05 fungsi dua peubah

*Sistem KoordinatOktan 1R3(Ruang) R2(Bidang)

*

[MA 1124]KALKULUS II

*Permukaan di Ruang (R3)Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Jejak di bidang YOZ, x = 0 1. BidangBentuk umum:Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)(garis lurus)(garis lurus)(garis lurus)

*Gambar bidang

*Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 (lingkaran) (lingkaran)Jejak di bidang YOZ, x = 0 (lingkaran)2. BolaPersamaan umum bola :

*Gambar Bola

*3. ElipsoidaJejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa ElipsJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa ElipsBentuk umum :

*Gambar Elipsoida

*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola4. Hiperboloida berdaun satuBentuk umum :

*Gambar Hiperboloida Berdaun Satu

*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejakJejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips 5. Hiperboloida Berdaun duaBentuk umum :

*Gambar Hiperboloida Berdaun Dua

*6. Paraboloida Elips :7. Paboloida Hiperbola :8. Kerucut Elips :

*GambarZ x yz x yZ x yParaboloida ElipsParaboloida HiperbolaKerucut Elips

*[MA 1124]KALKULUS II

*Latihan: Gambarkanx2 + y2 = 4y = x22x + 2y + 4z = 8 , di oktan 19 z2 + 9x2 + 4y2 = 36z =4x2 + y2 + z2 2x 2y 4z = 3



*Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R ( A C R2) (x,y) z = f(x,y)Contoh:f(x,y) = x2 + 4 y2



*Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari1. f(x,y) = x2 + 4 y2



*Contoh (Jawab)1.Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}= {(x,y) R2}xy2.= {(x,y) R2 | 36 9x2 4y2 0}= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}xy23



*Contoh (Jawab)3.= {(x,y) R2| x(1 y) 0}xy= {(x,y) R2|x 0 dan (1y)0 atau x0 dan (1y)0}= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}



*LatihanTentukan dan Gambarkan Df dari1.



*Grafik Fungsi Dua PeubahGrafiknya berupa permukaan di ruangZ=f(x,y)DfxyzKarena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb zakan memotong grafik tepat di satu titik.



*ContohGambarkan Grafikf(x,y) = 2 x2+ 3y2 z = 2 x2+ 3y2

f(x,y) = 3 x2 y2 Paraboloida eliptikZ x yz = 3 x2 y2Z x y33



*Contoh3. 4.9z2 = 36 9x2 4y29x2 + 4y2 + 9z2 = 36Elipsoidaz2 = 16 x2 y2x2 + y2 + z2 = 16Bola322222



*Kurva Ketinggianz = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.Contoh:Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4f(x,y) = 2x y2 , k = -2, 0, 2, 4



*Contoh (Jawab)f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4Untuk k = 0x2 +2 y2 = 0x = 0, y = 0titik (0, 0)Untuk k = 1x2 +2 y2 = 1elipsUntuk k = 2x2 +2 y2 = 2elipsUntuk k = 4x2 +2 y2 = 4elipsk=2k=4xy



*Contoh (Jawab)Untuk k = -2x y2 = -2x = y2 2parabolaUntuk k = 0x y2 = 0parabolaUntuk k = 2x y2 = 2parabolaUntuk k = 4x2 +2 y2 = 4parabolak=0k=-2k=2k=4xyf(x,y) = x y2 , k = -2, 0, 2, 4x = y2 x = y2 + 2 x = y2 + 4



*Latihanf(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4f(x,y) = y2 x2 , k = 1, 2, 3, 4

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari



*Turunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut



*Contoh:1.Tentukan fx dan fyJawabfx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2fy(x,y) = x3 + 8 xy2.3.Jawabfx(x,y) = 2xy cos(x2 + y2)fy(x,y) = cos(x2+y2) 2y2 sin(x2+y2)Jawabfx(x,y)=0. ln(siny)1. ln(sinx)fx(x,y) = ln(sinx)fy(x,y)=1. ln(siny)0. ln(sinx)fy(x,y) = ln(siny)



