smart solution un matematika sma 2014 (full version - free edition)

7/18/2019 Smart Solution Un Matematika Sma 2014 (Full Version - Free Edition)

http://slidepdf.com/reader/full/smart-solution-un-matematika-sma-2014-full-version-free-edition 1/324

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

TAHUN PELAJARAN 201 /201

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2014



Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com )

SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah.

1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Implikasi

Kesetaraan Implikasi

⇒ ≡ ~ ∨ ≡ ~ ⇒ ~

Penarikan Kesimpulan

Modus Ponens & Tollens Silogisme

“implikasi” + “pernyataan” = “pernyataan” “implikasi” + “implikasi” = “implikasi”

Coret pernyataan yang sama

Selesai

Keterangan:

Warning Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsepkesetaraan implikasi.

Modus Ponens dan Modus Tollens

Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni

penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis keduaberisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal.

Contoh:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka

Bona tidak keluar rumah.

Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras.

Silogisme

Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus

berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain.

Contoh:

Premis 1 : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung.Premis 2 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah.

Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah.

= Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah.

= Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan.

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

UN Matematika SMA Program IPA

Per Indikator Kisi-Kisi UN 201

http://pak-anang.blogspot.com/










Halaman 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Ingkaran

Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor

“Dan, Atau” “Jika Maka” “Semua, Ada”

Ubah operator dan pernyataan “dan tidak” Ubah kuantor dan pernyataan

Selesai

Keterangan:

“Dan, tau”

Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator

dan ingkarkan semua pernyataannya.

Contoh:

Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju

adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju

“

Jika Maka

”

Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”.

Contoh:

Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah

adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah

“Semua, Ada”

Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan

ingkarkan pernyataannya.

Contoh:

Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin.

adalah: Ada siswa tidak ikut upacara bendera pada hari Senin







Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.

Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....A. Hari ini hujan deras

B.

Hari ini hujan tidak derasC. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumahD. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah

E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

2. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah

....

A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.C.

Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.

D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

E.

Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

3. Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit.

Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ....

A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.B. Jika Tio kehujanan maka ia demam.

C. Tio kehujanan dan ia sakit.

D. Tio kehujanan dan ia demam.

E.

Tio demam karena kehujanan.

4. Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah ....

A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.

C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.

D. Ada mahasiswa berdemonstrasi.E. Lalu lintas tidak macet.

5. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.”

Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.

E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.

6. Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”,

adalah ...

A.

Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan.C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan.

E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.

Modus tollens :

ℎ ⇒ ∼

∴ ∼ ℎ

Jadi kesimpulannya hari ini tidak

hujan deras.

∼ [(∀, ) ⇒ (∀, )] ≡ (∀, ) ∧ (∃, ∼ )

Silogisme :

ℎ ⇒

⇒

∴ ℎ ⇒

Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan,

maka ia demam.

∼ [(∀ℎ, ) ⇒ ] ≡ (∀ℎ, ) ∧ ∼

Silogisme :

⇒

⇒

∴ ⇒

Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus

ujian maka saya pergi ke Lembang.

∼ [(∀, ℎ) ⇒ ] ≡ (∀, ℎ) ∧ ∼








SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat akar dan logaritma fungsi aljabar sederhana

fungsi kuadrat fungsi eksponen dan grafiknya fungsi komposisi dan fungsi invers sistem persamaan linear

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat persamaan lingkaran dan garis singgungnya suku banyak algoritma

sisa dan teorema pembagian program linear matriks dan determinan vektor transformasi geometri dan

komposisinya barisan dan deret serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.

2. 1.

Menggunakan aturan pangkat akar dan logaritma.

Pangkat

Definisi Sifat

= × × … × ⏟ “Bilangan Pokok Sama”

“Kurung”

untuk ≠ 0,berlaku: = 1− =

× = +

= − ; ≠ 0

= ×

× = × = ; ≠ 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Definisi Sifat

“Invers Pangkat” “Bentuk kar Sama” “Kurung” = ⇔ √ = Pangkat Pecahan √ =

√ √ = √ √ √ = √

√ = √ ×√ = √ × √

= √ √ ; ≠ 0

Haram menjadi penyebut pecahan

Rasionalisasi

“kalikan sekawan penyebut”

√ = √ × √ √ √ +√ = √ +√ × √ −√ √ −√

Syarat:

∈ ∈ ℤ

"Bentuk kar Beda"

Untuk > , berlaku:

√ √ = 2√

√ √ = 2√

Syarat:

, ∈ ℝ ∈ ℤ







Logaritma

Definisi Sifat

= ⇔ l o g = Sehingga diperoleh: = 1 ⇔ l o g 1 = 0 = ⇔ l o g = 1 = ⇔ log =

"Penjumlahan Pengurangan"

log = log log log = log log log = ⋅ log

"Perbandingan"

l o g = = l o g = l o g ⋅ log log = ⋅ log

Tipe soal yang sering keluar

Pangkat

Menyederhanakan bentuk pangkat

Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana.

Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel.

Contoh:

Tentukan bentuk sederhana dari:2 ⋅ 128 ⋅ 6 = ….

Penyelesaian:2 ⋅ 128 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3

2 ⋅ 2 ⋅ 3

=2 ⋅ 2 ⋅ 3

2 ⋅ 2 ⋅ 3= 2 +−− ⋅ 3−= 2− ⋅ 3 = 3

2= 32

l o g = l o g ⇔ =

Syarat: , > 0 ≠ 1

Contoh:

Tentukan bentuk sederhana dari:24−−6−−− = …. Penyelesaian:24−−6−−− = 8 ⋅ −−− ⋅ −−− ⋅ −−

= 8−= 8








Bentuk Akar

Menyederhanakan Bentuk Akar

Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana.

Contoh:√ 72 = √ 36√ 2 = 6√ 2 √54 = √ 27 √ 2 = 3√ 2

Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep ± √ = √ ± √

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2.Contoh: 5 √ 24 = …. Penyelesaian: 5 √ 24 = 5 √ 4√ 6 = 5 √ 6 = 3 2 2√ 3 ∙ 2 = √ 3 √ 2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar

Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)

Sekawan dari √ adalah √ .

Sekawan dari √ √ adalah √ √ .

Sekawan dari √ √ adalah √ √ .

Contoh:

Bentuk sederhana dari3√ 3 √ 7√ 7 2√ 3

adalah ….

Penyelesaian:3√ 3 √ 7√ 7 2√ 3 = 3√ 3 √ 7√ 7 2√ 3 × √ 7 2√ 3√ 7 2√ 3 = 3√ 2 1 1 8 7 2√ 217 1 2 = 2 5 5√ 215 = 5 √ 21

Logaritma

Menyederhanakan bentuk logaritma

Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma.Contoh:

5 ∙ log3 log5 log15 log9 = …. Penyelesaian:5 ∙ log3 log5 log15 log9 = log3 log5 log15 log9

= log3 ∙ 515 log9

= log3 log9

=

log3

= log3= log9= 2 ∙ log9= 2 ∙ 1= 2







Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.

Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.

Contoh:

Jika l o g 3 = dan l o g 5 = . Nilai dari log150= …. Penyelesaian:

log150=

log150 log12 =

log2 ∙ 3 ∙ 5

log2 ∙ 3 =

log2

log3

log5

log2 log3 =

log2

l o g 3 2 ∙

log52 ∙ log2 log3= 1 1 2 2 1= 1 1 2 2 1 × = 1 2 2

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang

lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya:Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan.

Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui.

Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma.

Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal.

Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut.

Selesai.

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui. log = dan log = .

Ternyata bilangannya adalah 2 3 dan 5.

Lalu, cari bilangan yang sama.Ternyata bilangan yang sama adalah

3

.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti,

sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.

l o g2 = 1 l o g 5 = l o g 3 = 1

Cara membacanya:

Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan .Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b.

Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan .

log ⇒

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5).

Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi.

Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.

15012 = 2 × 3 × 5 × 52 × 2 × 3 = 1 1 1 1 1 = 1 1 2 2 1

Jadi,

log = 1 1 2 2 1









1. Diketahui ,2,

2

1 ba dan .1c Nilai dari

12

32

..

..

cba

cba adalah ....

A. 1

B. 4

C. 16

D.

64E.

96

2. Diketahui ,2,4 ba dan .

2

1c Nilai

3

421)(

c

ba adalah ....

A. 2

1

B. 4

1

C. 8

1

D. 16

1

E. 32

1

3. Jika diketahui ,5

1,

3

1 y x dan .2 z Nilai

423

24

z y x

yz x adalah ....

A. 32B. 60

C.

100D. 320E. 640

− × − = 4− × 212−

= 116 × 168

=18

−−

−

− = −−− − −−−

= − − = 13− 15− 2= 3 ∙ 5 ∙ 4= 60

−− = = 11

2 2

= 114= 4







4. Bentuk

327

733

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. 21525

B. 21525

C. 2155

D. 215

E.

215

5. Bentuk

32

322


A. 634

B. 64

C.

64

D. 64

E. 64

6. Bentuk

52

532


A. 104173

1

B. 10415

3

2

C. 104153

2

D. 104173

1

E. 104173

1

3√ 3 √ 7√ 7 2√ 3 = 3√ 3 √ 7√ 7 2√ 3 × √ 7 2√ 3√ 7 2√ 3= 3√ 2 1 1 8 7 2√ 217 1 2

= 2 5 5√ 215= 5 √ 21

LOGIKA PRAKTIS:

Pembilang positif semua tandanya.

Sekawan penyebut juga positif semua.

Pasti pembilang hasil rasionalisasi

positif juga (plus plus).

Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar

dari bilangan positif, artinya perkalianpenyebut dengan sekawan penyebut

pasti negatif.

Pola jawabannya pasti negatif semua

(min min).

Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang

seperti kriteria tsb. (A dan E).

√ 2 2√ 3√ 2 √ 3 = √ 2 2√ 3√ 2 √ 3 × √ 2 √ 3√ 2 √ 3= 2 √ 6 2√ 6 62 3= 4 √ 61= 4 √ 6

√ 2 3√ 5√ 2 √ 5 = √ 2 3√ 5√ 2 √ 5 × √ 2 √ 5√ 2 √ 5= 2 √ 1 0 3√ 1 0 1 52 5= 1 7 4√ 103= 13 ( 1 7 4√ 10)= 13 ( 1 7 4√ 10)








7. Diketahui a3log5 dan .4log3 b Nilai 15log4 ....

A. ab

a1

B. b

a

1

1

C. a

b

1

1

D. a

ab

1

E. b

ab

1

8. Diketahui ,6log3 p .2log3 q Nilai 288log24 ....

A. q p

q p

2

32

B.

q p

q p

2

23

C. q p

q p

32

2

D. q p

q p

23

2

E. q p

pq

32

2

9.

Diketahui ,3log2

x

.10log2

y

Nilai

120log6

....

A. 1

2

x

y x

B. 2

1

y x

x

C. 2 xy

x

D. x

xy 2

E.

1

2

x

xy

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.

Pak Anang.

log15= log15 log4= log15 log4= log3 × 5 log4= log 3 log 5 log 4= 1 1 × = 1

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka

itu menjadi basis logaritma!

l o g 3 = ⇒ l o g5 = 1 l o g 4 = l o g 3 = 1 bertemu 5 tulis 1bertemu 4 tulis bertemu 3 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya.

Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka

berwarna biru pada cara biasa di samping!Jadi,

log15 j 154f w 3 × 54

j, 1 1 =

log288⇒ log288

log24⇔ log2 × 6 log2 × 6⇔ log 2 log 6 log 2 log 6

⇔ 3 ∙ l o g 2 2 ∙ log62 ∙ l o g2 log6⇔ 3 2 2

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu

menjadi basis logaritma! l o g 6 = l o g 2 = l o g 3 = 1

bertemu 6 tulis bertemu 2 tulis bertemu 3 tulis 1


Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho!

Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

Jadi,

log288 j 28824f w 2 × 62 × 6

j, 3 2 2 =

log120⇒ log120 log6⇔ log2 × 3 × 1 0 log2 × 3⇔ log 2 log 3 log 10 log 2 log 3⇔ 2 ∙ log2 log3 log10 log2 log3⇔ 2 1

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama.

Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! l o g 3 = l o g 1 0 = l o g 2 = 1 bertemu 3 tulis bertemu 10 tulis bertemu 2 tulis 1


Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru

disamping lho!

Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

Jadi,

log120 j 1206f

w 2 × 3 × 1 02 × 3

j, 2 1 =



http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html









2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat PK)

=

Akar-Akar PK

= −+√ − atau = −−√ −

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK

= =

Selisih Akar-Akar PK

| | = √ − = √

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

± = ± ∓ 2

= ± = ± ∓ 3 ± ± = ± ∓ 2

1

± 1

= ±

1 1

=

± =

±








Menyusun bentuk simetri akar-akar PK

Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus

jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).

Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:

Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

= ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk = 2 , maka diperoleh:

= 2

Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

= ….

Penyelesaian:


= 2

Atau ingat bentuk = , maka diperoleh: =

Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

= ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk = 3 3

= 3

maka diperoleh:

= 3

Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

= ….

Penyelesaian:


= ( ) 2

= [ 2 ] 2

Dan lain-

lain ….

Contoh:

Persamaan kuadrat 2 3 2 = 0 memiliki akar-akar dan , maka nilai

= ....

Penyelesaian:

Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

= = 3

2 = 32

= = 2

2 = 1

Kedua, cari bentuk identik dari yang memuat bentuk dan .

= 2 =

21= 9

2=







Menyusun PK Baru

Diketahui: = adalah PK Lama

dan adalah akar-akar PK Lama

dan adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!Apakah dan identik atau tidak?

Jika dan identik Jika dan tidak identikCari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama

−

dan

Substitusi − ke PK Lama

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru dan

menggunakan nilai dan

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah(−) (−) = 0 = 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ditambah artinya substitusi pengurangan.

Dikurangi artinya substitusi penjumlahan.

Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun.Dibalik artinya juga dibalik.

Dinegatifkan artinya koefisien juga dinegatifkan.

Misal PK Lama adalah

= 0, maka:

1. PK Baru yang akar-akarnya dan

= 0


= 0


= 0


= 0


= 0








Contoh 1:

Akar-akar persamaan kuadrat 3 12 2 = 0 adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 dan 2 adalah ….

Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru 2 dan 2, ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu 2.

Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru,

2.

Invers dari 2 adalah .

Ketiga, Substitusikan menggantikan variabel pada PK Lama:

3 12 2 = 0⇔ 3 4 4 12 24 2 = 0⇔ 3 12 12 12 24 2 = 0⇔ 3 24 38 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya 2 dan 2 adalah 3 24 38 = 0.

Contoh 2:


Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan

adalah ….

Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru dan

, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

= 4

2

= 2

= 82 = 4

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai dan .

=

= 2

= 2 ∙

= 4 8

4= 4

4= 1

= 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

jumlah akar-akar P baru

hasil kali akar-akar P baru = 0 1 1 = 0

1 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya dan

adalah 1 = 0 .







Contoh 3



Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan 3.

Jadi, PK Baru adalah:

2 3

5 3 3 = 0

Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 4




Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan 2.


3 2 12 2 1 = 0

Jabarkan sendiri ya…! Contoh 5




Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik,

mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?


42 22 72 = 0

Jabarkan sendiri ya…! Contoh 6



adalah ….


Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat

turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?


7

5

55

135

= 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6

Akar-akar persamaan kuadrat 2 5 = 0 adalah dan .


adalah ….


Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien dengan

konstanta.


5 2 = 0








Contoh 7


Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah ….


Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien dikalikan 1.


2 1 4 = 0 2 4 = 0

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat 2 5 3 = 0 adalah dan .Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 3 dan 2 3 adalah ….


Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK

Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,dilanjutkan dengan substitusi 3.

Jadi, PK Baru adalah:22 52 32 = 02 10 12 = 0

Dilanjutkan dengan substitusi 3.

2 3 10 3 12 = 0

Jabarkan sendiri ya…!







Berlawanan Berkebalikan

= 0 =

Sifat-Sifat

Akar-Akar PK

Perbandingan Selisih

= 1 =

Keterangan:

Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan

menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.

TRIK SUPERKILAT

Sifat akar-akar persamaan kuadrat = 0 yang mungkin keluar di soal:

1. Jika akar yang satu kelipatan dari akar yang lain = , maka = 1

2.

Jika selisih akar-akarnya adalah | | = , maka = 3. Jika akar-akarnya berlawanan = atau = 0 , maka = 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan =

atau = 1 , maka =

Contoh:


Jika = 2 dan , positif maka nilai = ….

Penyelesaian:

Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena = 2, maka jelas nilai = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. = 1

⇔ 2 = 2 1 ∙ 2 ∙ 16⇔ = 3 ∙ 4 ⇔ = ±12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

> 0 ⇒ > 0

⇔ 2 > 0

⇔ < 0

Sehingga pilih nilai yang negatif.

Jadi, = 12.









1. Akar-akar persamaan kuadrat 04

2 ax x adalah p dan .q Jika ,82

22aq pq p maka nilai a

....A. −8

B. −4

C. 4D. 6

E.

8

2. Persamaan kuadrat 05)1(2 xm x mempunyai akar-akar

1 x dan .

2 x Jika

,8221

2

2

2

1 m x x x x maka nilai m ....

A. −3 atau −7

B. 3 atau 7C. 3 atau −7

D. 6 atau 14

E. −6 atau −14

3.

Persamaan kuadrat 044

2

px x mempunyai akar-akar 1 x dan .2 x Jika ,322

2

1

2

21 x x x x maka nilai p ....

A. −4

B. −2C. 2

D. 4

E. 8

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download dihttp://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal





Pak Anang.

2 = 8⇒ 4 = 8⇔ 1 20 = 8⇔ 10 21 = 0⇔ 3 7 = 0⇔ 3 = 0 atau 7 = 0⇒ = 3 = 7

= 1

. = 5

=

. = 4

2 = 8⇒ 4 = 8⇔ 16 = 8

⇔

8 16 = 0⇔ 4 4 = 0⇒ = 4

= 32⇒ = 32⇔ 44 = 32⇔ 16 = 32⇔ = 32

16⇔ = 2

= 4

. = 4














2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK) + + =

Diskriminan

= −

Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat

+ + = 0 = + +

≥ 0 < 0 > 0 = 0 < 0 akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah

> 0 = 0 > 0 , < 0 < 0 , < 0

berbeda kembar definit positif definit negatif

=

rasional

TRIK SUPERKILAT.

Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“Persamaan kuadrat + + 2 − + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai = ….“

“Fungsi kuadrat = + + 2 − + 4 memotong sumbu X di dua titik.

Batas-batas nilai yang memenuhi adalah ….”

“Grafik

=

+ + 2 − + 4 memotong garis

= di dua titik.

Batas-batas nilai

yang memenuhi adalah ….”

akar real sumbu X di titik garis di titik } ⇒ > 0

akar real = sumbu X di titik garis di titik ⇒ = 0

akar real / sumbu X / garis } ⇒ < 0

Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda

atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar.Jadi ≥ 0.








Soal yang sering ditanyakan

PERSAMAAN KUADRAT.

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh:

Jika persamaan kuadrat

+ + 2 − + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda.

Batas-batas nilai

p

yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat + + 2 − + 4 = 0 diperoleh: = , = + 2,dan = − + 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan harus memenuhi > 0 > 0 ⇒ − 4 < 0⇔ + 2 − 4− + 4 < 0⇔ + 4 + 4 + 4 − 1 6 < 0⇔ 5 − 1 2 + 4 < 0⇔ 5 − 2 − 2 < 8⇔ < 25 > 2⇔ < 23

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah < .

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh:

Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat

+ − 3 + 4 = 0 memiliki dua akar kembar.

Maka nilai yang memenuhi adalah …. Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat + − 3 + 4 = 0 diperoleh: = 1 , = − 3, = 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan harus memenuhi = 0 = 0 ⇒ − 4 = 0⇔ − 3 − 414 = 0⇔ − 3 − 1 6 = 0⇔ − 6 + 9 − 1 6 = 0⇔ − 6 − 7 = 0⇔ + 1 − 7 = 0⇔ = −1 atau = 3

Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai = − 1 atau = 7.







Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner)

Contoh:

Persamaan kuadrat + + 2 + + = 0 tidak memiliki akar real untuk nilai = ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat + + 2 + + = 0 diperoleh:

= 12 , = + 2, = + 72

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan harus memenuhi < 0. < 0 ⇒ − 4 < 0⇔ + 2 − 4 12 + 72 < 0⇔ + 4 + 4 − 2 − 7 < 0⇔ + 2 − 3 < 0⇔ + 3 − 1 < 0⇔ = −3 = 1

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai − 1 < < 3.

3 −1

− + +








FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).

Contoh:

Grafik = + + 2 − + 4 memotong sumbu X di dua titik.

Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat = + + 2 − + 4 diperoleh: = , = + 2, = − + 4

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan harus memenuhi > 0 > 0 ⇒ − 4 < 0⇔ + 2 − 4− + 4 < 0⇔ + 4 + 4 + 4 − 1 6 < 0⇔ 5 − 1 2 + 4 < 0⇔ 5 − 2 − 2 < 8

⇔ <25 > 2⇔ < 23

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah < .

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat = + − 3 + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik.

Maka nilai yang memenuhi adalah …. Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat = + − 3 + 4 diperoleh: = 1 , = − 3, = 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan harus memenuhi = 0 = 0 ⇒ − 4 = 0⇔ − 3 − 414 = 0⇔ − 3 − 1 6 = 0⇔ − 6 + 9 − 1 6 = 0⇔ − 6 − 7 = 0⇔ + 1 − 7 = 0⇔ = −1 atau = 3

Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai = − 1 atau = 7.







Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)

Contoh:

Fungsi kuadrat = + + 2 + + tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X

untuk nilai = …. Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat

= + + 2 + +

diperoleh:

= 12 , = + 2, = + 72

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan harus memenuhi < 0. < 0 ⇒ + 2 − 4 12 + 72 < 0⇔ + 4 + 4 − 2 − 7 < 0⇔ + 2 − 3 < 0⇔ + 3 − 1 < 0⇔ = −3 = 1


Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai − 1 < < 3.

3 −1

− + +








Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat = + + 4 memotong garis = 3 + 4.

Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian:

Substitusikan

= 3 + 4 dan

=

+ + 4

⇒ + + 4 = 3 + 4⇔ + + 4 − 3 − 4 = 0⇔ + − 3 = 0

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat = 1 , = − 3, = 0

Kurva memotong garis, maka diskriminan harus memenuhi D > 0 = 0 ⇒ − 3 − 410 > 0⇔ − 3 − 0 > 0⇔ − 3 > 0⇔ − 3 > 0⇔ > 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.

Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti OK?

Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat = + + 4 menyinggung garis = 3 + 4.


Kurva menyinggung garis, maka diskriminan harus memenuhi = 0 = 0 ⇒ − 3 − 410 = 0⇔ − 3 − 0 = 0⇔ − 3 = 0⇔ − 3 = 0⇔ = 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai = 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat = + + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis = 3 + 4.


Kurva terpisah garis, maka diskriminan harus memenuhi < 0 = 0 ⇒ − 3 − 410 < 0⇔ − 3 − 0 < 0⇔ − 3 < 0⇔ − 3 < 0⇔ < 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai < 3.








1. Persamaan kuadrat 042)2(2

m xm x mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang

memenuhi adalah ....

A. 2m atau 10m

B. 10m atau 2m

C. 2m atau 10m

D. 102 m

E.

210 m

2. Persamaan kuadrat 0)4(22 2

p x p x mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang

memenuhi adalah ....

A. 2 p atau 8 p

B. 2 p atau 8 p

C. 8 p atau 2 p

D. 82 p

E. 28 p







Pak Anang.

Akar-akar real ⇒ ≥ 0 − 4 ≥ 0⇒ − 2 − 4 . 1 . 2 − 4 ≥ 0⇔ − 1 2 + 2 0 ≥ 0⇔ − 2 − 1 0 ≥ 0 ∶ − 2 = 0 atau − 10 = 0⇒ = 2 = 10

+

+

−

2 10

Jadi daerah penyelesaian:

≤ 2 atau ≥ 10

Akar-akar real berbeda ⇒ > 0 − 4 ≥ 0⇒ (2 − 4) − 4 . 2 . ≥ 0⇔ 4 − 4 0 + 6 4 ≥ 0⇔ 4 − 2 − 8 ≥ 0 ∶ − 2 = 0 atau − 8 = 0⇒ = 2 = 8

+ + −

2 8

Jadi daerah penyelesaian: < 2 atau > 8















2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks

= −

ℎ = + + ℎ− − ℎ−

Untuk lebih detil tentang determinan matriks,

lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks

Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

+ = + =

Penyelesaian SPLDV

Nilai Nilai Kolom diganti! Kolom diganti!

= | || | =

| |







Sistem Persamaan Linear

Tiga Variabel

(SPLTV)

Bentuk Umum SPLTV

+ + = + + = + + =

Penyelesaian SPLTV

Nilai Nilai Nilai Kolom diganti! Kolom diganti! Kolom diganti!

=

=

=

Keterangan:

Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila

matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salahsatu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi.

Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soaltipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi.

Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah

dasarnya. Oke?

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf














TRIK SUPERKILAT:

Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien

variabel yang lain Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh.

Contoh Soal:

Penyelesaian dari SPL {2 − 3 = 13 + 5 = 1 1 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

2 − 3 = 13 + 5 = 1 1

Karena yang paling pojok kiri variabel , maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel .

Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel .

Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5.

2 − 3 = 13 + 5 = 1 1

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya?

2 − 3 = 13 + 5 = 1 1

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah.

Hitung selisih dari kali silang tersebut.

Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3!

Hasilnya adalah:−3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5.(−3)(11) − (1)(5) = − 3 3 − 5 = −

2 − 3 = 13 + 5 = 1 1

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut.

Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang!

Hasilnya adalah:−3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5.(−3)(3) − (2)(5) = − 9 − 1 0 = −

Jadi, nilai variabel adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.

= −− = 2

Selesai!

Paham, kan?

Kalau mencari nilai , gimana dong?Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi?

Ya! Betul! Variabel harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi:−3 + 2 = 15 + 3 = 1 1

Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel di atas. Oke?







Contoh 1:

Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja

selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur

bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah

yang akan diperoleh adalah ....

Penyelesaian:

Misal:

= hari biasa = hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:6 + 4 = .5 + 2 = .

Ditanyakan:4 + 4 = ?

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

= . 4. 26 45 2 = 148.000−220.00012− 20 = −72.000−8 =9.000

= 6 .5 .6 45 2 = 330.000−370.00012− 20 = −40.000−8 =5.000

Jadi, 4 + 4 = 4(9.000) + 4(5.000)

=36.000+20.000=56.000

TRIK SUPERKILAT:

Dengan acuan koefisien variabel adalah 4, maka nilai variabel diperoleh dengan cara:

“(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)”dibagi dengan“(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)”








Contoh 2:

Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng

dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00.

Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel

dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero?

Penyelesaian:

Misal:

= buah apel = buah salak = buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: + 2 + 2 = 4 7 . 0 0 02 + + 3 = 68.5003 + 2 + = 63.000


= . 2 2. 1 3. 2 11 2 22 1 33 2 1 =

1 . 22 . 33 . 11 2 22 1 33 2 1 =

1 2 .2 1 .3 2 .1 2 22 1 33 2 1

Contoh 3:

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uangYanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah …. Penyelesaian:

Misal:

= uang Artha = uang Deby = uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama.

Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ + = 1 4 2 . 0 0 0⇔ + + = .

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ − = 4 . 0 0 0⇔ − + + = .

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔2= + 100. 000⇔ − + = .

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: + + 0 = 47.000− + 0 + = 68.5000 − + 2 = 63.000


= . 1 −0. 0 1. −1 2 1 1 −0−1 0 10 −1 2

= 1 . −0−1 . 10 . 2 1 1 −0−1 0 10 −1 2

= 1 1 .2 0 .3 −1 . 1 1 −0−1 0 10 −1 2

Jadi nilai + + pasti ketemu deh!








1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak

Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi

adalah ....

A. 86 tahunB. 74 tahun

C.

68 tahunD. 64 tahunE. 58 tahun

2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah

umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....A. 52 tahun

B. 45 tahun

C. 42 tahunD.

39 tahun

E. 35 tahun







Pak Anang.

Misal = Pak Andi = Bu Andi

=Amira

= + 2 8 ⇒ = − 2 8 = − 6

+ + = 1 1 9⇒ + ( − 6) + ( − 2 8) =119⇔ 3 − 34 = 119⇔ 3 = 153⇔ = 51

Jadi, + + = 1 1 9⇒ 5 1 + + = 1 1 9⇔ + = 119 − 51⇔ + = 68

Misal = Umur Deksa = Umur Elisa = Umur Firda

= + 4 = + 3 ⇒ = − 3 + + = 5 8⇒ ( + 4 ) + + ( − 3) = 58

⇔ 3 + 1 = 58⇔ 3 = 57⇔ = 19

Jadi, + + = 5 8⇒ + 1 9 + = 5 8⇔ + = 58 − 19⇔ + = 39















2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum − − = = 0

dibagi −2

Pusat Jari-jari Pusat

, − , −

Jumlah kuadrat pusat

dikurangi

Jari-jari

= − −

−







Persamaan Garis Singgung PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran PGS Lingkaran

di titik , pada lingkaran dengan gradien

Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus =

Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

→ − → − −

→

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien

,

maka PGS tersebut adalah = ±

dimana =

PGS lingkaran di titik ,

pada lingkaran pusat di 0, 0 dan jari-jari

= PGS dengan gradien

dari lingkaran pusat 0, 0 dan jari-jari

= ± √ 1

PGS lingkaran di titik ,

pada lingkaran pusat di 0, 0 dan jari-jari

− − − − = PGS dengan gradien

dari lingkaran pusat , dan jari-jari

− = − ± √ 1

PGS lingkaran di titik , pada lingkaran dengan bentuk umum = 0

= 0

Catatan Tambahan:

Ingat juga tentang konsep jarak titik , ke garis = 0:

=

√

TRIK SUPERKILAT:

PGS lingkaran pusat , jari-jari yang sejajar dengan garis = 0:

= ±

PGS lingkaran pusat , jari-jari yang tegak lurus dengan garis = 0:

− = − ± √








PGS Lingkaran

di titik , yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung ,

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel , ).

Substitusi titik , ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran

Diperoleh dua titik Singgung , dan ,

Substitusikan ke PGS di langkah kedua

Selesai

TRIK SUPERKILAT:

Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu.

PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien.

Selesai.

,

,

0, 0







Contoh Soal:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik 5, 5 yang menyinggung lingkaran = 10!

Penyelesaian:

PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik

singgung tersebut ,. Artinya titik , tersebut berada

baik di PGS maupun lingkaran.

Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel

dan

.Perhatikan bahwa , berada di lingkaran, maka:

PGS lingkaran di titik , adalah

=

Persamaan lingkaran dengan pusat 0,0 dan melewati titik , adalah

=

Karena PGS melewati 5, 5 maka bila kita substitusikan

, ke PGS akan diperoleh: = 1 0 ⇔ 5 5 = 1 0⇔ = 2⇔ = 2 −

Dari persamaan lingkaran

= 10 dan

= 2 − , substitusikan

= − ke persamaan lingkaran

diperoleh: 2 − = 10⇔ 4 − 4 = 10⇔ 2 − 4 4 = 1 0⇔ 2 − 4 4 − 1 0 = 0⇔ 2 − 4 − 6 = 0⇔ − 2 − 3 = 0⇔ 1 − 3 = 0⇔ = −1 atau = 3

Dari = − 1 atau = 3 akan diperoleh nilai , yaitu:

= − 1 ⇔ = 2 − = 2 1 = 3 = 3 ⇔ = 2 − = 2 − 3 = − 1

Jadi dua titik singgung tersebut adalah

−, dan

,−.

Sehingga PGS lingkaran pada titik

−, dan

,− adalah:− 3 = 1 0 dan 3 − = 1 0.

TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari = √ 10.

Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik 5, 5 dan jari-jari √ 10 ke dalam rumus:

= ± 1 ⇒ 5 = 5 ± √ 10 1 ⇔ 5 − 5 = ±√ 10 1 kuadratkan kedua ruas⇔ 2 5 − 5 0 2 5 = 1 0 1 0 ⇔15 − 5 0 1 5 = 0⇔ 3 − 1 0 3 = 0⇔ 3 − 1 − 3 = 0∴ = 1

3 atau = 3

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien =

− = − − 5 = 13 − 5− 3 = 1 0

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien = 3 − = − − 5 = 3 − 5 − = 1 0

5, 5

,

0, 0








Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!

Contoh:1.

Diberikan persamaan lingkaran = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian:

− 0 − 0 = 25

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2.

Diberikan persamaan lingkaran − 3 − 4 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran

adalah …. Penyelesaian:

− 3 4 = 25

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3.

Diberikan persamaan lingkaran − 2 4 − 2 0 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaranadalah …. Penyelesaian:

− 2 4 − 2 0 = 0 dibagi (-2)

Maka pusat 1,−2, dan jari-jari adalah = 1 −2 −−20

= 2 5 ⇒ = 5

= 2 5 ⇒ = 5

1 − 2







Menentukan persamaan lingkaran

Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.

Misal diketahui pusat lingkaran , dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka = ||.Misal diketahui pusat lingkaran , dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka = ||.Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui

pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke

garis singgung.

Contoh:

1.

Persamaan lingkaran dengan pusat 5,−1 dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian:

Persamaan lingkaran dengan pusat , dengan jari-jari :

− − = − 5 1 = 9

atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:

− 5 1 = 9 ⇒ − 1 0 2 5 2 1 − 9 = 0⇔ − 1 0 2 1 7 = 0

2. Persamaan lingkaran dengan pusat di 3, 2 yang menyinggung sumbu X adalah ….

Penyelesaian:

− 3 − 2 = 2⇒ − 6 − 4 9 = 0

3.

Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:

1 − 2 =−1⇒ 2 − 4 4 = 0

4.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3 − 4 − 2 = 0 adalah …. Penyelesaian:

Pusat , =1,4

Garis 3 − 4 − 2 = 0, dengan = 3, = −4, dan = −2. Persamaan lingkaran dengan pusat , menyinggung garis = 0 adalah:

− − = [++√ + ]

⇒ − 1 − 4 = 31 − 44 − 2√ 3 4

⇔ − 2 1 − 8 1 6 = 9⇔ − 2 − 8 8 = 0








Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.

Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.

Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.

Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.

Contoh:

1.

Persamaan garis singgung lingkaran = 25 di titik (4, −3 adalah …. Penyelesaian:

= 4 dan = −3

Ingat, ganti menjadi , dan menjadi + .

= 25⇒ = 2 5

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

4 − 3 = 2 5

2.

Persamaan garis singgung lingkaran − 1 − 4 = 25 di titik (−2, 0 adalah …. Penyelesaian:

= −2 dan = 0


− 1 − 4 = 25

⇒ − 1 − 1 − 4 − 4 = 25


− 2 − 1 − 1 0 − 4 − 4 = 25⇒ −3 − 1 −4 − 4 = 25⇔ −3 − 4 − 6 = 0

3.

Persamaan garis singgung lingkaran − 6 4 − 1 2 = 0 di titik 7, 1 adalah …. Penyelesaian:

= 7 dan = 1


− 6 4 − 12 = 0⇒ − 6 ( 2 ) 4 (

2 ) − 1 2 = 0


7 − 37 21 − 1 2 = 0⇒ 4 3 − 31 = 0







Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.

1.

Persamaan garis singgung lingkaran = 9 di titik 1, 3 adalah …. Penyelesaian:

TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari = 3.

Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).

= 9 ⇒ 1 3 = 1 0 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran)

Gunakan rumus berikut:

= ± 1 ⇒ 3 = 1 ± 3 1 ⇔ 3 − = ±3 1 kuadratkan kedua ruas⇔ 9 − 6 = 9 9 ⇔ 8 6 = 0

⇔ 24 3 = 0∴ = 0 atau = − 34

Melalui (1 ,3) dan gradien = 0

− = − − 3 = 0 − 1 = 3

Melalui (1 ,3) dan gradien = −

− = −

− 3 = − 34 − 14 − 1 2 = − 3 33 4 = 1 5








Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.

