5. fungsi dua peubah

5/26/2018 5. Fungsi Dua Peubah

1/86

Fungsi Dua Peubah

1Kalkulus2-Unpad


2/86

Kalkulus2-Unpad 2

Sistem Koordinat

y

x

P(x,y)

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

y

x

y

z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

R3(Ruang)R2(Bidang)


3/86

3Kalkulus2-Unpad


4/86

Kalkulus2-Unpad 4

Permukaan di Ruang (R3)

Ax By Cz D

Jejak di bidang XOY, z = 0

Jejak di bidang XOZ, y = 0

Jejak di bidang YOZ, x = 0

1. Bidang

Bentuk umum:

Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)

Ax By D Ax Cz D

By Cz D

(garis lurus)(garis lurus)

(garis lurus)


5/86

Kalkulus2-Unpad 5

Gambar bidang 3 4 2 12x y z


6/86

Kalkulus2-Unpad 6

2 2 2 2 , 0x y z a a

2 2 2x y a Jejak di bidang XOY, z = 0

Jejak di bidang XOZ, y = 0

(lingkaran)

2 2 2x z a (lingkaran)

Jejak di bidang YOZ, x = 0

2 2 2

y z a (lingkaran)

2. Bola

Persamaan umum bola :


7/86

Kalkulus2-Unpad 7

Gambar Bola

Z

x

y


8/86

Kalkulus2-Unpad 8

3. Elipsoida

2 2 2

2 2 2 1 , , , 0

x y za b c

a b c

2 2

2 2 1x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips

2 2

2 2 1

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Elips

2 2

2 2 1z y

c b Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Elips

Bentuk umum :


9/86

Kalkulus2-Unpad 9

Gambar Elipsoida

Z

x

y


10/86

Kalkulus2-Unpad 10

2 2 2

2 2 2 1 , , , 0

x y za b c

a b c

2 2

2 2 1

x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips

2 2

2 2 1

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 2 1

y z

b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola

4. Hiperboloida berdaun satu

Bentuk umum :


11/86

Kalkulus2-Unpad 11

Gambar Hiperboloida Berdaun Satu

Z

x

y


12/86

Kalkulus2-Unpad 12

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c

2 2

2 2 1x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 2 1

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 2 1

y z

b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a,berupa ellips

5. Hiperboloida Berdaun dua

Bentuk umum :


13/86

Kalkulus2-Unpad 13

Gambar Hiperboloida Berdaun Dua

Z

x

y


14/86

Kalkulus2-Unpad 14

2

2

2

2

b

y

a

xz

2

2

2

2

b

y

a

xz

2 2 2

2 2 2 0x y za b c

6. Paraboloida Elips :

7. Paboloida Hiperbola :

8. Kerucut Elips :


15/86

Kalkulus2-Unpad 15

Gambar

Z

x

y

z

x

y

Z

x

y

Paraboloida Elips

Paraboloida Hiperbola

Kerucut Elips


16/86

Kalkulus2-Unpad 16

Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yangmengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu

z=f(x,y)

Notasi :f:AR

(x,y)

z=f(x,y)Contoh:

2 212. ( , ) 36 9 43

f x y x y

2

22

23. ( , )

2

y xf x y

x y

2( )A R

2 21. ( , ) 3 2f x y x y


17/86

Kalkulus2-Unpad 17

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)

2( , ) ( , )fD x y R f x y R

Contoh. Tentukan dan gambarkanDfdari

( , ) ( , )f fR f x y x y D

2 212. ( , ) 36 9 43

f x y x y

3. ( , ) (1 )f x y x y

2 21. ( , ) 3 2f x y x y

Berupa daerah di bidang


18/86

Kalkulus2-Unpad 18

Jawab :

x

y

2.2 2 21( , ) 36 9 4

3fD x y R x y R

2 2

2( , ) 14 9

x yx y R

x

y

2

3

2 2 2

2

1. ( , ) | 3 2

( , )

fD x y R x y R

x y R

(seluruh daerah di bidang)