*Latihan1.2.Tentukan fx dan fy3.1.2.Tentukan fx, fy dan fz



*Turunan Parsial Kedua



*Contoh1. f(x,y)= x y3 + y3x2Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx Jawabfx(x,y)= y3 + 2xy3fy(x,y)= 3xy2 + 3x2y2fxx(x,y)= 2y3fxy(x,y)= 3y2 + 6xy2fyy(x,y)= 6xy + 6x2yfyx(x,y)= 3y2 + 6xy2



*LatihanTentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)3. f(x,y) = tan-1(y2/x)4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)



*Arti Geometri Turunan ParsialPerpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. (a, b) s



*Arti Geometri Turunan Pertama (2)Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.z x y (a, b) s



*Vektor GradienMisalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagaiadalah vektor satuan di arah sumbu x,y positifNotasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalahadalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif



*ContohTentukandandariJawabSehingga diperoleh:



*LatihanI. Tentukandari1.2.3.4.II. Tentukandi titik yang diberikan1.2.3.di P ( 2,3) di P ( 3, 3) di P (2, 1) 5.6.



*Aturan RantaiMisalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di tdan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagaiMisalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka



*Contoh1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukanJawab:= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)= 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t= 6t11+6 t11 = 12 t11



*ContohMisalkan z = 3x2 y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, Jawab:= 42 (2s +7t) 50 s2t= 6x. 7 + (2y) 5 stentukandan= 12 (2s +7t) 50 s t2= 6x. 2 + (2y) 5 t



*Latihan1. Tentukan(dalam t)a. w = x2 y y2x ; x = cos t, y = sin tb. w = ex siny eysin x ; x = 3t, y = 2tc. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t2. Tentukan(dalam t dan s)a. w = x2 y lnx ; x = s/t, y = s2 tb. w = ; x = s sin t, y = t sin s


*Turunan BerarahMisalvektor satuan dengan pangkal di P0(x0, y0) P0

*atauNilai z di Q adalah makaJika s0, maka diperolehJika jarak ke P adalah s, makaP0

*Definisi : Jika f(x,y) mempunyai turunan parsial dan vektor satuan sebarang, maka turunan berarah f di titik dalam arah adalah :Perhatikan bahwa:sudut antara


*ContohTentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik P(2,1) dalam arah vektorJawab:Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor afx (x,y)= 12 x2 y fx (2, 1)= 12.22.1 =48 fy (x,y)= 4 x3fx (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga=48 . (4/5) + 32 . (3/5)= 288/5



*ContohTentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada titik P(1,2, /2) dalam arah vektorJawab:Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor afx (x,y,z)= y sinz fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2 fy (x,y,z)= x sinzfx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1 fz (x,y,z)= xy coszfz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0



*Contoh (Lanjutan)Sehingga=2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3)= 4/3



*LatihanTentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor aa. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 jb. f(x,y) = xey yex , P(0, 0), a = 5 i 2 jc. f(x,y) = e xy , P(1, 1), a = i + 3 jd. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)e. f(x,y,z) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah inia. f(x,y) = x3 y5 , P(2, 1)b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)c. f(x,y) = 4x3y2 , P(1,1)d. f(x,y) = 1x2y2 , P(1,2)



*Latihan (lanjutan)Misal.TentukansehinggaJika,TentukansehinggaDiketahuijikajikadana. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)



*Bidang SinggungDefinisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

Fx(a,b,c) (xa) + Fy(a,b,c) (yb) + Fz(a,b,c) (zc) = 0

Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah :

z f(a,b) = fx(a,b) (x a) + fy(a,b) (y b)



* Persamaan parameter garis normal Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan garis normal di titik (a,b,c) adalah:Untuk permukaan z=f(x, y,), persamaan garis normal di titik (a,b,f(a,b)) adalah:



*Contoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah2(x 1) + 4(y - 2) + 12 (z 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46