1.

Persamaan garis singgung lingkaran − 3 5 = 80 yang sejajar dengan garis −2 5 = 0 adalah …. Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Sesuaikan sejajar apa nggak?

Masukkan substitusikan pusat

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien

Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari = √ 80

PGS yang sejajar − 2 5 = 0 adalah − 2 juga!!!

− 2 = −5 − 23 ± √ 80 1 −2⇒ − 2 = − 1 1 ± 2 0⇔ = 2 − 11 ± 20

2.

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran − 4 − 8 1 5 = 0 yang tegak lurus

garis 2 = 6 adalah …. Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari

= √ 5

PGS yang sejajar 2 = 6 adalah 2 harus diubah menjadi 2 − !!!

2 − = 22 − 4 ± √ 5 2 1⇒ 2 − = 0 ± 5⇔ 2 − = 5 dan 2 − = −5

PGS lingkaran pusat , jari-jari yang

sejajar dengan garis

= 0:

= ±








1. Lingkaran L 931

22

y x memotong garis .3 y Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. 2 x dan 4 x

B. 2 x dan 2 x

C. 2 x dan 4 x

D.

2 x dan 4 x E. 8 x dan 10 x







Pak Anang.

Memotong garis = 3 = 3 ⇒ 1 3 − 3 = 9⇔ 1 = 9⇔ 1 = ±3⇔ 1 = −3 atau 1 = 3⇔ =−4 = 2

Jadi titik potongnya di−4,3 dan 2, 3

PGS lingkaran =

−4,3 ⇒ − 4 1 1 0 = 9⇔ −3 − 3 = 9⇔ = −4

2, 3 ⇒ 2 1 1 0 = 9⇔ 3 3 = 9⇔ = 2 RIK SUPERKILAT:

Gunakan sketsa lingkaran

= 3

= 2

= − 4















2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.

Polinomial (Suku Banyak)

= + −− + −− + … + +

Nilai Suku Banyak

Jika diketahui = 2 5 + 3

Tentukan nilai untuk = 3 !

Cara Biasa Cara Horner

“Substitusi

” “ alikan miring-miring”

3 = 23 53 + 3 3= 5 4 4 5 + 3 3= 9 = 3 2 5 1 36 3 12

2 1 4 9

Pembagian Suku Banyak

Tentukan hasil bagi dan sisa dari

pembagian 2 5 + 3 oleh 3!

Cara Biasa Cara Horner

“Porogapit” “ alikan miring-miring”

+ + 4 2 5 + 3 2 6

+ 3 4 3 4 12

= = 2 5 1 36 3 12

hasil bagi sisa2 + + 4 9

Jadi 3 = 9







Tips mengingat konsep pembagian suku banyak

Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1.

Jadi = ∙ +

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

= ∙ +

Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah:

Gimana kalau pembaginya adalah nol?dan

Gimana kalau sisa pembagian adalah nol?

Suku Banyak

Teorema Sisa Teorema Faktor

= ∙ + = ∙ + = ∙ +

= ∙ + = ∙ + = ∙ +

=

= ∙

Jika suku banyak di bagi adalah faktor suku banyak

maka sisanya adalah jika dan hanya jika = 0

Artinya: Artinya:

Jika dibagi oleh maka sisanya adalah Jika adalah faktor dari , maka = 0

Jika dibagi oleh + maka sisanya adalah Jika = 0, maka merupakan faktor dari

Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi dibagi sisanya dibagi sisanya +

3

2 7

6








TRIK SUPERKILAT

Contoh Soal:

Tentukan sisa pembagian suku banyak 6 5 oleh 2 3 !

Penyelesaian:

Karena 2 3 bisa difaktorkan menjadi + 1 3, maka sisa pembagian suku banyak bisa kita

cari menggunakan konsep teorema sisa.

Mari kita kerjakan: dibagi + 1, artinya sisanya adalah 1 = 0 dibagi 3, artinya sisanya adalah 3 = 4

Susun dalam susunan seperti matriks.

1 03 4 Maka sisa pembagiannya adalah:

= + (1 3) = 0 4 + (4 0)4 = 4 + 4

= + 1

Jadi sisa pembagian 6 5 oleh 2 3 adalah + 1.

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi:Perhatikan pembagi: 2 3 = 0⇔ = 2 + 3

Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi:

1 0 6 53 3 62 2 4

Jadi sisa pembagian 6 5 oleh 2 3 adalah + 1.

hasil bagi sisa + 2 + 1







Contoh Soal:

Suku banyak dibagi + 1 sisanya 10 dan jika dibagi 23 sisanya 5.

Jika suku banyak dibagi 2 3, sisanya adalah …. Penyelesaian:

Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1.

Jika suku banyak dibagi 2 3 , sisanya adalah + .

Ingat sisa pembagian suku banyak oleh adalah .Dan sisa pembagian suku banyak oleh + adalah

.

Mari kita kerjakan: dibagi + 1 sisa 10, artinya 1 = 10

dibagi 23 sisa 5, artinya = 5

Susun dalam susunan seperti matriks.

|1 10 5 |

Maka sisa pembagiannya adalah:

= + 1 3

2 = 1 0 5 + (5 15)

52 = 5 + 20

= 2 + 8

Jadi sisa pembagian dibagi 2 3 adalah 2+ 8.

Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik… Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com













1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 62 x x bersisa ,25 x jika dibagi 32

2 x x bersisa

.43 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 42 23

x x x

B. 42 23

x x x

C.

42

23

x x x

D. 42 23 x x

E. 42 23 x x

2. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 32

2 x x bersisa ,43 x jika dibagi 22

x x bersisa

.32 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 1223

x x x B. 12

23 x x x

C. 1223

x x x D. 12

23 x x x

E.

12 23 x x x

3. Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi 23

2 x x bersisa 64 x dan jika dibagi 6

2 x x bersisa

108 x Suku banyak tersebut adalah ....A. 432

23 x x x

B. 423 23

x x x C. 732

23 x x x

D. 7822 23

x x x E. 91042

23 x x x







Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT: dibagi + 2 3 bersisa 5 2

Artinya: 2 = 52 2 = 1 2 3 = 53 2 = 1 3

dibagi + 1 3 bersisa 3 + 4

Artinya: 1 = 31 + 4 = 1 3 = 33 + 4 = 1 3

Misal kita pilih satu fungsi saja, 1 = 1

Jadi, pilih diantara jawaban dimana

jika disubstitusikan = 1 makahasilnya adalah 1.

Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban D saja.

TRIK SUPERKILAT: dibagi + 3 1 bersisa 3 4

Artinya: 3 = 33 4 = 1 3 1 = 31 4 = 1

dibagi + 1 2 bersisa 2 + 3 Artinya: 1 = 21 + 3 = 1 3 = 23 + 3 = 9



jika disubstitusikan = 1 maka

hasilnya adalah 1.Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban B saja.

TRIK SUPERKILAT: dibagi 1 2 bersisa 4 6

Artinya: 1 = 41 6 = 2 2 = 42 6 = 2

dibagi + 2 3 bersisa 8 1 0

Artinya: 2 = 82 1 0 = 2 6 3 = 83 1 0 = 1 4



jika disubstitusikan = 1 maka

hasilnya adalah 2.

Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban A saja.














2 7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers

Fungsi Komposisi

Definisi Sifat

Tidak Komutatif

∘ ≠ ∘

Assosiatif

( ∘ ∘ ℎ) = ( ∘ ∘ ℎ)

Identitas

∘ = ∘

∘ = ( )

∘ = ()

Fungsi Invers

Definisi Sifat

“Identitas”

∘ − = − ∘ =

“

Invers Komposisi itu D

ibalik”

∘ − = − ∘ − ∘ − = − ∘ −

“Penyusun Komposisi”

∘ = ℎ ⇒ = ℎ ∘ − ∘ = ℎ ⇒ = − ∘ ℎ

TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT

“ alik Operasi, alik Urutan”

“Hilangkan Yang Lain”

↔ ×

↔ ÷

↔ √

log ↔

∘ = ℎ⇒ ∘ ∘ −⏟

= ℎ ∘ −

⇒ = ℎ ∘ −

“Gambarkan”

=

()

= ∘

∘

= − =

−

Grafik fungsi dan −

simetris terhadap garis =

−

ℎ

ℎ








Tipe Soal yang Sering Muncul

Menyusun komposisi fungsi

Contoh Soal 1:

Diketahui = 2 1 dan = 5 2. Tentukan ∘ = ?

Penyelesaian:

∘ = ()= 5 2= 2 5 2 1= 2 1 0 4 1= 2 1 0 3

Contoh Soal 2:

Diketahui = 2 1 dan = 5 2. Tentukan ∘ = ?

Penyelesaian:

∘ = ( )

= 2 1= 2 1 52 1 2= 4 4 1 1 0 5 2= 4 1 4 3

Menentukan nilai komposisi fungsi

Contoh Soal 1:

Diketahui = 2 1 dan = 5 2. Tentukan ∘ 5 = ?

Penyelesaian:

∘ = ()= 5 2= 2 5 2 1= 2 1 0 4 1= 2 1 0 3

Jadi, ∘ 5 = 25 105 3 = 5 0 5 0 3 = 3


Karena 5 = 2, maka:

(5) = 2 = 3

Contoh Soal 2:

Diketahui = 2 1 dan = 5 2. Tentukan ∘ 1 = ?

Penyelesaian:

∘ = ( )= 2 1= 2 1 52 1 2= 4 4 1 1 0 5 2= 4 1 4 8

Jadi, ∘ 1 = 41 141 8 = 4 1 4 8 = 2 6


Karena 1 = 3, maka:

( 1) = 3 = 26







Menentukan fungsi pembentuk komposisi

Contoh Soal 1:

Diketahui ∘ = 3 2 dan = 3 1 , maka = ?

Penyelesaian:

∘ = 3 2

() = 3 2 3 1 = 3 2

3 = 3 2 1 3 = 3 3

=3 3

3

= 1


Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.

Jadi = −(ℎ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi −.

Invers akan dibahas nanti.

Contoh Soal 2:

Diketahui ∘ = 3 2 dan = 1 , maka = ?

Penyelesaian:

∘ = 3 2

() = 3 2

1 = 3 2⏟

+

1 = 3 1 1

= 3 1


Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ −.

Jadi = ℎ(−), artinya substitusikan fungsi − ke fungsi komposisi ℎ.


Contoh Soal 3:

Diketahui ∘ = 2 1 0 3 dan = 2 1, maka = ?

Penyelesaian:

∘ = 2 1 0 3

() = 2 1 0 3

2 1 = 2 1 0 3

2 = 2 1 0 4

3 =2 1 0 3

2

= 5 2


Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.

Jadi = −(ℎ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi −.









Contoh Soal 4:

Diketahui ∘ = 2 1 0 3 dan = 5 2, maka = ?

Penyelesaian:

∘ = 2 1 0 3

() = 2 1 0 3

5 2 = 2 1 0 3⏟

−+

5 2 = 2 5 2 1

= 2 1



Jadi = ℎ(−), artinya substitusikan fungsi − ke fungsi komposisi ℎ.


Contoh Soal 5:

Diketahui

∘ x = 4

1 4 8 dan

= 2 1, maka

= ?

Penyelesaian:

∘ = 4 1 4 8

( ) = 4 1 4 8

2 1 = 1 4 8⏟

−

2 1 = 14 82 1 = 2 1 7

2 1 = 2 1 7

2 1 = 2 1 52 1 2

=

5 2



Jadi = ℎ( −), artinya substitusikan fungsi − ke fungsi komposisi ℎ.


2 1 = 4 4 1 ,

4 = 2 1 4 1

52 1 = 10 5,

10 = 52 1 5







Menentukan Invers Fungsi

Contoh Soal 1:

Jika = 2 1, tentukan −!

Penyelesaian:

= 2 1

= 2 1

2 = 1 =

12

− = 1

2


Perhatikan = 2 1,

Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:1. Dikalikan 2

2. Dikurangi 1

Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:1. Ditambah 12. Dibagi 2

Sehingga:

− = 1

2

Contoh Soal 2:

Jika = 4 3, tentukan −!

Penyelesaian:

= 4 3 = 4 3 = 4 4 1 = 2 1

2 = 1 2 = 1

= 1 2 − = √ 1 2


=

4 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi = 2 1.

Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:

1. Dikurangi 2

2. Dikuadratkan

3. Dikurangi 1

Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:

1. Ditambah 12. Diakar kuadrat

3. Ditambah 2

Sehingga:

− = √ 1 2








Contoh Soal 3:

=3 52 1

Tentukan −!

Penyelesaian:

=3 52 4

= 3 52 42 4 = 3 52 4 = 3 52 3 = 4 5

2 3 = 4 5

= 4 52 3

− = 4 52 3


= ⇒ − =

Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.

=3 52 4 ⇒ − =

4 52 3








1. Diketahui fungsi 13)( x x f dan .32)( 2 x x g Komposisi fungsi ))(( x f g ....

A. 139 2

x x

B. 369 2

x x

C. 669 2

x x

D.

21218

2

x x

E. 11218 2

x x

2. Diketahui fungsi 32)( x x f dan .32)( 2

x x x g Komposisi fungsi ))(( x f g ....

A. 942 2

x x

B. 342 2

x x

C. 1864 2 x x

D. x x 84

2

E. x x 84 2

3. Diketahui fungsi 12)( x x f dan .4)( 2 x x x g Komposisi fungsi ))(( x g f ....

A. 282 2

x x

B. 282 2

x x

C. 182 2

x x

D. 282 2

x x

E. 182 2

x x







Pak Anang.

∘ =()= 3 1= 23 1 3

= 29

6 1 3= 18 1 2 2 3= 18 1 2 1

TRIK SUPERKILAT:

∘ artinya substitusikan ke . Coba ah iseng saya substitusikan = 0 ke ,

ternyata hasilnya = 1.

Iseng lagi ah, saya substitusikan = 1 ke ,Ternyata hasilnya 1 = 1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan

jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata

jawaban E saja!

∘ =()= 2 3= 2 3 22 3 3= 4 1 2 9 4 6 3

= 4

8

TRIK SUPERKILAT:


ternyata hasilnya 1 = 1.

Iseng lagi ah, saya substitusikan = 1 ke ,

ternyata hasilnya 1 = 4. Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan

jawaban. Mana yang hasilnya 4? Ternyata hanya

dipenuhi oleh jawaban E saja!

∘ = ()= 4= 2 4 1= 2 8 1

TRIK SUPERKILAT:


ternyata hasilnya 0 = 0.

Iseng lagi ah, saya substitusikan = 0 ke ,

ternyata hasilnya 0 = 1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan

jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanyadipenuhi oleh jawaban C saja!















2. 8. Menyelesaikan masalah program linear.

Program Linear

Definisi Langkah Penyelesaian

Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika.memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika.

dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian.4. Cari titik pojok daerah penyelesaian.

5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif.6. Pilih nilai optimum.

Konsep yang dibutuhkan

Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear

Dua Variabel dan Penyelesaiannya + ≥ Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2,

dan maksimal hanya dapat ditempati 300

kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus.

Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2,

biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus

adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa

jumlah sedan dan bus yang parkir supaya

pendapatan parkirnya menjadi maksimal!

Sistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel

+ ≤ + ≤ ≥ 0 ≥ 0

Model Matematika

Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2,

dan maksimal hanya dapat ditempati 300kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus.

Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2,maka tentukanlah model matematikanya !

+ ≤ 300 + 3 ≤ 7 5 0 ,bentuk sederhana 5 + 15 ≤ 3750 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif , elemen bilangan cacah.

O

O

Sedan()

Bus() Total

Banyak kendaraan 1 1 300

Luas kendaraan 5 15 3750

Sedan()

Bus() Total

Banyak kendaraan 1 1 300Luas kendaraan 5 15 3750

Biaya Parkir 2.000 5.000

Fungsi kendalanya:

{

+ ≤ 300 + 3 ≤ 7 5 0 ,bentuk sederhana 5 + 15 ≤ 3750 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif , elemen bilangan cacah.

Fungsi Objektif: (, ) =2.000+3.000

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Titik potong garis + = 3 0 0 dan + 3 = 7 5 0: = 225 dan = 75

Jadi titik pojoknya adalah:(0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250).

Uji titik pojok:

(, )

(, ) =2.000+3.000

(0, 0) 2.000(0) +3.000(0) = 0

(300, 0) 2.000(300) +3.000(0) =600.000

(225, 75) 2.000(225) +3.000(75) =675.000

(0, 250) 2.000(0) +3.000(250) =750.000

Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk

parkir 250 bus.

O







TRIK SUPERKILAT:

Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang

menghabiskan banyak waktu.

Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus

dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titikuntuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik

pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UNMatematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja!

Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut:

Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala

yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif.

Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius.

Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam

bidang koordinat Cartesius.

Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu

melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dansubstitusi dari kedua persamaan garis tersebut.

Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya.

Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai

minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimumterdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.

Perhatikan gambar di bawah:

TRIK SUPERKILAT

Model Matematika

Grafik Max itu YEX

Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan ∶

Titik Pojok Letak Fungsi Objektif

Substitusi Titik Pojok

Nilai Optimum

Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja.

Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear.

Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X.

(Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X).

Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y.

Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien dan koefisien dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif.

Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar.

Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien dan koefisien dari fungsi objektif.

Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan = 0 ke fungsi di sebelahnya.

Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya.

Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan = 0 ke fungsi di sebelahnya.









Menentukan nilai optimum fungsi objektif.

Contoh Soal:

Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing

hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan duaunsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah,

maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah ….

a. 2 sepatu

b. 3 sepatuc. 3 tas

d. 4 tas

e. 2 tas dan 2 sepatu

Penyelesaian:

Model Matematika

Tas () Sepatu () Total

Unsur A 1 2 4

Unsur B 2 2 6

Untung 3000 2000

Fungsi kendala: + 2 ≤ 4 (perbandingan koefisien dan adalah 1/2)2 + 2 ≤ 6 (perbandingan koefisien dan adalah 1)Fungsi objektif:

maks 3000 + 2000 =…. (perbandingan koefisien dan adalah 3/2)

LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT:

Memaksimumkan berarti Y-E-X

Sumbu Eliminasi Sumbu

Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y

Cari perbandingan koefisien dan untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan

dari kecil ke besar.


1/2 1 3/2

Letak Fungsi Objektif

Perhatikan tabel tadi:


1/2 1 3/2

Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu ,

maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya(yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1)

Artinya substitusikan

= 0 untuk persamaan

2 + 2 = 6

2 + 2 = 6 2 + 2(0) = 6 = 3

Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.







Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan dan yang sama.

Contoh Soal :

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari.Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B.

Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B.Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B.

Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian

ta

blet per hari adalah ….

Penyelesaian Cara Biasa:

Model Matematika

Fungsi kendala:5 + 1 0 ≥ 2 5 ; 3 + ≥ 5 ; ≥ 0; ≥ 0, , elemen bilangan cacah.

Fungsi objektif:Minimumkan (, ) =4.000+8.000

Grafik dan Daerah Penyelesaian

Titik Pojok

Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5).

Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis.Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi:5 + 1 0 = 2 5 3 + 10 = 25

Substitusi = 2 ke salah satu persamaan:3 + = 5 3 + 2 = 5 3 = 5 − 2

3 = 3

= 33

= 1

Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2)

Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5)

Substitusi Titik Pojok

Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif

paling kecil.

Titik pojok (, ) Fungsi objektif (, ) =4.000+8.000

(5, 0) 4.000(5) +8.000(0) =20.000+ 12.000 =20.000

(1, 2) 4.000(1) +8.000(2) = 04.000+16.000=20.000

(0, 5)

4.000(0) +8.000(5) = 20.000 +40.000=40.000

Nilai Optimum

Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif (, ) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu

dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.

5X

Y

53

5

2,5

× 3 × 5

1 5 + 3 0 = 7 5 15+ 35 = 2 5

2 5 = 5 0

= 5025

= 2

TRIK SUPERKILAT:

Tablet

I

Tablet

II

Jumlah Perbandingan

koef dan

VitaminA

5 10 25 1/2

Vitamin

B

3 1 5 3/1

Harga 4.000 8.000 1/2

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y

1/2 1/2 2/2

Kesimpulan:

Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2

terdapat di X dan E,

Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X

dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan

perbandingan 1/2 .

Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik

potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan

3/1.









1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30

gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr

kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka

biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....A. Rp12.000,00

B.

Rp14.000,00C. Rp18.000,00D. Rp24.000,00

E. Rp36.000,00

2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung

dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia

merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda

gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yangditerima pedagang adalah ....

A. Rp13.400.000,00B. Rp12.600.000,00C. Rp12.500.000,00D. Rp10.400.000,00E. Rp8.400.000,00

3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.

Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung

sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijualdengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah ....

A. Rp30.400,00B. Rp48.000,00C. Rp56.000,00D. Rp59.200,00E. Rp72.000,00







Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT:

Kapsul Tablet Jumlah Perbandingankoef dan

Kalsium 5 2 60 5/2

Zat Besi 2 2 30 2/2

Harga 1.000 800 10/8

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y

2/2 10/8 5/2

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E.

Artinya titik minimumnya berada di hasileliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode

determinan matriks)

= |60 230 2||5 22 2| = 60

6 = 10; = |5 602 30||5 22 2| = 30

6 = 5

Jadi nilai minimumnya adalah: (, ) =1.000(10) +800(5) =Rp14.000,00

TRIK SUPERKILAT:

(harga dalam ribuan rupiah)Sepeda

gunung

Sepeda

balap

Jumlah Perbandingan

koef dan

Jumlah 1 1 25 1/1Harga 1.500 2.000 42.000 3/4

Untung 500 600 5/6Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X

3/4 5/8 1/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada

di E (titik potong atau hasil eliminasi

substitusi dua fungsi kendala)Gunakan metode determinan matriks

= | 25 142.00 0 2 .000|| 1 11.500 2.000| = 8.000

500 =16; + = 2 5 ⇒ 1 6 + = 2 5 ⇒ = 9 ; Jadi nilai maksimum adalah: (, ) =500(16) +600(9) =Rp13.400

TRIK SUPERKILAT:

Kue

jenis I

Kue

jenis II

Jumlah Perbandingan

koef dan

Tepung 40 20 6.000 4/2Gula 30 10 4.000 3/1

Harga 4.000 1.600 40/16Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X

4/2 40/16 3/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E

(titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua

fungsi kendala)

Gunakan metode determinan matriks

= |6.000 204.000 10||40 2030 10| = −20.000

−200 =100; 3 0 + 1 0 = 4 .0 0 0 ⇒3 .0 0 0 + 1 0 = 4 .0 0 0 ⇒ = 1 0 0 ; Jadi nilai maksimum adalah: (, ) =4.000(100) +1.600(100) =Rp560.000

Soal ini tidak adajawabannya,

mungkin maksudnyapilihan jawaban A, B,

C, D, dan E kurang

satu angka nol.














2. 9. Menyelesaikan operasi matriks.

Matriks

Bentuk Umum Operasi Aljabar Matriks

× = ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

Transpose Matriks

“Tukar aris Kolom”

= ⇒ =

Determinan Matriks 2 × 2

“Diagonal Utama –

Diagonal Samping”

= ⇒ | | = =

Invers Matriks 2 × 2

“Pembagian Matriks”

− = − =

= ⇒ − = 1| |

Persamaan Matriks

“Dikali Invers dari Kanan atau Kiri ???”

= ⇒ { = −

= −

Kesamaan Matriks

“

Elemen yang Sama Nilainya Sama

”

1 5 = 3 21 5 ⇒ = 3 = 2

Penjumlahan Matriks

“Jumlahkan Elemen yang Sama”

( ℎ) = ( ℎ)

Pengurangan Matriks

“Kurangkan Elemen yang Sama”

( ℎ) = ( ℎ)

Perkalian Matriks dengan Skalar

“Kalikan dengan Semua Elemen”

=

Perkalian Matriks dengan Matriks

“Syarat Harus Dipenuhi”

× × = ×

“Jumlah Perkalian Elemen aris Kolom”

( ℎ) = ( ℎ ℎ)

sama








TRIK SUPERKILAT:

Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah,

asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan

aljabar sederhana.

Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks,Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks.

Sifat Operasi Aljabar Matriks:

=

≠

=

=

≠

Sifat Transpose Matriks:

=

=

∙ = ∙ =

Sifat Determinan Matriks:

| | = | | | −| = 1| | | ∙ | = | | ∙ || ∙ = ⇒ | | ∙ || = ||

| | ∙ || = || ⇒ || =||| |

| ∙ −| = 1|| ∙ 1| |

Sifat Invers Matriks:

− = − =

∙ − = − ∙ −








Menentukan Operasi Aljabar Matriks.

Contoh Soal 1:

Diketahui matriks-matriks = 21 0, = 4 5 6, = 1 30 2, dan = 4 2 3

Jika

2 = maka nilai dari

=

….

a. 6

b. 2

c. 0

d. 1e. 8

Penyelesaian:2 = ⇒ 2 21 0 4 5 6 = 1 30 2 4 2 3⇔ 2 42 0 4 5 6 = 10 94 6 ⇔ 2 4 4 3 6 = 10 94 6

Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh:

2 4 = 1 0 ⇒ 2 = 1 0 4⇔ 2 = 6⇔ = 3

3 = 4 ⇒ = 4 3⇔ = 1⇔ = 1

4 = 9 ⇒ 4 = 1 9⇔ 4 = 8⇔ = 8 4⇔ = 4⇔ = 4

Jadi nilai = 4 1 3= 0








Menentukan Determinan Matriks.

Contoh Soal 1:

Diketahui matriks = 3 20 5, dan = 3 117 0 .

Jika = transpos matriks dan = , maka determinan matriks = …. a. 6

b.

2

c. 0

d.

1

e. 8

Penyelesaian: = ⇒ = − = 1| | = 115 5 20 3 3 117 0 3 02 5

= 115 5 20 3 0 115 5 = 115 30 1545 15 = 2 13 1

Karena = 2 13 1 , maka determinan matriks adalah :

| | = 2 13 1 = 2 3 = 1


Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept,

hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan

determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini.

= ⇒ | || | = | |⇔ | | = +||

⇔ | | = +||= −= 1

ℎ

= 3 1

17 0 3 02 5= 0 115 5 , | | =15







Contoh Soal 2:

Diketahui matriks = 4 23 4, dan = 5 32 1 .

Jika = dan − adalah invers matriks maka determinan dari matriks − = …. a. 2 b. 1

c. 1

d. 2

e. 3

Penyelesaian: ∙ = ⇒ = ∙ −⇔ − = ∙ −−⇔ − = ∙ −= 4 23 4 ∙ 111 1 32 5= 111 4 23 4 1 32 5= 1

11 0 22

11 11

= 0 21 1

Karena − = 0 21 1, maka determinan matriks − adalah :

|−| = 0 21 1 = 0 2 = 2


Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept,

hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan

determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini.

∙ = ⇒ = ∙ −⇔ − = ∙ −−⇔ − = ∙ −⇔ |−| = | |||= 2211= 2









1. Diketahui matriks A =

15

3 y, B =

63

5 x

dan C =

9

13

y.

Jika A + B – C =

4

58

x

x

, maka nilai y xy x 2 adalah ....

A.

8B. 12

C. 18

D. 20

E. 22







Pak Anang.

= 8 5 4⇒ ( 6 62 4 ) = 8 5 4⇔ 6 = 8∴ = 2⇔ 2 = ∴ = 4

Substitusi

= 2 dan = 4

2 = 2 1 6 4 = 2 2














2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.

Vektor

Notasi VektorOperasi Aljabar Vektor

= + + =

= + + =

komponen pada sumbu X komponen pada sumbu Y komponen pada sumbu Z

Panjang Vektor

“ kar dari jumlah kuadrat”

|| = √ + +

Vektor Posisi

“Titik Koordinat = Komponen Vektor”

= =

Vektor Pada Dua Titik

“Belakang Kurangi Depan”

= − = − − −

, ,

O

, ,

, ,

−

O

Penjumlahan Vektor

“Jumlahkan Komponen yang Sama”

+ = + = + + +

Pengurangan Vektor

“Kurangkan Komponen yang Sama”

− = − = − − −

Perkalian Skalar

“Dua Vektor Harus Searah”

“Kalikan Komponen yang Sama”

∙ = | | cos ∙ = + +

Perkalian Vektor

“Dua Vektor Harus Tegak Lurus”

“Putar Komponen yang Beda”

× = | | sin × =

Pembagian Ruas Garis

“Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya”

= + +

, ,

, ,

(, , )








Sifat Operasi Vektor:

+ = +

( + ) + = + ( + )

+0 = 0+ =

+ − = 0

Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:

∙ = ∙ ∙ ( + ) = ∙ + ∙

∙ = | |

⊥ ⇒ ∙ = 0

Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:

×= ×= × = 0

×=

× =

×=

× = − ×= −

× = −







TRIK SUPERKILAT:

Jabarkan

Lihat Syarat

Hitung

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal

yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan

maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.

Misal diketahui , , dan . Jika ⊥ , maka tentukan hasil dari ( + ) ∙ − !

Maka jabarkan ( + ) ∙ − = ∙ − + ∙ − = ∙ − ∙ + ( ∙ ) − ( ∙ )= | | − ∙ + − ( ∙ )

Tips dan triknya adalah,

Lihat syarat

,

Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada

komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product ).

Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor

tersebut.

Perhatikan tulisan berwarna merah ( ∙ ) . Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!

Perhatikan warna biru

∙ . Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!

Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat ∙ atau ( ∙ )?

Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA!

SELESAI!








KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS:

Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan pengurangan dan perkalian titik

semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.

Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama.

Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama.

Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.

PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product . Triknya adalah sebagai berikut:

+

× =

Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam

hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya. dikalikan silang dengan maka hasilnya POSITIF . dikalikan silang dengan maka hasilnya POSITIF . dikalikan silang dengan maka hasilnya POSITIF .

Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.

Contohnya yaitu apabila dikalikan silang dengan maka hasilnya NEGATIF . × = −








Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 22

, = 2−53

dan = 21−1

. Jika vektor tegak lurus dengan vektor , maka

tentukan nilai dari 2 ∙ ( −3 ) = …. a. 0 b. 6

c. 12d. 18

e. 24

Penyelesaian: ⊥ ⇒ ∙ = 0⇔ 2

2 ∙ 2−5

3 = 0

⇔ 2 −10 + 6 = 0⇔ 2 − 4 = 0⇔ 2 = 4⇔ = 2

Dengan demikian diperoleh:

= 222

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

⊥ ⇒ ∙ = 0

∙ = 222 ∙ 21−1 = 2 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + (2 ∙ −1) = 4 + 2 − 2 = 4

2 ∙ − 3 = 2 ∙ − 2 ∙3= 2( ∙ ) − 6 ∙ = 20 − 64= 0 + 24= 24

Jadi nilai 2 ∙ − 3 = 24


Lihat bahwa tegak lurus , maka ∙ =

Jabarkan perkalian titik pada soal:2 ∙ ( −3 ) = ( ∙ ) − 6 ∙ = − 6 4= −24








Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 1−2, = 2−31 dan = −224 . Jika vektor berlawanan dengan vektor , maka

tentukan nilai dari 4 ∙ ( 2− ) = …. a.

−24

b.

0 c.

12

d. 48

e. 72

Penyelesaian: berlawanan arah dengan ⇒ = −⇔ 1−2 = − −224

Dari persamaan tersebut diperoleh:

1 = −−2 ⇒ = 12

Maka,

= −2 ⇒ = − 12 2 = −1


= 1−1−2


∙ = 1−1−2 ∙ 2−31 = 1 ∙ 2 + (−1 ∙ −3) + ( −2 ∙ 1) = 2 + 3 − 2 = 3

∙ = 1−1−2 ∙ −224 = ( 1 ∙ −2) + (−1 ∙ 2) + ( −2 ∙ 4) = −2 − 2 − 8 = −12

4 ∙ (2− ) = 4 ∙2−4 ∙ = 8 ∙ − 4 ( ∙ )= 83 − 4−12= 24 − −48= 72

Jadi nilai 4 ∙ (2− ) = 72


Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan.

Perhatikan vektor dan vektor berikut:

= 1−2 dan =

−224

Bandingkan kotak merah dan kotak biru.

Logika praktisnya. Kalau −2 itu 1, maka 2 itu −1. Jelas bahwa = −1.







Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 1−2, = 2−31 dan = −224 . Jika panjang vektor sama dengan panjang vektor

, dan < 0 , maka tentukan nilai dari ( + ) ∙ ( − ) = …. a.

−5

b. −3

c. 3

d. 9

e. 15

Penyelesaian:||= ⇒ √ 1 + + −2 = √ 2 + −3 + 1⇔ 1 + + −2 = 2 + −3 + 1⇔ 1 + + 4 = 4 + 9 + 1⇔ + 5 = 14⇔

+ 5 − 14 = 0⇔ − 9 = 0pembuat nol⇔ + 3 − 3 = 0⇔ + 3 = 0 atau − 3 = 0⇔ = −3 atau = 3

Karena syarat > 0, maka = 3. Dengan demikian diperoleh = 13−2


∙ = 13−2 ∙ 2−31 = 1 ∙ 2 + (3 ∙ −3) + (−2 ∙ 1) = 2 − 9 − 2 = −9

∙ = 13−2 ∙ −224 = ( 1 ∙ −2) + 3 ∙ 2 + (−2 ∙ 4) = −2 + 6 − 8 = −4

∙ = 2−31 ∙ −224 = ( 2 ∙ −2) + (−3 ∙ 2) + 1 ∙ 4 = −4 − 6 + 4 = −6

= 2 + −3 + 1 = 4 + 9 + 1 = 14

( + ) ∙ ( − ) = ∙ − ∙+ ∙ − ∙ = ∙ − ∙+ − ∙ = −9 − −4 + 1 4 − −6= −9 + 4 + 14 + 6= 15

Jadi nilai ( + ) ∙ ( − ) = 15


Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor dan

= 1−2 dan = 2−31

Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif

maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: −2 = 2 = 4 .

Sekarang bandingkan bilangan pada vektor dan . Pada vektor memuat bilangan 2, 3, dan 1.

Logika praktisnya. Karena vektor sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti = 3 (pilih yang positif sesuaisyarat pada soal > 0).









1. Diketahui vektor

1

2

p

a

;

6

3

4

b

; dan .

3

1

2

c

Jika a tegak lurus ,b maka hasil dari

cba 3.2 adalah ....

A.

171B. 63

C. −63 D. −111

E. −171

2. Diketahui vektor k j xia 3 , k jib 2 , dan k jic 23 Jika a tegak lurus ,b

maka hasil dari cba .2 adalah ....

A. −20 B. −12

C. −10

D. −8 E. −1

3. Diketahui vektor .22dan,23,2 k jick jibk x jia Jika a tegak lurus ,c

maka caba . adalah ....

A. −4

B. −2

C. 0D. 2

E. 4







Pak Anang.

Karena

⊥ ⇒ ∙ = 0⇔ 2−1 ∙ 4−36 = 0⇔ 4 − 6 − 6 = 0⇔ = 3

( − 2 ) ∙ 3 = 3 − 82− −6−1 − 12 ∙ 6−39 = −58−13 ∙ 6−39

= −30 − 24 − 117= −171

Karena ⊥ ⇒ ∙ = 0⇔ 1−3 ∙ 21−1 = 0⇔ 2 − − 3 = 0⇔ = −1

2 ∙ ( − ) = 226 ∙ 2 − 11 − 3−1 − 2= 226 ∙ 1−2−3= 2 − 4 − 18= −20

Karena ⊥ ⇒ ∙ = 0⇔ 12− ∙ 212 = 0⇔ 2 + 2 − 2 = 0⇔ = 2

( + ) ∙ − = 1 + 32 − 2−2 + 1 ∙ 1 − 22 − 1−2− 2= 40−1 ∙ −11−4= −4 + 0 + 4= 0














2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara

dua vektor.