2 2 2( , ) 36 9 4 0x y R x y

2 2 2( , ) 9 4 36x y R x y


19/86

Kalkulus2-Unpad 19

x

y

23. ( , ) (1 )fD x y R x y R

= {(x,y)R2|x0 dan (1y)0 ataux 0 dan (1y)0}

= {(x,y)R2|x0 dany1 ataux 0 dany1}

2( , ) (1 ) 0x y R x y


20/86

Kalkulus2-Unpad 20

Latihan

2

22

21. ( , )

2

y xf x y

x y

ln( 1)5. ( , )

1

x yf x y

y x

2. ( , )1

xf x y

y

2 216

4. ( , ) ln( )

x y

f x y x y

3. ( , ) 2y

f x yx

Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:

xy

xyyxf

2

),(.6


21/86

Kalkulus2-Unpad 21

Grafik Fungsi Dua Peubah

Grafiknya berupa permukaan di ruang

Z=f(x,y)

Df

x

y

z

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan

tepat satuz=f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.


22/86

Kalkulus2-Unpad 22

Contoh

Paraboloida elips2 2

1 13 2

x yz

Z

x

y

Z

x

y

3

3

Gambarkan grafik

2 21. ( , ) 3 2f x y x y

2 212. ( , ) 36 9 42

f x y x y

22 2 2

14 9 9

x y z

2 2 24 36 9 4z x y

elipsoida


23/86

Kalkulus2-Unpad 23

Latihan

1. x2 +y2 = 4

2. y = x2

3. 2x+ 2y+ 4z= 8 , di oktan 1

4. 9z2 + 9x2+ 4y2 = 36

5. z=4

Gambarkan grafik dari :

2 26. ( , ) 3f x y x y


24/86

Kalkulus2-Unpad 24

Kurva Ketinggian

z=f(x,y)z = k adalah kurva ketinggian.

Jadi, kurva ketinggian adalah

proyeksi dari perpotongan grafikz=f(x,y)dengan bidangz =kpada bidangXOY.


25/86

25Kalkulus2-Unpad


26/86

Kalkulus2-Unpad 26

Contoh:

Untuk k= 0 titik (0, 0)

Untuk k= 1

elips

Untuk k= 2

elips

Untuk k= 4

elips

2 2

111

2

x y

22

12

xy

2 2

14 2

x y

.k=0

k=1

k=2

k=4

x

y

2 2( , ) 2 , 0,1, 2, 4f x y x y k

2 22 0x y

2 22 1x y

2 22 2x y

2 22 4x y

1. Gambar kurva ketinggian

Jawab:


27/86

Kalkulus2-Unpad 27

Untuk k= -2

parabola

Untuk k= 0

parabola

Untuk k= 2

parabola

Untuk k= 4

parabola

k=0

k=-2

k=2 k=4 x

y

22. ( , ) , 2, 0, 2, 4f x y x y k

22 x y 2 2x y

2x y

2

2x y

2 4x y

2

0 x y

22 x y

24 x y

Jawab:


28/86

Kalkulus2-Unpad 28

Latihan

Gambarkan kurva ketinggianz = k dari

2

1. ( , ) , 4, 1, 0,1, 4x

f x y ky

2 22. ( , ) , 0,1, 4,9f x y x y k

3. ( , ) , 4, 1, 0,1, 4f x y xy k

2 24. ( , ) , 1, 2, 3, 4f x y y x k


29/86

Kalkulus2-Unpad 29

Limit Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsif(x,y)mempunyai limitLuntuk (x,y)

mendekati (a,b) ditulis( , ) ( , )

lim ( , )x y a b

f x y L

berlaku 2 2

0 0 0 x a y b

( , )f x y L

x

y

z

(a,b)

Z =f(x,y)

L

L+

L


30/86

Kalkulus2-Unpad 30

Catatan

( , ) ( , )

lim ( , )x y a b

f x y L

ada jika( , ) ( , )

lim ( , )x y a b

f x y L

untuk sembarang kurva yang melalui (a,b)

Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2yang melalui

kurva, maka dikatakan( , ) ( , )

lim ( , )x y a b

f x y

berbeda untuk masing-masing( , ) ( , )

lim ( , )x y a b

f x y

(a,b) dengan nilai

tidak ada.

