralRiemann danjikanilaikeduaIntegralituada maka nilai keduanya sama.Teorema 3.1.1DiberikanfungsiR b a f ] , [ : adalahintegralRiemannjikadanhanyajikafterintegral Darboux pada [a,b] sehingga } }=babaf D f R(Pete;2008:8).Bukti:- Bukti yang pertama adalah } }babaf D f RDiketahuifungsiR b a f ] , [ : terintegralRiemann pada[a,b],berartiterdapat bilangan }=badx x f R A ) ( artinyauntuksembarangbilangan0 > ,terdapat 6667bilangan0 > sehingga jika} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = sembarang partisi pada [a,b] dengan sifat < P berlaku2) )( ( ) (01 < =nii i iA x x f PAmbilsembarangn i x xi i,.., 2 , 1 ]; , [1=berdasarkandefinisi im makaterdapat ] , [1 i i ix x e demikian sehingga( )) ( 2 a bm f mi i i+ < sSehingga( )( ) ) () ( 2) (1 1 1 ||.|

\|+ < s i i i i i i i i ix xa bm x x f x x m( )( ) ) () ( 2) ( ) (1 1 1 1 + < s i i i i i i i i i i ix xa bx x m x x f x x m( ) = ==||.|

\|+ < s nii i i i i i inii i iniix xa bx x m x x f x x m11 1 1111) () ( 2) ( ) ( ) (( )2) ( ) ( ) (111111 + < s === i inii i inii i iniix x m x x f x x m2) ; ( ) ; ( ) ; (+ < s f P L f P S f P L .................(1)Demikianpulauntuksembarangn i x xi i,.., 2 , 1 ]; , [1=berdasarkan iM maka terdapat] , [1 i i ix x e sedemikian hingga( )i i iM fa bM s < ) ( 268Dengan cara yang sama diperoleh) ; ( ) ; (2) ; ( f P U f P S f P U s < ........(2)Dari (1) dan (2) diperoleh2) ; (2) ; ( + < f P L f P U = + < 2 2) ; ( ) ; ( f P L f P UMenurutdefinisiIntegral Darboux yaitu < ) ; ( ) ; ( f P L f P U .Jaditerbukti bahwa } }babaf D f R- Bukti yang kedua adalah } }babaf R f DDefinisi Integral Darboux() () f U f L = atau < = ) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P fBerdasarkan definisi jumlah Darboux atas dan Darboux bawah ) ( ) () ; ( ) ; (1111== =< = i inii i iniix x m x x MP f L P f U Kita misalkan sebagai berikut( )i ix f M = dan( )1 =i ix f mSehingga69( )( )( ) ( ) { }( )( ) ( ) { }na bx f x fx x x f x fx x m Mx x m x x MP f L P f Unii ii inii ii inii ii inii i inii = = = =< = =====11111111111) ( ) () ; ( ) ; ( Karena xna bx xi iA == 1maka

( ) ( ) { }( ) ( ) { } < ===a f b fna bx f x fna bnii i11Dan berdasarkan sifat Archimedes untuk bilangan asli n maka terdapat partisi P pada [a,b] sehingga < P . Sedangkan jika < P berlaku < =nii i iA x x x f P01) )( ( ) (HasildiatasmerupakandefinisidariIntegralRiemann.Jadi } }babaf R f Dterbukti.Contoh 3.2.1.1:Fungsi konstan terintegral Riemann pada interval tertutupPenyelesaian:70c x f = ) ( ] , [ b a x e dengan c suatu konstanta.Ambilsembarang} ,..., , ; ,..., , , {2 1 2 1 0 n nb x x x x a P = = = partisipada[a,b], maka c Mi = dan c mi = n i ,.., 2 , 1 = Oleh karenanya) ( ) ; (11= = i iniix x M f P U ) () () (1111a b cx x cx x ciniiinii = = ===Dan) ( ) ; (11= = i iniix x m f P L ) () () (1111a b cx x cx x ciniiinii = = ==={ } ) ( ] , [ : ) ; ( inf ) ( a b c b a P f P U f U = e = dan{ } ) ( ] , [ : ) ; ( sup ) ( a b c b a P f P L f L = e = .JadiU(f)=L(f),makaf terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut} =baa b c dx x f R ) ( ) ( ) (71Karena hasil antara Integral Darboux dan Integral Riemann sama maka dikatakan ekuivalensi.Contoh 3.2.1.2Fungsi 2) ( x x h = terintegralRiemannpadainterval[0,1].Misal nP adalah subintervalpada interval [0,1] sehingga |.|