Sudut

Antara Dua Vektor

Diketahui

Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor

= + + = + + = = + = ||2 + + 2|| cos = ||2 + 2|| cos

Kosinus Sudut Kosinus SudutAntara Dua Vektor Antara Dua Vektor

cos = ∙ cos = + 2 2+ 22

atau

cos = 2+ 2 2

2

Besar Sudut

Antara Dua Vektor

“ udut berapa yang nilai cosnya "

cos = ⇒ = cos−

= ∠( , )

||

= ∠( , )








TRIK SUPERKILAT:

Tentukan dua vektor

Cek

Perkalian titik

Perkalian titik = 0 Perkalian titik ≠ 0

= 90° Gunakan rumus cos

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelasbahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang

diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua

titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.

Langkah TRIK SUPERKILAT:

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut .

Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut pasti 90°! Kalau

perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos yang sesuai

dengan kondisi soal.







LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras?Asyik….!Misal vektor = 34+12 , maka tentukan panjang vektor ?

Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:

|| = 3 + 4 + 12 = √ 9 + 16 + 144 = √ 169 = 13

Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:

= +

3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)

5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)

13

Keterangan:

Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor.

Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor yaitu 3, 4, 12.

Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.

Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.

Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.

Selesai! Panjang vektor adalah 13!

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul

3 4 55 12 13

7 24 25

9 40 41

8 15 17

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras

Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebutdengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!

Contoh:3 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.5 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,

sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

4

5

5

12

13








LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:

Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?

Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.

Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????

Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku

adalah , maka nilai bisa ditentukan oleh: = (√

) + (√ )

⇒ =

+

⇒ = + ⇒ = √ + ⇒ = √ +

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar √ √ √ +

Contoh:

Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini

Misal vektor = 42+6 , maka tentukan panjang vektor ?

Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:|| = 4 + 2 + 6 = √ 16 + 4 + 36 = √56 = √ 4√ 14 = 2√ 14

Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:

= + (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)

4 2 6 FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…

√ √ √

(jumlahkan 4 + 1 + 9)

√ + + √

√

√

√ +

bilangannya harus sama,

kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

√

√

4√ 4

4√ 9

4√ 138

12

Cari FPB dari 12 dan 8.

FPBnya adalah 4.

Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.

Artinya 12 = 4√ 9 dan 8 = 4√ 4,

Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√ 9 + 4 = 4√ 13








Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 4+2+2 dan = 3+3 . Besar sudut antara vektor dan adalah …. a. 30

b. 45

c.

60

d. 90

e. 120

Penyelesaian:

= 4+2+2 = 422 ⇒ || = 4 + 2 + 2 = √ 16 + 4 + 4 = √ 24 = √ 4√ 6 = 2√ 6 = 3+3= 33

0

⇒ = 3 + 3 + 0 = √ 9 + 9 + 0 = √ 18 = √ 9√ 2 = 3√ 2


cos = ∙|| = 422 ∙ 330

2√ 6 ∙ 3√ 2= 43 + 23 + 206√ 12

= 12 + 6 + 06√ 4√ 3= 1812√ 3= 1812√ 3 × √ 3√ 3= 18√ 336= 12 √ 3

Jadi karena cos = √ 3, maka besar sudut = 30°


Lihat bahwa ∙ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!

Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

= 4+2+2 = 422 = 2√ 42√ 12√ 1 ⇒ || = 2√ 4 + 1 + 1 = 2√ 6

= 3+3= 330 =

3√ 13√ 10 ⇒ = 3√ 1 + 1 = 3√ 2

Lanjutkan dengan menghitung nilai cos menggunakan rumus:

cos = ∙|| = 422 ∙ 3302√ 6 ∙ 3√ 2 = …








Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.

Contoh Soal:

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika mewakili dan mewakili ,maka sudut yang dibentuk oleh vektor dan adalah …

a. 30

b. 45

c. 60

d.

90 e. 120

Penyelesaian:

= = 612 212 = 400 ⇒ = 4 + 0 + 0 = √ 16 + 0 + 0 = √ 16 = 4 = = 652 212 = 440 ⇒ = 4 + 4 + 0 = √ 16 + 16 + 0 = √ 32 = 4√ 2


cos = ∙ = 400 ∙ 440

4 ∙ 4√ 2= 44 + 04 + 0016√ 2= 16 + 0 + 016√ 2= 1616√ 2= 1√ 2= 1√ 2 × √ 2√ 2= 12 √ 2

Jadi karena cos = √ 2, maka besar sudut = 45°

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Lihat bahwa ∙ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!

Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

= = 612 212 = 400 ⇒ = 4 karena komponen yang lain nol = = 652 212 = 440 = 4√ 14√ 10 ⇒ = 4√ 1 + 1 = 4√ 2

serta hasil kali titik dari

∙ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.

Karena panjang memuat bilangan √ 2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos = √ 2, dan satu-

satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos = √ 2 adalah = 45°.







Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.

Contoh Soal:

Diketahui|| = 2, = 3, dan + = √ 19. Besar sudut antara vektor dan adalah …. a. 30

b. 45

c. 60

d. 90

e.

120

Penyelesaian:

Ingat + = ||2 + + 2|| cos


+ 2 = | |2 + 2 + 2| | cos⇔ (√ 19)2 = 22 + 32 + 223 cos⇔ 19 = 4 + 9 + 12 cos ⇔ 19 = 13 + 12 cos ⇔ 19 13 = 12cos⇔ 6 = 12 cos ⇔ 612 = cos ⇔ 12 = cos ⇔ cos = 12

Jadi, karena cos = , maka besar sudut = 60°


Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:

cos = + ||2 + 2|| = 19 4 + 912= 19 1312= 6

12= 12

Jadi, karena cos = , maka besar sudut = 60°









1. Diketahui vektor

3

3

2

a

dan .

4

2

3

b

Sudut antara vektor a dan b adalah ....

A. 135°

B.

120°

C. 90°D. 60°

E. 45°

2. Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....

A. 30°

B. 45°C. 60°

D. 90°

E. 120°







Pak Anang.

cos∠(, ) = ∙ ||||= 6 + 6 12√ 22√ 29= 0∴ cos = 0 ⇒ = 90° = = 1,0,1 = = 1, 0, 1

cos∠( , ) = ∙

= 1 + 0 1√ 2√ 2= 0∴ cos = 0 ⇒ = 90

TRIK SUPERKILAT:

Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.

Kalau nol pasti siku-siku.

Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor

sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.

TRIK SUPERKILAT:

Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.

Kalau nol pasti siku-siku.

Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektorsama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.














2. 12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Proyeksi Vektor

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada Vektor

“

Bayangan vektor pada vektor ”

Proyeksi vektor || pada vektor adalah vektor

| | Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku,

cos = | |||

Sehingga,

|| = || cos

Masih ingat dengan sudut antara dua vektor?

cos = ∙

||

sehingga | | = || ∙

||

Panjang Proyeksi Vektor

Proyeksi skalar

| | = ∙

Masih ingat dengan panjang vektor satuan?

= sehingga = | |

Vektor ProyeksiProyeksi vektor

= ∙

||

| |








TRIK SUPERKILAT:

Vektor Proyeksi

Perhatikan dua vektor yang terkait.

Proyeksi vektor apa ke vektor apa?

Proyeksi vektor pada vektor

Vektor yang diproyeksikan: Diproyeksikan ke vektor apa?

Vektor Vektor

Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda

Cek opsi jawabanyang merupakan

kelipatan dari vektor

Hanya ada satu jawaban Lebih dari satu jawaban

SELESAI Lanjutkan dengan rumus

∙ dikali

SELESAI

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada

indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yangsering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor

proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka

jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektortujuan proyeksi .

Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor.

Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban

yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut.

Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.

Kok bisa? Buktinya apa?Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut:

= ∙ ⏟ℎ

= = kelip t n d ri








Menentukan panjang proyeksi vektor.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 4+2+2 dan = 3+3 . Panjang proyeksi vektor pada vektor adalah …. a.

√ 18

b. √ 18

c. 2√ 18

d. 3√ 18

e. 4√ 18

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh:

|| = ∙

= 422 ∙

330√ 3 + 3 + 0

= 43 + 23 + 20√ 9 + 9 + 0

= 12 + 6 + 0√ 18

= 18√ 18

= 18

√ 18∙ √ 18

√ 18= 1818 √ 18= √ 18

Jadi, panjang proyeksi vektor pada vektor adalah √ 18.








Menentukan vektor proyeksi.

Contoh Soal 1:

Diketahui vektor = 5−8 dan = 2−+2 , maka vektor proyeksi orthogonal vektor pada adalah …. a. −−2

b. 2+4+4

c.

2−−4

d. 2+2−

e. 4−2+4

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:

= ∙

= 5−8

0 ∙ 2−1

2

2 + −1 + 2 (2−+2 )= 52 + −8−1 + 022 + −1 + 2 (2−+2 )= 10 + 8 + 04 + 1 + 4 (2−+2 )= 189 (2−+2 )= 2(2−+2 )= 4−2+4


Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor = 2−+2 .

Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor = 2−+2 hanyalah jawaban E yaitu dua

kalinya vektor .

Selesai!







Contoh Soal 2:

Diketahui vektor = − 2+ dan = 2−2+ , maka vektor proyeksi orthogonal vektor pada adalah…. a. 2−2+

b. (2−2+ )

c.

(2−2+ )

d. (2−2+ )

e. (2−2+ )

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:

= ∙||

= 1−21 ∙ 2−21 2 + −2 + 1 (2−2+ )= 12 + −2−2 + 112 + −2 + 1 (2−2+ )= 2 + 4 + 14 + 4 + 1 (2− 2+ )= 79 (2−2+ )


Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor = 2−2+ .

Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor = 2−2+ adalah semua jawaban.

Jadi kerjakan dengan cara biasa saja.








Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya.

Contoh Soal:

Diketahui vektor = 21 dan = 30−4, dan panjang proyeksi vektor pada adalah 2. Maka nilai 2 = …. a. −2

b.

−1

c. 0

d. 1 e. 2

Penyelesaian:

Panjang vektor proyeksi vektor pada adalah:

|| = ∙

⇒ 2 = 21

∙ 30

−4

3 + 0 + −4⇔ 2 = 23 + 10 + 4

√ 9 + 0 + 1 6⇔ 2 = 6 + 0 + 4

√ 25⇔ 2 = 4 + 65⇔ 10 = 4 + 6⇔ 10 − 6 = 4⇔ 4 = 4⇔ 44 = ⇔ 1 = ⇔ = 1

Jadi nilai dari 2 = 21 = 2








1. Diketahui vektor k jia 65 dan .22 k jib Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ....

A. k ji 22

B. k ji 22

C. k ji 22

D. k ji 22

E. k ji 22

2. Proyeksi orthogonal vektor k jia 34 pada k jib 32 adalah ....

A. )32(14

13k ji

B. )32(14

15k ji

C.

)32(78 k ji

D. )32(7

9k ji

E. k ji 624


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soaltersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal




Pak Anang.

Proyeksi = ∙ ||

= 5 − 12 − 2(√ 1 + 4 + 4) = − 99

= −+ 2+ 2

TRIK SUPERKILAT:

Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari . Lihat pola tanda pada plus min min.

Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus

min min atau min plus plus.

Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.

Proyeksi = ∙ || = 8 + 1 + 9

(√ 4 + 1 + 9) (2+ + 3 )

= 1814 (2+ + 3 )= 97 (2+ + 3 )















2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri

Acuan

Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi

“Pergeseran” • terhadap sebesar pusat sebesar pusat • terhadap • terhadap titik (0, 0)• terhadap ± • terhadap

Menggunakan konsep matriks transformasi

Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva

“Bayangan

, adalah

,

” “Substitusikan

, pada fungsi kurva”

− ′′

Matriks Transformasi − Invers Matriks Transformasi

Komposisi Transformasi

“Ingat

∘ artinya

dikerjakan lebih dulu daripada

”

∘ … ∘ ∘ merupakan komposisi transformasi dilanjutkan oleh transformasi dan seterusnya

sampai dengan transformasi

Komposisi Komposisi

Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva

“Bayangan , adalah , ” “Substitusikan , pada fungsi kurva”

∘ ∘ − ′′







Tabel Transformasi Geometri

Translasi

Translasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1.

Transformasi identitas , → ′, ′′

2.

Translasi oleh , = → ′ , ′′

Pencerminan

Pencerminan

terhadap garis

….

Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1.

Pencerminan terhadap

sumbu Y 0 , Y → , ′′

2. Pencerminan terhadapgaris

, → , ′

Pencerminan

terhadap garis …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

3. Pencerminan terhadap

sumbu X

0

, X → ′, ′

′

4.

Pencerminan terhadapgaris , → , ′

Pencerminan

terhadap titik (…., ….)



titik asal 0,0 , , → , ′′

6.


titik , , , → ,

Pencerminan

terhadap garis

±


7. Pencerminan terhadap , → , ′′

8.


garis , → , ′′

Pencerminan

terhadap garis



garis

dimana t a n

, → ′,′ c o s 2 s i n 2 s i n 2 c o s 2

′′

10.


garis

dimana t a n

, + → ′,′ c o s 2 sin2 s i n 2 cos2

′








Rotasi

Rotasi sebesar

terhadap titik (…., ….)


1.

Rotasi ° berlawanan

jarum jam terhadap

pusat 0,0

, , → ′,′ c o s s i n

s i n c o s

′′

2.

Rotasi ° berlawanan

jarum jam terhadap

pusat , , ,, → , cos sin s i n cos

Dilatasi

ilatasi pusat (…., ….)

faktor dilatasi


1.

Dilatasi , , , → , ′′

2. Dilatasi ,, , ,, → ,

Keterangan:

Transformasi terhadap titik:

Masukkan titik

, ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi

,

.

Transformasi terhadap fungsi kurva):

Substitusikan dan ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel ′ dan ′.Untuk mempermudah gunakan invers matriks: ⇒ −

⇔ −

Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu

menggunakan invers matriks. Mubazir.

Keterangan warna: “Transformasi ACUAN”. “Transformasi TURUNAN”.

= “Matriks Transformasi ACUAN”

, = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap “ACUAN”.







TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi.

LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.

Buat dua titik, 1, 0 dan 0, 1 pada bidang koordinat

Transformasikan kedua titik

Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom

Selesailah matriks transformasi kita

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas

bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk

transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti.

Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan,

rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini.

Hubungan Matriks dan Transformasi

Misalkan adalah matriks transformasi ,

maka hasil dari transformasi titik , adalah:

1

0

dan hasil dari transformasi titik , adalah: 01

Sehingga proses menyusun matriks transformasi adalah dengan meletakkan titik 1, 0 dan 0, 1 pada

bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi :

Pencerminan terhadap sumbu Y

garis

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 0),

maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ,.

sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y

garis 0 adalah:

Koordinat

, Koordinat

,

1, 0

0, 1

1,0 0,1

, ,

′,

Y

Y








Pencerminan terhadap sumbu X

garis

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,

Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 0),

maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di , .

sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ,.

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X

garis 0 adalah:

Koordinat

, Koordinat

,

Pencerminan terhadap titik asal

0, 0

.


Untuk pencerminan terhadap titik asal 0, 0,

maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ,. sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi ,

.

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal 0, 0 adalah:

,

Koordinat , Koordinat ,

Pencerminan terhadap garis .


Untuk pencerminan terhadap garis

,

maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi , . dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis adalah:

=

Koordinat

, Koordinat

,

, ,

,

,

0, 0

0, 0

,

,

′,

,

′,

X

X ,

,







Pencerminan terhadap garis .


Untuk pencerminan terhadap garis ,

maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ,.

dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ,.

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis

adalah:

=−

Koordinat , Koordinat,

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat

, .


Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0,

maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi , . dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ,

.

Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0:

,°

Koordinat , Koordinat,

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat

, .


Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat

0, 0,

maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi

,.

dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ,.

Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0:,°

Koordinat

, Koordinat

,

,

,

,

′,

rotasi 90° berlawanan jarum jam

,

,

,

′,


rotasi 180° berlawanan jarum jam ,

,

,

′,









Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat , .

atau sama dengan

Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat , .


Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0 atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat

0, 0,

maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi

,.

dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi , .

Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0

atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 0, 0:

,°

,−°

Koordinat

,

Koordinat ,

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar dengan pusat, .

Perhatikan sumbu koordinat di samping,Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar dengan pusat 0, 0,

maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi , . dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi

, .

Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar dan pusat 0, 0:,

Koordinat , Koordinat ,

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

,

,

′

,

,

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

dilatasi dengan faktor skala k

, ,

′,

,

dilatasi dengan faktor skala k







Pencerminan terhadap garis , dengan .


Untuk pencerminan terhadap garis dengan t a n ,

maka titik A akan berputar sejauh 2, sehingga menjadi , .

dan titik B akan berputar sejauh 9 0 2 , sehingga menjadi , .

Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis

dengan

t a n :

=

Koordinat ,

Koordinat ,

Rotasi sebesar

berlawanan jarum jam dengan pusat

, .

Perhatikan sumbu koordinat di samping,Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0,

maka titik A akan berputar sejauh , sehingga koordinatnya menjadi , . dan titik B akan berputar sejauh , sehingga koordinatnya menjadi ,

.

Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 0, 0:,

Koordinat ,

Koordinat ,

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:

Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah

bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:

Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik

, terhadap transformasi tersebut.

Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik , terhadap transformasi tersebut.

,

,

,

,

,

,

,

°,°

atau dengan sifat kuadran

bisa diubah menjadi

,

°








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.

Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi!

Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.

Pencerminan:

terhadap garis (sumbu X)

terhadap garis

(sumbu Y)

terhadap titik (0, 0) terhadap garis ±

terhadap garis

Rotasi

sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat ,

Dilatasi

faktor dilatasi dengan pusat ,

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah!

Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini!

Pencerminan:

pencerminan terhadap garis


pencerminan terhadap titik ,


Rotasi

rotasi sebesar berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik ,

Dilatasi

dilatasi dengan faktor dilatasi , tapi dengan pusat rotasi titik ,

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini:

Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan.

Misal rotasi sebesar , kok pusatnya di titik , bukan 0, 0?

Maka lakukan translasi pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke 0, 0

Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!

,

Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu . ,

atau biasa ditulis dengan:

,

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:

Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal

maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi .

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva?

Asyik!

Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi.

Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya

muncul bentuk

… .atau …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan.

Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya. − ′′

Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini:

Diketahui persamaan , maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks

adalah …. ???

Nah, misalkan matriks transformasi

adalah

dan

|| adalah determinan matriks transformasi

tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi: − ′′⇒ 1||

Dari persamaan matriks tersebut diperoleh: 1||

1

||

Substitusikan dan pada persamaan 0, maka akan diperoleh: [ 1|| ] [ 1|| ] 0 kalikan semua ruas dengan || ⇒ || 0⇔ || 0⇔ || 0⇔ || 0⇔ 0

TRIK SUPERKILAT:

Jadi rumus cepat untuk bayangan garis 0 terhadap matriks transformasi : 0









Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik.

Contoh Soal 1:

Bayangan dari titik 3,5 oleh transformasi 23 adalah …. a.

5,8

b. 5,2

c. 1,2

d. 5,2

e. 5,8

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

35 23 52

Contoh Soal 2:

Bayangan dari titik 3,5 oleh pencerminan terhadap garis 2 adalah …. a. 5,8

b. 5,2

c. 1,2

d. 5,2

e. 5,8

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu 0

alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?

2 2⇒ 2 1 00 1 35 2⇔ 2 1 00 1 33⇔ 02 33⇔

3

3 0

2

⇔ 31

Atau menggunakan pemetaan: , → ,

Jadi: 3 2 22 5 4 5 1

Jadi bayangan titik tersebut adalah 3, 1

Atau menggunakan grafik.

(3, 1)

2 3, 5







Contoh Soal 3:

Bayangan dari titik 2,1 oleh rotasi sebesar 45° dengan pusat (1, 2) adalah …. a. (1 √ 2 , 2 √ 2

)

b. (2 √ 2 , 1 √ 2

)

c. (1 √ 2 , 1 √ 2

)

d. (2 √ 2 , 2 √ 2

)

e.

(1 √ 2 , 2 √ 2)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat (0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

1 2 ,° 1 2⇒ 1 2 cos 4 5° sin4 5°sin 45° cos 45° 2 11 2

⇔ 1

2

12 √ 2 12 √ 212 √ 2 12 √ 2

31⇔ 12 32 √ 2 12 √ 2 32 √ 2 12 √ 2

⇔ 12 √ 22√ 2⇔ √ 22√ 2 12

⇔

1 √ 22 2√ 2

Contoh Soal 4:

Bayangan dari titik 4, 2 oleh dilatasi dengan faktor dilatasi 2 dan pusat 0, 5 adalah …. a. 8, 4

b. 8, 1

c. 8,1

d. 8,3

e. 8,11

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat (0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

5 ,− 5⇒ 5 2 00 2 42 5⇔ 5 2 00 2 43

⇔

0

5 86 ⇔ 86 05⇔ 811








Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik.

Bayangan dari titik 2, 0 oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90°

terhadap titik asal (0, 0) adalah …. a. 2, 0

b. 2,2 c. 1, 2

d.

0, 2

e. 0,2

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:

,° ∘ ⇒ 0 11 0 1 00 1 20⇔ 0 11 0 20

⇔

02

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut:Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 0, 1

Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut:

Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 1, 0

Maka matriks komposisi transformasinya adalah: 0 11 0

Sehingga,

⇒

0 1

1 0 2

0

⇔ 02

Selesai!







Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva.

Contoh Soal 1:

Bayangan dari kurva 3 2 7 oleh transformasi 25 adalah …. a. 3 2 3

b. 3 2 5

c.

3 2 9

d.

3 2 1 1

e. 3 2 2 3

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

⇒

25⇔ 2 5 ⇒ 2 5

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 3 2 7, diperoleh:⇒ 3 2 2 5 7⇔ 3 6 2 1 0 7⇔ 3 2 4 7⇔ 3 2 7 4⇔ 3 2 3

Jadi persamaan bayangannya adalah

3 2 3

TRIK SUPERKILAT:

= →

3 2 7 = → 3 2 7 32 25⇒ 3 2 7 6 1 0⇒ 3 2 3








Contoh Soal 2:

Bayangan dari kurva 2 3 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah …. a. 2 3 1

b. 2 3 1

c. 2 3 1

d. 2 3 1

e. 3 2 1

Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:

1 00 1 ⇒

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 3 1, diperoleh:⇒ 2 3 1⇔ 2 3 1⇔ 2 3 1

Jadi persamaan bayangannya adalah

2

3 1.

TRIK SUPERKILAT:

Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu

menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang

elemennya 0 atau 1.

Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3:

Bayangan dari kurva

4

1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut

dengan pusat

1, 2 adalah

….

a. 4 1 6 1 1

b. 4 1 6 1 1

c. 4 1 6 1 1

d. 4 1 6 1 1

e. 4 1 6 1 1

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat 1, 2 diperoleh:

1 2 1 00 1 1 2 1 2 1 00 1 1 2

1 2 1 00 1 1 2⇒ 12 1 2⇔ 1 2 12⇔ 2 4 ⇒ 2 4

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 4 1 , diperoleh:

⇒ 4

1⇔ 4 4 2 1⇔ 4 4( 4 4) 1⇔ 4 16 1 6 1 4⇔ 4 16 11⇔ 4 16 11

Jadi persamaan bayangannya adalah 4 1 6 1 1.







Contoh Soal 4:

Bayangan dari kurva 2 6 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat1, 0 adalah …. a. 5,8

b. 5,2 c. 1,2

d. 5,2 e.

5,8

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat 1, 0 diperoleh:

1 2 00 2 1 1 14 2 00 2 1 ⇒ 10 14 2 22 ⇔ 14 2 22 10

⇔ 12

1212 10 ⇔ 12 1212 ⇒ 12 12 12

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 6 1 , diperoleh:⇒ 2 6 1⇔ 2 12 6 12 12 1⇔ 3 3 1⇔ 3 2

Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2.








Contoh Soal 5:

Bayangan dari kurva 2 3 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 2 31 1 adalah…. a. 3 0

b. 2 3 0

c. 3 0

d.

2 3 0

e.

3 0

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:

2 31 1 1 11 1 31 2 ⇒ 3 2 ⇒ 3 2

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 6 1 , diperoleh:⇒ 2 3 0⇔ 3 2 2 3 0⇔ 3 2 4 3 0⇔ 2 3 4 3 0⇔ 3 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3 0

TRIK SUPERKILAT

Bayangan garis 0 terhadap matriks transformasi : 0

Bayangan garis 2 3 0 terhadap matriks transformasi 2 31 1: 1 21 1 2 31 2 2 31 1 0⇒ (1 2) (4 3) (2 3)3 0⇒ 3 0







Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva.

Contoh Soal 1:

Bayangan garis 2 3 6 0 oleh refleksi terhadap garis diikuti oleh rotasi dengan pusat 0, 0 sejauh setengah putaran adalah …. a. 3 2 6 0 b. 2 3 6 0

c.

3 2 6 0

d. 2 2 6 0

e. 3 2 6 0

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

∘ ,°=

1 0

0 1 0 1

1 0

0 11 0 ′′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 3 6 0 , diperoleh:⇒ 2 3 6 0⇔ 2 3 6 0⇔ 3 2 6 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2 6 0



Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 0,1

Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 1,0


Sehingga, 0 11 0 ′

′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 3 6 0 , diperoleh:⇒ 2 3 6 0⇔ 2 3 6 0⇔ 3 2 6 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2 6 0








Contoh Soal 2:

Bayangan garis 3 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat0, 0 dan faktor skala 3 adalah …. a. 9 3 1 8 0

b. 9 3 1 8 0

c. 3 9 1 8 0

d. 9 3 1 8 0

e.

9 3 1 8 0

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

∘ , 3 00 3 1 00 1

3 0

0 3

′′ 33 13 13

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 3 2 , diperoleh:⇒ 3 2⇔ 13 13 3 13 2⇔ 1

3 1

9 2 kalikan semua ruas dengan 9

⇔ 3 9 18⇔ 9 3 1 8 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 9 3 1 8 0



Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O,

hasilnya

3, 0

Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O,

hasilnya 0,3


Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama

dengan penyelesaian cara biasa di atas.








1. Bayangan garis 52 y x bila ditransformasi dengan matriks transformasi

21

53 dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X adalah ....

A. 5411 y x

B. 524

y x

C. 5114 y x

D. 553 y x

E. 5113 y x

2. Bayangan kurva

293 x x y jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi

dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

A. y y x 33 2

B. y y x 32

C.

y y x 33 2

D. x x y 33 2

E. y x y 32

3. Bayangan kurva 33

2 x x y jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O

dan faktor skala 3 adalah ....

A. 027392

y x x

B. 027392

y x x

C.

02793 2

y x x D. 02793

2 y x x

E. 02793 2

x x

4. Persamaan bayangan lingkaran 4

22 y x bila dicerminkan terhadap garis 2 x dilanjutkan dengan

translasi

4

3 adalah ....

A. 0138222

y x y x

B.

01382

22

y x y x C. 01382

22 y x y x

D. 0138222

y x y x

E. 0132822

y x y x







Pak Anang.

TIPS SUPERKILAT:

Bayangan garis 0 terhadap matriks transformasi

: 0 3 51 2 ; 1 00 1 ; ∘ 1 00 1 3 51 2 3 51 2

Bayangan garis 2 5 0 terhadap matriks transformasi T adalah : 1 21 2 3 51 2 3 51 2 5 0 ⇒ 4 1 1 5 0 ⇒ 4 1 1 5

0 11 0 ; 3 00 3

∘ 3 00 3 0 11 0 0 33 0

0 33 0

3 ⇒ 13 3 ⇒ 13

3 9 ⇒ 13 3 13 9 13

⇔ 13 dikali3⇔ 3 3′

0 11 0 ; 3 00 3

∘

3 00 3

1 00 1

3 00 3

3 00 3

3 ⇒ 13 3 ⇒ 13

3 3⇒ 1

3 1

3 3 1

3 3

⇔ 13 19 3 dikali9⇔ 3 9 27⇔ 0 9 3 27

, → 4 , − → 1 , 4 1 ⇒ 1

4 ⇒

4

4 ⇒ 1 4 4⇔ 2 1 8 1 6 4⇔ 2 8 1 7 4⇔ 2 8 1 7 4 0⇔ 2 8 1 3 0

TRIK SUPERKILAT:

Bayangkan titik pusat (0, 0)

dicerminkan terhadap 2,akan berpindah ke (0, 4),

lalu ditranslasi -3

satuan di sumbuX, dan 4 satuan di

sumbu Y, maka

titik tersebut

sekarang berada

di (1, 4).

Jadi persamaan lingkaran

dengan pusat (1, 4) adalahjawaban A!!!















2. 14. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma.

Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma

Eksponen Logaritma

log

Syarat Eksponen Syarat Logaritma

> 0 dan ≠ 1 > 0 dan ≠ 1 bebas berapapun boleh > 0

Perhatikan bilangan pokoknya atau log

pasti sudah memenuhi syarat

Lebih Dari Satu Diantara Nol dan Satu

> 1 0 < < 1

“ anda pertidaksamaan tetap”

“ anda pertidaksamaan dibalik”

≥ ⇒ ≥ ≤ ⇒ ≤ log ≥ log ⇒ ≥ log ≤ log ⇒ ≤

≥ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≥ log ≥ log ⇒ ≤ log ≤ log ⇒ ≥

Syarat Eksponen Syarat Logaritma

bebas berapapun boleh > 0, > 0







TRIK SUPERKILAT

Baca soal

Cektopik soal

tentang apa?

Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Logaritma

Selesaikan pertidaksamaan Selesaikan pertidaksamaan Syarat numerus harus positif

Iriskan dalam garis bilangan

Selesai

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponenatau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu

sendiri.

Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu

diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga

harus dipenuhi syarat numerus harus positif.









Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk ≥ .

Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≥

− adalah ….

a.

5 ≤ ≤ 2

b. 2 ≤ ≤ 5

c. ≤ 2 atau ≥ 5 d. ≤ 5 atau ≥ 2

e. ≥ 5

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

+ ≥

−

⇒ 2−+ ≥ 2−−⇔ 2−+ ≥ 2−(−)⇔ 2−− ≥ 2−+⇔ 3 9 ≥ 1⇔ 3 1 0 ≥ 0⇔ 2 5 ≥ 0

Pembuat nol⇒ 2 = 0 atau 5 = 0⇔ = 2 atau = 5

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah | ≤ 2 atau ≥ 5.

kita punya dua pilihan, yaitu mengubah 18 dan 12

menjadi12 pangkat berapa atau 2 pangkat berapakonsekuensinya?

kalau memilih 12 maka tanda pertidaksamaan harus dibalik,sedangkan bila memilih 2 maka tanda pertidaksamaan tetap

}

saya lebih memilih 2, supaya tandanya tidak berubah

2 5







Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk

{ { ≥

Contoh Soal 1:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3+ 4 . 3+ 3 > 0 adalah …. a. 0 < < 2

b. 1 < < 2 c.

< 1 atau > 2

d. < 0 atau > 1

e. > 2

Penyelesaian:


3+ 4 . 3+ 3 > 0 Ingat 3+ = 3 ∙ 3 dan 3 + = 3 ∙ 3⇒ 3 . 3 4 . 9 . 3 2 7 > 0⇔ 3 . 3 36. 3 2 7 > 0Misal = 3 ⇒ 3 3 6 8 1 > 0

⇔ 3 3 9 > 0Pembuat nol ∶⇒ 3 = 0 atau 9 = 0⇔ = 3 atau = 9



< 3 atau > 93 < 3 atau 3 > 9 < 1 atau > 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah | < 1 atau > 2.

3 9








Contoh Soal 2:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 3− > 36 adalah …. a. 2 < < 3

b. 3 < < 9 c. < 2 atau > 3

d. < 3 atau > 9 e. > 3

Penyelesaian:


3 3− >36 Jadikan ruas kiri sama dengan nol⇒ 3 3− 3 6 > 0 Ingat 3− = 3 ∙ 3− dan 3 =243⇔ 3 243.3− 3 6 > 0 Kalikan semua ruas dengan 3 , supaya tidak ada bentuk 3−⇔ 3 . 3 243.3− . 3 36. 3 > 0⇔ 3 24336.3 > 0⇔ 3 36.3 2 4 3 > 0⇔ 3 36.3 2 4 3 > 0Misal = 3 ⇒ 3 6 2 4 3 > 0

⇔ 9 2 7 > 0Pembuat nol ∶⇒ 9 = 0 atau 27 = 0⇔ = 9 atau = 27



< 9 atau > 273 < 3 atau 3 > 9 < 2 atau > 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah | < 2 atau > 3.

9 27







Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk

≥ .

Contoh Soal 1:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log < adalah ….

a. 0 < < 1 b. 1 < < 2

c. < 0 atau > 1 d.

1 < < 0 atau 1 < < 2

e. > 1

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

log < 12 Ingat ubah 12 menjadi bentuk logaritma log berapa ya?⇒ log < log2⇔ < 2⇔ 2 < 0⇔ 1 2 < 0Pembuat nol⇒ 1 = 0 atau 2 = 0⇔ = 1 atau = 2


Daerah yang memenuhi adalah 1 < < 2 .............................................................(1)

Jangan lupa Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitunumerus logaritma harus positif.

> 0⇒ 1 > 0Pembuat nol⇒ = 0 atau 1 = 0⇔ = 0 a t a u = 1


Daerah yang memenuhi adalah < 0 atau > 1 ..................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah |1 < < 0 atau 1 < < 2.

1 2

0 1

1 2

0 1

1 0 1 2








Contoh Soal 2:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log3 log 5 < log2 3 adalah …. a. 0 < < 3

b. 2 < < 3

c. < 2 atau > 3

d. 0 < < 2 atau 2 < < 3

e. > 5

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

log3 log 5 < log2 3⇒ log3 5 < log2 3⇔ 3 5 < 2 3⇔ 2 1 5 < 2 3⇔ 4 1 2 > 0⇔ 6 2 > 0Pembuat nol⇒ 6 = 0 atau 2 = 0⇔ = 6 atau = 2


Daerah yang memenuhi adalah < 6 atau > 2 .............................................(1)

Jangan lupa Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu

numerus logaritma harus positif.

3 > 0⇒ > 3⇔ < 3

..............................................................................................................................(2)

5 > 0⇒ > 5 ..............................................................................................................................(3)

2 3 > 0⇒ 2 > 3⇔ > ..........................................................................................................................(4)

Dari (1), (2), (3) dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah | 2 < < 3 .

6 2

6 2

3

2 3

3

2

5







Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk ≥

Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log 3 log 3 2 > 0 adalah …. a. 1 < < 2

b. < 1 atau > 2

c. < 3 atau > 5

d. 1 < < 5 atau > 5

e. > 3

Penyelesaian:


log 1 log 1 2 > 0 (Ingat log 1 = 3. log 1)⇒ log 1 3. log 1 2 > 0⇔ log 1 3. log 1 2 > 0Misal = log 1 ⇒ 3 2 > 0

⇔ 1 2 > 0Pembuat nol ∶⇒ 1 = 0 atau 2 = 0⇔ = 1 = 2



< 1 atau > 2 log 1 < 1 atau log 1 > 2 1 < 2 atau 1 > 2 1 < 2 atau 1 > 4 < 2 1 atau > 4 1 < 3 atau > 5 ................................................................ (1)

Jangan lupa Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu

numerus logaritma harus positif.

1 > 0⇒ > 1

................................................................................................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut:

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah |1 < < 3 atau > 5.

1 2

1

3 5

1 3 5









1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 099.109

2

x x , R x adalah ....

A. 1 x atau 9 x

B. 0 x atau 1 x

C. 1 x atau 2 x

D. 1 x atau 2 x

E.

1 x atau 1 x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 01255.65

12

x x , R x adalah ....

A. 21 x

B. 255 x

C. 1 x atau 2 x

D. 1 x atau 2 x

E. 5 x atau 25 x

3. Penyelesaian pertidaksamaan 082.52

112

x x adalah ....

A. 0 x atau 2 x

B. 1 x atau 4 x

C. 2 x atau 4 x

D. 20 x

E. 41 x

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan R ,03.2893

12

x x x

adalah ....

A. 1 x atau 2 x

B. 1 x atau 2 x

C. 1 x atau 2 x

D. 1 x atau 2 x

E. 1 x atau 2 x







Pak Anang.

