PEUBAH ACAK KONTINU

PENDAHULUAN

• X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah

fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada

semua bilangan real, ),,( xMempunyai sifat bahwa untuk sembarang

himpunan bilangan real B

B

dxxfBXP )()(

Fungsi f disebut sebagai fungsi kepekatan peluang

Beberapa Sifat Peubah Acak

Kontinyu

a

a

a

b

a

dxxfaFaXPaXP

lainkatadengan

dxxfaXP

baJika

dxxfbXaP

makabaB

Katakan

dxxfXP

)()(}{}{

0)(}{

)(}{

],[

)()},({1

f.k.p p.a. kontinu

• Syarat pertama bahwa f(x) 0 untuk - ≤ x ≤ +

jelas terpenuhi

•

• Jadi f(x) memenuhi syarat sebagai f.k.p

lainnya untuk ,0

1untuk ,2)(

3

x

xxxf

1))1(0()1

(2

0)(1

2

1

3

1

xdx

xdxdxxf

CONTOH

• Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

selainnya

xxxCxf

,0

20),24()(

2

1. Berapa nilai C

2. Tentukan P{X>1}

1

2

1

2

2

0

32

2

0

2

2/1)24(8

3)(}1{

8/3

13

22

1)24(

dxxxdxxfXP

Maka

C

xxC

dxxxC

x

x

CONTOH2

• Diketahui suatu fungsi kepekatan peluang

sebagai berikut

Jawab

XPb

XPa

x

xexf

x

}100{.

}15050{.

00

0)(

100/

633.01

100/1}100{

384.01

100/1}15050{.

100/1,100)100(1

)(1

1

100

0

100

0

100/100/

2/32/1150

50

100/

100/150

50

0

100/

0

100/

e

edxeXP

Carasama

eee

dxeXPa

e

dapatkanKita

dxedxxf

xx

x

x

x

x

Fungsi sebaran kumulatif

• Didefinisikan FX(x) sebagai

• FX(x) disebut sebagai fungsi sebaran kumulatif

p.a X

x

X dxxfxXfPxF )()(()(

Fungsi sebaran kumulatif

• 0 ≤ FX(x) ≤ 1

• Jika a > b maka FX(a) FX(b) monoton tidak

turun

•

•

0)(lim

xFXx

1)(lim

xFXx

Fungsi sebaran kumulatif

• X adalah p.a dengan f.k.p

• Fungsi sebaran kumulatifnya adalah

lainnya untuk ,0

1untuk ,2)(

3

x

xxxf

1untuk ,1

1

1untuk ,0)(

2x

x

xxF

SEBARAN PELUANG SERAGAM

• X dikatakan mempunyai sebaran peluang

seragam pada (0,1) jika mempunyai fungsi

kepekatan peluang sebagai berikut :

1

0

1)()(,0)(

,)(

0

101)(

dxxfdxxfdanxf

karenafkpdisebutxfpersamaan

selainnya

xxf

SEBARAN PELUANG SERAGAM

selainnya

xjikaxf

adalahpadaseragamfkp

denganacakpeubahXdemikiandengan

abxdxxfbXaP

baJika

b

a

b

a

0

1

)(

),(

)(}{

,10

SEBARAN PELUANG SERAGAM

• Fungsi sebaran dari fkp seragam pada

interval (α,β) adalah sebagai berikut

x

xx

x

xF

1

0

)(

α β α β

1/(α-β)

1f(x)

F(x)

x x

SEBARAN NORMAL

• X mempunyai sebaran normal, bila

mempunyai fkp sebagai berikut

xexf x ,2

1)(

22 2/)(

f(x) diatas adalah fungsi kepekatan peluang, untuk itu perlu dibuktikan bahwa

Integral dari f(x) diatas bernilai 1

12

1 22 2/)(

dxe x

2

22

2

,,sin,cos

,

2

2

1

2

1

,/)(,

0

2/

0

2/

0

2

0

2/2

2/)(2/2/

2/2/2

2/

2/

2/2/)(

2

22

2222

22

2

2

222

I

maka

e

drredrdreI

makadrdrdydxryrx

polarkoordinatdengan

dydxedydxee

dxedyeI

makadyeImisal

dye

tunjukkanharuskita

dyedxe

xysubstitusi

r

rr

xyxy

xy

y

y

yx

SEBARAN NORMAL

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2.