. (a,b)


31/86

Kalkulus2-Unpad 31

Contoh

2 2( , ) (0,0)limx y

xy

x y

Jawab :

2 2( , )

xyf x y

x y

terdefinisi di Df= R

2 {(0,0)}

*) Di sepanjang garis y=0, kecualix=0, maka

2 2( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)

.0lim ( , 0) lim 0

0x x

xf x

x

tidak adaBuktikan bahwa

*) Di sepanjang garisy=x, maka

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

. 1lim ( , ) lim

2x x x x

x xf x x

x x


32/86

Kalkulus2-Unpad 32

Karena( ,0) (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , 0) lim ( , )x x x

f x f x x

maka

2 2( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y tidak ada


33/86

Kalkulus2-Unpad 33

Latihan

2 2

2 2( , ) (0,0)1. lim

x y

x y

x y

2

4 2( , ) (0,0)2. lim

x y

x y

x y

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

3 4

2 6( , ) (0,0)3. lim

x y

x y

x y


34/86

Kalkulus2-Unpad 34

Kekontinuan

Definisi: Fungsi dua buahf(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

( , ) ( , )2. lim ( , )

x y a bf x y ada

( , ) ( , )3. lim ( , ) ( , )

x y a bf x y f a b

1. ( , ) adaf a b

Untuk memeriksa kekontinuan suatu fungsi disuatu titik sangat sulit, karena limit fungsi sulit dicari.


35/86

Kalkulus2-Unpad 35

Teorema:

1. Fungsi polinom m peubah kontinu

),(),(),(

yxqyxpyxf

mR

2. Fungsi rasional kontinu difD

asalkan ( , ) 0q x y

3. Jikag(x,y)fungsi dua peubah yang kontinu di (a,b) danffungsi satu peubah kontinu dig(a,b),

makafogkontinu di (a,b) dan (fog) (x,y) =f(g(x,y)).


36/86

Kalkulus2-Unpad 36

Contoh Kekontinuan

Selidiki kekontinuan fungsi berikut:

2

2 31. ( , )

( 4 )

x yf x y

y x

32. ( , ) cos( 2 )f x y x y fkontinu dimana-mana (R

2

) kecuali di parobolay2

=4x

Misal (Polinom) gkontinu dimana-

mana dan h(t) = cos tkontinu di setiap tdiR.Makaf(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.

3( , ) 2g x y x y


37/86

Kalkulus2-Unpad 37

Turunan Parsial

Definisi: Misalkanf(x,y)adalah fungsi dua peubah.

0( , ) ( , )( , ) limx

hf x h y f x yf x y

h

2. Turunan parsial pertamafterhadapy(xdianggap konstan):

0

( , ) ( , )( , ) limy h

f x y h f x yf x y h

1. Turunan parsial pertamafterhadapx(ydianggap konstan):

,xf z

fx x

yz

y

ffy

Notasi lain :


38/86

Kalkulus2-Unpad 38

Contoh:

4 21. ( , )f x y x y xy

Tentukan fx

dan fy

Jawab :

3 2 41. 4 ; 2x yf x y y f x xy

2 22. ( , ) cos( )f x y y x y

2 22. 2 sin( )xf xy x y

)sin(2)cos( 22222 yxyyxfy


39/86

Kalkulus2-Unpad 39

Latihan

31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy

cos2. ( , )y

t

xf x y e dt

Tentukan fxdan fy dari fungsi berikut:

33. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy

4. ( , ) tan 2yf x y e x

3 2 35. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y

xyxyyxf 2)(tan),(.6 1


40/86

Kalkulus2-Unpad 40

Definisi: Misalkan f(x,y,z)adalah fungsi tiga peubah,

maka

0

( , , ) ( , , )limxh

f x h y z f x y zf

h

2. Turunan parsial pertamafterhadapy(x,z konstan):

0

( , , ) ( , , )limyh

f x y h z f x y zf

h

1. Turunan parsial pertamafterhadapx(y,zkonstan):

3. Turunan parsial pertamafterhadapz(x,ykonstan):

0

( , , ) ( , , )limzh

f x y z h f x y zf

h


41/86

Kalkulus2-Unpad 41

Latihan

21. ( , , ) 3f x y z xy y z xz

2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy

Tentukan fx, fy dan fzdari fungsi berikut :

23. ( , , ) secyf x y z xe z

24. ( , , ) ln( )xyzf x y z e x y z

yzxz

xyzyxf 2),,(.5


42/86

Kalkulus2-Unpad 42

Turunan Parsial Kedua

2

2( , )xx

f ff x y

x x x

2

2( , )yy f ff x y y y y

2

( , )xyf f

f x yy x y x

2

( , )yxf f

f x yx y x y


43/86

Kalkulus2-Unpad 43

Contoh

Tentukan

Jawab :

2 3 3

( , )f x y xy x y , , ,xx xy yx yyf f f f dari

2 2 33x

f y x y 36xx

f xy

3 22 3y

f xy x y

2 22 9xyf y x y

2 22 9yx

f y x y

32 6yyf x x y


44/86

Kalkulus2-Unpad 44

Latihan

Tentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari

31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy

2. ( , ) sin 3 cos 2f x y x y

2 23. ( , ) ln( )f x y x xy y

24. ( , ) x yf x yxy

2 25. ( , ) sin cosx yf x y e y e x


45/86

Kalkulus2-Unpad 45

Arti Geometris Turunan Parsial Pertama

z

x

y

(a, b)

s

),(

),(),(

lim0 yxfh

yxfyhxf

m xh

Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbuxpositif


46/86

Kalkulus2-Unpad 46

z

x

y(a, b)

s

0

( , ) ( , )

lim ( , )yh

f x y h f x y

m f x yh

Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbuypositif

Arti Geometris Turunan Parsial Pertama


47/86

Kalkulus2-Unpad 47

Vektor Gradien

Definisi:

Misalkan fungsi z=f(x,y) terdefinisi di DR2

Vektor gradien dari fungsi z=f(x,y) di (x,y) D

didefinisikan sebagai

( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j adalah vektor satuan arah sumbux,ypositif

Notasi lain: gradf(x,y), delf(x,y)

,i j

DefinisiVektor gradien dari fungsi f(x,y,z)adalah

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k

adalah vektor satuan arah sumbux,y,zpositif. , ,i j k


48/86

Kalkulus2-Unpad 48

Contoh

Tentukan ( , )f x y dan ( 1, 1)f dari ( , ) xy

f x y x e

( , ) xy xyxf x y e xye

Jawab :

2( , ) xyyf x y x e

( 1, 1) 2xf e e e

( 1, 1)yf e

2 ( , ) xy xy xyf x y e xye i x e j

( 1, 1) 2f e i e j

Jadi:


49/86

Kalkulus2-Unpad 49

Latihan

A. Tentukan f dari2

1. ( , ) x y

f x yx y

2 22. ( , ) lnf x y x y

3 24. ( , ) sinf x y x y

5. ( , ) ln( )f x y xy x y

B. Tentukan f di titik yang diberikan

2 21. ( , )f x y x y xy

3 2 32. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y

2

3. ( , ) x

f x yy

di P (2,3)

di P (3, 3)

di P (2, 1)