9 10 . 9 9 > 0⇒ 9 10. 9 9 > 0Misal = 9 ⇒ 1 0 9 > 0⇔ 1 9 > 0 ∶⇒ 1 = 0 atau 9 = 0⇔ = 1 = 9

1 9


< 1 atau > 109 < 1 atau 9 > 9 < 0 atau > 1

5 6 . 5+ 1 2 5 > 0⇒ 5 30. 5 1 2 5 > 0Misal = 5 ⇒ 3 0 1 2 5 > 0⇔ 5 2 5 > 0 ∶⇒ 5 = 0 atau 25 = 0⇔ = 5 = 25

5 25

Jadi daerah penyelesaian: < 5 atau > 255 < 5 atau 5 > 25 < 1 atau > 2

2+ 5 . 2+ 8 ≥ 0⇒ 22 10. 2 8 ≥ 0Misal = 2 ⇒ 2 1 0 8 ≥ 0⇔ 2 1 4 ≥ 0 ∶⇒ 1 = 0 atau 4 = 0⇔ = 1 = 4

1 4

Jadi daerah penyelesaian: ≤ 1 atau ≥ 42 ≤ 1 atau 2 ≥ 4 ≤ 0 atau ≥ 2

3+ 9 28 . 3 > 0⇒ 3 ∙ 3 28 .3 9 > 0Misal = 3 ⇒ 3 2 8 9 > 0⇔ 3 1 9 > 0 ∶⇒ 3 1 = 0 atau 9 = 0⇔ = 13 = 9

1/3 9


< 13 atau > 93 < 13 atau 3 > 9 < 1 atau > 2














2. 15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma.

Fungsi Eksponen atau Logaritma

Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma

() = saling invers

() = log

Syarat Fungsi Eksponen Syarat Fungsi Logaritma

> 0 dan ≠ 1 > 0 dan ≠ 1 bebas berapapun boleh > 0

Perhatikan syarat fungsi

Sifat Fungsi Eksponen Sifat Fungsi Logaritma

Definit positif, untuk berapapun nilai Logaritma terdefinisi apabila > 0

() selalu positif (grafik di atas sumbu X) (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y)

= ⇒ memotong sumbu Y di titik (0, 1)

= ⇒ memotong sumbu X di titik (1, 0)

Tidak pernah memotong sumbu X, Tidak pernah memotong sumbu Y,

memiliki asimtot datar sumbu X ( = 0) memiliki asimtot tegak sumbu Y ( = 0)

Grafik Fungsi Logaritma Grafik Fungsi Eksponen

> 0 < < 1 > 0 < < 1

“monoton n ik” “monoton turun” “monoton n ik” “monoton turun”

(0, 1)

X

Y

O

(0, 1)X

Y

O(0, 1)

X

Y

O

(0, 1)X

Y

O

() =

() =

() = log

() = log








TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya.

Lihat Grafik

CekJenis Grafik Fungsi

Fungsi Logaritma Fungsi Eksponen

Perhatikan transformasi apa yang terjadi

pada fungsi Logaritma atau Eksponen

Selesai

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau

logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah

pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi.

Misalkan = () adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik

antara lain sebagai berikut:

= ( ), grafik digeser satuan ke arah kanan.

= ( ), grafik digeser satuan ke arah kiri. Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan.

= (), grafik didilatasi dengan faktor

.

= () , grafik digeser satuan ke arah atas.

= () , grafik digeser satuan ke arah bawah. Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian.

= (), grafik didilatasi sebesar faktor .

= (), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.

= (), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.

LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi.

Apabila variabel yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya.

Contoh:

= 2+ , artinya grafik = 2 digeser ke kiri sebesar 3 satuan.

= 2 , artinya grafik = 2 diciutkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel atau fungsinya () yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya.

Contoh:

= 2 3, artinya grafik = 2 digeser ke atas sebesar 3 satuan.

= 3(2), artinya grafik = 2 direnggangkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel maupun atau () dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan.

= 2−, artinya grafik = 2 dicerminkan terhadap sumbu X = (2), artinya grafik = 2 dicerminkan terhadap sumbu Y.








Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen.

Contoh Soal 1:

Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah ….

a. = 3− 1

b. = 13

−

c. = 13

+

d. = 13

1

e. = 13

1

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen:

=

Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh:

0 =

Dengan memandang sifat logaritma ≠ 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada

sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi: =

Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh:

= ⇒ 0 =

⇔ 0 = 1 ⇔ = 1

Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah = 1.

Uji titik yang lain untuk menemukan nilai .

Grafik melalui titik (1,2), sehingga diperoleh:

= 1 ⇒ 2 = − 1

⇔ 2 =1

1

⇔ 2 1 =1

⇔ 3 =1

⇔ =1

3

Jadi, persamaan grafiknya adalah = 13

1.

2

1X

Y

O









Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < < 1.

Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok

.

Artinya

pangkat berapa gitu…

Jadi jawaban A jelas tidak tepat.

Nah, sekarang ingat grafik dari =

adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik =

ke bawah

sejauh 1 satuan di sumbu Y, artinya variabel atau () harus dikurangi 1.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah =

1.

Selesai


Grafik melewati titik (1, 2), cek (1) = 2 pada semua opsi jawaban:

A. = 3− 1 ⇒ (1) = 3− 1 ≠ 2

B. = 13

−

⇒ (1) = 13

(−)−

= 9 ⇒ () ≠ 2

C. = 13

+

⇒ (1) = 13

(−)+

= 1 ⇒ () ≠ 2

D. = 1

3

1 ⇒ (1) = 1

3

(−)

1 = 4 ⇒ () ≠ 2

E. = 13

1 ⇒ (1) = 13

−

1 = 3 1 = 2 (Jadi inilah jawaban yang benar )

3

1X

Y

O

(1, 0)

= 13







Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma.

Contoh Soal 1:

Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah ….

a. = log 2

b. = log( 2)

c. = log( 2)

d. = log 2

e.

=

log 2

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma: = log

Grafik melalui titik (1,0), sehingga diperoleh:0 = log(1)

Dengan memandang sifat logaritma log 1 = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada

sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi:

= log( )

Grafik melalui titik (1,0), sehingga diperoleh:

0 = log( 1 ) ⇒ = 1

⇔ 1 = 1

⇔ 1 1 =

⇔ 2 =

⇔ = 2

Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah = log( 2).

Uji titik yang lain untuk menemukan nilai .

Grafik melalui titik (1, 1), sehingga diperoleh:1 = log(1 2) ⇒ log 3 = 1

⇔ = 3

⇔ = 3

Jadi, persamaan grafiknya adalah = log( 2).


Grafik logaritma monoton naik, berarti > 1.

Dan ternyata tepat, nilai lebih dari 1. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan

pokok 3. Artinya semuanya log( )

Nah, sekarang ingat grafik dari = log adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari

grafik = log ke kiri sejauh 2 satuan di sumbu X,

artinya variabel harus ditambah 2.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah = log( 2).

Selesai


Grafik melewati titik (1, 1), cek (1) = 1 pada semua opsi jawaban:A. () = log2 ⇒ (1) = log2 ≠ 1

B. () = log( 2) ⇒ (1) = log(1) ≠ 1

C.

() = log( 2) ⇒ (1) = log3 = 1 (Jadi inilah jawaban yang benar )

D. () = log 2 ⇒ (1) = log1 2 ≠ 1

E. () = log 2 ⇒ (1) = log1 2 ≠ 1

(1, 0) 1

1 7

2

X

O

1

3 9

2

X

Y

O 1

Y

= log









1. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. 12)(

x x f

B. 12)( x x f

C. x x f log)( 2

D.

)1log()( 2

x x f E. 22)(

x x f

2. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....

A. x x f 3)(

B.

1

3)(

x

x f C. 13)(

x x f

D. 13)( x x f

E. 13)( x x f

3.

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. x x f 2)(

B. 12)(

x x f

C. 223)(

x x f

D. 13)(

x x f

E. 23)(

x x f

4. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. x x f 2)(

B. 12)(

x x f

C. 12)( x x f

D. 13)( x x f

E. x x f 3)(







Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT:

Grafik tersebut adalah grafik

eksponen yang didapatkan

dari hasil pergeseran pada

sumbu Y untuk grafik = 2

Jadi grafik tersebut adalah =2 1

TRIK SUPERKILAT:

Grafik tersebut adalah grafik eksponenyang didapatkan dari hasil pergeseran

pada sumbu Y untuk grafik = 3

Jadi grafik tersebut adalah = 3 1

TRIK SUPERKILAT:

Grafik tersebut adalah grafik eksponen

yang didapatkan dari hasil pergeseran

pada sumbu X untuk grafik = 3

Jadi grafik tersebut adalah = 3−

TRIK SUPERKILAT:

Grafik tersebut adalah grafik eksponen

yang didapatkan dari hasil pergeseran

pada sumbu Y untuk grafik = 2

Jadi grafik tersebut adalah = 2 1

Y

X-1 0 1 2 3

3

2

1

(0, 2)

(1, 3)

y

x

2 3

3

1

Y

X-3 -2 -1 0 1 2 3

4

2

10

Y

X1 2 3

3

2

1

-3

-2

-1

(2, 3)

(1, 1)

(-1, -2

1)

2

1














2. 16. Menyelesaikan masalah deret aritmetika.

Deret Aritmetika

Barisan Bilangan Deret Bilangan, , , … , = …

Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

= 1 = 2 2 1

= 2

Hubungan dan

= −

Keterangan:

= suku ke- = jumlah suku pertama = suku pertama = beda = banyaknya suku








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara dan, maupun beda suku barisan.

Suku depan diintegralkan,jumlah koefisien dan harus sama.

Suku depan diturunkan,jumlah koefisien dan harus sama.

Koefisien Koefisien

suku depan suku depanambil aja dikali dua

beda beda

Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini,maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan

kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu

(suku ke-), dan (jumlah n suku pertama).

Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh:

= 1= =

dan

= 2 1

= 2

= −

Kesimpulan

Dari konsep = 1 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk =

Lho ini kan integral Berarti ini turunan

Dari konsep = 2 1 akan menghasilkan sebuah formula berbentuk =

−

Untuk suku pertama berlaku = ⇒ = −

.

Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga

membuktikan bahwa jumlah koefisien baik maupun adalah sama.

Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari

Dari konsep = 1 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk =

Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dikalikan 2.

Dari konsep = 2 1 akan menghasilkan sebuah formula berbentuk =

−







Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan jika diketahui:

Jumlah suku pertama jika diketahui = 2 1 adalah ….

Langkah logika praktis:

diperoleh dari integral 2.

Perhatikan jumlah koefisiennya adalah 2 1 = 3, sementara = sesuatu.Karena jumlah koefisien dan harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2.

Jadi = 2.

SELESAI.

Menentukan

jika diketahui

:

Rumus suku ke- jika diketahui = 3 5 adalah ….


6 diperoleh dari turunan 3.Perhatikan jumlah koefisiennya adalah 3 5 = 8, sementara = 6 sesuatu.

Karena jumlah koefisien dan harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2.

Jadi = 2.

SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui :

Jika diketahui = 2 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah ….


Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel pangkat terbesar), yaitu2.Koefisien tersebut ambil aja.

Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3.

SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui :

Jika diketahui = 3 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah …


Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel pangkat terbesar), yaitu 3.Koefisien tersebut kalikan dua.

Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3 × 2 = 6.

SELESAI.








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika

Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika,

maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan:

=

Bukti:

= …………..1

= …………..2

Dengan mengeliminasi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui = 19 dan = 28, beda barisan aritmetika tersebut adalah = −− =

= 3.


Beda adalah suku besar kurangi suku kecil,lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil.

Atau

Selisih suku dibagi selisih indeks suku.

SELESAI.

Menentukan suku ke-

jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui = 24 dan = 54, tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut!


Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi.Jadi, = 7

= 54 7 −−

= 54 76= 54 42= 96

SELESAI.







Menentukan suku ke- jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih

indeksnya sama:



Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13.

Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 13 8 = 8 3, yaitu sama-sama berselisih 5.

Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama!Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3.Jadi, =

= 54 5424= 54 30= 84

Atau

24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84.

SELESAI.

Menentukan suku ke- jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih

indeksnya berkelipatan.




Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan?

Selisih dari 1 4 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 2 adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3.

Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali

lebih besar!Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2.Jadi, = 3

= 45 34515= 45 90= 135

SELESAI.

Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku.

Jika diketahui = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut!


Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6.

Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi!1 5 6

3 = 4

Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut.

Jadi, = ++

= = 15

SELESAI.









1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A. 30

B. 34

C. 38

D.

42E. 46

2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .3

2nnS

n Suku ke-20 deret aritmetika

tersebut adalah ....

A. 30

B. 34C. 38D. 42

E. 46

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .

2

3

2

5 2nnS

n Suku ke-10 dari deret


A. 49

B. 472

1

C. 35

D. 332

1

E. 29

4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .52

nnS n

Suku ke-20 dari deret


A. 44

B. 44C. 40

D. 38

E. 36

5.

Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah

keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....

A. Rp1.740.000,00B. Rp1.750.000,00

C. Rp1.840.000,00

D. Rp1.950.000,00E. Rp2.000.000,00

TRIK SUPERKILAT 1:

=

= 29 8 49 8

= 217 4

= 38

= 46.000,00 = 18.000,00 = ? =

2 2 1

= 122 246 1118 dalam ribuan rupiah

= 692 198= 6290

= 1.740

TRIK SUPERKILAT 1:

=

= 20 19 320 19

= 39 3

= 42

TRIK SUPERKILAT 1:

=

= 52 10 9 3

2 10 9

= 952 3

2

= 49

TRIK SUPERKILAT 1:

=

= 20 19 520 19

= 39 5

= 44

TRIK SUPERKILAT 2:

= 2 4 ⇒ = 4 2 = 4 2

= 49 2

= 36 2 = 38

TRIK SUPERKILAT 2:

= 3 ⇒ = 2 2 = 2 2

= 220 2

= 40 2

= 42

TRIK SUPERKILAT 2:

= 52 3

2 ⇒ = 5 1 = 5 1

= 510 1

= 50 1

= 49

TRIK SUPERKILAT 2:

= 5 ⇒ = 2 4 = 2 4

= 220 4

= 40 4

= 44

TRIK SUPERKILAT:

= 18.000 28.000 ⇒ = 9.000 37.000 = 9.00012 37.00012

= 9.000144 444.000

= 1.296.000 444.000

= 1.740.000







6. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00.

Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yangditerima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ....

A. Rp25.800.000,00

B. Rp25.200.000,00

C.

Rp25.000.000,00

D. Rp18.800.000,00

E. Rp18.000.000,00

7. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi

turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16adalah ....

A. 45.760

B. 45.000C. 16.960

D. 16.000

E. 19.760







Pak Anang.

= 1.600.000,00 = 200.000,00 = ?

= 2 2 1

= 102 21.600 9200 dalam ribuan rupiah

= 53.200 1.800

= 55.000= Rp25.000

= 1.960 = 120 = ?

= 2 2 1

= 162 (21.960 15120)

= 83.920 1.800= 82.120= 16.960















2. 17. Menyelesaikan masalah deret geometri.

Deret Geometri

Barisan Bilangan Deret Bilangan, , , … , = + + + … +

Barisan Geometri Deret Geometri

= −

= (1)

1 ,|

| > 1 = (1)1 , || < 1

Deret Geometri

Tak Hingga

∞ = 1

Hubungan dan = −

Keterangan:

= suku ke- = jumlah suku pertama

∞ = jumlah deret geometri tak hingga = suku pertama = rasio = banyaknya suku







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri

Jika diketahui dua suku pada barisan geometri,

maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:

=

Bukti:

= − …………..1 = − …………..2

Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh:

= −− ⇒ = −−−

⇔ = −−

⇔ = −⇔ =

Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama.

Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama

Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama.

Bukti:

Dari rumus suku ke-n = − diperoleh: = = =

Rasio dan adalah =

=

Rasio dan adalah =

=

Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama,

maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.









Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:

Jika diketahui = 16 dan = 256, rasio barisan geometri tersebut adalah ….


= = 25616 = √ 16 = 2

Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil,

lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil.

Atau

Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku.

SELESAI.

Menentukan suku ke- jika diketahui dua suku dari barisan geometri:



Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.

= = 25616 = √ 16 = 2

Jadi,

= ×

= 256 × 2= 256 × 4= 1024

SELESAI.

Menentukan suku ke- jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih

indeksnya sama:

Jika diketahui

= 6 dan

= 24, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut!



Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 4 = 4 2, yaitu sama-sama berselisih 2.

Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama!

Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.

Jadi, = × = 24 × = 96

Atau

6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96.

SELESAI.







Menentukan suku ke- jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih

indeksnya berkelipatan.




Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan?

Selisih dari 1 1 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 2 adalah 3.Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat2 lebih besar!

Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.

Jadi, = ×

= 45 × 3 = 45 × 33= 45 × 27= 1215

SELESAI.








TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga

Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan maka lintasan yang

ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:

∞ = +

Bukti:

Perhatikan gambar lintasan bola berikut:

dst …

Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut:

Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan , sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh , sehinggadiperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:

∞ = 1 + 1 = 1 + 1

Misal = , maka diperoleh:

∞ = 1 + 1 = + = + = +

Jadi, ∞ = +


Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian

sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah …. Langkah logika praktis:

Misal = = , maka = 2 dan = 3;

Ketinggian awal bola, = 10 m.

Jadi, ∞ = + = 10 3 + 23 2

= 10 ∙ 5= 50 m

SELESAI.








1. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah

3

1 dan rasio

3

1 , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut

adalah ....

A. 27B. 9

C.

27

1

D. 81

1

E. 243

1

2. Barisan geometri dengan 384U

7 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....

A. 1.920

B. 3.072

C.

4.052D. 4.608

E. 6.144

3. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama

deret tersebut adalah ....

A. 500B.

504

C. 508

D. 512

E. 516







Pak Anang.

= 1

3 =

= 13 = ? = = = 13 13 = 13 = 1243

= 16 = = 256 = = ? = 25616 ⇒

= 16 ⇒ = 16 ⇒ = 2

= 16 ⇒ = 16 ⇒ 4 = 16 ⇒ = 4

= 1 1

= 4128 12 1= 4127= 508

= = 384

= 2 = ? = = = 3842 = 384 ∙ 8 = 3.072















SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.

3. 1. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek titik, garis dan bidang) di ruang.

Dimensi Tiga

Garis Tegak Lurus Bidang

jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang

“minimal dua garis saja”

Jarak Sudut

Titik dan “ esuatu” Selain Titik dan“ esuatu”

Syarat keduanya harus sejajar

Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis

“

berupa garis

lurus”

“harus tegak lurus”

“sudut terkecil”

Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang

“harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut garis dengan proyeksinya”

Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang

“harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut dua garis ⊥ garis potong”







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga

Pada kubus ABCD.EFGH berlaku:

Misal sisi kubus adalah cm,

Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:

Diagonal sisi kubus = √ cm.

Diagonal ruang kubus adalah = √ cm.

Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titikpotong diagonal sisi atas adalah P,

maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:

Ruas garis = = √ cm.

Serta akan diperoleh ⊥ dan ∥ .

Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita

bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjaditiga bagian yang sama panjang yaitu:

= = = = √ cm.

Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis

diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola darigaris diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya.

Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik.Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya.

Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor?

Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!

A B

CD

E F

GH

O

P

A B

C

D

EF

GH

O

P

A C

GE

O

P

Q

R

Q

R








LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras?Asyik….! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga

siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yangtelah adik-adik dapatkan di sekolah.

Oke kita mulai trik menghafalnya dulu…. Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: = + , dengan catatan pada gambar tersebut sisi adalah sisi terpendek!

Seumpama diubah menjadi = − , ‘kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja!

Perhatikan: = − ⇒ = + − ⏟arilah

bilangan

yang

selisihnya

satu

Jadi disini kita mencari dua bilangan , yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan

kuadrat sisi terpendek!

Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

8 15 17

Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.

Contoh:

Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.

Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari

tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.

Jadi, sisi miringnya adalah 2 × 1 3 = 2 6 cm.

Selesai!

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras

Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebutdengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!Contoh:3 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.

Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

5 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,

sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

4

5 5

12

13

10

24

5

12







LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar:

Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?

Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.

Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????

Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku

adalah , maka nilai bisa ditentukan oleh: = (√

) + (√ )

⇒ =

+

⇒ = + ⇒ = √ + ⇒ = √ +

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar √ √ √ +

Contoh:

Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga

Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:

Perhatikan ∆, = cm dan = √ 2 cm, maka:

= cm = √ 4 cm. = √ 2 cm

Jelas bahwa panjang = 12 √ 6 cm.

√

√

√ +

bilangannya harus sama,

kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

√ √

4√ 4

4√ 9

4√ 138

12

Cari FPB dari 12 dan 8.

FPBnya adalah 4.

Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.

Artinya 1 2 = 4√ 9 dan 8 = 4√ 4,

Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√ 9 + 4 = 4√ 13

A B

D

EF

GH

O

P

C

12 √ 4

12 √ 2 E

A

P








KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:

Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat

garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan

konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.

Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara

kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisadiselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep

Kesebangunan kelas IX SMP.

Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :)

Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..












1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P

dengan garis HB adalah ....

A. 8 5 cm

B. 6 5 cm

C.

6 3

cmD. 6 2 cm

E. 6 cm

2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....

A. 33

1 cm

B. 33

2 cm

C. 33

4 cm

D. 33

8 cm

E. 33

16 cm

A

B

E F

H G

B

D C

P

12 cm

12 cm

C

P

B 12 cm

6 cm

PB = BC + PC = 12 + 6 = √ 144+36 = √ 180 = 6√5 cm

BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis

miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.

BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua

sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).

BH adalah diagonal ruang,

B H = 1 2√ 3 cm.

Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi

P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjangBP = P H = 6√ 3 cm.

Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP.

PB

6√ 5 cm

6√ 5 cm

P

P

PP = BP − BP

= (6√5) − (6√ 3

)

= √ 180−108 = √ 72 = 6√ 2 cm

A B

E F

H G

B

D C

8 cm

8 cm

A P

E

4√ 2 cm

8 cm

EP = EA + AP

= 8 + (4√ 2)

= √ 64+32 = √ 96 = √ 16√ 6= 4√ 6 cm

Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.

Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang

tersebut adalah bidang diagonal ACGE.

Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan

membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.

Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E.Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke

E’.

Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena

EP = GP = 4√ 6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√ 2 cm.

E P

A C

GE

P

E

Perhatikan sudut EGP

sin∠= =

⇒ = ∙

= 84√ 6 × 8√ 2

= 163 √ 3 cm

P

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan bidang diagonal ACGE

EC adalah diagonal ruang, sehingga = 8√ 3 cm

Jadi,

= 23 = 23 8√ 3 = 163 √ 3 cm

A C

GE

P

E

P

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan garis PP’. Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. = 12√ 2 cmTapi panjangnya PP’ cuma separuh dari AC.Jadi,

= 12 12√ 2 = 6√ 2 cm








3. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak

23 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....

A. 33

1

B. 2

C. 3

D. 22

E. 32

4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai

tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....

A. 24

1

B. 22

1

C. 23

2

D.

2 E. 22

5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara

garis TC dan bidang ABC adalah ....

A. 36

1

B. 23

1

C. 33

1

D. 22

1

E.

32

1

P

Q R

ST

3 cm

3 cm

3√ 2 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS.TR = QS = 3√ 2 cm.

Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P. Dimana P terletak di

perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh

garis PT dengan TR (∠PTR).

Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih

mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku

tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)

P

P

T P

3√ 2 cm

32 √ 2 cm

PP = PT − TP = (3√2) − 32 √2 = 18 − 92 = 272 = 3√ 3√ 2 = 32 √6 cm

Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:

tan∠PT ,QRST = PPTP = 32 √ 63

2√ 2 = √3

√ 2 cm

T

A B

CD

2 cm

2 cm

√ 3 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√ 2 cm.

Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T terletak

di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang

dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).

Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku

TDT’, maka

akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakansegitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’)T

T

D T

√ 3 cm

TT = TD − DT = (√3) −(√2) = √3 − 2 = 1 cm

Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:

tan∠TD ,ABCD = TTDT = 1√ 2 = 12 √2

3 cm

Alas limas bentuknya segitiga

dengan sisi 6 cm. Dan semua

sisi limas adalah segitiga sama

sisi dengan rusuk 6 cm.

Perhatikan jika T’ adalahproyeksi T pada alas ABC

dan D adalah titik tengahAB, maka CD adalah ruasgaris yang melewati T’.

Perhatikan segitiga CDT, karena TT’tegak lurus CD, maka bidang CDT

tegak lurus bidang ABC.

Karena TC berada di CDT dan CDT

tegak lurus ABC, maka sudut yang

dibentuk oleh garis TC dan bidangABC adalah sudut antara garis TC

dan ruas garis CD.

T

B D

6 cm

C

A

B

T

T’ D

6 cm

6 cm6 cm

C

D

T

6 cm

3√ 3 cm

TD = TB − BD= 6 − 3=√27=3√3 cm

3√ 3 cm

3√ 3 cm

cos∠TC ,ABC = TC + DC − TD2 ∙ T C ∙ D C

= 6

+ (3√ 3)

− (3√ 3)

2 ∙ 6 ∙ ( 3√ 3)= 3636√ 3= 13 √3







6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .

Nilai sin = ....

A. 22

1

B. 32

1

C. 3

3

1

D. 23

2

E. 34

3







Pak Anang.

Kubus rusuk 4 cm.

EG adalah diagonal sisi,

maka EG = 4√ 2 cm.

Karena P perpotongan

diagonal sisi atas, maka

= ⇒ = 2√ 2 cm

Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna

biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa

dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.

P

A

4

cm

2√ 2 cm AP = AE + EP= 4 +(2√2)= √ 1 6 + 8=√24= 2√6 cm

Jika sudut antara AE dan AFH adalah dan ∆ siku-siku di , maka

s i n = ⇒ s i n = = 2√ 22√ 6= 1√ 3= 13 √3

A B

E F

H G

D C

4 cm

4 cm

PE















Pengantar Konsep Dasar Trigonometri

Segitiga Siku-Siku

dan

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras

= +

Tripel Pythagoras

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41dst …

8 15 17

20 21 29

Teorema Pythagoras“Bentuk Akar”

Tripel Pythagoras

“Bentuk kar”

√ √ √ +

√

√

√ +







Definisi

Perbandingan Trigonometri

Segitiga Siku-Siku

Sinus Kosinus Tangen

sin = sisi depansisi miring cos = sisi sampingsisi miring tan = sisi depansisi samping

DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN

Identitas Trigonometri

Kebalikan Perbandingan Pythagoras

sec = 1coscsc = 1sin

cot = 1tan

SEC = SEper Cos

tan =

TAN A adalah

SINA DIPERKOSA

Ingat teorema Phytagoras: + = ⇒

+ =

⇔ + = 1

Jadi,

sin + cos = 1tan + 1 = sec 1 + cot = csc

sa

mi

de

mi

de

sa

sisi Samping

sisi Miring sisi Depan

sudut

dibagi

dibagi








Nilai Perbandingan Trigonometri

Sudut Istimewa Kuadran I

Segitiga Sama Sisi Persegi Segitiga Tripel Pythagoras

“Sudut 30° dan 60°” “Sudut 45°” “Sudut diapit sisi 5 dan 3 adalah 53°”

Sudut Istimewa Kuadran I Sudut Istimewa Pythagoras

sin30° = 12cos30° = √ 32tan30° = √ 31

sin60° = √ 32cos60° = 12tan60° = 1√ 3

sin45° = 1√ 2cos45° = 1√ 2tan45° = 11

sin37° = 35cos37° = 45tan37° = 34

sin53° = 45cos53° = 35tan53° = 43

Trik Menghafalkan Cepat , urutannya

√ s/d

√ Trik Menghafal, gambarkan segitiga 3 4 5.

Tabel Nilai Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri

0° 12 √ 37°

35

45

34

30° 1

2√ 53°

4

5

3

5

4

3

45° 12 √

60° 12 √

90° 12 √

3

4

5

1

1

2

4

5

1

1 √ 2 3

53°

37° 45°

45°

2

2

60° 60°

60°

1

2 √ 3

30°

60°








Tabel Nilai Trigonometri

0° 0 1 0

30° 12

12 √3 13 √3

45° 12 √2

12 √2 1

60° 12 √3

12 √3

90°

1 0

−

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi

Periksa Sudut sin = sin□ + ∙ °

180°−

Pilih Acuan cos = cos□ + ∙ °

Genap Ganjil − 180°±α 90° ± 360°−α 270°± tan = tan□ + ∙ °

SEMUA SINdikat

TANgan KOSong Fungsi

Fungsi Berubah dimana bilangan bulat

Tetap sin

↔ cos

tan ↔ cot

GrafikCek Kuadransin Tanda ±

Selesaicos

tan Relasi Sudut Negatif

sin− = −sin cos− = cos tan− = −tan

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran Iuadran II

Kuadran IVuadran III

Semuain

tan cos

Persamaan Trigonometri

sin = sin ⇒ = □ + ∙ °

180°−

cos = cos ⇒ = □ + ∙ °

−

tan = tan ⇒ = □ + ∙ °

dimana bilangan bulat

360°

360°

360°









Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

adalah sisi di depan sudut adalah sisi di depan sudut adalah sisi di depan sudut

Aturan Sinus dan

Aturan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“ da pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi

–

sudut

–

sudut

(diketahui satu sisi dan

dua sudut)

sisi

–

sisi

–

sudut

(diketahui dua sisi dan

satu sudut di depannya)

sisi

–

sudut

–

sisi


sudut yang diapitnya)

sisi

–

sisi

–

sisi

(diketahui ketiga sisi

segitiga)

sin = sin = sin

= + − 2 cos

⇒ cos = + − 2

Luas Segitiga

alas

–

tinggi

= 12 ×

sisi

–

sudut

–

sisi

= 12 sin

satu sisi dan semua sudut

= 12 sinsinsin

sisi

–

sisi

–

sisi

= − − −

dimana = + +

sin =

⇒ = sin

asinA = bsinB

⇒ = sinsin

?

?

?

?







Luas Segitiga

sisi – sudut– sisi

= 12 sin

Luas Segi-n Beraturan

Misal segidelapan beraturan.

Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar° = 45° .

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling

Segi-n Beraturan

sudut pusat

= °

= ∙ 12 sin360°

= 2 1− cos°

360°








Trigonometri Kelas XI IPA

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut , , dan (– ).

Diperoleh dua segitigayaitu, ∆ dan ∆ dengan ∠ = ∠

sehingga, =

Dengan membuktikan = , diperoleh: + = −

− diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif( + −) +

dan − diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I


sin ± = sin cos ± cos sin cos ± = cos cos ∓ sin sin

Substitusi = Eliminasi + = + dengan −

+ =

+ dengan

−

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap KosinusSin 2 = 2sin cos cos2 = cos − sin + 2

− 2

Substitusi identitas trigonometri

+

=

+

2

− −2Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadratcos 2 = 1 − 2 sin cos2 = 2cos − 1

Trigonometri Setengah SudutSinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut

sin = 1−cos22 cos = 1 + cos 22

12 ⊕ 12 ⊖

⊕ ⊖

−

Khusus untuk tan ± ,tangen sudut rangkap dan

tangen setengah sudut,

cukup gunakan sifat identitas

“TAN A = SIN DIPERKOS ”







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri.

Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN

Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat padasetiap pokok bahasan.

Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga

adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokokbahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan

konsep dasar Trigonometri…

Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara MudahMenghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera….:)

Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html

untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini… :)







Pak Anang.




http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html















SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.

4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.


Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

adalah sisi di depan sudut adalah sisi di depan sudut adalah sisi di depan sudut

Aturan Sinus dan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“ da dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi – sudut– sudut

(diketahui satu sisi dan

dua sudut)

sisi – sisi– sudut


satu sudut di depannya)



sudut yang diapitnya)

sisi – sisi– sisi

(diketahui ketiga sisi

segitiga)

sin = sin = sin

= + 2 cos

⇒ cos = + 2

Luas Segitiga

alas – tinggi

= 12 ×


= 12 sin


= 12 sinsinsin


=

dimana = + +

sin =

⇒ = sin

asinA = bsinB

⇒ = sinsin

?

?

?

?







Luas Segitiga


= 12 sin

Luas Segi-n Beraturan

Misal segidelapan beraturan.

Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar° = 45° .

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling

Segi-n Beraturan

sudut pusat

= °

= ∙ 12 sin360°

= 2 1 cos°

360°








LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:

Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah

segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:

Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah

harus menggunakan aturan kosinus.

Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:

- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus.

- Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:o

Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat

sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.

o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu

sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang

berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalumenggunakan sifat sudut segitiga 180°)

Atau bisa digambarkan seperti berikut:

Periksa jumlah komponen

yang diketahui dan ditanyakan

3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut

Periksa!

Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan

sisi dan sudut tersebut

saling berhadapan

Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan

Periksa!

Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut

yang diketahui

Dua sudut Satu sudut

Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinusgunakan aturan sinus dilanjutkan dengan

aturan sinus








Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Contoh Soal:

Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah!

Panjang BC adalah …. a.

4√ 2 cm

b. 6√ 2 cm

c. 7√ 3 cm

d. 5√ 6 cm

e. 7√ 6 cm

Penyelesaian:

Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus.

Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.

Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga.

1.

∆ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut.

2. ∆ dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.

Nah, ternyata ∆ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus

bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga!

Sekarang amati ∆ ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆ tepat diketahui

minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang terlebih dahulu.

Perhatikan ∆,

Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi . 2 sisi dan 2 sudut)

Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan?

Ya! Maka pada

∆ berlaku aturan sinus:

sin = sin ⇒ = sin × sin= 10sin45° ×sin30°= 1012 √ 2 × 12= 10√ 2

= 10√ 2 × √ 2√ 2 rasionalisasi penyebut bentuk akar= 10 √ 22= 5√ 2 cmNah, sekarang perhatikan ∆,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi . 3 sisi dan 1 sudut)

Pasti berlaku aturan kosinus pada

∆:

=

+

2 cos = ( 10√ 2

) + (5√ 2) 2 (10√ 2)(5√ 2) cos60= 200 + 50 200 ∙ 12= 250100= 150 cm

Jadi, = √150 = √25√ 6 = 5√ 6 cm

D

A

C30° 45°

?

AB

C

60°

10√ 2 cm

5√ 2 cm

?

D

AB

C

60°10√ 2 cm

30° 45°








Menentukan luas segi-n beraturan.

Contoh Soal:

Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2

b. 172 cm2 c. 162 cm2

d. 148 cm2

e.

144 cm2

Penyelesaian:

Ingat luas segitiga:


= 12 sin

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga

penyusun segi-12 beraturan tersebut.

Perhatikan ∆,∆ = 12 sin ∠= 1

2∙ 8 ∙ 8 ∙ s i n 3 0 °

= 32 ∙ 12= 16 cm2

Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:− = 12 × ∆= 12 ∙ 16= 192 cm2


Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar

adalah:

− = ∙ 12 sin 360° = 12∙ 12 ∙ 8 ∙ sin30° = 192 cm 2

8 8

O

AB







Menentukan keliling segi-n beraturan.

Contoh Soal:

Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 96 2 + √ 3 cm

b. 96 2 √ 3 cm

c.

8 2 + √ 3cm

d. 8 2 √ 3 cm

e. 128 √ 3 cm

Penyelesaian:

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada

salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi .

Perhatikan ∆,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi . 3 sisi dan 1 sudut)

Pasti berlaku aturan kosinus:

=

+

2 cos= 8 + 8 2 88 cos30= 64 + 64 128 ∙ 12 √ 3= 128 64√ 3 cm

Jadi,

= 12864√ 3 cm Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah

− = 12 × = 12 12864√ 3 cm= 12 × √ 64 2 √ 3 cm= 12 × 8 2 √ 3 cm= 96 2 √ 3 cm


Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar

adalah:

− = 21 c o s = 12 ∙ 8 ∙ 2 1 12 √ 3 = 96 2 √ 3 cm

=

8 = 8

O

AB








Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Contoh Soal:

Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

panjang rusuk = 6 cm, = 3√ 7 cm, dan = 3 cm.Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …. a. 55√ 2 cm3

b.