\|== 1 ,1,...,2,1, 0 :nnnnn nPn.Ketika h naik pada interval [0,1] maka di dapat( ) ( )2/ 1 n k mk = dan( )2nkMk =untuk k = 1,2,..,n. Sehingga( ) ( ) ( )3 2 2 21 ... 1 0 ; n n h P Ln + + + =( ) ( )3 2 2 2... 2 1 ; n n h P Un+ + + =Dengan menggunakan persamaan( )( ) 1 2 161... 2 12 2 2+ + = + + + m m m m( ) ( ) ( ) |.|

\|+ = =2321231316 1 2 1 ;n nn n n n h P Ln( ) ( )( ) |.|

\|+ + = + + =2321231316 1 2 1 ;n nn n n n h P UnUntuk semuaN n e . Selanjutnya dapat dilihat( ) ( ) { } ( ) { }31) 1 ( ; ; sup ; ; sup = P e s e = P h P L N n h P L h Ln n( ) ( ) { } ( ) { }31; ; inf ) 1 ( ; ; inf = e s P e = N n h P U P h P U h Un nJadi 31) ( ) ( = = h U h L . Maka h terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann.(Bartle,1994:236)723.2. Sifat-Sifat Integral DarbouxTelahdibuktikanbahwaIntegralRiemanndanIntegralDarboux adalah ekuivalen,makasifat-sifatdasarIntegralRiemannyaituketunggalannilai integral,kelinearan dan keterbatasanfungsinyaberlakupulapadaIntegral Darboux.3.2.1 Ketunggalan nilai integralTelahdijelaskan padababsebelumnya yaknipadateorema2.6.2.7.1bahwaIntegralRiemann mempunyainilaiyangtunggalyakni 2 1A A = . SelanjutnyaakandibuktikanbahwapadaIntegralDarboux jugaberlaku demikian.Menurut definisi Integral Darboux yakni < = ) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P f maka) ; ( ) ; ( P f L P f U =Jika) , ( f Q S padateoremaDarboux menyatakanjumlahDarboux yangterkaitdengan partisi Q maka( ) < }badx x f f Q S ) ( ;Sedangkan }=baA dx x f ) ( maka < A f Q S ) ; (UntukmembuktikanbahwaIntegralDarboux mempunyainilaitunggal dimisalkan2 1A A = .Andaikan < 1) ; ( A f Q S dan < 2) ; ( A f Q Sdengan2 1A A = ,makauntuksetiap 1A terdapat01 > untuksetiappartisi { }ny y y Q ,..., ,1 0= dengan < Q sehingga untuk setiap 1 1 < Q berlaku732) ; (1< A f Q SHal demikian juga berlaku pada 2A pada nilai Integral fungsi f pada [a,b] yaitu2) ; (2< A f Q SDipilih{ }2 1, min = ,menggunakanketaksamaansegitigamakauntuk < Q2 1 2 1) ; ( ) ; ( A f Q S f Q S A A A + =

2) ; ( ) ; ( A f Q S f Q S A + s

2 1) ; ( ) ; ( A f Q S A f Q S + s = + +Ambil sembarang partisi 1P sehingga 2) ; (1 < P f dan partisi 2P maka2) ; (2 < P f . Seperti kita ketahui bahwa 2 1P P P=sehingga ) ; ( ) ; (1P f P f s dan) ; ( ) ; (2P g P g s dan75) ; ( ) ; ( ) ; ( P g f L P g f U P g f + + = + < + = + s) ; ( ) ; () ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; (P g P fP g L P f L P g U P f UJadi) ( ) ( ) )( ( x g D x f D x g f Dbababa} } }+ = +b. Menurut Definisi Integral Darboux yaitu) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P f = ) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P f = ( )( ) ) ; ( ) ; () ; ( ;P f L P f UP f L P f U = s Karena adalahkonstantamaka bisadikeluarkan.Dansesuaidengan definisi