*Contoh (Lanjutan)Jadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 tAtau bisa ditulis persamaan simetri garis normal



*Contoh2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5)Jawab:Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah(z + 5) = 6(x 1) 10(y 2) 6x + 10y + z = 21 z f(a,b) = fx(a,b) (x a) + fy(a,b) (y b)



*ContohJadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1-6t, y = 2 - 10t , z = 5 - tAtau bisa ditulis persamaan simetri garis normal



*Latihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaana. x2 + y2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x22xyy28x+4y dimana bidang singgungnya mendatar3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 6t



*Maksimum dan Minimum Fungsi Dua PeubahDefinisiMisalkan (x0,y0) Df, makaf(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).



*Di mana nilai ekstrim muncul?Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaituTitik-titik batas DfTitik StasionerTitik Singular



*Uji Nilai EkstrimUntuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), danmaka1. Jika D >0 dan ,maka f(x0,y0) nilai maksimum lokal.2. Jika D>0, dan ,maka f(x0,y0) nilai minimum lokal .3. Jika D


*Contoh1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, darif(x,y) = 2x4x2+3y2Jawab:fx(x,y) = 8x3 2xfy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 2fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0Titik kritisnya (dalam hal ini titik stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu8x3 2x=02x (4x2 1)=0x=0 , x = 6y =0y = 0Jadi titik-titik stasioner adalah (0, 0), (, 0) dan (-,0)



*Contoh (lanjutan)Mengenai jenis nilai ekstrim, bisa dilihat pada tabel berikut:Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (,0) dan (-,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

Titik stafxxfyyfxyDKeterangan(0,0) 26012f(0,0) bukan nilai ekstrim atau (0,0) Titik pelana(, 0)46024f(1/2,0) nilai Minimum lokal (-, 0)46024f(-1/2,0) nilai Minimum lokal



*Contoh2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, darif(x,y) =x2y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}Jawab:fx(x,y) = 2xfy(x,y) = 2yfxx(x,y) = 2fyy(x,y) = 2fxy(x,y) = 0Titik stasionernya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)Jadi titik-titik stasionernya (0, 0)( terletak di dalam S), Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint(karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapatf(t)=cos2 t sin2t+1Dan f(0,0)=1.



*Contoh (lanjutan)Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:f(t)=2 cos t sint 2 sint cost = 0-4 cos t sint= 0sin2t= 02t= 0, , 2, 3t= 0, /2, , 3/2Untuk t = 0 x = 1, y = 0f(1, 0) = 2Untuk t = /2 x = 0, y = 1f(0, 1) = 0Untuk t = x = -1, y = 0f(-1, 0) = 2Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1f(0, -1) = 0Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)



*Latihan1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, daria. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 6 x2 6y2c. f(x,y) = x2 +4 y2 2x+8y 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 9x + 4y2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, daria. f(x,y) =x26x+y28y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, 1 y 1}



*g (x, y) = 0Metode LagrangeUntuk mencari nilai ektrim terkendalaMisalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g.Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 x2 y2 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k f (x, y) untuk setiap x, y Df sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian dan kurva kendalamaka



*Metode LagrangeUntuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0



*ContohGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1Jawab:Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikutdanyaitu:2x = 2x .(1) 2y = 2y .(2)x2+y2 = 1 ..(3)



*Contoh (lanjutan)Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehinggaUntuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = 1 Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)f(1, 0) = 2,Untuk (1,0)f(-1, 0) = 2untuk (-1,0)f(0, 1) = 0,Untuk (0,1)f(0,-1) = 0untuk (0,-1)Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)



*Contoh2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1Jawab:Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikut,yaitu:1 = 2x .(1)2 = 2y + .(2)x2+y2 = 2 ....(4)dany + z = 1 ....(4)3 = .(3)



*Contoh (lanjutan)Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = .Untuk = , didapatkan titik kritis (1, -1, 2).Untuk = -, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)



*LatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun darif(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1f(x,y) = 4x2 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1f(x,y) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y 2z = 12


05 fungsi dua peubah

Documents