60√ 2 cm3

c. 75√ 3 cm3

d. 90√ 3 cm3

e.

120√ 3 cm3

Penyelesaian:

Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:

Perhatikan ∆,

Ingat lagi tentang luas segitiga,

alas – tinggi

= 12 ×


= 12 sin


= 12 sinsinsin


=

dimana = + +

Ternyata kita bisa menggunakan rumus = .

Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.

Pilih saja rumus luas segitiga yang

= sin

, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari

segitiga tersebut.

Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠), dengan diketahui 3 sisi segitiga. 3 sisi dan 1 sudut)

Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu: = + 2 cos

FD

E

B

CA

FD

E

B

CA

A

B

C

6 cm

3 cm

3√ 7 cm







Sehingga,

= + 2 cos ⇒ cos = + 2 ∙ ∙ = 6 + (3√ 7

) 326(3√ 7)

= 36 + 63 9

36√ 7= 9036√ 7= 52√ 7

Jadi,cos = 52√ 7

Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,

Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠,

sin = √ 32√ 7

Dari nilai sinus ∠ dan panjang sisi dan dan rumus luas segitiga = sin diperoleh luas

segitiga

, yaitu:

∆ = 12 sin ∠= 12 6(3√ 7) √ 32√ 7= 92 √ 3 cm2

Jadi, volum prisma tersebut adalah:

= × = ∆ ×= 92 √ 3 × 20= 90√ 3 cm3

B

5

2√ 7 √ 3









1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka

luas segienam beraturan tersebut adalah ....

A. 150 satuan luas

B. 2150 satuan luas

C. 3150 satuan luas

D.

300 satuan luas

E. 2300 satuan luas

2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....

A. 06 22 cm

B. 12 22 cm

C. 36 22 cm

D. 48 22 cm

E. 72 22 cm

3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....

A. 96 32 cm

B. 96 32 cm

C. 8 32 cm

D. 8 32 cm

E. 3128 cm

4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....

A. 3432 cm

B. 432

cmC. 3216 cm

D. 2216 cm

E. 216 cm







Pak Anang.

− = 2 sin 360°

⇒ − = 62 10

sin360°

6= 3 ∙ 100 ∙ sin60°= 300 ∙ 12 √ 3= 150√ 3

TRIK SUPERKILAT:

Karena bangunnya adalah segienam, berarti

sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari

lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa

bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat√ 3 yang berasal dari nilai sin60°. Dari sini

tanpa menghitung kita akan tahu bahwa

jawaban yang benar hanya C saja.

= + 2 ∙ ∙ ∙ cos 360°

− = ∙ = ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ cos 360°

= ∙ 2 1 cos 360° ⇒ − = 8 ∙ 6 2 1 12 √ 2 = 48 2 √ 2 cm

6 6

= 12 ∙ 12 ∙ ∙ sin 212 ⇒ 192 = 3 ⇒ = 64 ⇒ = 8 cm

=

+

2 ∙ ∙ ∙ cos360°

− = ∙ = ∙ + 2∙ ∙ ∙ cos 360° = ∙ 2 1 cos 360° ⇒ − = 12 ∙ 6 2 1 12 √ 3

= 96 2 √ 3 cm

8 8

Karena bangun

segienam, maka

segitiga yangterbentuk adalah

segitiga sama sisi.

Akibatnya semua sisi

segitiga adalah 12 cm.12

12 12

− = 2

sin360°

⇒ − = 62 12 sin 360°6= 3 ∙ 144 ∙ sin60°= 432 ∙ 12 √ 3= 216√ 3 cm

TRIK SUPERKILAT:

Karena segienam, berarti sudut

pusatnya 60°, sementara jari-jarilingkaran luar adalah bilangan

bulat tanpa bentuk akar, jadi

jawabannya pasti memuat √ 3

yang berasal dari nilai sin60°. Dari

sini tanpa menghitung kita akan

tahu bahwa jawaban yang benar

hanya A atau C saja.














4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri.


Tabel Nilai Trigonometri

0° 0 1 0

30° 12

12 √3

13 √3

45° 12 √2

12 √2 1

60° 12 √3

12 √3

90° 1 0 −

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi

Periksa Sudut sin = sin(□ + ∙ °)

(180°−) Pilih Acuancos = cos(□ + ∙ °)

Genap Ganjil (−)

180°±α 90° ± 360°−α 270°± tan = tan(□ + ∙ °)

SEMUA SINdikat

TANgan KOSong Fungsi

Fungsi Berubah dimana bilangan bulat

Tetap sin ↔ costan ↔ cot

GrafikCek Kuadran

sin Tanda ±

Selesai

cos

tan Relasi Sudut Negatif

sin(−) = −sin cos(−) = cos tan(−) = −tan

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran Iuadran II

Kuadran IVuadran III

Semuain

tan cos


sin = sin ⇒ = □ + ∙ °

(180° −)

cos = cos ⇒ = □ + ∙ °

(−)

tan = tan ⇒ = □ + ∙ °


360°

360°

360°








LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:

o Jika ada persamaan sin = sin , maka penyelesaiannya

adalah:

= + ∙ 360° = ( 180° − ) + ∙ 360°

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya

adalah:

x = + ∙ 360°x = ( −α) + ∙ 360°

o Jika ada persamaan tanx = tanα, maka penyelesaiannya

adalah:

x = + ∙ 180°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakanidentitas trigonometri pada persamaan awal pada soal.

Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah:

Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari:

Persamaan Awal pada Soal

Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana

sin = sin cos = cos tan = tan

Cari Himpunan Penyelesaian


Sederhana

sin = sin ⇒ = □ + ∙ °

(180° −)

cos = cos ⇒ = □ + ∙ °

(−)

tan = tan ⇒ = □ + ∙ °


cos4 − cos2 = −1

⇒ ( 2cos 2 − 1) − cos2 = −1⇔ 2 cos 2 − cos 2 − 1 = −1⇔ 2 cos 2 − cos2 = 0⇔ cos 2 (2 cos 2 − 1) = 0

⇔ cos2 = 0 atau cos2 =

Jadi, untuk cos2 = 0 = cos 90°, maka

2 = 90° + ∙ 360° ⇒ = 45° + ∙ 180° 2 = −90° + ∙ 360° ⇒ = −45° + ∙ 180°

Jadi, untuk cos2 = = cos 60° , maka

2 = 60° + ∙ 360° ⇒ = 30° + ∙ 180°

2 = −60° + ∙ 360° ⇒ = −30° + ∙ 180°

Dst… dst…. Sehingga akan diperolehhimpunan nilai yang memenuhi

persamaan trigonometri tersebut.







LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:

Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah

menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai

perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk

periode tertentu.

Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilaisinus sama dengan 1?

Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk:

sin = 1 = sin90° ⇒ = 90°

Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan pahamtentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa

ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin90°.

Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai

periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus samadengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih

banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya?

Perhatikan gambar di atas.

Grafik sinus berulang-ulang naik turun,

seperti huruf “S” tidur terbalik.

Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “

Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I

adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II.

Jadi,

sin = sin ⇒ = □ + ∙ °

(180°−)

Grafik kosinus berulang-

ulang turun naik seperti huruf “ ” tidur.

Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “

Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I

adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV.(karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah

kiri kuadran I juga positif, kan ya?).

Jadi,

cos = cos ⇒ = □ + ∙ °

(−)

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°.

Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan

berulang-ulang setiap 180°.

Jadi,

tan = tan ⇒ = □ + ∙ °

Grafik

Daerah kuadran bernilai positif

360°

360°

360°

periode

periode

periode









Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri.

Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari cos 4 − cos 2 = −1 ; 0 ≤ ≤ 360° adalah …. a. {30°,45°,135°,150°,210°,225°,315°,330° } b. {30°,60°,135°,180°,210°,225°,300°,330° }

c. {0°,30°,135°,150°,210°,225°,300°,330° }

d. {30°,45°,120°,135°,210°,225°,300° }

e. {30°,45°,135°,150°,240°,225°,315° }

Penyelesaian:

cos 4 − cos 2 = −1⇒ ( 2cos 2 − 1) − cos 2 = −1⇔ 2 cos 2 − cos 2 − 1 = −1⇔ 2 cos 2 − cos 2 = 0⇔ cos 2 (2 cos 2 − 1) = 0

⇔ cos2 = 0 atau cos2 =

Jadi, untuk cos 2 = 0 = cos 90°, maka

2 = 90° + ∙ 360° ⇒ = 45° + ∙ 180° untuk = 0 ⇒ = 45°

untuk = 1 ⇒ = 225° 2 = −90° + ∙ 360° ⇒ = −45° + ∙ 180°

untuk = 1 ⇒ = 225° untuk = 2 ⇒ = 315°

Jadi, untuk cos2 = = cos60° , maka

2 = 60° + ∙ 360° ⇒ = 30° + ∙ 180° untuk = 0 ⇒ = 30°

untuk = 1 ⇒ = 210°

2 = −60° + ∙ 360° ⇒ = −30° + ∙ 180°

untuk = 1 ⇒ = 150° untuk = 2 ⇒ = 330°

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°,45°,135°,150°,210°,225°,315°,330° }.








1. Himpunan penyelesaian persamaan 1cos22cos x x ; π20 x adalah ....

A. {0, π,

2

1π,

2

32π }

B. {0, π,

2

1π,

3

22π }

C. {0, π,

2

1π, π,

2

3}

D. {0, π,

2

1π

3

2}

E. {0, π,

2

1π }

2. Himpunan penyelesaian persamaan 12sin34cos x x ; 1800 x adalah ....

A. }150,201{

B. }165,501{

C. }150,03{

D. }165,03{

E.

}105,15{

3.

Himpunan penyelesaian persamaan 1sin22cos

x x ; π20 x adalah ....

A. }2π,2

3ππ,0,{

B. }2π,3

4ππ,0,{

C. }2ππ,π,

3

20,{

D. }2ππ,,0{

E. }2

3ππ,0,{

cos = 0 = cos2

Penyelesaiannya:

= ± 2 + ∙ 2

cos 2 − 2 cos = −1⇒ ( 2cos − 1) − 2cos + 1 = 0⇔ 2 cos −2 cos = 0⇔ 2 cos (cos − 1) = 0⇔ 2 cos = 0 atau cos − 1 = 0⇔ cos = 0 cos = 1

1) =

+ ∙ 2=

2) = −

+ ∙ 2

=

cos = 1 = cos 0

Penyelesaiannya:

= 0 + ∙ 2

3) = 0 + ∙ 2

= 0,2

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < < 2

maka yang memenuhi hanya ,

Jika intervalnya diubah 0 ≤ ≤ 2, maka penyelesaiannya 0, ,

,2

sin 2 = − 12 = −sin30° = sin (−30°)

sin 2 = − 12 = −sin150° = sin (−150°)

Penyelesaiannya:

cos4 + 3sin = −1⇒ ( 1 − 2 sin 2) + 3 sin 2 + 1 = 0⇔ −2 sin 2 + 3 sin 2 + 2 = 0⇔ ( −sin2 + 2)(2 sin 2 +1) = 0⇔ − sin 2 + 2 = 0 atau 2 sin 2 + 1 = 0

⇔ sin2 = 2 (mustahil) sin 2 = −12

2)

= −150° + ∙ 360°= −75° + ∙ 180°= 105°

1)

= −30° + ∙ 360°= −15° + ∙ 180°= 165°

Soal ini tidak ada jawabannya,

mungkin maksudnya pilihan

jawaban B bukan 150°, tapi

salah ketik. Seharusnya 105°.

sin = 0 = sin 0 = sin sin = −1 = sin 3

2

Penyelesaiannya:

cos 2 − 2 sin = 1⇒ ( 1 − 2 sin ) − 2sin 2 − 1 = 0⇔ −2 sin −2 sin = 0⇔ −2 sin (sin + 1) = 0⇔ −2sin = 0 atausin + 1 = 0⇔ sin = 0 sin = −1

1)

= 0 + ∙ 2= 0

TRIK SUPERKILAT:

Satu-satunya jawaban yang tidak memuat2 adalah E. Perhatikan batas yang

diminta soal. 2 tidak diikutkan.

3)

= + ∙ 2

=

2)

= + ∙ 2=








4. Himpunan penyelesaian persamaan 02cos32cos x x untuk π20 x adalah ....

A.

2ππ,

2

3,

2

π,0

B.

2ππ,

3

5,

3

π,0

C.

2ππ,

2

3,

3

π,0

D.

π

3

2π,,

2

π,0

E.

2ππ,,2

π,0







Pak Anang.

cos = 12 = cos

3

Penyelesaiannya:

= ± 3 + ∙ 2

cos 2 − 3 cos + 2 = 0⇒ ( 2cos − 1) − 3 cos + 2 = 0⇔ 2 cos − 3 cos + 1 = 0⇔ ( 2 cos − 1)(cos − 1) = 0⇔ 2 cos − 1 = 0 atau cos − 1 = 0⇔ cos = 1

2 cos = 1

1) =

+ ∙ 2=

2) = −

+ ∙ 2=

cos = 1 = cos 0

Penyelesaiannya:

= 0 + ∙ 2

3) = 0 + ∙ 2= 0,2

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ < 2

maka yang memenuhi hanya 0, ,

Jika intervalnya diubah 0 ≤ ≤ 2, maka penyelesaiannya 0, ,

,2














4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus

jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.

Trigonometri Kelas XI IPA


Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut , , dan (– ).

Diperoleh dua segitiga

yaitu, ∆ dan ∆

dengan ∠ = ∠

sehingga, =

Dengan membuktikan = , diperoleh: + = −

− diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif( + −)

+ dan

− diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I



Substitusi

= Eliminasi

+ =

+ dengan

−

+ = + dengan −

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap KosinusSin 2 = 2 sin cos cos2 = cos − sin + 2

−

2

Substitusi identitas trigonometri + = + 2 − −2Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadratcos 2 = 1 − 2 sin cos 2 = 2 cos − 1

Trigonometri Setengah Sudut

Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut


12 ⊕ 12 ⊖

⊕ ⊖

−

Khusus untuk tan ± ,

tangen sudut rangkap dan



“TAN A = SIN DIPERKOS ”








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.

Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut

adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos + . Begitu konsep awal ini dipahami, maka

dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometridi kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya.

Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini

Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudutsebagai berikut:

Konsep awal yang harus diingat adalah sin ± dan cos ± .


Perhatikan, untuk sin ± , diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:

SELANG-SELING

SIN

SAMA

“SELANG-SELING”

dimulai dari SIN ±

SAMA

tanda plus minusnya

sin + = sin cos + cos sin sin − = sin cos − cos sin

Jadi, untuk cos ± tinggal membalik konsep menghafal rumus sin ± di atas.

Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)

Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)

Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)

cos + = cos cos − sin sin cos − = cos cos + sin sin

Keterangan:

Selang-seling diambil dari bahasa Jawa,

artinya adalah pola yang selalu bergantian.

Tanda SAMA

“SELANG-SELING”, bergantian SIN COS lalu COS SIN

Dimulai dari SIN

Tanda BEDA

KEMBAR,

bergantian COS COS lalu SIN SIN

Dimulai dari COS

Keterangan:

Kalau cos ± berarti kebalikannya.

SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS

SAMA >< BERBEDA










TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap.

Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??

sin + = sin cos + cos sin dancos + = cos cos − sin sin

Asyik….

Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2 dan cos2, diperoleh dari rumussin + dan cos + dengan mengganti = .

sin + dan cos +

Ganti =

sin2 dan cos2

Konsep untuk mendapatkan sin2 adalah:

sin + = sin cos + cos sin

sin + = sin cos + cos sin sin 2 = 2 sin cos

Konsep untuk mendapatkan cos2 adalah:

cos + = cos cos − sin sin

cos + = cos cos − sin sin cos 2 = cos − sin

Jadi,

sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos − sin








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??

cos2 = cos − sin

Asyik…. Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus

cos2 yang lainnya. Rumus kosinus

sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos2 dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras.cos2 = cos − sin

Substitusi sin + cos = 1

cos2 = 2cos − 1 cos 2 = 1 − 2 sin

Konsep untuk mendapatkan cos 2 = 2 cos − 1 adalah:cos2 = cos − sin cos2 = cos − 1 − c o s cos 2 = 2 cos − 1

Konsep untuk mendapatkan cos 2 = 1 − 2 sin adalah:

cos2 = cos − sin cos2 = 1 − s i n −sin

cos 2 = 1 − 2 sin

TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin

2 atau 2cos

2. Polanya selalu bentuk pengurangan.

cos2 = cos 2 = 2 os −

cos2 =

cos2 = cos2 = − 2 in

sin + cos = 1⇒ sin = 1 − cos

sin + cos = 1⇒ cos = 1 − sin

Keterangan TRIK SUPERKILAT:

Ingat posisi huruf alfabet,

posisi C lebih awal dari S.

Gunakan singkatan CIS, jadicos2 memiliki dua bentuk

lain, yaitu CI dan IS.







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??cos 2 = 2 cos − 1 cos 2 = 1 − 2 sin

Asyik…. Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut.Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2 Pythagoras”. Pak Anang menyebut rumus cos2 Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas.

“cos2 Pythagoras”

cos2 = 2cos − 1 cos 2 = 1 − 2 sin

Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh

cos dan

sin

cos = 1+cos22 sin = 1−cos22

Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBEN RNY TID K PERLU DIH F L………!

Kenapa?

Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan

dari konsep “cos 2

Pythagoras”menjadi

konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja.

Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI

S J …..!!!!!

Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:

cos 2 = 2 cos − 1 dan cos 2 = 1 − 2 sin

LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.

cos 2 = 2 cos − 1 ⇒ cos = 1+cos22cos2 = 1 − 2 sin ⇒ sin = 1−cos22

Konsep trigonometri sudut setengah

Diketahui sudut rangkap,

ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut setengah

Diketahui sudut rangkap,

ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut rangkap

Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

Konsep trigonometri sudut rangkap

Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

+Keterangan TRIK SUPERKILAT:

Dihasilkan dari invers konsep“cos2 Pythagoras”

Tanda plus minus dilihat dari

tanda koefisien trigonometri.











TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.

Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……??

sin ± = sin cos ± cos sin

dancos ± = cos cos ∓ sin sin

Asyik….

Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih

sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang samapada sin + dan sin − serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos + dan cos − .

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin ± cos ±

Eliminasi Eliminasisin + dengan sin − cos + dengan cos −

sin + sin + cos + cos + sin − sin − cos − cos − 2sincos 2cossin 2coscos −2sinsin

Substitusi

+ = − = + = + = − = − = 2 = + 2 = −

= + = −

sin

sin

cos

cos

sin sin cos cos

2sin + cos − 2cos + sin − 2cos + cos − −2sin + sin −

LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:

Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT:

S adalah sin dan C adalah cos. + + − =

+

2

− 2 + 2 − −2 + = + −

12 ⊕ 12 ⊖

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

+ −

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

1

2 ⊕1

2 ⊖

12 + 12 −

+ + − −

+ −

dibagi 2 dibagi 2

+ + − −







LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:

Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:

+ 2 −

2

+

2

− −2

Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca + dan tanda ⊖ dibaca −

+ ⊕⊖→ 2 dibaca: + = + −

+ ⊕⊖← 2 dibaca: = + + −

JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:

Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta.

Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna.

Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan.

Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna.

Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif −.

12 ⊕ 12 ⊖

⊕ ⊖

Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?

sin + = sin cos + cos sin cos + = cos cos − sin sin

Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:

+= + += −

Lihat ruas kiri ada + dan +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan

membubuhkan tanda + dan − bergantian.

Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi.

Jadi, urutannya adalah + , lalu −, dan + lalu − .

+ − +

−

Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah ,,, dan – .

Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2.

Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi.

2 2 2 −2

Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan dibawah ini:

+

2 −

2 +

2 −

−2

12 ⊕ 12 ⊖

⊕ ⊖








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.

Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih

dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut.

Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:

“TAN A adalah SINA DIPERKOSA”

atau dituliskan sebagai:

=

Sehingga,

tan + = sin + cos + ⇒ tan + = sin cos + cos sin cos cos − sin sin × 1coscos1coscos= sincoscoscos + cos sin coscos coscoscoscos − sin sin coscos = sincos + sin cos1 − sin cos sin cos= tan+tan1− ta nta n

Jadi,

tan ± = tan±tan1∓ ta nta n

Sehingga jika = , akan diperoleh:

tan + = tan + tan 1− ta nta n ⇒ tan2 = 2tan1− ta n

Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:

sin = 1 − cos 22cos = 1+cos22

}

tan = sin cos = 1−cos22 1+cos22 = 1−cos22 × 21+cos2 = 1−cos21+cos2

Jadi,

tan = 1−cos21+cos2







Rumus Khusus untuk Tangen

Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen

sin ± = sin cos ± cos sin cos ± = cos cos ∓ sin sin tan ± = ±± = ±∓

Substitusi = Substitusi = + = + =

Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap

Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap KosinusSin 2 = 2 sin cos cos2 = cos − sin

Substitusi identitas trigonometri + =

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadratcos 2 = 1 − 2 sin cos 2 = 2 cos − 1

Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut

Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut


TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish…. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK

SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.

Khusus untuk tan ± ,

tangen sudut rangkap dan



“

TAN A =

SIN DIPERKOS ”

+ =

tan2 = 2tan1− ta n

tan = sincos = 1−cos21+cos2













Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut.

Contoh Soal:

Diketahui dari sin75°+cos75° adalah …. a.

√ 6

b. √ 2

c. √ 3

d. 1

e. √ 6

Penyelesaian:

Ingat, sin + = sin cos + cos sin dan cos + = cos cos − sin sin .

Perhatikan juga bahwa 75° = 45°+30°.

Sehingga,sin75°+cos75° = sin45°+30° +cos45°+30°= sin45°cos30°+cos45°sin30° + cos45°cos30°−sin45°sin30°= 12 √ 2 ∙ 12 √ 3 + 12 √ 2 ∙ 12 + 12 √ 2 ∙ 12 √ 3 − 12 √ 2 ∙ 12= 14 √ 6 + 14 √ 6= 12 √ 6

Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.







Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan

trigonometri dari dua sudut tersebut.

Contoh Soal 1:

Diketahui sin = dan sin = , dengan sudut lancip dan sudut tumpul. Nilai dari cos − = …. a. −

b.

−

c. −

d. −

e. −

Penyelesaian:

Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain

bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin = adalah: (Ingat adalah sudut lancip)

Sehingga, cos =

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin = adalah: (Ingat adalah sudut tumpul)

Sehingga,

cos = −

(Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)

Jadi,cos − = cos cos + sin sin = 35 ∙ − 2425 + 45 ∙ 725= − 72125 + 28125= − 44125

4

3

5

7

24

25








Contoh Soal 2:

Pada segitiga lancip, diketahui cos = dan sin = , maka sin = …. a.

b.

c.

d.

e.

Penyelesaian:

Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain

bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos = adalah: (Ingat adalah sudut lancip)

Sehingga,

sin =

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin = adalah: (Ingat adalah sudut lancip)

Sehingga, cos =

Ingat, besar sudut dalam segitiga = 180°.⇔ + + = 180°⇔ = 180 − +

Sehingga,sin = sin(180°− + ) Ingat sifat relasi sudut antar kuadransin180°− = sin ⇔ sin = sin +

Jadi,sin = sin + = sin cos + cos sin = 35 ∙ 513 + 45 ∙ 1213= 1565 + 4865= 6365

3

4

5

13

5

12







Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya.

Contoh Soal:

Nilai sin45°cos15°+cos45°sin15° sama dengan …. a.

b. √ 2

c. √ 3

d. √ 6

e. √ 3

Penyelesaian:

Ingat, sin cos + cos sin = sin +

Sehingga,

sin45°cos15°+cos45°sin15° = sin45°+15° = sin60° = 12 √ 3








Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu

komponen rumusnya.

Contoh Soal:

Diketahui dan adalah sudut lancip dan − = 30°. Jika cos sin = , maka nilai dari sin cos = …. a.

b.

c.

d.

e.

Penyelesaian:

Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut − ,

dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni

cossin.

Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan

adalah sin − .

Jadi, sin − = sin cos − cos sin ⇒ sin30° = sin cos − 16⇔ 12 = sin cos − 16

⇔ 1

2 +16 = sin cos ⇔ 36 + 16 = sin cos ⇔ 46 = sin cos







Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu

komponen rumusnya

Contoh Soal:

Diketahui + = dan sin sin = . Nilai dari cos − = …. a. −1

b.

−

c.

d.

e. 1

Penyelesaian:

Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut + ,

dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sinsin.

Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalahcos + .

Sehingga untuk mencari nilai cos − maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya,

SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada.

Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos − :cos + = cos cos − sin sin ⇒ cos 3 = cos cos − 14

⇔ 1

2 = cos cos −14⇔ 12 + 14 = cos cos ⇔ 24 + 14 = cos cos

⇔ 34 = cos cos

Jadi,cos − = cos cos + sin sin

= 34 + 14= 1








Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus.

Contoh Soal:

Nilai dari°°° adalah ….

a. 3

b. 2

c. 1

d.

e.

Penyelesaian:

Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa.

Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus.

Jadi, cos10°cos40°cos50° = cos10°12 × 2cos40°cos50° munculkan bentuk 2coscos = cos + +cos −

= cos10°12 × cos40°+50° +cos40°−50° dibagi 12 = dikali 21= cos10°cos90°+ cos−10° × 21 ingat relasi sudut negatif,cos− = cos = 2cos10°0+cos10°= 2cos10°cos10°= 2







Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus.

Contoh Soal:

Nilai dari cos195°+cos105° adalah …. a.

√ 6

b. √ 3

c. √ 2

d. 0

e. − √ 6

Penyelesaian:

Ingat cos + cos = 2 cos + cos −

Jadi,

cos195°+cos105° = 2cos12 195°+105° cos

12 195°−105° = 2 cos 12 300° cos 12 90°= 2 cos 150° cos 45°= 2 − 12 √ 3 12 √ 2

= − 12 √ 6








TRIK SUPERKILAT

Memanipulasi rumus sin cos atau sin

–

cos menggunakan relasi sudut antar kuadran.

Contoh Soal:

Nilai dari sin75°+cos75° adalah …. a.

√ 6

b. √ 2

c. √ 3

d. 1

e. √ 6

Penyelesaian:

Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus.Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar

kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos.

Ingat, sin90°− = cos atau cos90° − = sin .

Jadi,sin 75° + cos 75° = sin75° + cos90°−15° = sin75° + sin 15°= 2 sin 12 75°+15° cos 12 75°−15°= 2 sin 1

290° cos 1

260°

= 2sin45°cos30°= 2 12 √ 2 12 √ 3= 12 √ 6

Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan

LOGIKA PRAKTIS terbarunya.












1. Diketahui

3

πβα dan

4

1βsinαsin dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai β)cos(α ....

A. 1

B. 4

3

C. 2

1

D. 4

1

E. 0

2. Diketahui nilai

5

1βcosαsin dan

5

3β) (αsin untuk 180α0 dan .90β0

Nilai β) (αsin ....

A.

5

3

B. 5

2

C. 5

1

D. 5

1

E. 5

3

3. Diketahui

5

3αsin dan

13

12cos lancip)sudutdan( . Nilai β) (αsin ....

A. 65

56

B. 65

48

C. 65

36

D. 65

20

E. 65

16

4. Jika

3

π

BA dan ,8

5BcosAcos maka B)cos(A ....

A. 4

1

B. 2

1

C.

4

3

D. 1

E. 4

5

cos − = cos cos + sinsindiketahui dari soalsin ∙sin = dan − = ⇒ = cos cos +

⇔ cos cos = cos + = cos cos − sin sin ⇒ cos + = − ⇔ cos + = 0

sin − = sin cos − cos sin diketahui dari soalsin ∙cos = dansin − =

⇒ = − cos sin⇔ cos sin = −

sin + = sin cos + cos sin ⇒ sin + = + − ⇔ sin + = −

sin + = sin cos + cos sin ⇒ sin + = ∙ + ∙

⇔ sin + = + ⇔ sin + =

3

5

4

5

13

12

sin = 35⇒ cos = 45

cos = 1213⇒ sin = 513

cos + = cos cos − sin sin diketahui dari soalcoscos = dan + = ⇒ = − sin sin ⇔ sin sin =

cos − = coscos + sinsin⇒ cos − = + ⇔ cos − = =








5. Nilai dari 165sin75sin adalah ....

A. 24

1

B. 34

1

C. 64

1

D.

22

1

E. 62

1







Pak Anang.

sin −sin = 2cos + 2 sin − 2 ⇒ sin 75° − sin165° = 2 cos 75° + 165°2 sin 75°− 165°2 = 2 cos 120°sin−45° ingatsin− = −sin = −2cos120°sin45°= −2cos180° − 60° sin45° ingatcos180° − = −cos

= −2−cos 60° sin 45°= 2cos60°sin45= 2 ∙ 12 ∙ 12 √ 2= 12 √ 2














SKL 5. Memahami konsep limit turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta mampu

menerapkannya dalam pemecahan masalah.

5. 1.

Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Limit Aljabar

Bentuk Umum lim→

Limit → Limit → ∞

“Jika

terdefinisi”

“Jika = ”

“

itu mendekati nol”

lim→ = diubah sehingga

pembuat nilai hilang. lim→ 1 = 0

Pemfaktoran Dikali Sekawan Akar Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi

lim→ = lim→

Sehingga hilanglah pembuat

nilai, yaitu

−−

⇒ lim→

⇒

lim→√ 2 22 4

Bentuk limit tersebut memuat

bentuk akar yaitu √ 2 2, yang

bentuk sekawannya √ 2 + 2.

⇒ lim→

√ 2 22 4 ×

√ 2 + 2√ 2 + 2⇒ lim→ 2 42 4(√ 2 + 4)

Sehingga hilanglah pembuat

nilai, yaitu

−−

lim→3 2 + 45 + 9 3

Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu,

bagilah semua suku pembilang dan penyebut

dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu ,

⇒ lim→∞ 32

2 22 + 42522 + 92 32⇒ lim→

3 0 + 05 + 0 0⇒ 35

Aturan L’Hôpital

“Diturunkan”

lim→ = lim→

′′

Dikali Sekawan Akar

lim→ 2 + 3 1 2 + 5

Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ ∞,

kalikan dengan bentuk sekawan akar.

lim→ 2 + 3 1 2 + 5× √ 2 + 3 1 + √ 2 + 5√ 2 + 3 1 + √ 2 + 5

Setelah itu lanjutkan dengan membagi

variabel pangkat tertinggi.








Limit Trigonometri

Sinus dan Tangen Kosinus “Jahat”

“Coret Sinta” “Hapus Kosinus”

lim→ sin = lim→ sin = 1

lim→tan = lim→

tan = 1

lim→ sintan = lim→ tansin = 1

lim→

sinsin

= lim→

tantan

= 1

lim→ sin = lim→ sin =

lim→tan = lim→

tan =

lim→sintan = lim→

tansin =

lim→sinsin = lim→

tantan =

lim→ cos = lim→ 1cos = 1


Kosinus “Baik” adalah Kosinus yang

menyebabkan nilai limit menjadi 0.

Ingat lagi identitas trigonometri1 cos = 2 sin 12 1 c os = sin

Kosinus “Baik”

“Ubah Kosinus”

lim→ = lim→

2sin 12 = lim→ 2 ∙ sin 12 ∙ sin 12

lim→ = lim→

2sin 12 = lim→ 2 ∙ sin 12 ∙ sin 12

lim→ = lim→ 2sin 1

2 = lim→ 2 ∙ sin12 ∙ sin

12

lim→ = lim→

2sin 12 = lim→ 2 ∙ sin 12 ∙ sin 12

lim→ = lim→

2sin 12 2 sin 12 = dst dst…

lim→ = lim→

sin = lim→sin ∙ sin

lim→ = lim→

sin = lim→ sin ∙ sin

lim→

= lim→sin

= lim→sin

∙sin

lim→ = lim→ sin = lim→ sin ∙ sin

lim→ = lim→

sin sin = dst dst…

dst…dst…







LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit.

Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:

lim→

Substitusi = ke

Periksa

Hasilnya?

Bentuk tertentu Bentuk tak tentu , 0 = 0, 0 = ∞ 00 , ∞∞ , ∞ ∞, …

Selesai

Ubah








TRIK SUPERKIL T dan LOGIK PR KTIS Limit ljabar Menggunakan turan L’Hopital (Turunan).

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu adalah denganmenggunakan aturan L’Hopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya

adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.

Contoh:

lim→ 2 7 + 64 8 = 00

Sehingga,

lim→2 7 + 64 8 = lim→

4 74 = 42 74 = 8 74 = 14

diturunkan

diturunkan

disubstitusikan







Asal Muasal TRIK SUPERKIL T Limit ljabar Menggunakan Modifikasi turan L’Hopital (Turunan Modifikasi).

Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:

lim→ ℎ = ….

Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu.

Jadi kesimpulannya adalah:

lim→ ℎ = 00 ⇒ untuk → { = 0 ⇒ = ℎ = 0

Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan L’Hopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang

dilimitkan masih memuat bentuk akar.

Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital:

lim→ ℎ = lim→ [

] ℎ ingat = ( )sehingga = 1 ( )− ∙ =

∙ ( )− = ( )−

= lim→

( )− ( )−

ℎ ingat untuk → berlaku = = lim→

( )− ( )−ℎ keluarkan 1

( )− dari kedua ruas= 1

( )− × lim→ ℎ

Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar 1 Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar

Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI.

Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan L’Hopital,yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tandaakar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan “sesuatu”. Sesuatu itu adalah, pangkat×nilai akarpangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.












TRIK SUPERKIL T dan LOGIK PR KTIS Limit ljabar Menggunakan Modifikasi turan L’Hopital (Turunan Modifikasi).

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan menggunakan modifikasi aturan L’Hopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari

pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi.

Selesai.

Soal Limit → bentuk yang memuat bentuk akar

Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung

Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang Penyebut Aturan L’Hopital

Kalikan dengan “Sesuatu”

Selesai!

Misal soalnya adalah sebagai berikut:

lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = 00

Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:

Periksa akar pangkat berapa?

lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = 00

⇒ ⇒akar pangkat

""

Periksa nilai dari akar pada soal.

lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = 00

⇒ √ + = + = √ = ""

Lihat letak akar!

Kalau di atas tulis di bawah.Kalau di bawah tulis di atas.

Apa yang ditulis?

pangkat × nilai akarpangkat−

lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = 00

⇒ akar berada di atas ⇒ tulis di bawah

⇒ angkat ×

nilai akar

pangkat−


Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:pangkat×nilai akarpangkat-1

yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.







Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya:

Tentukan nilai dari:

lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = ….

Perhatikan soal! lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4

Buang tanda akar!

Ganti akar dengan tanda kurunglim→

3 + 3 5 1 4

Gunakan aturan L’Hopital!Mencari turunan dari

pembilang dan penyebutlim→ 3 + 3 5 1 4

⇒ → = → = =

Masih ingat apa yang ditulis?

Pangkat = 2

Nilai Akar = 3

Letak Akar = di atas

24 × 1pangkat×nilai akarpangkat-1

⇒ × ∙ − = × =

Selesai…!!!! ∴ lim→ √ 3 + 3 √ 5 1 4 = 112

Contoh

Pengerjaan TRIK SUPERKIL T Modifikasi turan L’Hopital Versi Lebih Singkat

:

Tentukan nilai dari:

lim→ √ 2 + 1 √ 4 35 15 = …. Sehingga,

lim→ √ 2 + 1 √ 4 35 10 = lim→2 45 × 12√ 5 = 25 × 12√ 5 = 15√ 5 = 125 √5

Diturunkan tanpa tanda akar

Diturunkan tanpa tanda akar

Dikalikan “sesuatu”


Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:pangkat×nilai akarpangkat-1

yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi

adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit → ∞ bentuk

Bentuk umum

lim→ + − + − + … + + − + − + … +

Bandingkan pangkat terbesar

dari pembilang dan penyebut

< = >

Nilai limit = 0 Nilai limit = Nilai limit = ∞


lim→5 + 2 152 3 + 1 = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah….. Berarti KEEECIIIIILLLLL…. Sehingga nilai limitnya adalah 0 nol.

lim→ 2 + 5 + 73 + 13 + 5 = …. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atas….. Berarti BEEESAAAARRRRRR…. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).

lim→ 4 + 5 213 + 7 4 = …. Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien

variabel pangkat tertinggi tersebut.