} } }= =bababadx x f D dx x f D dx x f D ) ( ) ( ) (atau < = ) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P fdanL(f)=U=(f) .Sehingga } }=babax f D x f D ) ( ) ( ) ( .763.2.3.Keterbatasan Fungsi Integral Darboux.KarenaIntegralRiemann terbataspada[a,b]sesuaidenganteorema2.6.2.7.3makaIntegral Darboux jugasama, karenasudahdibuktikanbahwa keduanyaterdapatekuivalensi.DisiniakandibuktikanbahwaIntegralDarboux juga terbatas pada [a,b]:Bukti:Definisi Integral Darboux yaitu) ; ( ) ; ( ) ; ( P f L P f U P f = sedangkan sifat keterbatasan adalah } s s baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) ( .PadasisilainteoremaDarboux jugadapatdipakaiuntukmembuktikanrumusan tersebut. < }badx x f f Q S ) ( ) ; ( . Sedangkan menurut teorema 2.6.2.7.3 yakni) ; ( ) ; ( f P U f P L s maka } s s baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) ( . Dan fungsi f terbatas pada [a,b].77BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN4.1. KesimpulanBerdasarkanhasilpenelitiandanpembahasanpadababIII,makadiperoleh kesimpulan sebagai berikut:1) TelahdibuktikanbahwaantaraIntegralRiemanndanDarbouxterdapat ekuivalensi.2) Sifatyangberlaku padaIntegralRiemann terbukti juga berlakupada IntegralDarbouxkarenakeduanyamempunyaiekuivalensi.Sifatnya yaitu, ketunggalan nilai integral, kelinieran dan keterbatasan fungsi.4.2. SaranBagipembacayanginginmelanjutkanpenelitianinimakapeneliti menyarankan tidak hanya menggunakan Integrak darboux saja serta pada interval [a,b].KarenabanyakIntegrallainyangmerupakangeneralisasidariIntegral Riemann.7778DAFTAR PUSTAKAAl-Hifnawi, M. Ibrahim. 2008. Tafsir Alqurthubi. Jakarta: Pustaka Azzam.Bartle,R.GandSherbert,D.R,1992,IntroductiontoRealAnalysis,second Edition, John Wiley and Sons, Inc, USA.Clark, Pete L.2008.The Riemann-Darboux Integral II.Gunawan, Hendra.2008.Pengantar Analisis Real. Personal.FMIPA.ITB.ac.id.Diakses tanggal 9 Agustus 2009.Hasan,Iqbal.2002.MetodologiPenelitiandanAplikasinya.Jakarta:Ghalia Indonesia.Hernadi, Julan. 2009.Analisis Real. .wordpress.com/2009/02/analisis_bab1.pdf -Diakses tanggal 9 Agustus 2009.Hutahean,Effendi.1989.AnalisisRealII.Jakarta:KarunikaJakartaUniversitas Terbuka.J. Purcel, Edwin. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: PT. Airlangga.Rahman,M.Si,Hairur.2008.PengantarAnalisisReal.Malang:UINMalang Press.Riyanto, Zaki.2008.Pengantar Analisis Real.www.wahid.web.ugm.ac.id/downloadDiakses tanggal 9 Agustus 2009.Thobirin.2008.Pengantar Analisis Real. /aris_thobirin/files/2008/12/bab-v.pdfDi akses tanggal 1 Maret 2009..Analysis Real. 2008.en.wikibooks.org/wiki/Real_Analysis/Darboux_IntegralDi akses tanggal 13 Desember 2008.Integral Darboux.2008. Wolfram MathWorld.mht. Integral darboux.Di akses tanggal 13 Desember 2008.http://www.lbh-apik.or.id/fact.2054.2009.kesetaraangenderdalamAl-quran.html. Diakses tanggal 13 Juli 2009.77