Kemudian Y=αX+β akan terdistribusi dengan rata-rata

α μ +β dan ragam α2 σ2.. FKP Y adalah sebagai berikut

})(2

)]([exp{

2

1)(

2

2

yyf

Y

SEBARAN NORMAL

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, selanjutnya Z=(X- μ)/ σ, menyebar

dZ=1/ σ dx, dx = σ dz

X= σZ+ μ

maka

dzz

dxz

zfZ

}2/exp{2

1

)}(2

)(exp{

2

1)(

2

2

2

Z menyebar normal baku dengan rata-rata nol dan ragam 1

Fungsi Distribusi Kumulatif pada

Sebaran Normal

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, maka fungsi distribusi dari X adalah

)(

)(

)()(

a

aXP

aXPaFX

CoNTOH • Jika X menyabar normal dengan μ=3 dan ragam σ2 =9,

tentukan (1) P(2<X<5), (2) P(X>0), dan (3) P(|X-3|>6)

• Jawab

0456.0

}2{}2{

}3

33

3

3{}

3

39

3

3{

}3{}9{}6|3{|.3

8413.0)1()1(1

}1{}3

30

3

3{}0{.2

3779.0

)3/1()3/2(

}3

2

3

1{}

3

35

3

3

3

32{)52(.1

ZPZP

XP

XP

XPXPXP

ZPX

PXP

ZPX

PXP

Pendekatan Normal untuk Kasus

Binomial

• Jika Sn adalah jumlah yang sukses dari n percobaan

secara independen, setiap percobaan menghasilkan

peluang sukses p, maka untuk sembarang a <b,

njika

abbpnp

npSaP n )()(}

)1({

Contoh• X menunjukkan banyaknya “Head” yang

keluar dari mata uang yang dilempar sebanyak 40 secara fair. Berapa peluang X=20. Dekati dengan sebaran normal

1268.02

1

20

40)20(

1272.0)16.0()16.0(

16.010

2016.0

10

205.20

10

20

)2/1)(2/1(40

205.19

}5.205.19{}20{

40

XP

binomialdengan

XP

XP

XPXP

SEBARAN PELUANG EKSPONENSIAL

Peubah Acak X mempunyai sebaran peluang eksponensial, jika mempunyai kepekatan peluang untuk beberapa

0;1|

}{)(

00

0)(

,0

0

0

aee

dxe

aXPaF

kumulatifdistribusiFungsi

xjika

xjikaexf

aax

ax

x

Sering dipakai untuk menghitung jumlah percobaan (waktu/panjang)

sampai kejadian Spesifik ditemui

CONTOH

• Misalkan lamanya waktu menelpon memiliki distribusi eksponensial dengan λ=0.1. Jika seseorang segera datang saat anda selesai menelpon pada telepon umum. Tentukan peluang a) anda menunggu lebih dari 10 menit, b) antara 10 hingga 20 menit

233.0

|10

1}2010{.2

368.0|10

1}10{.1

21

20

10

20

10

10/10/

10

1

10

10/10/

ee

edxeXP

eedxeXP

xx

xx

Sebaran Laplacian• X peubah acak yang mempunyai sebaran

Laplacian jika mempunyai fungsi kepekatan

peluang,

02/11

02/1

02/12/1

02/1

)(

,2/1

02/1

02/1)(

0

0

0

||

xe

xe

xdxedxe

xdxe

xF

kumulatifsebaranfungsidengan

xe

xe

xexf

x

x

xxx

xx

x

x

x

Fungsi Kepekatan Peluang

Gamma

• X peubah acak mempunyai fkp gamma, maka dengan beberapa parameter (t, λ), λ > 0 dan t > 0, jika kepekatan peluangnya adalah

0,0

0,)(

)(

)(

1

x

xt

xe

xf

tx

dimana

dyyet ty 1

0

)(

• Integral parsial adalah

!)1()(

,1)1(

)1(2.3)......2)(1(

)2()2)(1(

)1()1()(

)1()1(

)1(

)1()(

0

0

2

0

2

0

1

nn

makadxe

karena

nn

nnn

nnn

npengulangadengan

tt

dyyet

dyyteyet

x

ty

tyty

Distribusi Weibull

• X peubah acak mempunyai distribusi weibull,

jika mempunyai fungsi peluang kumulatif

sebagai berikut :

vxvxvx

vx

xf

turunannya

vxvx

vx

xF

exp

0

)(

exp1

0

)(

1

Distribusi Beta

• X peubah acak mempunyai distribusi beta

jika mempunyai fungsi kepekatan peluang

sebagai berikut :

1

0

11

11

)1(),(

dim

0

10)1(),(

1

)(

dxxxbaB

ana

selainnya

xxxbaBxf

ba

ba

Nilai Harapan p.a kontinu

• Tentu saja pada saat menghitung E(X) hanya

selang yang memiliki f(x) tidak nol yang

digunakan.

lainnya untuk ,0

1untuk ,2)(

3

x

xxxf

Ragam p.a kontinu

X p.a. kontinyu dengan fkp f(x)

Maka

.)()( dxxfxXE

Contoh: X p.a. yang mempunyai fkp seragam.

Tentukan nilai harapan X pada selang (a, b)

.0

;1

)(

Selainnya

bxaab

xf

Jawab

2)(2

))((

2)(

1

2

1

)(

1)(

22

2

ab

ab

ababab

ab

a

bx

abdx

ab

xXE

b

a

X p.a. yang mempunyai fkp eksponensial. Tentukan nilai harapan X

Jawab:

00

0

)(

x

xe

xf

x