Perbandingan koefisien

bertanda positif

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:

Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞

Kalau pangkat terbesar di bawah

berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL….

Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRR…. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja.

Selesai!

Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.

Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR…. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..

Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil

pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu.







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar

adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.

Soal Limit → ∞ bentuk ∞ ∞

Bentuk umum

lim→ + + + +

Bandingkan koefisien sukuderajat dua di dalam tanda akar

< = >

Nilai limit = ∞ Nilai limit =−√ Nilai limit = +∞


lim→ 2 + 3 4 7 1 = …. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).

lim→ + 3 4 2 7 1 = …. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.

Sehingga nilai limitnya adalah ∞ (negatif tak hingga).

lim→ 2 + 3 4 2 7 1 = …. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

Sehingga nilai limitnya adalah−√ = −−√ = √ = √ = √ 2

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:

Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ ∞

Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA…. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA….

Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya.

Selesai!

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.

Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif.

Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

Maka nilai limit adalah−√….








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan

bentuk tak tentu adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu

langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit Fungsi Trigonometri → 0 bentuk

Jika limit memuat bentuk sin atau tan,maka coret sin atau tan.

Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim→

sin = lim→

sin = 1

lim→ tan = lim→ tan = 1


tansin = 1


tantan = 1

lim→

sin = lim→

sin =

lim→ tan = lim→ tan =


tansin =


tantan =

Contoh Soal

lim→ sin25tan3 = 1 ∙ 23 ∙ 5 = 215

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim→5sin 23 tan = lim→

5sin2sin23 tan = 5 ∙ 2 ∙ 23 = 203


lim→5 tan3sin 2 = lim→

5 tan3sin2sin2sin2 = 5 ∙ 5 ∙ 32 ∙ 2 ∙ 2 = 758


lim→ sin 3 + tan64 = lim→ 3 + 64 = lim→ 94 = 94


lim→ 5tan 7 sin 3 = lim→

57 3 = lim→54 = 54








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “jahat” dan menghasilkan

bentuk tak tentu adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah

mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit Fungsi Trigonometri → 0 bentuk

Jika limit memuat bentuk cos “jahat”, maka hapus cos.




Contoh Soal

lim→cos = lim→

1 = 10 = ∞

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim→ 3cos7 = lim→ 3 = 0


lim→ 2cos53sin = lim→ 23sin = lim→ 23 = 23


lim→ sin3 + cos 2tan5cos7 = lim→ 3 + 5 lim→ 45 = lim→ 45 = 45


lim→2 cossin3 = lim→

2 3 = lim→23 = 23


lim→ 3cos2cos 5 = lim→ 3 = lim→ 31 = 3









TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus.Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “baik” dan menghasilkanbentuk tak tentu

adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan

menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada

pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit Fungsi Trigonometri

→ 0 bentuk

Jika limit memuat bentuk cos “baik”, maka ubah cos.


lim→ = lim→

= 12

lim→ = lim→ = 12

lim→ = lim→

= 12

lim→ = lim→

=

lim→ = lim→ =

lim→ = lim→

=

Contoh Soal

lim→ 3 = lim→

3 = lim→ 23 = 23

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim→ 3 = lim→

3 = lim→2 ∙ 23 = lim→

43 = 43

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di

http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:


untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013

pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini….














1. Nilai

x

x

x 93

5lim

0

....

A. −30

B. −27

C. 15

D.

30

E. 36

2. Nilai

32

1lim

1 x

x

x

....

A. 8

B.

4

C. 0

D. −4

E. −8

3. Nilai

3

12lim

3 x

x

x

....

A. 4

1

B. 2

1

C. 1

D. 2

E. 4

lim→ 53 √ 9 + = lim→

53 √ 9 + × 3 + √ 9 + 3 + √ 9 +

= lim→ 5 ∙ (3 + √ 9 + )9 9 + = lim→ 5 ∙ (3 + √ 9 + )= lim→ 5 ∙ (3 + √ 9 + )= 5 ∙ (3 + √ 9)= 5 ∙ 6= 30

TRIK SUPERKILAT:lim→ 53 √ 9 + = 51 ∙ 2 ∙ 31 = 30

lim→ 1 2 √ + 3 = lim→ 1 2 √ + 3 × 2 + √ + 32 + √ + 3= lim→ 1 ∙ (2 + √ + 3)4 + 3= lim→

1 ∙ (2 + √ + 3)1 = lim→(2 + √ + 3)= 2 + √ 1 + 3= 2 + √ 4= 2 + 2= 4

TRIK SUPERKILAT:

lim→ 1 2 √ + 3 = 11 ∙ 2 ∙ 21 = 4

TRIK SUPERKILAT:

lim→2 √ + 1 3 = 11 ∙ 12 ∙ 2 = 14

lim→ 2 √ +1 3 = lim→ 2 √ +1 3 × 2 + √ + 12 + √ + 1= lim→

4 + 1 3 ∙ (2 + √ + 1)= lim→

3 3 ∙ ( 2 + √ +1)= lim→

1(2 + √ + 1)= 12 + √ 4= 14








4. Nilai

x x

x

x 2tan

2cos1lim

0

....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

5. Nilai

x x

x

x 2tan

14coslim

0

....

A. 4

B. 2

C. −1

D. −2

E. −4







Pak Anang.

lim→1 cos2tan2 = lim→

1 1 2 sin tan2= lim→

2 sin tan2= lim→2sinsintan2 ∙ ∙ 22= lim→ 2 ∙ sin ∙ sin ∙ 2tan2 ∙ 2

= 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 12 = 1

TRIK SUPERKILAT:

lim→1 cos2tan2 = 12 ∙ 2 ∙ 21 ∙ 2 = 1

lim→cos4 1tan2 = lim→

1 2 sin 2 1tan2= lim→

2sin 2tan2= lim→2sin2sin2tan2 ∙ 22 ∙ 22= lim→ 2 ∙ sin 22 ∙ sin 22 ∙ 2tan2 ∙ 2

= 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = 4

TRIK SUPERKILAT:

lim→cos4 1tan2 = 12 ∙ 4 ∙ 41 ∙ 2= 4














5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Definisi

= l i m→ + ℎ ℎ

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri

= = 0 = = . −Sifat:

= = = ± = ± = ∙ = + = = ′′2 = = ∙

Aplikasi Turunan Fungsi

Gradien Garis Singgung

Kurva = di titik =

=

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi Grafik Fungsi Grafik Fungsi

Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun

> 0 = 0 < 0

Titik dimana grafik fungsi tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum

“naik – stasioner– naik” “naik – stasioner– turun” atau “turun – stasioner– naik”

“turun – stasioner– turun”

= ta n =sec = c o t = c s c = s e c =sectan = c s c = c s c c o t

Simbol

= = = ()

Persamaan Garis Singgung

di titik ,

=








LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar.

Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: = → = ∙ −

∙

∙ −

Proses mencari turunan fungsi :

1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi!

2. Kurangi satu pangkatnya!

3. Selesai!







LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.

Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

Cara membacanya:

= sin → ′ = c o s = cos → ′ = s i n = sin → ′ = c o s = cos → ′ = s i n

Jadi turunannya sinus adalah kosinus.

Turunannya kosinus adalah negatif sinus.

KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:

= → =

Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan?

⇒ = t a n = sincos → = s i n ⇒ = c o s = c o s ⇒ = s i n

⇒ = = coscossin sincos = cos + s i n cos = 1cos =sec

Jadi, = t a n → =sec .

Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot , sec , dan csc menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!

LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

= = = = } ⇒ turunan dari fungsi yang berawalan hurufc

selalunegatiffungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga dan turunannya kembar

⇓

tan cot

sec csc

□ □

Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:

Turunannya tan adalah sec . Turunannya sec adalah sectan

Turunannya cot adalah –csc . Turunannya csc adalah csccot □

Cara membacanya: = t a n =sec = c o t = c s c = s e c =sectan = c s c = c s c c o t








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi Persamaan Garis Singgung Kurva).

Kurva

Tentukan turunan yaitu

Persamaan Garis Lurusmelewati titik ,

Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien di = adalah adalah:

= =

Gradien Garis Singgung Kurva di titik , dengan gradien adalah:

=

Contoh Soal:

Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva = 4 + 2 3 pada titik 1,4. Titik potong garis ℎ dengansumbu X adalah …. a. 3,0 b.

2,0 c. 1,0 d. ,0

e. ,0Pembahasan:

Diketahui kurva yaitu: = 4 + 2 3 ⇒ = 3 8 + 2

Gradien garis singgung kurva di = 1 adalah:

= ⇒ =

1= 31 81 + 2= 3 8 + 2= 3

Persamaan garis singgung kurva di titik 1,4 dengan gradien = 3 adalah: = ⇒ 4 = 3 1⇔ + 4 = 3 + 3⇔ = 3 + 3 4⇔ = 3 1

Jadi garis ℎ adalah = 3 1.

Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat = 0, sehingga: = 0 ⇒ 0 = 3 1⇔ 3 = 1⇔ = 13

Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah , 0.







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.

Hubungan antara Jarak

, Kecepatan

, dan Percepatan

. *)

Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep

berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

Contoh Soal 1:

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah detik dirumuskan dengan ℎ =1205,maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter.

a.

270

b. 320

c. 670d. 720

e. 770 Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ.

Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah .

Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: = (ℎ) ⇒ = 1205∴ =12010

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol. = 0 ⇒ 1 2 0 1 0 = 0⇔ 10 = 120⇔ = 12010∴ = 12 s

Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat = 12 s, yaituℎ =1205 ⇒ ℎ2 =12012 512=1440720= 720 m

Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Turun artinya turunan fungsi.

Sehingga cara membacanya seperti ini:

Fungsi adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan = =

Fungsi adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan = =

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak

(http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

turun

turun




http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html








Contoh Soal 2:

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu diberikan oleh fungsi = 6 + 5.

Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat = …. detik

a. 6

b.

4

c. 3

d. 2

e.

1 Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah .

Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah .

Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: = () ⇒ = 14 32 6 +5

∴ =

92

1 2 + 5

Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan ( = 0. = () ⇒ = 92 1 2 + 5 ∴ = 3 9 1 2

Sehingga, = 0 ⇒ 3 9 1 2 = 0 3⇔ 3 4 = 0⇔ + 1 4 = 0pembuat nol⇒ + 1 = 0 atau 4 = 0⇔ = 1 atau = 4TM

Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk = 1 adalah TM (tidak memenuhi).

Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat = 4 detik.







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi Fungsi Naik dan Fungsi Turun).

Kurva


Periksa nilai

pada interval [, ]

> 0 ⇒ Fungsi naik < 0 ⇒ Fungsi turun

“ ungsi Naik” “ ungsi Turun”

Contoh Soal:

Grafik dari = 1 2 + 2 0 naik untuk interval …. a. 3 < < 2 b. 2 < < 3

c. < 2 atau > 3 d. < 2 atau > 3

e. < 3 atau > 2

Pembahasan:

Naik atau turunnya grafik fungsi

dapat dilihat dari nilai

′.

= 23 1 2 + 2 0 ⇒ = 2 2 1 2

Fungsi naik apabila > 0.

Sehingga, = 0 ⇒ 2 2 12 > 0 2⇔ 6 > 0⇔ + 2 3 > 0pembuat nol⇒ + 2 = 0 atau 3 = 0⇔ = 2 atau = 3


Jadi grafik fungsi akan naik dalam interval < 2 atau > 3.

3 2

+ +

+








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi Titik Stasioner).

Kurva


Periksa nilai

pada =

≠ 0 ⇒

Fungsi naik atau turun = 0 ⇒ Fungsi stasioner

Menentukan

jenis titik stasionergrafik fungsi

Metode grafis Metode analitis

(Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua)

titik titik

maksimum minimum

stasioner

naik turun naik

stasioner

titik belok

turun naik

stasioner stasioner

turun naik

stasioner

TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:

Perhatikan Grafik Fungsi = s i n, 0 ° ≤ ≤ 3 6 0 °

TIPS Mengingat Titik Belok:

Perhatikan Grafik Fungsi

= c o s , 0 ° ≤ ≤ 3 6 0 °

+

+

+

+

< 0 = 0 > 0

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum

360°

360°

cos

sin







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi Masalah Maksimum Minimum).

Nilai maksimum atau minimum fungsi

pada interval ≤ ≤

Tentukan nilai

pada ujung interval Tentukan nilai stasioner

dan

(Jika ada)

Pilih nilai terbesar nilai maksimum

Pilih nilai terkecil nilai minimum

Contoh Soal:

Nilai maksimum dari fungsi = + 2 + 9 pada interval ≤ ≤ 3 adalah …. a.

9

b. 9

c. 10

d. 10

e. 10

Pembahasan:

Nilai pada ujung interval 0 ≤ ≤ 3.

= 0 ⇒ 0 = 13 0 32 0 + 20 + 9 = 9

= 3 ⇒ 0 = 13 3 32 3 + 23 + 9 = 9

Fungsi stasioner saat = 0. = 13 32 + 2 + 9 ⇒ = 3 + 2 = 0 ⇒ 3 + 2 = 0⇔ 1 2 = 0⇔ 1 = 0 atau 2 = 0⇔ = 1 atau = 2

Sehingga, dari sketsa kurva pada interval 0 ≤ ≤ 3 terlihat bahwa: maksimum di titik = 1 atau mungkin maksimum di = 3 dan minimum di = 2.

Periksa dulu apakah maksimum di = 1 atau di = 3 dengan membandingkan nilai pada kedua

titik tersebut. = 1 ⇒ 0 = 13 1 32 1 + 21 + 9 = 9 56

= 3 ⇒ 0 = 13 3 32 3 + 23 + 9 = 9

Jadi nilai maksimum adalah 9 .

1 2

+

+








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi Penerapan Maksimum Minimum).

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik = ,

Luas maksimum

=


Koordinat titik = ,

Luas maksimum

=

Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi. = = = × ℓ = × =

Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut:

Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan

Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi

Periksa keadaan stasioner fungsi






pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini….

X

Y

1

2, 1

2

X

Y

+ = 1

2

, 1

2

ℓ













Contoh Soal:

Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila

koordinat M adalah …. a. 2, 5

b. 3, 4

c. 3, 5

d.

4, 3

e.

5, 3

Pembahasan:

Persamaan garis lurus yang melewati titik 8, 0 dan 0, 6 adalah:6 + 8 = 4 8

Misal koordinat adalah , . Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang dan lebar .Panjang = Lebar=, dari persamaan 6 + 8 = 4 8 ⇒ 8 = 4 8 6 ⇔ = −

⇔ = 6

Jadi luas persegi panjang adalah: = × ℓ= 6 34 = 6 34

= 6 34 ⇒ = 6 32

Luas persegi panjang akan maksimum jika = 0 = 0 ⇒ 6 32 = 0⇔ 32 = 6⇔ = 6

⇔ = 6 × 23⇔ = 4

Substitusikan

= 4 ke

= 6 diperoleh:

= 6 34 4 = 6 3 = 3

Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat = 4, 3



Koordinat titik

= ,

Luas maksimum =

Karena = 8 dan = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat = 4, 3.

X

Y

8

6

X

Y

12 , 12









1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 x x dalam ribu rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp16.000,00

B. Rp32.000,00

C.

Rp48.000,00D. Rp52.000,00E. Rp64.000,00

2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2

x x dalam ribuan rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntunganmaksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp10.000,00

B. Rp20.000,00

C.

Rp30.000,00D. Rp40.000,00

E. Rp50.000,00







Pak Anang.

= 4 0 4 8 + 2 4 = 4 + 8 +16

akan maksimum untuk

yang memenuhi

= 0

⇒ = 0⇔12 + 1 6 + 1 6 = 0 dibagi4⇔ 3 4 4 = 0⇔ 3 + 2 2 = 0⇔ = 23 atau = 2

Karena mewakili jumlah barang,

tidak mungkin negatif sehinggayang memenuhi hanya

= 2

Substitusikan = 2 ke ,

diperoleh: = 42 + 82 + 162 = 3 2 + 3 2 + 3 2 = 32

= 5 0 5 1 0 + 3 0 = 5 +10 +20

akan maksimum untuk

yang memenuhi

= 0

⇒ = 0⇔15 + 2 0 + 2 0 = 0 dibagi5⇔ 3 4 4 = 0⇔ 3 + 2 2 = 0⇔ = 23 atau = 2

Karena mewakili jumlah barang,tidak mungkin negatif sehingga

yang memenuhi hanya = 2 Substitusikan = 2 ke ,

diperoleh: = 52 + 102 + 202 = 4 0 + 4 0 + 4 0 =Rp40














Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ atau ∫




Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ?

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫


Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?

Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi?

an masih banyak yang lainnya….









Untuk bentuk ∫ tanⅆ dan ∫ cotⅆ, maka ubah bentuk tan dan cot menggunakan identitas trigonometri

perbandingan.

t a n sincos

c o t cossin

Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:

sincos ⅆ

cossin ⅆ

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

1 ⅆ l n||

Serta ingat juga sifat logaritma (l n l o g logaritma natural) berikut:

ln 1 l n

Contoh Soal 1:

ta n ⅆ …. Pembahasan:

t a n ⅆ sincos ⅆ

sincos

ⅆcossin

1

cosⅆcos

l n|cos| ln 1sec ln|sec|

Contoh Soal 2:

tan3ⅆ …. Pembahasan:

ta n 3ⅆ sin3cos3 ⅆ

sin3cos3 ⅆcos33sin3 1

3 1cos3 ⅆcos3

13 ln|cos3| 1

3 ln 1sec3 1

3 ln|sec3|







Contoh Soal 3:

c otⅆ …. Pembahasan:

c o t ⅆ cossin ⅆ

cossin ⅆsincos 1

sin ⅆsin ln|sin|

Contoh Soal 4:

cot5ⅆ …. Pembahasan:

c ot5ⅆ cot5sin5 ⅆ cos5

sin5ⅆsin55sin5

15 1

cos5 ⅆcos5 1

5 ln|sin5|









Untuk bentuk ∫ secⅆ dan ∫ cscⅆ, maka ubah bentuk sec dan csc menggunakan identitas trigonometri

perbandingan.

s e c 1cos

c s c 1sin

Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:

sec s e c ta n sectan ⅆ

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

1 ⅆ l n||

Contoh Soal 1:

s e c ⅆ …. Pembahasan:

s e c ⅆ s e c × sectansectan ⅆ

sec s e c ta n

sectanⅆ

sec s e c ta n sectan ⅆsectansectansec 1

sectan ⅆsectan ln|sectan|

Contoh Soal 2:

sec2ⅆ …. Pembahasan:

s e c 2ⅆ s e c 2× sec2tan2sec2tan2 ⅆ

sec 2sec2tan2sec2tan2 ⅆ

sec 2sec2tan2sec2tan2 ⅆsec2tan2

2sec2tan22sec 2 sec 2sec2tan2

sec2tan2 ⅆsec2tan22sec2tan2sec 2

1

2 1

sec2tan2ⅆsec2tan2

12 ln|sec2tan2|







Contoh Soal 3:

c s c ⅆ …. Pembahasan:

c s c ⅆ c s c × csccotcsccot ⅆ

csc c s c c otcsccot ⅆ csc c s c c ot

csccot ⅆcsccotcsccotcsc

csc c s c c otcsccot ⅆcsccot

csc c s c c ot 1

csccot ⅆcsccot ln|csccot|

Contoh Soal 4:

csc4ⅆ …. Pembahasan:

c s c 4ⅆ c s c 4× csc4cot4csc4cot4 ⅆ

csc 4csc4cot4csc4cot4 ⅆ

csc 4csc4cot4

csc4cot4

ⅆcsc4cot4

4csc4cot44csc

4 csc 4csc4cot4csc4cot4 ⅆcsc4cot44csc 4csc4cot4 1

4 1csc4cot4 ⅆcsc4cot4

14 ln|csc4cot4|








Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ dengan

= bilangan ganjil?


= bilangan ganjil?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas

trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin

c o s

1 ⇒ s i n

1 c o s

⇒ cos 1 s i n

Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:

sin cosⅆ

cos sinⅆ

Contoh Soal 1:

sin

ⅆ ….

Pembahasan:

sin ⅆ s i n ∙ s i n ⅆ 1 c os sinⅆ sincos sin ⅆ s i n ⅆ cos sinⅆ

c o s c o s sin ⅆcossin c o s c o s ⅆcos c o s 1

3 cos

Contoh Soal 2:

sin ⅆ ….

Pembahasan:sin ⅆ s i n ∙ s i n ⅆ sin ∙s inⅆ 1 c os sinⅆ 1 2 c o s c o s sinⅆ sin2cos sincos sin ⅆ

s i n ⅆ 2 cos sinⅆ cos sinⅆ c o s 2 c o s sin ⅆcos

sin cos sin ⅆcossin

c o s c o s ⅆcos cos ⅆcos c o s 2

3 cos 15 cos







Contoh Soal 3:

cos ⅆ …. Pembahasan:

cos ⅆ c o s ∙ c o s ⅆ

1 s i n cosⅆ cossin cos ⅆ c o s ⅆ sin cosⅆ s i n s i n cos ⅆsin

cos s i n s i n ⅆsin s i n 1

3sin

Contoh Soal 4:


cos ⅆ c o s ∙ c o s ⅆ

cos

∙cosⅆ 1 s i n cosⅆ 1 2 s i n s i n cosⅆ cos2sin cossin cos ⅆ c o s ⅆ 2 sin cosⅆ sin cosⅆ s i n 2 s i n cos ⅆsin

cos sin cos ⅆsincos

s i n s i n ⅆsin sin ⅆsin s i n 23 sin 1

5 sin








Contoh Soal 5:

2sin 3ⅆ …. Pembahasan:

2sin 3 ⅆ 2 s i n 3 ⅆ33

23 sin 3 ⅆ3 2

3 sin 3∙sin3ⅆ3 2

3 1 c os 3 sin3ⅆ3 2

3 sin3cos 3sin3 ⅆ3 2

3 [sin3ⅆ3 cos 3sin3ⅆ3]

23 cos3 cos

3sin3ⅆcos3sin3 2

3 [cos3cos 3 ⅆcos3] 2

3 cos3 23 cos 3 ⅆcos3

23 cos3 2

3 ∙ 13 cos 3

23 cos3 2

9 cos 3

Contoh Soal 6:

3cos 5ⅆ …. Pembahasan:

3cos 5 ⅆ 3 c o s 5 ⅆ55

35 cos 5 ⅆ5

35 cos 5∙cos5ⅆ5

35 1 s i n 3 cos5ⅆ5 35 cos5sin 5cos5 ⅆ5

35 [cos5ⅆ5 sin 5cos5ⅆ5]

35 sin5 sin 5cos5 ⅆsin5

cos5 3

5 [sin5sin 5 ⅆsin5]

35 sin5

35 sin

5 ⅆsin5 35 sin5 35 ∙ 13 sin 3 3

5 sin5 315 sin 3







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ dengan

= bilangan ganjil?

sin ⅆ Karena n bilangan ganjil maka 21 s i n+ ⅆ (Ingat sifat pangkat sin+ sin sin)

s i n

sinⅆ (Ingat sifat pangkat sin

sin

) sin sinⅆ Ingat identitas trigonometrisin 1 c o s 1 c os sinⅆ Samakan dulu operator integralnya 1 c os sin ⅆcos

sin 1 c os ⅆcosIngat Binomial Newton:

∑ ∙ −

∙

=1 c os ∑ ∙ 1 ∙ cos

= ∑ ∙ 1 ∙ cos

=ⅆcos (Ingat 1− 1 jadi coret saja)

∑ ∙ cos

=ⅆcos Keluarkan konstanta dari integral

∑ cos

ⅆcos

= Ingat cos (1 ∙cos )

∑ (1 ∙cos ) ⅆcos

= Ingat (1 ∙cos ) 1cos

∑ 1cos ⅆcos

= (Keluarkan konstanta dan cos cos )

∑ ∙ 1 cos ⅆcos

= Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma

∑1 ∙ ∙ 1 cos ⅆcos

= (Ingat 1 ∙ ∙ 1 1+) ∑1+ ∙ cos ⅆcos

= Ingat cos ⅆcos 1

2 1 cos+

∑1+ ∙ ∙ 12 1 cos+

= Rapikan bentuknya

∑ 1+ ∙ 2 1 cos+

= Hore! Selesai

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dst….








Contoh Soal 1:

Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:

sin ⅆ …. Pembahasan:

Karena pangkatnya ganjil berarti:

2 1 ⇒ 5 2 1⇔ 5 1 2 ⇔ 6 2⇔ 3

Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!! sin ⅆ

Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.

1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.

2.

Bilangan segitiga pascal.

3.

Bilangan ganjil (

cos berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif sin ⅆ

Bilangan segitiga pascal sin ⅆ

Bilangan ganjil

sin

ⅆ

Jadi penyelesaiannya adalah:

sin ⅆ c os 23 cos 1

5 cos







Contoh Soal 2:




2 1 ⇒ 7 2 1⇔ 7 1 2 ⇔ 7 2⇔ 4

Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!! sin ⅆ


1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.

2. Bilangan segitiga pascal.

3.

Bilangan ganjil (

cos berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif sin ⅆ

Bilangan segitiga pascal sin ⅆ

Bilangan ganjil

sin

ⅆ


sin ⅆ cos cos 35 cos 1

7 cos








Contoh Soal 3:


sin 5ⅆ …. Pembahasan:


2 1 ⇒ 3 2 1⇔ 3 1 2 ⇔ 4 2⇔ 2

Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!! sin 5 ⅆ

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan

menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5, sedangkan operatornya ⅆ. Jadi ⅆ harus disesuaikan menjadi

.

Sehingga,

sin 5 ⅆ s i n 5 ⅆ55 1

5 sin 5 ⅆ5

Artinya,

sin 5 ⅆ 15 sin 5 ⅆ5


1.

Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.

2.


3. Bilangan ganjil (cos berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif sin 5 ⅆ5

Bilangan segitiga pascal sin 5 ⅆ5

Bilangan ganjil sin 5 ⅆ5


sin 5 ⅆ 15 sin 5 ⅆ5 1

5 – cos 5 13 cos 5

15 cos 5 1

15 cos 5







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ dengan

= bilangan ganjil?

cos ⅆ Karena n bilangan ganjil maka 2 1 c os+ ⅆ (Ingat sifat pangkat cos+ cos cos)

c os

cosⅆ (Ingat sifat pangkat cos

cos

) cos cosⅆ Ingat identitas trigonometricos 1 s i n 1 s i n cosⅆ Samakan dulu operator integralnya 1 s i n cos ⅆsin

cos 1 s i n ⅆsinIngat Binomial Newton:

∑ ∙ −

∙

=1 s i n ∑ ∙ 1 ∙ sin

= ∑ ∙ 1 ∙ sin

=ⅆsin (Ingat 1− 1 jadi coret saja)

∑ ∙ sin

=ⅆsin Keluarkan konstanta dari integral

∑ sin

ⅆsin

= Ingat sin (1 ∙ sin )

∑ (1 ∙sin ) ⅆsin

= Ingat (1 ∙ sin ) 1sin

∑ 1sin ⅆsin

= (Keluarkan konstanta dan cos cos )

∑ ∙ 1 sin ⅆsin

= (Ingat 1 ∙ ∙ 1 1+)

∑1 ∙ sin ⅆsin

= Ingat sin ⅆsin 12 1 sin+ ∑1 ∙ ∙ 1

2 1 sin+

= Rapikan bentuknya

∑ 1 ∙ 2 1 sin+

= Hore! Selesai

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….








Contoh Soal 1:




2 1 ⇒ 5 2 1⇔ 5 1 2 ⇔ 6 2⇔ 3

Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!! cos ⅆ


1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.

2.


3.

Bilangan ganjil (

sin berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif cos ⅆ

Bilangan segitiga pascal cos ⅆ

Bilangan ganjil

cos

ⅆ


cos ⅆ sin 23 sin 1

5 sin







Contoh Soal 2:




2 1 ⇒ 7 2 1⇔ 7 1 2 ⇔ 7 2⇔ 4

Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!! cos ⅆ


1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.

2. Bilangan segitiga pascal.

3.

Bilangan ganjil (

sin berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif cos ⅆ

Bilangan segitiga pascal cos ⅆ

Bilangan ganjil

cos

ⅆ


cos ⅆ sin s in 35 sin 1

7 sin








Contoh Soal 3:


cos 5ⅆ …. Pembahasan:


2 1 ⇒ 3 2 1⇔ 3 1 2 ⇔ 4 2⇔ 2

Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!! cos 5 ⅆ

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan

menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5, sedangkan operatornya ⅆ. Jadi ⅆ harus disesuaikan menjadi

.

Sehingga,

cos 5 ⅆ c o s 5 ⅆ55 1

5 cos 5 ⅆ5

Artinya,

cos 5 ⅆ 15 cos 5 ⅆ5


1.

Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.

2.


3. Bilangan ganjil (sin berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif cos 5 ⅆ5

Bilangan segitiga pascal cos 5 ⅆ5

Bilangan ganjil cos 5 ⅆ5


cos 5 ⅆ 15 cos 5 ⅆ5 1

5 sin 5 13 sin 5

15 sin5 1

15 sin 5








= bilangan genap?


= bilangan genap?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas

trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.

cos22cos 1 ⇒ c os 12 cos2

12c o s 2 1 2 s i n ⇒ sin 12 12 cos2

Contoh Soal 1:


sin ⅆ 12 12 cos2 ⅆ 12 1

2 cos2ⅆ 1

2 12 cos2 ⅆ2

2 1

2 12 ∙ 1

2 cos2ⅆ2 1

2 14 sin2

Contoh Soal 2:


sin ⅆ sin ⅆ 1

2 12 cos2 ⅆ

14 1

2 cos2 14 cos 2ⅆ

14 12 cos2 14 12 12 cos4 ⅆ 1

4 12 cos2 1

8 18 cos4ⅆ

38 1

2 cos2 18 cos4ⅆ

38 ⅆ 1

2 c os 2ⅆ 18 cos4ⅆ

38 1

4 sin2 132 sin4









Nah, untuk bentuk integral ∫ sin cos ⅆ , maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri

Pythagoras, yaitu.

sin c o s 1 ⇒ s i n 1 c o s ⇒ cos 1 s i n


sin cosⅆ

cos sinⅆ

Contoh Soal 1:

sin cos ⅆ …. Pembahasan:

sin cos ⅆ c o s sin ∙ s i n ⅆ c os 1 c os sinⅆ 1 c os sinⅆ sincos sin ⅆ s i n ⅆ cos sinⅆ c o s c o s sin ⅆcossin c o s c o s ⅆcos c o s 1

5 cos

Contoh Soal 2:

sin cos ⅆ …. Pembahasan:

sin cos ⅆ s i n cos ∙ c o s ⅆ s i n 1 s i n cosⅆ 1 s i n cosⅆ cossin cos ⅆ c o s ⅆ sin cosⅆ s i n s i n cos ⅆsincos s i n s i n ⅆsin s i n 1

5 sin








Nah, untuk bentuk integral ∫ tan sec ⅆ, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri

Pythagoras, yaitu.

sin c o s 1 ⇒ t a n 1 s e c ⇒ 1 c o t c s c


tan sec ⅆ, jika pangkatsec genap. sec sectan ⅆ, jika pangkatsec ganjil, atau pangkat tan ganjil.

Contoh Soal 1:

tan sec ⅆ …. Pembahasan:

Karena pangkat sec genap, maka sisakan bentuk sec .

Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan sec ⅆ.

Okelah kalau begitu. Langsung saja!

tan sec ⅆ ta n sec ⅆtansec

ta n ⅆtan 1

3tan

Contoh Soal 2:



Gunakan bantuan identitas trigonometri tan 1 s e c

Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan sec ⅆ .

tan sec ⅆ t a n sec sec ⅆ ta n tan 1 sec ⅆ tan t a n sec ⅆ tan sec tan sec ⅆ tan sec ⅆ tan sec ⅆ ta n sec ⅆtan

sec

tan sec ⅆtan

sec

ta n ⅆtan tan ⅆtan 1

5 tan 13 tan








Contoh Soal 3:


Cara 1:


Gunakan bantuan identitas trigonometri

tan 1 s e c

Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan sec ⅆ .

tan sec ⅆ t a n sec sec ⅆ ta n tan 1 sec ⅆ tan t a n sec ⅆ tan sec tan sec ⅆ

tan sec ⅆ tan sec ⅆ ta n sec ⅆtansec tan sec ⅆtan

sec ta n ⅆtan tan ⅆtan 1

6 tan 14 tan

Cara 2:

Karena pangkat tan ganjil, maka sisakan bentuk sectan.


Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec sectan ⅆ .

tan sec ⅆ t a n sec sectan ⅆ sec 1 sec sectan ⅆ sec s e c sectan ⅆsec sectan sec sectan ⅆ

sec sectan ⅆ sec sectan ⅆ s e c tansec ⅆsecsectan sec tansec ⅆsec

sectan s e c ⅆsec sec ⅆsec 1

6 sec 14 sec







Contoh Soal 4:


Karena pangkat sec ganjil, maka sisakan bentuk sectan.


Sehingga, bentuk integral menjadi

∫ sec sectan ⅆ.

tan sec ⅆ t a n sec sectan ⅆ sec 1 sec sectan ⅆ sec s e c sectan ⅆ (sec sectan sec sectan) ⅆ

sec sectan ⅆ sec sectan ⅆ s e c tansec ⅆsecsectan sec tansec ⅆsec

sectan s e c ⅆsec sec ⅆsec 1

5 sec 13 sec









Nah, untuk bentuk integral ∫ cot csc ⅆ , maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri

Pythagoras, yaitu.

sin c o s 1 ⇒ t a n 1 s e c ⇒ 1 c o t c s c


cot csc ⅆ, jika pangkatcsc genap. csc csccot ⅆ, jika pangkat csc ganjil, atau pangkat cot ganjil.

Contoh Soal 1:

cot csc ⅆ …. Pembahasan:

Karena pangkat csc genap, maka sisakan bentuk csc .

Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot csc ⅆ.

Okelah kalau begitu. Langsung saja!

cot csc ⅆ c ot csc ⅆcotcsc

c o t ⅆcot 1

3cot

Contoh Soal 2:



Gunakan bantuan identitas trigonometri cot 1 c s c

Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot csc ⅆ.

cot csc ⅆ c o t csc csc ⅆ c ot 1 c ot csc ⅆ cot c o t csc ⅆ cot csc cot csc ⅆ cot csc ⅆ cot csc ⅆ c ot csc ⅆcot

csc

cot csc ⅆcot

csc

c o t ⅆcot cot ⅆcot 1

3 cot 15 tan







Contoh Soal 3:


Cara 1:


Gunakan bantuan identitas trigonometri

1 c ot c s c

Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot csc ⅆ.

cot csc ⅆ c o t csc csc ⅆ c ot 1 c ot csc ⅆ cot c o t csc ⅆ cot csc cot csc ⅆ

cot csc ⅆ cot csc ⅆ c ot csc ⅆcotcsc cot csc ⅆcot

csc c o t ⅆcot cot ⅆcot 1

4 cot 16 cot

Cara 2:

Karena pangkat cot ganjil, maka sisakan bentuk csccot.

Gunakan bantuan identitas trigonometri cot 1 c s c

Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc csccot ⅆ .

cot csc ⅆ c o t csc csccot ⅆ csc 1 csc csccot ⅆ csc c s c csccot ⅆcsc csccot csc csccot ⅆ

csc csccot ⅆ csc csccot ⅆ c s c cotcsc ⅆcsccsccot csc cotcsc ⅆcsc

csccot c s c ⅆcsc csc ⅆcsc 1

6 csc 14 csc








Contoh Soal 4:


Karena pangkat csc ganjil, maka sisakan bentuk csccot.

Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 c ot c s c

Sehingga, bentuk integral menjadi

∫ csc csccot ⅆ.

cot csc ⅆ c o t csc csccot ⅆ csc 1 csc csccot ⅆ csc c s c csccot ⅆ (csc csccot csc csccot) ⅆ

csc csccot ⅆ csc csccot ⅆ c s c cotcsc ⅆcsccsccot csc cotcsc ⅆcsc

csccot c s c ⅆcsc csc ⅆcsc 1

5 csc 13 csc







Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?