23. ( , , ) x zf x y z x y e zxezyxf y sec),,(.6 2


50/86

Kalkulus2-Unpad 50

Aturan Rantai

Misalkanx =x(t)dany=y(t) terdeferensialkan di tdanz=f(x,y) terderensialkan di (x(t),y(t))

Makaz=f(x(t),y(t)) dapat dideferensialkan di tdan

didefinisikan sebagai

dz z dx z dydt x dt y dt

Misalkanx=x(s,t),y=y(s,t) danz=f(x,y), maka

i z z x z ys x s y s

ii z z x z yt x t y t


51/86

Kalkulus2-Unpad 51

Contoh

1. Misalkan w=x2y3denganx= t3dany= t2,

tentukandw

dt

Jawab:dw w dx w dy

dt x dt y dt

3 2 2 22 (3 ) 3 (2 )xy t x y t

3 2 3 2 3 2 2 22 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t

3 6 2 6 4 112 3 3 2 12t t t t t t t


52/86

Kalkulus2-Unpad 52

Contoh

2. Misalkanz= 3x2y2denganx= 2s+7tdany= 5st,

z

t

Jawab:

6 .7 2 .5z z x z y

x y st x t y t

tentukanz

s

dan

6 .2 2 .5

z z x z y

x y ts x s y s

242(2 7 ) 50z

s t s tt

2

12(2 7 ) 50

z

s t sts


53/86

Kalkulus2-Unpad 53

Latihan

1. Tentukan

dw

dt (dalam t)

2. Tentukanw

t

2 2

. ; sin , sinx yb w e x s t y t s

2 2. ln ; ,sa w x y x x y s t t

2 3 2. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t

. sin sin ; 3 , 2x yb w e y e x x t y t

2 2. ; cos , sina w x y y x x t y t

dari fungsi berikut :

dari fungsi berikut :


54/86

Kalkulus2-Unpad 54

0..

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F F

dy xFdx

y

Fungsi Implisit

(i) Jika ( , ) 0F x y bentuk implisit dari ( )f x y maka

(ii) Jika ( , , ) 0F x y z bentuk implisit dari ( , )f x y z maka

0...

x

z

z

F

x

y

y

F

x

x

x

F Fz xF

x z

0...

y

z

z

F

y

y

y

F

y

x

x

F Fz yFy

z


55/86

Kalkulus2-Unpad 55

Contoh :

dx

dy1. Tentukan dari 3 2 410 0x x y y

2. Tentukan

z

x

dari

3

( , , ) sin( ) 0

y z

F x y z x e y x z

Jawab :2

2 3

(3 2 )1.

( 40 )

Fdy x xyx

Fdx x y

y

2

3

32.

( cos( ))

y z

y z

Fz x ex

Fx x e y x zz

Turunan Berarah


56/86

Kalkulus2-Unpad 56

Turunan Berarah

Misal1 2,u u u vektor satuan dengan pangkal diP0(x0,y0)

P0


57/86

Kalkulus2-Unpad 57

atau 0 0 1 2, ,x x y y s u u

0 1 1

dxx x su u

ds 0 2 2

dyy y su u

ds

Nilaizdi Qadalah 0 1 0 2( , ) ( , )z f x y f x su y su

maka1 2. .x y

dz f dx f dyf u f u

ds x ds y ds

Jika s0, maka diperoleh

0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u

Jika jarak ke Padalah s, maka 0 .P P s uP0


58/86

Kalkulus2-Unpad 58

Definisi : Jikaf(x,y)mempunyai turunan parsial dan

1 2,u u u vektor satuan sebarang, maka turunan

berarah f di titik dalam arah adalah :u0 0( )x y

Perhatikan bahwa:



0 0

( , ).f x y u

|| || . || || cosf u

sudut antara f dan u


59/86

59

Contoh

Jawab:

21 )1,1()1,1()1,1( ufuffD yxu

yxyxf 34),( 1. Tentukan turunan berarah fungsi

4 3a i j di titik P(1,1) dalam arah vektor

5

3,

5

4

5

3

5

4

|| ji

a

au

4)1,1(4

12)1,1(12

3

2

yy

xx

fxf

fyxf

125

60

5

3.4

5

4.12

Sehingga turunan berarahfdi (1,1) adalah:

