ma1201 matematika 2a - · pdf filekuliah hari ini 12.1 fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2...

of 23/23
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017

Post on 05-Feb-2018

277 views

Category:

Documents

21 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • MA1201 MATEMATIKA 2A

    Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

    15 Maret 2017

  • Kuliah yang Lalu

    10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

    10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

    10.5 Sistem Koordinat Polar

    11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

    11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

    11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

    11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

    11.8 Permukaan di Ruang

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2

  • Kuliah Hari Ini

    12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

    12.2 Turunan Parsial

    12.3 Limit dan Kekontinuan

    12.4 Turunan fungsi dua peubah

    12.5 Turunan berarah dan gradien

    12.6 Aturan Rantai

    12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

    12.8 Maksimum dan minimum

    12.9 Metode pengali Lagrange

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3

  • 12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4

    Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah

    Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah

  • Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah

    Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.

    Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5

    T(x,y)

  • Fungsi Dua Peubah

    Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) R.

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6

    (x,y)

    f

    z =f(x,y)

  • Catatan

    Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) D} disebut daerah nilai f.

    Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.

    Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y 0.

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7

  • Contoh

    Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.

    Jawab:

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8

    221),( yxyxf

  • Grafik Fungsi Dua Peubah

    Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan

    {(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) D}

    di ruang R3.

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9

    x

    y

    z

    Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

  • Latihan

    Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10

    22:),( yxyxfz

  • Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

    Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

    Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

    x

    y

    z

    Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

    z = k

    Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k 0)

  • Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

    Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

    Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12

    xy

    z

    Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

    z = k

    Petakontur

    x

    y

  • Latihan 1

    Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya(dalam satu sistem koordinat).

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13

  • Latihan 2

    Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.

    3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14

  • 12.2 TURUNAN PARSIALMA1201 MATEMATIKA 2A

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

    Menentukan turunan parsial dari fungsi duapeubah di titik sembarang

  • Mengukur Laju Perubahan dalam ArahSejajar dengan Sumbu-x atau Sumbu-y

    Diketahui fungsi dua peubahz = f(x,y), bayangkan grafiknyaspt pada gambar di samping.

    Bila kita berada di suatu titikpada permukaan tsb (bayang-kan di titik puncaknya) danbergerak sejajar dengansumbu-x, berapakah lajuperubahan ketinggian-nya?3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

    P

    x

    y

    z

  • Turunan Parsial terhadap x

    Jika y konstan, katakan y = y0, maka z = f(x,y0) merupakanfungsi dari x saja. Turunannyadi x = x0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapx di (x0,y0) dan dilambangkandengan fx(x0,y0).

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

    P

    x

    y

    z

    .),(),(

    lim),( 00000

    00h

    yxfyhxfyxf

    hx

  • Turunan Parsial terhadap y

    Jika x konstan, katakan x = x0, maka z = f(x0,y) merupakanfungsi dari y saja. Turunannyadi y = y0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadapy di (x0,y0) dan dilambangkandengan fy(x0,y0).

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

    P

    x

    y

    z

    .),(),(

    lim),( 00000

    00k

    yxfkyxfyxf

    ky

  • Contoh

    Diketahui z = f(x,y) = 1 x2 y2. Maka,

    fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.

    Di titik (3,4),

    fx(3,4) = -6; fy(3,4) = -8.

    Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arahsejajar sumbu-y daripada dalam arahsejajar sumbu-x.

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

  • Turunan Parsial Kedua

    Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahdapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.

    Karena ada dua turunan parsial pertama, fx danfy, dan masing-masing mempunyai dua turunanparsial, maka kita akan mendapatkan empatturunan parsial kedua, yaitu

    fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

  • Contoh

    Diketahui z = f(x,y) = 1 x2 y2.

    Turunan parsial pertamanya adalah

    fx(x,y) = -2x; fy(x,y) = -2y.

    Turunan parsial keduanya adalah

    fxx(x,y) = -2; fxy(x,y) = 0.

    fyx(x,y) = 0; fyy(x,y) = -2.

    Catatan. fxy dan fyx disebut sebagai turunanparsial campuran. Secara umum, fxy fyx.3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

  • Soal

    1. Diketahui fungsi dua peubah

    (a) Tentukan turunan parsial pertamanya.

    (b) Tentukan turunan parsial keduanya dan periksaapakah kedua turunan parsial campurannya sama.

    2. Diketahui fxy = fyx = 0. Tentukan rumus paling umum yang mungkin untuk f(x,y).

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

    .1),( 22 yxyxfz

  • Fungsi Harmonik

    Fungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bilamemenuhi persamaan Laplace: fxx + fyy = 0.

    Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:

    1. f(x,y) = x3y xy3.

    2. F(x,y) = ln(x2 + y2).

    3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23