Bentuk Substitusi Turunan Hasil

√

s i n ⅆ c o s ⅆ √ c o s

√

t a n

ⅆ s e c ⅆ

√ s e c

√

s e c ⅆ s e c ta n ⅆ √ t a n








an masih banyak yang lainnya….




http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN MatematikaSMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri ini….













TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri

Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART

SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometrimemerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan.

Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga

adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokokbahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti

bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT danSMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri…

Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang

dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :)

Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html

untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri ini… :







Pak Anang.



















5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Integral Tak Tentu

Definisi

“ ebalikan Proses Turunan”

Integral Turunan

′ ⇒ ⅆ

Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri

∫ ⅆ + + ∫ ⅆ + +

Sifat:

∫ ⅆ ∫ ∙ ⅆ ∫ ⅆ∫ ± ⅆ ∫ ⅆ ± ∫ ⅆ

Integral Tertentu

Definisi

ⅆ

∫ sec ⅆ t a n ∫ c s c ⅆ cot ∫ s e c t a n ⅆ s e c ∫ c s c c o t ⅆ c s c








Teknik Integral Aljabar

Integral Langsung

“

Jika sesuai dengan Rumus Dasar

”

harus dalambentuk pangkat

∫ □ ⅆ□ + □+

harus sama

∫ ± ⅆ …. boleh dalam bentuk

penjumlahan atau pengurangan

tidak boleh perkalian pembagian

∫ × ⅆ … . ⅆ ….

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,

maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ 3 ⅆ

Fungsi integran dan operator

masih belum sama

harus sama

∫ 3 ⅆ 4

∫ √ ⅆ ∫ ⅆ

Bentuk pangkat Bentuk pangkat

belum terlihat belum terlihat

∫ ⅆ ∫ 5− ⅆ

∫ 3 ⅆ ∫ 1 ⅆ

Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam

bentuk perkalian bentuk perkalian

∫ 3 ⅆ ∫ 2 1 ⅆ

dan lain-lain …

turunan

∫ 3 ⅆ


masih belum sama

harus sama

∫ 3 ⅆ 4

∫ ⅆ ∫ ⅆ

turunan

Perbedaan mendasar antara

teknik integral substitusi dengan

teknik integral parsial.

Sederhanakan

Nggak boleh muncul

variabel

Sederhanakan

Tetapi masih muncul

variabel







LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar.

Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

→ + +

+ + +

Proses mencari integral fungsi terhadap :

1. Tambah satu pangkatnya!

2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama!

3. Tambahkan dengan konstanta .4. Selesai!

TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.

Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut:

Lho ini kan saling berkebalikan?

→ + +

Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan

bentuk pangkat pecahan.

Misalnya,

2 ⅆ 2 ⅆ Ingat konsep ∫ ⅆ ∫ ⅆalias buang semua konstanta keluar integral 2 ∙ 25 45

Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!

Pangkat ditambah 1 menjadi berapa?

, kan?

Mudah saja, balik angka

menjadi

.

Jadi,

ⅆ 25

Lho ini kan saling berkebalikan?








Teknik Integral Trigonometri

Integral Langsung

“

Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri

”

∫ sin □ ⅆ□ cos □ ∫ cos □ ⅆ□ s i n □ ∫ sec □ ⅆ□ t a n □ ∫ c s c □ ⅆ□ cot □ ∫ s e c □ t a n □ ⅆ □ s e c □ ∫ c s c □ c o t □ ⅆ □ c s c □

∫ ± ⅆ

boleh dalam bentuk

penjumlahan atau pengurangan

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,

maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ t a n ⅆ ∫ c o t ⅆ

Adanya konsep Adanya konsep

integral integral

∫ sec 1 ⅆ ∫ csc 1 ⅆ

∫sincosⅆ ∫ s i n ⅆ ∫coscosⅆ ∫ c o s ⅆ ∫sinsinⅆ dst …

Diubah menjadi Sin Cos berpangkat

bentuk perjumlahan genap harus diubah

Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut

2 2 2 2 sin cos2cos cos2

Jadi, ∫ s i n ⅆ

juga diubah menjadi∫ s i n sin ⅆ

dan lain-lain …

∫2sin ⅆ


masih belum sama

harus sama

∫2sin ⅆ 6

∫ co s ⅆ


masih belum sama

harus sama

∫ cos ⅆcos

∫ 2 sin ⅆ


masih belum sama

harus sama

∫ 2 sin ⅆ 6

∫ ⅆ ∫ ⅆ ⊕ ⊖

turunan

urunan

Sederhanakan

Nggak boleh muncul

variabel

turunan

Sederhanakan

Nggak boleh muncul

variabel

Sederhanakan

Tetapi masih muncul

variabel







LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.

Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

Cara membacanya:

∫ s i n ⅆ c o s ∫ c o s ⅆ s i n ∫ s i n ⅆ c o s ∫ c o s ⅆ s i n

Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus.

Integralnya kosinus adalah sinus.

KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari

fungsi trigonometri. *)

Perhatikan konsep berikut:

tan cot

sec csc

□ □

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203

(http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)

Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:

∫ sec ⅆ t a n ∫ c s c ⅆ cot ∫ s e c t a n ⅆ s e c ∫ c s c c o t ⅆ c s c

Cara membacanya: t a n ′ sec c o t ′ c s c s e c ′ sectan c s c ′ c s c c ot












Tips dan Trik Integral Trigonometri

Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifatturunan dari fungsi trigonometri. OK!

Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada

Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut:


Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:

Rumus identitas trigonometrisin c o s 1tan 1 s e c 1 c ot c s c sin 12 12 cos2cos 1

2 1

2cos2

sin22sincosRumus perkalian trigonometri

sincos 12 sin sin cossin 12 sin sin coscos 12 cos cos s i n s i n 12 cos cos

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisadituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:

∫ s i n cos ⅆ 1 1 sin+ ∫ c o s sin ⅆ 1 1 cos+ ∫ t a n sec ⅆ 1 1 tan+ ∫ c o t csc ⅆ 1 1 cot+

∫ s e c

sectan ⅆ 1

1 sec+

∫ c s c csccot ⅆ 1 1 csc+














TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral.

Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya “sedikit berbeda”dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat

aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar.

Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsiintegral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau

pengurangan. TITIK!

Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentukyang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu

yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri.

TITIK!

Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:

Contoh Soal 1:

Hasil dari

3 ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar.

Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!

3 ⅆ 3 ⅆ Ingat √ 3 ⅆ Ingat ⅆ atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215

3 ∙ 57 157

Contoh Soal 2:

Hasil dari


Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut.Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!

25 ⅆ Ingat 1 − 25 − ⅆ 25 − ⅆ 25 ∙ 12 − 15 − 15








Contoh Soal 3:

Hasil dari


Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!

1 ⅆ Ingat 1 − − ⅆ 10 − tidak terdefinisi

Lho kok tidak terdefinisi????????

Ya! Khusus

∫

ⅆapabila

1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral.

Jadi,

− ⅆ ≠ 1 1 1 −+

tetapi menggunakan rumus:

− ⅆ 1 ⅆ l n||







Contoh Soal 5:

Hasil dari

3 5 ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian.

Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!

3 5 ⅆ 3 5 ⅆ Ingat ⅆ ⅆ ⅆ 3 ⅆ 5 ⅆ 34 53

Contoh Soal 6:

Hasil dari


Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkaliansebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu × × × … × .

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak faktor!

2 3 ⅆ 2 32 3 ⅆ Ingat 2 4 1 2 9 ⅆ 43 6 9

Contoh Soal 7:

Hasil dari

4 32 ⅆ ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya….. 4 3

2 ⅆ 42 3

2 ⅆ Ingat 2 32 ⅆ

2

ⅆ 32 ⅆ (

Menyelesaikan bentuk 32 ⅆ yang paling mudah adalah

32 ⅆ 32 ⅆ 32 ∙ 12 ) 24 32 ∙ 12 12 34








Contoh Soal 8:

Hasil dari

3 t a n ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.

Bentuk tan bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.

Jadi ∫ t a n ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.

Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ s e c ⅆ t a n .

Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!

Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:tan 1 s e c ⇒ t a n s e c 1

3 t a n ⅆ Ingat tan s e c 1

3 sec 1 ⅆ 2 s e c ⅆ 2 ⅆ s e c ⅆ 2 t a n

Contoh Soal 9:

Hasil dari

2cot 5 ⅆ ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.

Bentuk cot bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.

Jadi ∫ c o t ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.

Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ c s c ⅆ c o t .

Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!

Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:1 c ot c s c ⇒ c o t c s c 1

2cot 5 ⅆ Ingat cot c s c 1 2csc 1 5 ⅆ 2csc 7 ⅆ 2 c s c ⅆ 7 ⅆ

2 c s c ⅆ 7 2cot 7 2 c o t 7







Contoh Soal 10:

Hasil dari

sin3cos ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri.

Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong!

Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:

Rumus perkalian trigonometri

sincos 12 sin sin cossin 12 sin sin coscos 12 cos cos

s i n s i n 12 cos cos

Jadi,

s i n3 c os ⅆ 12 sin3 sin3 ⅆ 12 sin4sin2 ⅆ 12 sin4 12 sin2ⅆ 12 s i n4 ⅆ 12 sin2ⅆ

12 sin4ⅆ 12 sin2ⅆKarena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut sinus 4 dan 2, sementara operator integralnya ⅆ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!








Contoh Soal 10:

Hasil dari


Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkaliansebanyak

faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu

× × × … × .

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:

Rumus identitas trigonometri

sin 12 12 cos2cos 12 12 cos2

Jadi,

sin ⅆ 12 12 cos2ⅆ 12 ⅆ 12 cos2ⅆ 12 12 cos2ⅆKarena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut kosinus 2, sementara operator integralnya ⅆ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!

Contoh Soal 10:

Hasil dari


Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkaliansebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu × × × … × .

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:

Rumus identitas trigonometrisin 1 c o s cos 1 s i n

Jadi,

sin ⅆ s i n sinⅆ 1 c o s sinⅆ sincos sin ⅆ

s i n ⅆ cos sinⅆKarena fungsi integran dan operator integral tidak sama.Fungsi integran cos sin , sementara operator integralnya ⅆ.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!







LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi.

Ingat Lagi Ya

Konsep Dasar Integral

harus dalam

bentuk pangkat

∫ □ ⅆ□ + □+ harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Substitusi

harus dalam

bentuk pangkat

∫ □ ⅆ∆

belum sama

Gantilah operator integral

dengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebut

dan letakkan menjadi penyebut.

Periksa!Apakah hasil bagi fungsi yang lain

dengan turunan operator integralmasih memuat variabel ?

Tidak! Ya!

Nggak ada variabel lagi! Masih menyisakan variabel !

Integral Substitusi Integral Parsial

Teknik Tabulasi








TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi.

Perhatikan konsepnya:ⅆⅆ 4 9 2 4 ⇒ ⅆ 4 9 2 4 ⅆ⇔ ⅆ 4 92 4 ⅆ

⇔ ⅆ ⅆ

4 92 4

Jadi ⅆ pada soal bisa diganti dengan

Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut:

Jadi, ⅆ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut!

Contoh:

3 5 3 5

sin4 s i n4

3cos2 3 c os2

dan lain-lain ….. Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisamembagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi.

Contohnya:

3cos2 ⅆ 3 cos2 ⅆ24 34 cos2 ⅆ2 34 cos2 ⅆ2 34 cos □ ⅆ□

Pokoknya variabel Hore!!!!! Hore!!!!!!

harus hilang!!! Variabel udah hilang!!!! Sudah sama!!!!

Kalau hilang berarti integral substitusi.

Kalau enggak hilang berarti integral parsial.

turunannya

turunannya

turunannya

turunannya







Contoh Soal 1:

Hasil dari

3 6 1− ⅆ …. a. 6 1−

b. 6 1−

c. 6 1−

d. 6 1−

e. 6 1−

Pembahasan:

Perhatikan soal,

3 − ⅆ

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah

teknik integral parsial.

3 − ⅆ ⇒ 3 − ⅆ

Periksa, apakah hasil −− tidak menyisakan variabel ?

Ternyata hasil dari−− , dan kita sudah tidak menemukan variabel yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi.

Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

3 6 1− ⅆ 3 6 1− ⅆ 6 12 6 Ingat 12 □ ⅆ 12 □ ⅆ

6 1− ⅆ 6 1 Ingat □ ⅆ 1 1 □+ 12 ∙ −+ 12 ∙ 12 6 1− 14 6 1−

Ganti operator integral

turunannya

Periksa hasilnya, apakah masih

menyisakan variabel ?

2

1








Contoh Soal 2:

Hasil dari

6 3 5 ⅆ …. a.

6 5√ 62 5

b. 3 5√ 32 5

c. 5√ 2 5

d. 5√ 2 5

e. 3 5√ 32 5

Pembahasan:


6 3 5 ⅆ Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK! Ingat √ □ ⅆ □ ⅆ 6 3 5 ⅆ Samakan dulu operator integralnya 6 3 5 ⅆ3 56 3 5 ⅆ3 5 Ingat □ ⅆ 1 1 □+

+

1 3 5 23 3 5 23 3 5 Ingat sifat pangkat + ∙ 23 3 53 5 2

33 5 3 5







Contoh Soal 3:

Hasil dari



32 5 ⅆ 3 12 5 ⅆ 3 2 5− ⅆ Samakan dulu operator integralnya 3 2 5− ⅆ2 52 32 2 5− ⅆ2 5 Buang semua konstanta keluar integral 32 ln|2 5|

Contoh Soal 4:

Hasil dari 3 1 ⅆ …. Pembahasan:


3 1 ⅆ 3 1 ⅆ Ingat ℎ ℎ3 1

1

1⇒ 3 1 1 1 1 1⇔ 3 1 1 1 1⇔ 3 1 1 1⇔ 3 1 1 1⇔ 3 1

}

3 1 1 dan 2

⇒ 3 1 ⅆ 1 ⅆ Ingat, dari perhitungan di atas ternyata 1 dan 2⇔ 3 1 ⅆ 1 2 1 ⅆ

1 ⅆ 2 1 ⅆ ln|| 2 1 ⅆ 11 ln|| 2 1 1 ⅆ 1

ln|| 2 l n| 1|








Contoh Soal 5:

Hasil dari

sin4 ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan

operator integralnya.

Maksudnya?

Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu 4 . Padahal operator integralnya adalah ⅆ. Artinya fungsi sinus

tersebut diintegralkan terhadap variabel . Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator

integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya.


sin4 ⅆ Samakan dulu operator integralnya

s i n4 ⅆ4 4 Ternyata tidak ada variabel tersisa.Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial. 14 sin4 ⅆ4 Ingat sin□ⅆ□cos□ 14 ∙ cos4 14 cos4







Contoh Soal 5:

Hasil dari

sin c os ⅆ …. Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya.

Maksudnya?

Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan? s i n ′ c os c os ′ s i n t a n ′ sec c ot ′ c s c s e c ′ sectan c s c ′ csccot

Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas.

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat

dan memuat fungsi turunannya maka bisa

dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:∫ s i n cos ⅆ 1 1 sin+ ∫ c o s sin ⅆ 1 1 cos+ ∫ t a n sec ⅆ 1 1 tan+ ∫ c o t csc ⅆ 1 1 cot+ ∫ s e c sectan ⅆ 1 1 sec+ ∫ c s c csccot ⅆ 1 1 csc+

Jadi ∫ sin cosⅆ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator

integral dari yang semula ⅆ menjadi ⅆsin.


sin c o s ⅆ Samakan dulu operator integralnya s i n cos ⅆsin

cos

s i n ⅆsin Ingat sin □ ⅆsin□ 1 1 sin+ □ 14 sin








Contoh Soal 6:

Hasil dari


Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:

∫ s i n cos ⅆ 1 1 sin+ ∫ c o s sin ⅆ 1 1 cos+

Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1.

Misalnya ∫ s i n ⅆ, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ c o s sin.

Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:

sin c o s 1


sin ⅆ Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1Jadi ubah dulu sin s i n− sin s i n sinⅆ 1 c os sinⅆ Ingatsin c o s 1 ⇒ s i n 1 c o s

sincos sin ⅆ Ingat ∫ ⅆ ∫ ⅆ ∫ ⅆ s i n ⅆ c o s sinⅆ Penyelesaian ∫ cos sinⅆ lihat Contoh Soal 4 c o s c o s sin ⅆcossin Ingat cos □ ⅆcos□ 1 1 cos+ □ c o s c o s ⅆcos c o s 13 cos


Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul

SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

pada laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!

Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!










LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial.

Ingat Lagi Ya

Konsep Dasar Integral

harus dalam

bentuk pangkat

∫ □ ⅆ□ + □+ harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Parsial

atau

Metode Tabulasi

harus dalam

bentuk pangkat

∫ □ ⅆ∆

belum sama

Gantilah operator integraldengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebutdan letakkan menjadi penyebut.

Periksa!

Apakah hasil bagi fungsi yang lain

dengan turunan operator integral

masih memuat variabel ?

Tidak! Ya!

Nggak ada variabel lagi! Masih menyisakan variabel !

Integral Substitusi Integral Parsial

Teknik Tabulasi








Contoh Soal 1:

Hasil dari ∫ √ 1 ⅆ …. a.

1√ 1 1√ 1

b. 3 2√ 1

c. 3 4√ 1

d. 3 2√ 1

e. 2√ 1

Pembahasan:

Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,

√ 1 ⅆ ⅆ

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik

integral parsial.

ⅆ ⇒ ⅆ

Periksa, apakah hasil

tidak menyisakan variabel ?

Ternyata hasil dari , dan kita masih menemukan variabel yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.

1 ⅆ Ingat integral parsial Misal ⇒ ⅆⅆ 1

⇔ ⅆMaka 1ⅆ ⇒ ∫ ⅆ ∫ 1ⅆ

⇔ 23 1

⇒ 1 ⅆ ∙ 23 1 23 1 ⅆ 11 23 1 23 ∙ 25 1 23 1 415 1 keluarkan FPB-nya 1 1 [23 415 1] 1 1 6

15 4

15

1 1 215 3 2 215 3 2 1 1 215 3 2 1

215 3 2√ 1

Ganti operator integral

Periksa hasilnya, apakah masih

menyisakan variabel ?

turunannya







Contoh Soal 2a:

Hasil dari

1 cos ⅆ …. a. s i n 2 c o s

b. 1 s i n 2 c o s

c.

3 s i n 2 c o s

d. 2 c os 2 s i n

e. 2sin 1 c o s

Pembahasan:


1 cosⅆ Ingat integral parsial

Misal 2 ⇒ ⅆⅆ 2⇔ 2 ⅆ Maka cos ⅆ ⇒ ∫ ⅆ ∫ cos ⅆ⇔ s i n⇒ 1 c o s ⅆ

∙ ∙ 1 sin2sinⅆBentuk 2 sin ⅆ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial⇒ 1 c o s ⅆ 1 s i n 2 ⏟ sinⅆ Misal 2 ⇒ ⅆⅆ 2

⇔ 2 ⅆ Maka sin ⅆ ⇒ ∫ ⅆ ∫ sin ⅆ⇔ c o s

⇒

1 c o s ⅆ

1 s i n [ ] 1 s i n [ 2 ∙ cos cos ∙ 2 ⅆ ] 1 s i n [2cos 2 c o s ⅆ ] 1 s i n 2cos 2 s i n 1 s i n 2 c o s 2 s i n += 1 s i n 2 s i n 2 c o s 1 2 s i n 2 c o s 1 s i n 2 c o s

Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi.

Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah

diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit.

Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!








TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi.

Contoh Soal 2b:

Hasil dari

1 cosd …. a.

s i n 2 c o s

b. 1 s i n 2 c o s

c. 3 s i n 2 c o s

d. 2 c os 2 s i n

e. 2sin 1 c o s

Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:

Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi :

Buat tabel dengan dua kolom.

Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudahsecara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol.

Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumitsecara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri.

Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerongserta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian.

Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!!

Selesai!

1mudah

cosrumit

ⅆ Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit

Kolom Kiri

(Turunkan)

Kolom Kanan

(Integralkan)

1 cos

2 sin

2 cos

0 sin

1 c os d

1 s i n 2 c o s 2 s i n 1 s i n 2 s i n 2 c o s 1 2 s i n 2 c o s 1 s i n 2 c o s

Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya.

Coba bandingkan hasilnya!

⊖ ⊕

⊕

1 sin

2cos

2sin







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:

bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri;

ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa

diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.

Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5

tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.

Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan

dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √ , √ , dan√ .

Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat

nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN

INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikuthttp://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!

Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!














TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.

Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu

ⅆ

Contoh Soal 1:

Hasil dari

6 8 3 ⅆ …. a. 96

b. 108

c. 112

d. 116

e. 128

Pembahasan:


6 3 ⅆ [ 2 12 3]

24 12 4 34 22 12 2 32 2 ∙ 6 4 12 ∙ 1 6 1 2 2 ∙ 8 12 ∙ 4 6 1 2 8 8 1 2 1 6 2 6 132 20112


Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana

menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.

Misal 2 3

Maka, 24 4 34 22 2 32

24 4 34 22 2 32 24 22 4 2 34 32 2 4 2selisihnya 4 2selisihnya

3 4 2selisihnya

6 3 ⅆ [2 12 3]

24 2 12 4 2 34 2

26 4 8 12 1 6 4 32 256 12 12 32 1 1 2 6 6112

Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.










http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013pada bab Integral ini….






http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html









1. Hasil dari

dx

x x

x

72723

13 ....

A.

C

7233

1

62

x x

B.

C

7234

1

62

x x

C.

C

7236

1

62

x x

D.

C

72312

1

62

x x

E.

C

72312

1

72

x x

2. Hasil dari dx x x 133 2

....

A. C13)13(3

2 22 x x

B. C13)13(2

1 22 x x

C. C13)13(3

1 22 x x

D. C13)13(2

1 22 x x

E. C13)13(3

2 22 x x

3. Hasil dari dx x x x 92

96434 ....

A. C96410

1 102

x x

B. C3215

1 20

x

C. C3220

1 20

x

D. C964

20

1 102

x x

E. C96430

1 102

x x

4. Hasil dari

dx

x

x

7 53

2

52

2 ....

A. C527

37

33 x

B. C523

66

73

x

C. C527

67

63

x

D. C526

7 7

23 x

E. C526

72

73

x

3 13 2 7 ⅆ 3 13 2 7− ⅆ3 2 76 2

12 3 2 7−ⅆ3 2 7

12 ∙

16 3

2 7−

C

1123 2 7 C

3 3 1 ⅆ 33 1 ⅆ3 16

12 3 1 ⅆ3 1

12 ∙ 23 ∙ 3 1 C

13 3 1 3 1 C

4 34 6 9 ⅆ 4 34 6 9 ⅆ4 6 98 6

12 42 6 9 ⅆ42 6 9

12 ∙ 110 ∙ 42 6 9 C

120 42 6 9 C

2 2 5 ⅆ 2

2 5ⅆ2 56

13 2 5− ⅆ2 5

13 ∙ 72 2 5 C 76 2 5 C







5. Nilai dari 2

1

254 dx x x ....

A. 6

33

B. 6

44

C.

6

55

D. 6

65

E. 6

77

6. Nilai dari 4

1

222 dx x x ....

A. 12

B. 14

C.

16

D. 18

E. 20

7. Nilai dari 2

0

2733 dx x x ....

A. 6

B. 10

C. 13

D. 16

E.

22

8. Nilai dari 3

1

2342 dx x x ....

A. 3

127

B. 2

127

C. 3

137

D. 2

137

E. 2

151

4 5 ⅆ [43 12 5]

43 2 12 2 52 43 1 12 1 51

32

3 2 1 0 4

3 1

2 5

563 356

112356

776

2 2 ⅆ [13 2]

13 4 4 24 13 1 1 21

643 1 6 8 13 1 2

643 8 13 1

12

32 3 7 ⅆ20 [3 32 2 7]0

2 23 32 22 72 03 32 02 70

8 6 1 4 0 16

22 4 3 ⅆ31 [23 3 22 3]0

2

23 33 232 33 23 13 212 31 183 1 8 9 23 2 3 183 2 7 23 5 2 7 5 18

3 2

3 2 2 163 2 2 5 13 27 13








9. Nilai dari π

2

1

0

cos32sin2 dx x x ....

A. −5

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

10. Nilai dari π

2

1

0

cos2sin3 dx x x ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

11. Nilai dari 2

π

0

)2sin( dx x ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 2

E. 4

12. Nilai dari

π

3

1

0)cos32(sin

dx x x ....

A. 324

3

B. 334

3

C. 3214

1

D. 3214

2

E. 3214

3





Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat dihttp://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.

Pak Anang.

2 s in2 3 co s ⅆ co s 2 3 s in

co s 3 s in 12 co s 0 3 s in0 1 3 1 0 2 1 1

3sin2cos ⅆ [ 32 cos2sin]

32 cossin 12 32 cos0sin0 32 1 32 0 2

s i n2 ⅆ [ 12 cos2 ]

12 cos0 12 cos 12 12 1

TRIK SUPERKILAT:

s i n2 ⅆ s i n2 ⅆ

[12 cos2]

1

sin23cos ⅆ [ 12 cos23sin]

12 cos240°3sin60°12 cos0°3sin0° 12 12 32 √ 3 12 0 14 32 √ 3 12 34 32 √ 3

34 1 2√ 2














5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.

Aplikasi Integral

Luas Daerah Volume Benda Putar

Luas Daerah Dibatasi Kurva Diputar Mengelilingi Sumbu X

Diputar Mengelilingi Sumbu Y

Volume Benda Antara Dua Kurva

Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva

= ∫

=

=

=

= ∫

=

=

=

= ∫

=

= =

= ∫

=

=

=

= ∫

+ ∫

=

=

=

=

= ∫

=

=

=

=

= ∫

= =

=

=

=

= ∫( )

=

=

= ∫( )

=

=

=

= ∫ () ( )

=

=

=

=

=

=

=

=

= ∫ () ( )







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral Luas Daerah)

Luas Daerah

Dibatasi Diketahui Garis Memotong

Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak

= 4 adalah nilai diskriminan

persamaan kuadrat: + + = 0 .

Persamaan kuadrat tersebut diperolehdari persekutuan kedua kurva.

= √ 6

= 23 × Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

= 16 ×Lebar×Tinggi

Lebar

Tinggi

= 13

= 23

X

Y

X

Y

X

Y

,

= 16

= 12

X

Y ,








Contoh Soal 1a:

Luas daerah yang dibatasi parabola = 8 dan garis = 2 adalah ....

a.

36 satuan luas

b. 41

satuan luas

c. 41 satuan luas

d.

46 satuan luas

e. 46 satuan luas

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: = ⇒ 2 = 8

⇔ 2 8

= 0⇔ 2 8 + = 0⇔ + 2 8 = 0⇔ + 4 2 = 0⇔ + 4 = 0 atau 2 = 0⇔ = 4 atau = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = 4 dan = 2.Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

= ∫

−

Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi 4 ≤ ≤ 2, berlaku ≥ .

Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: = 8 dan = 2

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

= ∫ 8 2 −

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

= ∫ 8

2

−= ∫ 2 + 8 −

= [ 13 + 8 ]−

= 13 2 2 + 8 2 + 13 4 4 + 8 4= 83 4 + 1 6 643 16 32

= 8 1 2 + 4 8

3 6 4 4 8 9 6

3 = 283 803 = 283 + 803= 1083= 36 satuan luas

X

Y = 2

= 8







Contoh Soal 1b:

Luas daerah yang dibatasi parabola = 8 dan garis = 2 adalah ....

a.

36 satuan luas

b. 41

satuan luas

c. 41 satuan luas

d.

46 satuan luas

e. 46 satuan luas

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva.

Titik potong parabola dengan garis adalah: = ⇒ 2 = 8

⇔ 2 8

= 0⇔ 2 8 + = 0⇔ + 2 8 = 0⇔ + 4 2 = 0⇔ + 4 = 0 atau 2 = 0⇔ = 4 atau = 2

Dari persamaan kuadrat + 2 8 = 0 , diperoleh nilai diskriminan: = 4 ⇒ = 2 4 18= 4 + 32= 36

Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

= √ 6 = 36 √ 3661 = 36 × 66 = 36 satuan luas

Stop sampai sini aja.

Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.








Contoh Soal 2a:

Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. satuan luas

e. satuan luas

Pembahasan:


Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒

= + 2⇔ + 2 = 0⇔ 2 = 0⇔ + 1 2 = 0⇔ + 1 = 0 atau 2 = 0⇔ = 1 atau = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = 1 dan = 2.

Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis = 0 dan = 2.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

= ∫

Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi 0 ≤ ≤ 2, berlaku ≥ .

Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: = + 2 dan =

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

= ∫ + 2

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

= ∫ + 2

= ∫ + + 2

= [ 13 + 12 + 2 ]

= 13 2 + 12 2 + 2 2 + 13 0 + 12 0 + 2 0= 83 + 2 + 4 0

= 8 + 6 + 123= 103 satuan luas

X

Y

= + 2 =







Contoh Soal 2b:

Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. satuan luas

e. satuan luas



Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒

= + 2⇔ + 2 = 0⇔ 2 = 0⇔ + 1 2 = 0⇔ + 1 = 0 atau 2 = 0⇔ = 1 atau = 2

Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:

=

{Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 2 = 2}

= 2

3 □ ∆

= 23 24 12 22= 163 2= 16 63= 103 satuan luas




http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013pada bab Aplikasi Integral ini….

Y

X

= + 2

2

4

2

=

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X














TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral Volume Benda Putar)

Volume Benda Putar

Dibatasi Kurva

dan Garis Sumbu

= 4 adalah nilai diskriminan

persamaan kuadrat: + + = 0 .Persamaan kuadrat tersebut adalah

persamaan kurva pada soal.

X

= √ 30







Contoh Soal 1a:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = 2 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a.

satuan volume

b. satuan volume

c.

satuan volume

d. satuan volume

e. satuan volume

Pembahasan:


Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: = 0

⇒

2 = 0⇔ 2 = 0⇔ = 0 atau 2 = 0⇔ = 0 atau = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = 0 dan = 2.Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.

Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

= ∫

Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: = 2

Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

= ∫ 2

Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.

= ∫ 2

= ∫

4

+ 4

= [15 + 43 ]

= [15 2 2 + 43 2 + 15 0 0 + 43 0]= [325 16 + 323 0]= [96 240 + 16015 ]= 1615 satuan volume

X

Y = 2








Contoh Soal 1b:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = 2 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a.

satuan volume

b. satuan volume

c.

satuan volume

d. satuan volume

e. satuan volume


Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar.

Titik potong parabola dengan garis adalah: = 0

⇒

2 = 0⇔ 2 = 0⇔ = 0 atau 2 = 0⇔ = 0 atau = 2

Dari persamaan kuadrat 2 = 0 , diperoleh nilai diskriminan: = 4 ⇒ = 2 4 10= 4

Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

= √ 30 = 4√ 4301 = 16 × 230 = 1615 satuan volume.

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan dihttp://pak-anang.blogspot.com. :)


http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013pada bab Aplikasi Integral ini….

Stop sampai sini aja.

Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

15














1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 34

2 x x y dan x y 3 adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas


2 x x y dan x y 1 adalah ....

A. 3

2 satuan luas

B. 3

4 satuan luas

C. 4

7 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 3

15 satuan luas


2 x x y dan 1 x y adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C.

2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

TRIK SUPERKILAT: = ⇒ 4 + 3 = 3 ⇔ 3 = 0

= 4 = 9

= √ 6 = 9 √ 96 ∙ 1= 276= 92 satuan luas

Luas daerah diarsir:

= ∫

= ∫ 3

4 + 3

= ∫ + 3

= [ 13 + 32 ]

= 13 3 + 32 3 13 0 + 32 0= 9 + 272 0= 92 satuan luas

TRIK SUPERKILAT:

Y

X31

3

= 3

= 4 + 3

TRIK SUPERKILAT: = ⇒ 4 + 3 = 1⇔ 5 + 4 = 0

= 4 = 9

= √ 6 = 9 √ 96 ∙ 1= 276= 92 satuan luas


= ∫

= ∫ 1 4 + 3

= ∫ + 5 4

= [ 13 + 52 4]

= 13 4 + 52 4 4 4 13 1 + 52 1 4 1= 643 + 802 16 13 + 52 4= 92 satuan luas

Y

X4

3

3

= 1

= 4 + 3

-1 1

TRIK SUPERKILAT: = ⇒ + 3 + 4 = 1 ⇔ + 4 + 3 = 0

= 4 = 4

= √ 6 = 4 √ 46 ∙ 1= 8

6= 43 satuan luas


= ∫

= ∫ 1 + 3 + 4 −

− = ∫ 4 3 −

− = [ 13 2 3] −

−

= 13 1 2 1 3 1 13 3 2 3 3 3

= 13 2 + 3 9 18 + 9= 43 satuan luas

Y

X

4

-1-3 = 1

= + 3 + 4

2

1









4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

2 x y dan 34 x y diputar 360°

mengelilingi sumbu X adalah ....

A. π

15

1113 satuan volume

B. π

15

413 satuan volume

C. π

15

1112 satuan volume

D. π

15

712 satuan volume

E. π

15

412 satuan volume

5. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva

2 x y dan x y 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π

15

113 satuan volume

B. π

15

44 satuan volume

C. π

15

46 satuan volume

D. π

15

66 satuan volume

E. π

15

117 satuan volume

6. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva

2 x y dengan x y 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π2 satuan volume

B. π

15

13 satuan volume

C. π

15

44 satuan volume

D.

π

15

412 satuan volume

E. π

15

214 satuan volume


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soaltersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal




Pak Anang.

Y

X

= 4 3

=

Volume benda putar

= ∫

= ∫ 4 3

= ∫ 4 3

= ∫ + 16 24 + 9

= [15

+163

12

+ 9]

= 15 3 + 163 3 12 3 + 9 3 15 1 + 163 1 12 1 + 9 1

= 2435 + 144 108 + 27 15 + 163 12 + 9

= 21615 3215= 18415 = 12 45 satuan volume

31

Volume benda putar = ∫

= ∫ 2

= ∫ 4

= [15 43 ]

= [15 2 43 2 15 0 43 0]= 325 323

= 96 16015 = 6415 = 4 415 satuan volume

Y

X

= 2

=

2

-4

Volume benda putar

= ∫

= ∫ 2

= ∫ 4

= [4

3 1

5]

= [43 2 15 2 43 0 15 0]= 325 323 = 96 16015 = 6415 = 4 415 satuan volume

Y

X

=

= 2

2

4














SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, sert mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi,

kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.

6. 1. Menghitung ukuran pemusatan

t u ukur n let k

dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik.

Membaca Data

Tabel Diagram Grafik

Tahun Banyak Siswa

2008 500

2009 400

2010 600

2011 750

2012 650

Tabel Distribusi Poligon

Frekuensi Frekuensi

Berat(kg)

Banyak Siswa

40 – 44 345 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Batas Batas−0,5 Bawah Atas 0,5

60 64

6064

Nilai Tengah Kelas62

64,5−59,5

Panjang Interval Kelas5

Keterangan:

Pada kelas interval 60 – 64, Pada kelas interval 60 – 64, Pada kelas interval 60 – 64,

60 adalah batas bawah. 60−0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64,5−69,5 = 5 adalah panjang interval kelas.