Kalkulus2-Unpad


60/86

4/27/2014 60

Contoh

Jawab:

20010000

),(),(),( uyxfuyxfyxfDyxu

2. Tentukan suatu vektor

53),( yxyxf

2

4

3 (2, 1) 12

5 (2, 1) 5

x x

y y

f x f

f y f

u

dalam arah mana fungsi

bertambah paling cepat di P(2,-1)

dan berapa laju perubahan dalam arah ini.

uyxf

.),( 00

0 0|| ( , ) ||. || || cosf x y u

Agar bertambah paling cepat 0 udanf

searah.

60Kalkulus2-Unpad


61/86

jiu 13

5

13

12

f

Karena u

searah maka vektor satuannya

Lajunya = || ||f 2 2(12) ( 5) 13

61Kalkulus2-Unpad

ih


62/86

Kalkulus2-Unpad 62

Latihan

1. Tentukan turunan berarah fungsif pada titik P yangdiberikan dalam vektor

a.f(x,y) = y2 lnx, P(1, 4),

b.f(x,y) = xeyyex, P(0, 0),

c.f(x,y) = e xy , P(1, 1),

d.f(x,y) = x/(x+y), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)

e.f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)

2. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah manafbertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa

laju perubahan dalam arah inia.f(x,y) = ey sinx, P(5/6,0)

b.f(x,y) = 4x3y2, P(1,1)

c.f(x,y) = 1x2y2, P(1,2)

3 3a i j 5 2a i j

3a i j

a

u


63/86

Kalkulus2-Unpad 63

3. Misal ( , ) .y

f x yx y

Tentukan u

sehingga (2, 3) 0uD f

4. Jika0 0

( , ) 2f x y i j ,Tentukan u

sehingga

0 0( , ) 2uD f x y

5. Diketahui jika(1, 2) 5uD f

jika(1, 2) 10vD f

dan3 4

5 5

u i j

4 3

5 5v i j

a. Tentukanfx(1,2) danfy(1,2)

b. Tentukan turunan berarahfdi (1,2) dalam arah ke

titik asal.

Bidang Singgung


64/86

Kalkulus2-Unpad 64

Bidang Singgung

Definisi:Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan

F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Poadalah sebuah bidang yang melalui Podan tegak lurus pada

0 0 0( , , )f x y z

Teorema:

Untuk permukaanF(x,y,z) = k, persamaan bidangsinggung di titik adalah :0 0 0( , , )x y z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z

Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z

Persamaan bidang singgung di0 0 0( , , )x y z adalah :

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y

0 0 0( , , )x y z


65/86

Kalkulus2-Unpad 65

Definisi :

Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung

pada S di Poyaitu :

0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z

atau

0 0 0 0( , , )xx x tF x y z

0 0 0 0( , , )

yy y tF x y z

0 0 0 0( , , )zz z tF x y z

h


66/86

Kalkulus2-Unpad 66

Contoh

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaanx2 +y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)

Jawab: Misalkan

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

2(x1) + 4(y+ 2) + 12 (z2) = 0

2x+ 4y+ 12z= 46

2 2 2( , , )F x y z x y z

kzjyixzyxF

422),,(

kjiF

1242)3,2,1(


67/86

Kalkulus2-Unpad 67

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x= 1+2t,y= 2 + 4t, z= 3 + 12t

2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

Permukaan di (1, 2, -5)

Jawab:

2( , ) 2 2 3xf x y x y y

( , ) 2 6y

f x y x xy

(1, 2) 2 4 12 6xf

(1, 2) 2 12 10y

f

2 2( , ) 2 3 2f x y x xy xy


68/86

Kalkulus2-Unpad 68

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah

5 (1, 2)( 1) (1, 2)( 2)x yz f x f y

5 6( 1) 10( 2)z x y

6 10 21x y z

1 6 , 2 10 , 5x t y t z t

h


69/86

Kalkulus2-Unpad 69

Latihan

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

permukaan

a.x2+ y23z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y= excoszdi titik (1, e, 0)c.x1/2+ y1/2+z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d.z= 2e3ycos 2xdi titik (/3, 0, -1)

2. Tentukan semua titik pada permukaanz=x22xyy28x+4ydimana bidang singgungnya mendatar

3. Perlihatkan bahwa permukaanx2+4y+z2=0 danx2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2).

(yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).

4. Tentukan sebuah titik pada permukaanx2+2y2+3z2=12di mana bidang singgungnya tegak lurus terhadap garisdengan persamaan parameter:x=1+2t, y=3+8t,z=2 6t

Nilai Ekstrim


70/86

Kalkulus2-Unpad 70

Nilai Ekstrim

Fungsi Dua Peubah

Definisi:

MisalkanfDyx ),( 00

jika

),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global darifpadaDf,

, maka:

fDyxyxfyxf ),(),(),( 00

),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global darifpadaDf,

jika fDyxyxfyxf ),(),(),( 00),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global darifpadaDf,

jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.

Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat

di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokal

atau minimum lokal.


71/86

71Kalkulus2-Unpad


72/86

Kalkulus2-Unpad 72

Di mana nilai ekstrim muncul?

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilaiekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batasDf

Titik Stasioner

Titik Singular

0),(0),(0),(),( 00000000 yxfdanyxfyxfyx yx

)adatidak),(( 00 yxf


73/86

Kalkulus2-Unpad 73

Uji Nilai Ekstrim Lokal

Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadinilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsialkedua, yaitu:

Misalkan f(x,y)mempunyai turunan parsial keduayang kontinu di sekitar (x

0

,y0

),

dan

0),(00 yxf

maka

200000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx

1.f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxfxx

2. f(x0,y0)nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxfxx

3. f(x0,y0)bukan nilai ekstrim jika D


74/86

Kalkulus2-Unpad 74

Contoh

1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari

Jawab :

fx(x,y)= 8x32x fy(x,y) = 6y

fxx(x,y) = 24x

2

2 fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0

Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan

persamaanfx(x,y) = 0danfy(x,y)=0, yaitu

8x3

2x=0 2x (4x21)=0 x=0 ,x= 6y=0 y= 0

Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah(0, 0), (, 0) dan (-,0)

224 32),( yxxyxf


75/86

Kalkulus2-Unpad75

Titikstasioner

fxx fyy fxy D Keterangan

(0,0) 2 6 0 12 f(0,0) bukan nilai ekstrim

(, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal

(-, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal

Uji nilai ekstrim lokal dengan D :

Jadi nilai minimum lokal8

1)0,

2

1( f dan

8

1)0,

2

1( f

Titik (0,0) merupakan titik pelana.


76/86

Kalkulus2-Unpad76

2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari

f(x,y) =x2y2+1pada S = {(x,y)|x2 +y21}

Jawab :

fx(x,y) = 2x fy(x,y) =2y

fxx(x,y) = 2fyy(x,y) =

2fxy(x,y) = 0

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan

persamaanfx(x,y) = 0danfy(x,y)=0, didapat (0,0)

Perhatikan bahwa titik kritis (0, 0) terletak di dalam S,

danD(0,0)


77/86

Selanjutnya tentukan titik-titik batasnya.

Untuk mencari maksimum/minimum darif(x,y)pada S,

selesaikan ekstrim fungsif(t)sebagai fungsi satu peubah.

1|),( 22 yxyxS Lingkaran satuan.