64 adalah batas atas. 640,5 = 64,5 adalah tepi atas. 6 0 6 4 = 62 adalah nilai tengah kelas

0

200

400

600

800

2008 2009 2010 2011 2012

S

s

w

Tahun

0

200

400

600

800

2008 2009 2010 2011 2012

S

s

w

Tahun

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 0 - 4 4

4 5 - 4 9

5 0 - 5 4

5 5 - 5 9

6 0 - 6 4

S

s

w

Berat kg)

0

2

4

6

8

10

12

14

4 2

4 7

5 2

5 7

6 2

S

s

w

Berat kg)

TepiBawah

59,5

TepiAtas

64,5

Histogram








Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas

“Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram

kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas”

Poligon Frekuensi

Poligon Frekuensi

“Titik tengah histogram

dihubungkan dengan garis”

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 0 - 4 4

4 5 - 4 9

5 0 - 5 4

5 5 - 5 9

6 0 - 6 4

S

s

w

Berat kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

S

s

w

Berat kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 2

4 7

5 2

5 7

6 2

S

s

w

Berat kg)

0

2

4

6

8

10

12

14

4 2

4 7

5 2

5 7

6 2

S

s

w

Berat kg)







Distribusi Kumulatif dan Ogive

Distribusi Kumulatif

Tabel Distribusi Tabel Distribusi Tabel Distribusi

Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif

Kurang Dari Lebih Dari

“Kurang dari Tepi tas”

“Lebih dari Tepi Bawah”

Berat

(kg)Banyak Siswa

Berat

(kg)Cara mencari ≤

≤ Berat

(kg)Cara mencari ≥

≥

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3 ≥ 39,5 6+11+13+7+3 4045 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10 ≥ 44,5 6+11+13+7 37

50 – 54 13 ≤ 54,5 3+7+13 23 ≥ 49,5 6+11+13 30

55 – 59 11 ≤ 59,5 3+7+13+11 34 ≥ 54,5 6+11 17

60 – 64 6 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 40 ≥ 59,5 6 6

Ogive

Ogive Positif Ogive Negatif

“Ogive Naik” “Ogive Turun”

Manfaat dan Kegunaan

Digunakan untuk menentukan ukuran letak

seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)








Ukuran Pemusatan

Data Tunggal

Mean Median Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul”

= ∑

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8

adalah:

Rata-rata adalah jumlah nilai

dibagi dengan banyaknya data.

Hitung jumlah dari semua datalalu bagi dengan banyaknya data.

= ∑ = 2 5 6 3 5 4 7 88

= 40

8= 5

= ∑

dimana, = − = rataan sementara

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8adalah:

Misal kita memilih nilai rata-ratasementara adalah = 5,

maka = − 5 .

Artinya semua data dikurangi 5.

Sehingga nilai rata-ratanya adalah:

2 5 6 3 5 4 7 8 −3 0 1 −2 0 −1 2 3

=

∑

= 5 −3 1 − 2 − 1 2 38= 5 08= 5 0= 5

= , untuk ganjil

Nilai tengah dari data

6, 9, 3, 9, 4 adalah:

Terdapat 5 buah data = 5,artinya jumlah data ganjil.

Jangan lupa, data harus diurutkan

terlebih dahulu dari kecil ke besar.

3, 4, 6, 9, 9

= =

= = 6

= 2 , untuk genap

Nilai tengah dari data

7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah:

Terdapat 6 buah data

= 6,

artinya jumlah data genap.

Jangan lupa, data harus diurutkan

terlebih dahulu dari kecil ke besar.

2, 4, 5, 7, 8, 9Median adalah rata-rata kedua bilangan ini

= 2

=

2= 5 72= 122= 6

Modus dari data berikut

7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3 adalah:

Frekuensi dari setiap data:

Data 3 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 1 3 1 1 2

Atau dengan mengurutkan data:

3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8

Karena data 5 muncul 3 kali,

maka nilai modus = 5


7, 6, 8, 5, 9, 8, 6, 8, 6, 4 adalah:


Data 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 1 1 3 1 3 1

Atau dengan mengurutkan data: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9

Perhatikan, karena data 6 dan 8

sama-sama muncul 3 kali,maka modus = 6 dan 8


7, 6, 4, 6, 5, 8, 8, 5, 4, 7 adalah:


Data 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 2 2 2 2

Atau dengan mengurutkan data: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8

Karena data seimbang,

semua data sama-sama

muncul sebanyak 2 kali,

maka modus tidak ada.







Ukuran Pemusatan

Data Berkelompok

Mean Median Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul”

= ∑∑

Data 40

– 44 3 42 126

45 – 49 7 47 329

50 – 54 13 52 676

55 – 59 11 57 627

60 – 64 6 62 372

Jumlah 40 2130

= ∑ ∑ =

= 531040= 53,25

= ∑∑

dimana, = − = rataan sementara

Misal = 52, maka = − 52 .

3 42 −10 −30 7 47 −5 −35

13 52 0 0

11 57 5 55

6 62 10 60

40 Jumlah 50

= ∑∑ = 52

= 521,25= 53,25

= 12 − ∙

Data Data ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ , 10

50 – 54 13 ≤ 54,5 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Jumlah data sebanyak = ,

sehingga diperoleh

= .

Median terletak padakelas interval yang memuat

data ke-20, yaitu kelas ke-3.

Jadi, letak kelas median yaitu

pada kelas interval 50

–

54,

dengan panjang interval 5,

serta memiliki frekuensi 13

dan nilai tepi bawahnya 49,5.

Sehingga, frekuensi kumulatifkurang dari 49,5 adalah 10.

= − ∙ = , − ∙ = 49,5 5013= 49,53,85= 53,35

= ∙

Data 40

– 44 3

45 – 49 750 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Modus terletak padakelas interval yang memuat data

dengan jumlah frekuensi terbesar.

Data dengan jumlah frekuensiterbesar yaitu sebanyak 13 data

terletak pada kelas interval ke-3.

Jadi, letak kelas modus yaitu

pada kelas interval 50 – 54,

dengan panjang interval 5.

Selisih frekuensi kelas modus

terhadap kelas interval

sebelumnya adalah = − = .

Selisih frekuensi kelas modus

terhadap kelas intervalsesudahnya adalah = − = .

= ∙ = 49,5 ∙ = 49,5 308= 49,5 3,75= 53,25

= − =

= − =








Ukuran Letak

Data Berkelompok

Quartil Desil Persentil

“Membagi 4 bagian sama besar “Membagi 10 bagian sama besar “Membagi 100 bagian sama besar

dari data terurut” dari data terurut” dari data terurut”

= 4 − ∙

Data Data ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ ,

23

55

–

59 11

≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Misal ditanyakan nilai

= ?


sehingga diperoleh = .

terletak padakelas interval yang memuat


Jadi, letak kelas yaitupada kelas interval 55 – 59,


serta memiliki frekuensi 11 dan nilai tepi bawahnya 54,5.

Sehingga, frekuensi kumulatif

kurang dari 54,5 adalah 23.

= − ∙

= , −

∙

= 54,5 3511= 54,53,18= 57,68

= 10 − ∙

Data Data ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ ,

23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40


= ?



terletak padakelas interval yang memuat


Jadi, letak kelas yaitu






= − ∙

= , −

∙

= 54,5 2511= 54,5 2,27= 56,77

= 100 − ∙

Data Data ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ ,

23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40


= ?



terletak pada

kelas interval yang memuat


Jadi, letak kelas yaitu






= − ∙ = , −

∙

= 54,5 3511= 54,5 3,18= 57,68







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika Mean data berkelompok)

Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean.

Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data.

Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata):

Mean Metode Deviasi Sistem Kode

“Menggunakan data sesungguhnya” “Menggunakan selisih data “Menggunakan sistem kode”

terhadap rata-rata sementara”

= ∑∑

Data 40 – 44 3 42 126

45 – 49 7 47 329

50 – 54 13 52 676

55 – 59 11 57 627

60

– 64 6 62 372

Jumlah 40 2130

= ∑ ∑ = = 53 1040= 53,25

= ∑∑

Misal = 52, maka = − 52 .

Semua data dikurangidengan rata-rata dugaan.

3 42 −10 −30

7 47 −5 −35

13 52 0 0

11 57 5 55

6 62 10 60

40 Jumlah 50

= ∑∑ = 52 = 521,25= 53,25

= ∑∑ ∙

Misal = 52, maka

= − 52

Bagi semua nilai

dengan panjang interval kelas.

3 42 −2 −6

7 47 −1 −7

13 52 0 0

11 57 1 11

6 62 2 12

40 Jumlah 10

= ∑∑ ∙ = 52 ∙ = 52 = 521,25= 53,25








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika Modus data berkelompok)

Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak,

Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi.

Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut:

Tabel DistribusiFrekuensi

Berat(kg)

Banyak Siswa

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60

– 64 6

Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram:

Tabel Distribusi

Frekuensi

Berat(kg)

Banyak Siswa

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Perhatikan, TRIK SUPERKILAT:

karena ∠ = ∠ dan ∠ = ∠, Jadi, untuk mengingat

maka ∆ sebangun dengan ∆. rumus modus gunakan cara ini:

Sehingga diperoleh perbandingan: = +

= selisih dengan kelas di atasnya = selisih dengan kelas dib

awahnya

Catatan:

Biasanya tabel distribusi frekuensidisusun dari data terkecil ke terbesar.

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 0 - 4 4

4 5 - 4 9

5 0 - 5 4

5 5 - 5 9

6 0 - 6 4

S

s

w

Berat kg)

3

7

1311

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 0 - 4 4

4 5 - 4 9

5 0 - 5 4

5 5 - 5 9

6 0 - 6 4

S

s

w

Berat kg)

Histogram

Histogram

Letak

Modus

= ⇒ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Jadi, nilai modus adalah: = =







0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika Median data berkelompok)

Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu.

Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi

kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif.

Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini:

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Frekuensi Kurang Dari

Berat

(kg)Banyak Siswa

Berat


≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10

50 – 54 13 ≤ ,

3+7+13

23

55

– 59 11

≤ 59,5 3+7+13+11 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 40

Misalkan terdapat data sebanyak buah, maka letak median adalah pada data ke - .

Karena banyakya data adalah 40 buah, maka = 40, sehingga data ke – adalah terletak pada urutan ke-20.

Tabel Distribusi Frekuensi KumulatifFrekuensi Kurang Dari

Berat

(kg)Banyak Siswa

Berat


≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10

50 – 54 13 ≤ 54,5 3+7+13 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 3+7+13+11 34

60

– 64 6

≤ 64,5 3+7+13+11+13 40

Perhatikan, karena ∠ = ∠ dan ∠ = ∠,

maka ∆ sebangun dengan ∆.

Sehingga diperoleh perbandingan: = ⇒ = 12 −

⇔ = 12 −

Jadi, nilai median adalah: = = 12 −

Letak

Median

Ogive Positif

Ogive Positif

−

Letak

Median

−

12








Kesimpulan akhir TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Modus dan Median Data Berkelompok

Setelah kita mempelajari konsep dasar dari cara menentukan nilai modus dan median untuk data berkelompok

pada halaman sebelumnya, kini saatnya kita merangkum TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS dalam

memperkuat konsep dasar Modus dan Median untuk data berkelompok tersebut ke dalam sebuah rangkaiankonsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah

ini:

Modus Median

Persamaan

Ukuran Pemusatan, khususnya nilai Modus dan Median untuk data berkelompok,keduanya sebenarnya memiliki konsep awal yang sama.

= ? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

TRIK

SUPERKILAT

“Tepi bawah ditambah sebagian dari panjang interval”

Modus Median

Perbedaan

Untuk Modus, nilai perbandingan

tersebut adalah selisih frekuensi kelas

modus dengan kelas sebelum modus

dibagi jumlah dari selisih frekuensi kelas

modus dengan kelas sebelum dan

sesudah modus.

Untuk Median, nilai perbandingan

tersebut adalah selisih antara letak

median dengan frekuensi

kumulatif sebelum kelas median dibagi

dengan frekuensi kelas median itu

sendiri.

−

TRIK

SUPERKILAT atas

atas

bawah

letak median −

*) Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar.

Jadi = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di atasnya.

Jadi = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di bawahnya.

**) Catatan: Letak median adalah setengah dari banyak data .

**)*)







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Ukuran Letak Data Berkelompok Median, Kuartil, Desil dan Persentil)

Ukuran Letak dari data berkelompok memiliki konsep yang sama persis dengan median data berkelompok.

Ya!!!! Karena median adalah ukuran letak yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar..

Median adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.

Nah, Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar.

Sementara, Desil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar.

Nah, Persentil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar.

Ukuran Letak untuk data berkelompok tersebut dapat disusun ke dalam sebuah konsep TRIK SUPERKILAT danLOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini:

Median Ukuran Letak (UL)

Persamaan

Ukuran Letak (Kuartil, Desil, dan Persentil) untuk data berkelompok, sebenarnya

memiliki konsep awal yang sama dengan konsep nilai Median data berkelompok.

= −

Median

= −

UL

TRIK

SUPERKILAT“(Median2), (Kuartil4), (Desil10), (Persentil100)”

Median Kuartil Desil Persentil

Notasi

Membagi data

terurut menjadi bagian yang

sama besar

= 1 = 4 = 10 = 100

Banyaknya UL1 buah UL

3 buah UL, ,

9 buah UL, … ,

99 buah UL, … ,

Rumus Dasar = −

Perbedaan − − − −









Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk tabel.

Contoh Soal:

Perhatikan tabel di bawah ini:

Data

Frekuensi

45 – 49 7

50 – 54 15

55 – 59 18

60 – 64 11

65 – 69 9

Jumlah 60

Tentukan nilai mean, modus, median,

,

,

!

Penyelesaian:

Mencari nilai mean / nilai rata-rata:

Untuk mencari nilai mean atau nilai rata-rata, maka kita harus menentukan:

- Nilai tengah = { 47,52,57,62,67}

- Panjang kelas interval = 5

-

Nilai rata-rata sementara / rata-rata dugaan = 57

TRIK SUPERKILAT: menentukan , dipilih kelas interval yang berada di tengah-tengah.

-

Kode

, yang diperoleh dari

− dibagi dengan

TRIK SUPERKILAT: menentukan , kelas rataan sementara kita kasih angka 0.kelas di atasnya bernilai negatif, −1, −2, −3, dst…

kelas di atasnya bernilai positif, 1, 2, 3, dst…

- Nilai , yaitu hasil perkalian antara dengan .

Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:

Data

Frekuensi

Nilai Tengah

45

– 49 7 47

−2

−14

50 – 54 15 52 −1 −15

55 – 59 18

57 0 0

60 – 64 11 62 1 11

65 – 69 9 67 2 18

Jumlah 60 0

Jadi nilai rata-rata adalah: = ∑

∑

= 57 060 5= 57 0= 57

Mudah bukan?!







Mencari nilai modus:

Untuk mencari nilai modus, maka kita harus menentukan:

- Kelas modus adalah kelas interval dengan frekuensi tertinggi, yakni berada di kelas interval ke tiga.

- Tepi bawah kelas modus = 55 − 0,5 = 54,5

-

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sebelumnya = 18 − 15 = 3

TRIK SUPERKILAT: kelas interval sebelumnya adalah kelas interval yang terletak di atas kelas modus.

-

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sesudahnya

= 18 − 11 = 7

TRIK SUPERKILAT: kelas interval sesudahnya adalah kelas interval yang terletak di bawah kelas modus.


Data

Frekuensi

45 – 49 7

50 – 54 15

55 – 59 1860 – 64 11

65 – 69 9

Jumlah 60

Jadi nilai modus adalah: = = 54,5 33 7 5= 54,5 310 5= 54,5 1,5= 56

Mudah bukan?!

= − =

= − =








Mencari nilai median:

Untuk mencari nilai median, maka kita harus menentukan:

- Frekuensi kumulatif bawah.

- Jumlah frekuensi data = 60

-

Karena ditanyakan median maka tentukan nilai . = 60 = 30

- Letak kelas median.

Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah.

TRIK SUPERKILAT:

Data

Frekuensi

TRIK SUPERKILAT: Makna

45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7





Jumlah 60

Jadi median terletak pada kelas interval 55

– 59.

-

Tepi bawah kelas median = 55−0,5 = 54,5

-

Frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 22

- Frekuensi kelas median = 18


Data

Frekuensi

45 – 49 7 7

50 – 54 15 2255 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai median adalah:

= 12 − = 54,5 2 0 − 2 218 5= 54,5 818 5= 54,5 2,22= 56,72

Mudah bukan?!







Mencari nilai Kuartil ke-tiga

:

Untuk mencari nilai , maka kita harus menentukan:



-

Karena ditanyakan maka tentukan nilai . = 60 = 45

- Letak kelas .

terletak pada kelas interval yang memuat data ke-45, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah.

TRIK SUPERKILAT:

Data

Frekuensi







Jumlah 60

Jadi

terletak pada kelas interval 60

– 64.

-

Tepi bawah kelas = 60−0,5 = 59,5

-

Frekuensi kumulatif sebelum kelas = 40

- Frekuensi kelas ( = 11)


Data

Frekuensi

45

– 49 7 7

50 – 54 15 2255 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Kuartil ke-3 adalah:

= 34 −

= 59,5 4 5 − 4 011 5= 59,5 511 5= 59,52,27= 61,77

Mudah bukan?!








Mencari nilai Desil ke-empat

:




-

Karena ditanyakan maka tentukan nilai . = 60 = 24

- Letak kelas .


TRIK SUPERKILAT:

Data

Frekuensi







Jumlah 60

Jadi


– 59.

-


-




Data

Frekuensi

45

– 49 7 7

50 – 54 15 2255 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Desil ke-4 adalah:

= 410 −

= 54,5 2 4 − 2 218 5= 54,5 218 5= 54,5 0,56= 55,06

Mudah bukan?!







Mencari nilai Persentil ke-26

:




-

Karena ditanyakan maka tentukan nilai . = 60 = 15,6

- Letak kelas .


TRIK SUPERKILAT:

Data

Frekuensi







Jumlah 60

Jadi


– 54.

-


-




Data

Frekuensi

45

– 49 7 7

50 – 54 15 2255 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Persentil ke-26 adalah:

= 26100 −

= 50,5 15,6−715 5= 50,5 8,615 5= 50,5 2,87= 53,37

Mudah bukan?!








Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram Histogram)

Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data diagram atau histogram, maka kita harus mengenali dulu label

pada sumbu X histogram tersebut. Secara umum ada 3 jenis histogram berdasarkan label pada sumbu X:

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas

“Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram

kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas”

Contoh Soal:

Perhatikan gambar berikut:

Tentukan Median dari data di atas …. Penyelesaian:

Ubah dulu histogram menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Nilai

135 – 139 3 3

140 – 144 5 8

145 – 149 7 15

150 – 154 10 25

155 – 159 9 34

160 – 164 6 40

Jumlah 40

Jadi nilai median adalah:

= 12 − = 149,5 2 0 − 1 510 5 = 149,5 510 5 = 149,5 2,5 = 152

Mudah bukan?!

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4 0 - 4

4

4 5 - 4

9

5 0 - 5

4

5 5 - 5

9

6 0 - 6

4

S

s

w

Berat kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

S

s

w

Berat kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

4

2

4

7

5

2

5

7

6

2

S

s

w

Berat kg)

134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

3

5

7

9

10

f

Nilai

6

134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

3

5

7

9

10

f

Nilai

6







Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram Poligon)

Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data poligon frekuensi, maka kita harus mengenali dulu label pada

sumbu X. Secara umum label pada sumbu X pada poligon frekuensi adalah nilai tengah dari histogram.

Poligon Frekuensi

“Titik tengah histogram

dihubungkan dengan garis”

Contoh Soal:

Berikut ini poligon frekuensi dari data berat badan siswa kelas XII A.

Modus berat badan siswa …. kg

Penyelesaian:

Ubah dulu poligon frekuensi menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Tepi antara 32 dan 37 adalah nilai tengah antara 32 dan 37 = + = 34,5

Nilai

30 – 34 3

35 – 39 9

40 – 44 6

45 – 49 5

50 – 54 4

55 – 59 3

Jadi nilai modus adalah: = = 34,5 66 3 5 = 34,5 695 = 34,53,33 = 37,83

Mudah bukan?!

0

2

4

6

8

10

12

14

4

2

4

7

5

2

5

7

6

2

S

s

w

Berat kg)

3

4

5

6

9

Frekuensi

32 37 42 47 52 57

Berat badan kg)

3

4

5

6

9

Frekuensi

32 37 42 47 52 57

Berat badan kg)








Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk grafik Ogive).

Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data ogive, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X dan Y.

Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai tepi bawah atau atas dari kelas interval.Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai frekuensi kumulatif.

Ogive Positif Ogive Negatif

“Ogive Naik” “Ogive Turun”

Contoh Soal:

Data nilai ulangan Matematika siswa kelas XIIB disajikan dalam bentuk ogive positif sebagai berikut:

Kuartil atas data siswa adalah …. Penyelesaian:

Ubah dulu ogive menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Nilai

Cara mencari

1 – 20 4 − 0 = 4 4 4

21 – 40 10 − 4 = 6 6 10

41 – 60 20 − 10 = 10 10 20

61 – 80 35 − 20 = 15 15 35

81 – 100 40 − 35 = 5 5 40

Jumlah 40

Jadi nilai kuartil atas adalah:

= 34 − = 60,5 3 0 − 2 015 20 = 60,5 1015 20 = 60,5 13,33 = 73,83

Mudah bukan?!

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F

K

a

Berat kg)

≤

4

10

20

35

40

0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5Nilai

≤

4

10

20

35

40

0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5Nilai










http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013pada bab Statistik Ukuran Pemusatan atau Ukuran Letak ini….















1. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Kelas Frekuensi

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 5960 – 69

70 – 7980 − 89

3

7

8

129

65

Nilai modus dari data pada tabel adalah ....

A. 7

405,49

B. 7

365,49

C.

7

36

5,49

D. 7

405,49

E. 7

485,49



tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal20November 2012 yang lalu.



Pak Anang.

= 12 − 8 = 4 = 12 − 9 = 3 = 50−0,5 = 49,5 = 10 = ∙

= 49,5 44 3 ∙ 10

= 49,5 407

H














6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan permutasi atau kombinasi.

Kaidah Pencacahan

Aturan Perkalian

Banyak cara memilih

unsur pertama

Banyak cara memilih

unsur kedua

Banyak cara memilih

kedua unsur sekaligus

×

Faktorial

“Perkalian Bilangan Urut”

! = × 1 × 2 × … × 3 × 2 × 1

Catatan: 1 ! = 1 dan 0 ! = 1

Banyak cara menyusun buah unsur

dari keseluruhan buah unsur

Permutasi Kombinasi

“Perhatikan Urutan” “Urutan Tidak Diperhatikan”

= ! !

Catatan: ≤

= !! !

Catatan: ≤

Permutasi Ada Unsur Sama

“ da unsur yang sama

ada unsur yang sama

dan unsur yang sama”

,ℓ, = !! ℓ!!

Catatan: + ℓ + ≤

= !

Permutasi Siklis

“Posisi Melingkar”

= 1!

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek.

Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi unsur dari unsur

namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikanmaka dianggap hasil permutasi tersebut ada unsur yang sama.








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi.

Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya.

Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

= ! !

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

= × 1 × 2 × … × + 1

Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak unsur berbeda yangbisa dibuat dari unsur.

Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan.

Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:

Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur.Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama.

Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua.

Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = 60 cara.

Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = “perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor”

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

= “ ”

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

= 1 5 × 1 4 × 1 3 × 1 2 perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15

= 1 0 × 9 × 8 perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10

= 8 × 7 perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7

= 5 × 4 perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5

Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswadalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan

konsep permutasi .

Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

= 12 × 11 × 10 = 1320 cara perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12

Mudah bukan?!







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi.

Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya.

Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

= !! !

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

= !

Penjelasannya sebagai berikut:Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi unsurdari unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada

unsur yang sama.

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

= “ ”

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

= 1 5 × 1 4 × 1 3 × 1 21 × 2 × 3 × 4 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15

perkalian maju 4 angka terdepan )

= 1 0 × 9 × 81 × 2 × 3 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10


= 8 × 71 × 2 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7perkalian maju 2 angka terdepan )

Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut

adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, makadigunakan konsep kombinasi .

Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

= 1 2 × 1 1 × 1 01 × 2 × 3 = 220 cara (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 15


Mudah bukan?!

Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:

= −

Jadi,

= = 1 0 × 9 × 81 × 2 × 3 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10


2









Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian.

Contoh Soal 1:

Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh

berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:

Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

7 7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 × 7 × 7 = 3 4 3 buah.

Contoh Soal 2:



Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.

Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.


AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

6 7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 × 7 × 7 = 2 9 4 buah.







Contoh Soal 3:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh



Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6.

Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak



Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

6 7 4

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 4 = 1 6 8 buah.

Contoh Soal 4:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh



Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.

Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak



Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

6 7 3

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 3 = 1 2 6 buah.








Contoh Soal 5:


berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah …. Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai

berikut:

Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6.

Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

4 7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah:

4 × 7 × 7 = 1 9 6 buah.

Contoh Soal 6:


berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah …. Penyelesaian:

Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu:

- Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20.- Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3.

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka

terdapat aturan sebagai berikut:

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja.

Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6.


AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

1 5 7

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut:

Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja.

Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.


AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

3 7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah:1 × 5 × 7 + 3 × 7 × 7 = 3 5 + 1 4 7 = 1 8 2 buah.







Contoh Soal 7:

Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak

angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian:


Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakansebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2,3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan

sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.

Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4,

5, 6, 7 saja.


AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

7 6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 × 6 × 5 = 2 1 0 buah.

Contoh Soal 8:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak



Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidakmungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan

sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0,

2, 3, 4, 5, 6.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan. Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan

sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.


4, 5, 6 saja.


Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

6 6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 × 6 × 5 = 1 8 0 buah.








Contoh Soal 9:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan

tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …. Penyelesaian:

Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu:

- Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan.- Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan.

Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai

berikut:

Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja.

Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan.

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan

sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan.


4, 5, 6 saja.

AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

1 6 5

Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapataturan sebagai berikut:

Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya

dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.


sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan.

sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6.



sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan.Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,

3, 4, 5, 6 saja.

Angka

Ratusan

Angka

Puluhan

Angka

Satuan

3 5 5

Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah:(1 × 6 × 5 + 3 × 5 × 5 = 3 0 + 7 5 = 1 0 5 buah.







Contoh Soal 10:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak



Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.


sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan.sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6.



sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,

3, 4, 5, 6 saja.


AngkaRatusan

AngkaPuluhan

AngkaSatuan

3 5 5

Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 × 5 × 5 = 7 5 buah.








Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi.

Contoh Soal 1:

Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan.

Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya.

Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.

= 7!7 7! = 7!

0! = 7!1 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 0 4 0


= “ ”

7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.

= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 0 4 0

Contoh Soal 2:

Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri

dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan.

Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi.

Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang. = 7!

7 4! = 7!3! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5 × 4 = 8 4 0


7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.

= 7 × 6 × 5 × 4 = 8 4 0

Contoh Soal 3:

Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan

sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus

diperhatikan.

Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi.

Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

= 12!1 2 3! = 12!

9! = 1 2 × 1 1 × 1 0 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 19 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1 2 × 1 1 × 1 0 = 1 3 2 0


12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12. = 1 2 × 1 1 × 1 0 = 1 3 2 0







Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama.

Contoh Soal 1:

Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA?

Penyelesaian:

Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A.

Maka banyaknya elemen adalah: = 1 0

Banyak elemen huruf yang sama adalah:

- Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi = 2.- Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = 3.

- Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi = 2.

Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:

,, = 10!2!3!2! = 1 0 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 151.200 kata

Contoh Soal 2:

Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam

menyusun buku tersebut?

Penyelesaian:

Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika.Maka banyaknya elemen adalah: = 1 0


- Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi = 5.

- Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = 4.

Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:

, = 10!5!4! = 1 0 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 =1.260 cara

Contoh Soal 3:

Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung

secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda?

Penyelesaian:

Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau.

Maka banyaknya elemen adalah: = 5


- Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi = 3.

Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:

= 5!3! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1 = 20 cara








Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis.

Contoh Soal 1:

Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran!

Penyelesaian:

Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, = 5.

Berarti kita gunakan permutasi siklis.

= 5 1! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

Contoh Soal 2:

Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secaraberdekatan?

Penyelesaian:

Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan.

Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!.

Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur

duduk secara melingkar.

Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, = 9.

Berarti kita gunakan permutasi siklis.

= 9 1! = 8 ! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:

= × 2! = 8! 2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 80.640 cara

Contoh Soal 3:

Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk

mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan.

Penyelesaian:

Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara

melingkar.Berarti kita gunakan permutasi siklis.

= 3 1! = 2 ! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak = 4!.Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak = 3!.

Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak = 2!.Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:

= × 4! × 3! × 2! = 2! × 4! × 3! × 2! = 576 cara







Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi.

Contoh Soal 1:

Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak

diperhatikan.

Sehingga = .

Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasiTujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.

= 7!7 4! 4! = 7!

3!4! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 13 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5

3 × 2 × 1 = 35


= “ ”

7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.

= 7 × 6 × 5 × 44 × 3 × 2 × 1 = 35

Contoh Soal 2:

Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapabanyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus

tidak diperhatikan.Sehingga = .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi.

Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

= 12!1 2 3! 3! = 12!

9!3! = 1 2 × 1 1 × 1 0 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 19 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

= 1 2 × 1 1 × 1 03 × 2 × 1=220


12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.

= 1 2 × 1 1 × 1 03 × 2 × 1 =1320






pada bab Kaidah Pencacahan Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi ini….















1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan

dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....

A. 20

B. 40C. 80

D.

120

E. 360

2. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah ....

A. 360 kataB. 180 kata

C.

90 kataD. 60 kataE. 30 kata







Pak Anang.

Permutasi 4 angka dari 6 angka: 6 = 6!

6 4! = 6!2! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1 = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 3 6 0

Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama,yakni huruf A: 6!2! =

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 12 ∙ 1 = 360 kata

Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian,banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah:

= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 bilangan














6. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.

Peluang Kejadian

Ruang Sampel Banyaknya Kejadian“semua kejadian yang mungkin” “kejadian yang ditanyakan di soal”

() ( )

Peluang Kejadian

“banyak kejadian dibagi banyak ruang sampel”

( ) =( )

()

0 ≤ ( ) ≤ 1

↓ ↓ mustahil pasti

Peluang Kejadian Komplemen

“peluang tidak terjadinya ”

( ) + ( ) = 1

( ) = 1 − ( )

Frekuensi Harapan

“

banyak kejadian dalam kali percobaan

”

ℎ( ) = × ( )








Peluang

Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian Peluang Dua Kejadian Bersyarat

“

Peluang Kejadian A atau B

“

Peluang Kejadian A dan B

dan B mungkin terjadi bersama” dengan syarat B telah terjadi

( ∪ ) = ( ) + () − (∩)

catatan: ∩ ≠ ∅

“Peluang Kejadian A dan B

dengan syarat telah terjadi”

Peluang Dua Kejadian Saling Lepas

“

Peluang Kejadian A atau B

A dan B tidak mungkin terjadi bersama”

( ∪ ) = ( ) + () − (∩)

catatan: ∩ = ∅

Peluang Dua Kejadian Saling Bebas

”Peluang Kejadian dan B

yang tidak saling mempengaruhi”

( ∩ ) = ( ) × ()

( |) =( ∩ )

()

(|) =( ∩ )

( )







KONSEP DASAR Menyusun Ruang Sampel.

Pada soal UN Matematika SMA beberapa tahun terakhir, materi peluang yang sering ditanyakan adalah

menentukan peluang kejadian pada:

- pelemparan dua buah dadu,- pelemparan beberapa mata uang koin,

- pengambilan beberapa bola yang diletakkan dalam sebuah kotak dengan atau tanpa pengembalian,-

pengambilan beberapa kartu pada kartu bridge atau kartu remi.

Cara menyusun ruang sampel ada berbagai macam cara, diantaranya adalah:

- diagram pohon

-

tabel

- mendaftar anggota

Contoh:

Menyusun ruang sampel untuk percobaan pelemparan dua dadu.

Menggunakan tabel.

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Menggunakan diagram pohon.

Dadu 1 Dadu 2 Hasilnya

1 (1,1)

2 (1,2)

1 3 (1,3)

4 (1,4)

5 (1,5)

6 (1,6)

1 (2,1)

2 (2,2)

2 3 (2,3)

4 (2,4)5 (2,5)

6 (2,6)

1 (3,1)

2 (3,2)

3 3 (3,3)

4 (3,4)

5 (3,5)

6 (3,6)

Awal

1 (4,1)

2 (4,2)

4 3 (4,3)

4 (4,4)

5 (4,5)

6 (4,6)

1 (5,1)

2 (5,2)5 3 (5,3)

4 (5,4)

5 (5,5)

6 (5,6)

1 (6,1)

2 (6,2)

6 3 (6,3)

4 (6,4)

5 (6,5)

6 (6,6)

Dadu 1

Dadu 2








Menyusun ruang sampel untuk pelemparan dua mata uang koin.

Menggunakan tabel.

A G

A (A,A) (A,G)

G (G,A) (G,G)

Menggunakan diagram pohon.

Koin 1 Dadu 2 Hasilnya

A (A,A)

A

G (A,G)

Awal

A (G,A)

G

G (G,G)

Menyusun ruang sampel untuk satu set kartu bridge atau kartu remi.

Dalam satu set kartu bridge atau kartu remi terdapat 52 kartu (tanpa kartu joker).

Koin 2

Koin 1







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menemukan Kejadian Tertentu pada Ruang Sampel Pelemparan Beberapa Koin.

Contoh Soal:

Dalam pelemparan dua koin tentukan peluang paling banyak muncul satu angka!

Penyelesaian:

Nah, kejadian paling sedikit muncul satu angka bisa diartikan sebagai berikut:

-

muncul 1 angka, 1 gambar.

-

muncul 2 angka (dua-duanya angka).

A G

A (A,A) (A,G)

G (G,A) (G,G)

Maka peluang kejadian muncul paling sedikit satu angka adalah:

( ) =( )

()

=3

4

Menyusun TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Perhatikan pada tabel ruang sampel tersebut:

Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian



Pada perluasan soal ini untuk pelemparan 3 koin akan menghasilkan ruang sampel sebagai berikut:

Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadianBanyak kejadian muncul 1 angka = 3 kejadian



Ingat? Bentuk barisan bilangan berikut:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Nah,ternyata TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun banyak kejadian tertentu padapelemparan beberapa koin adalah menggunakan bilangan segitiga pascal atau di SMA dikenal sebagai konsep

binomial newton, yang tentunya sudah kita kuasai.

Contoh TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ruang sampel pada pelemparan 3 koin secara praktis bisa dinyatakan dalam penjabaran bentuk aljabar berikut:

( + ) = + 3 + 3 +

1 kejadian muncul 3 angka,

3 kejadian muncul 2 angka dan 1 gambar,

3 kejadian muncul 1 angka dan 2 gambar,

1 kejadian muncul 3 gambar.

Koin 2

Koin 1

= kejadian pelemparan dua koin secara bersama-sama = {( , ), ( , ), (, ), (, )}

() = 4

= kejadian muncul paling sedikit 1 angka

= {( , ), ( , ), (, )}

( ) = 3








TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Jumlah Dua Mata Dadu pada Ruang Sampel Pelemparan Dua Dadu.

Contoh Soal:

Pada pelemparan dua dadu secara bersama-sama, tentukan peluang munculnya dua dadu berjumlah 9!

Penyelesaian:

() = 36

= kejadian muncul dua dadu berjumlah 9

= {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

( ) = 4

Maka peluang kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 adalah:

( ) =( )

()=

4

36


Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu:

Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12

Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Nah, sekarang coba perhatikan dengan jeli tabel dari ruang sampel pelemparan dua dadu berikut:

1 2 3 4 5 6

1(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Jumlah Dua

Mata Dadu

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Kejadian

yang

mungkin

terjadi

1 + 1

1 + 2

1 + 3

1 + 4

1 + 5

1 + 6

2 + 6

3 + 6

4 + 6

5 + 6

6 + 6

2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 4 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5

3 + 1 3 + 1 3 + 3 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4

4 + 1 4 + 2 4 + 3 5 + 3 6 + 3

5 + 1 5 + 2 6 + 2

6 + 1

Banyaknya

Kejadian

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Jadi kesimpulan TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS adalah sebagai berikut:

Jumlah terkecil dua mata dadu adalah 2 dan jumlah terbesar adalah 12.

Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

naik dari 1 sampai 6 lalu turun dari 6 ke 1 lagi

Dadu 1

Dadu 2







TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengambilan Beberapa Kelereng di dalam Sebuah Kotak.




http://pak-anang.blogspot.com/2013/04/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013

pada bab Peluang Kejadian ini….











smart solution un matematika sma 2014 (full version - free edition)

Documents