Misal tytx sin,cos

0cossin2cossin2)('

tttttf

1sincos)( 22 tttf

02sin2

t

2t= 0, , 2, 3 t= 0, /2, , 3/2

t=0 x= 1, y= 0 f(1,0)=2 (nilai maksimum global)

t=/2

x= 0,

y= 1 f(0,1)=0 (nilai minimum global)

t= x= -1 ,y = 0 f(-1,0)=2 (nilai maksimum global)

t=3/2 x= 0, y =-1 f(0,-1)=0 (nilai minimum global)

77Kalkulus2-Unpad

L ih


78/86

Kalkulus2-Unpad78

Latihan

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, daria.f(x,y) =x3+y3-6xy

b.f(x,y) =xy26x26y2

c.f(x,y) =x2+4y22x+8y1

d.f(x,y) = 3x3

+y2

9x + 4y

yxxyyxfe

42),(.

)4( 22),(. yyxeyxff

2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari

f(x,y) =x26x+y28y+7pada S={(x,y)|x2 +y2 1}

M d L


79/86

Kalkulus2-Unpad79

Metoda Lagrange

Metoda Lagrange digunakan untuk mencari nilai ekstrimterkendala.

Misalkanz =f(x,y)dengan kendalag(x,y)=0.

Akan dicari nilai ekstrim fterhadap kendalag.


80/86

Untuk memaksimumkanfthd kendalag(x,y)=0 Cari

perpotongan kurva ketinggianf(x,y)=kdengan fungsi

kendalag(x,y)=0sehingga diperoleh kterbesar.

Karena kurva ketinggian dan kurva kendala salingmenyinggung garis tegak lurusnya sama.

),(),( yxgyxf

f

Karena kurva ketinggian , kurva kendala g

maka

80Kalkulus2-Unpad


81/86

Kalkulus2-Unpad81

Metoda Lagrange

0),(),(),( 000000 yxgdanyxgyxf

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange

),(),(),( 000000 yxhyxgyxf

dengan (x0,y0) titik kritis, , pengali langrange

g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0)terhadap kendalag(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0)

terhadap kendalag(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistempersamaan:

Contoh


82/86

Kalkulus2-Unpad82

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai

maksimun dan minimun dari

1.f(x,y)=x2y2 + 1 pada lingkaranx2+y2=1

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :

),(),( yxgyxf

0),( yxgdan

yaitu:

2x= 2x.(1)

2y= 2y.(2)

x2+y2 = 1..(3)

jyixyxf 22),(

jyixyxg 22),(


83/86

Kalkulus2-Unpad83

Dari persamaan (3), nilaixdan ytidak mungkin sama-sama nol, sehingga

Untukx0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)

di dapaty= 0, dan dari (3) di dapatx2=1 x= 1

Untuky0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)

di dapatx= 0, dan dari (3) di dapaty2=1 y= 1

Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)

f(1, 0) = 2,

f(-1, 0) = 2

f(0, 1) = 0,

f(0,-1) = 0

maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)

maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)


84/86

2. Tentukan nilai minimum global dari

Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)

dan (0,-1)

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

523),,( zyxzyxf

terhadap kendala 049),,( 22 zyxzyxg

Jawab:

kjigkjif 818;23

),(),( yxgyxf

0),( yxg

049

1

82

183

22

zyx

y

x

(1)

(3)

(2)

(4)

Kalkulus2-Unpad84


85/86

Substitusi ke (4), didapat

4

1,

6

11 yxKarena

2

1z

Sehingga nilai minimumnya adalah:

2

1,

4

1,

6

1Jadi titik kritis :

2

14

2

1,

4

1,

6

1

f

Kalkulus2-Unpad85

Latihan


86/86

Latihan

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilaimaksimun dan minimun dari

1.f(x,y) =x2 +y2pada kendalag(x,y)=xy3 = 0

2.f(x,y) =xypada lingkaranx

2

+y

2

= 13.f(x,y) = 4x24xy+y2pada kendalax2+y2 = 1

4.f(x,y,z) =x2+y2+z2 pada kendalax+ 3y2z= 12

5. fungsi dua peubah

Documents