ma1201 matematika 2a - · pdf file12.3 limit dan kekontinuan 12.4 turunan fungsi dua peubah...

of 23/23
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 24 Maret 2017

Post on 05-Feb-2018

230 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • MA1201 MATEMATIKA 2A

    Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

    24 Maret 2017

  • Kuliah yang Lalu

    12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

    12.2 Turunan Parsial

    12.3 Limit dan Kekontinuan

    12.4 Turunan fungsi dua peubah

    12.5 Turunan berarah dan gradien

    12.6 Aturan Rantai

    12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

    12.8 Maksimum dan minimum

    12.9 Metode pengali Lagrange

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 2

  • Kuliah Hari Ini

    12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

    12.2 Turunan Parsial

    12.3 Limit dan Kekontinuan

    12.4 Turunan fungsi dua peubah

    12.5 Turunan berarah dan gradien

    12.6 Aturan Rantai

    12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag I

    12.8 Maksimum dan minimum

    12.9 Metode pengali Lagrange

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 3

  • 12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 4

    Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai turunan di titik tertentu danmenentukan turunannya

  • Turunan Parsial Saja Tidak Cukup

    Kita sudah mendefinisikanturunan parsial dari suatufungsi dua peubah; tapieksistensi turunan parsial disuatu titik tidak memberi kitainformasi tentang nilai fungsidi sekitar titik tsb, kecualidalam arah sejajar sumbu-x dan sumbu-y.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 5

    P

    x

    y

    z

    ??

  • Bagaimana Mendefinisikan Turunan

    Turunan dari fungsi satu peubah y = f(x) di x = c didefinisikan sebagai

    Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumumuntuk fungsi dua peubah

    karena pembagian dgn vektor tidak terdefinisi.3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 6

    .)()(

    lim)('0 h

    cfhcfcf

    h

    ,)()(

    lim)('0 h

    cfhcfcf

    h

    SO?

  • Turunan Fungsi Satu Peubah

    Jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, yakni

    maka f linear secara lokal di x c, yaitu

    dengan

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 7

    ,)()(

    lim)('0

    mh

    cfhcfcf

    h

    ),()()( hhhmcfhcf

    .0)()(

    lim)(lim00

    m

    h

    cfhcfh

    hh

  • Turunan Fungsi Satu Peubah

    Sebaliknya, jika f linear secara lokal di x c, sebutlah

    dengan

    maka f mempunyai turunan di x = c, yakni

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 8

    .)()(

    lim)('0

    mh

    cfhcfcf

    h

    ),()()( hhhmcfhcf

    ,0)()(

    lim)(lim00

    m

    h

    cfhcfh

    hh

  • Turunan Fungsi Dua Peubah

    Fungsi dua peubah f dikatakan mempunyaiturunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear secara lokal di sekitar p, yakni

    dengan

    dan

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 9

    ).0,0())(lim),(lim()(lim 20

    100

    hhhhhh

    ,)())(),(()()( hhhpfpfpfhpf yx

    ),,()),(),(()( 2121 hhhhhh

  • Turunan Fungsi Dua Peubah

    Vektor disebutturunan atau gradien f di p.

    Jadi, f mempunyai turunan di p jika danhanya jika

    dengan

    Catatan: Operator disebut operator del. 3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 10

    .0)(lim0

    hh

    ))(),((:)( pfpfpf yx

    ,)()()()( hhhpfpfhpf

  • Beberapa Catatan

    1. Jika turunan fungsi satu peubah merupa-kan bilangan f (p), maka turunan fungsidua peubah merupakan vektor

    2. Hasil kali danmerupakan hasil kali titik.

    3. Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 11

    ))(),((:)( pfpfpf yx

    hpf )( hh )(

  • Contoh

    Turunan dari fungsi di (1,2) adalah

    Perhatikan bahwa untuk (h,k) (0,0) fungsi flinear secara lokal:

    Di sini3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 12

    22),( yxyxf

    ).4,2()2,2()2,1()2,1( yxf

    ).,(),(),()4,2(5

    4421

    )2()1()2,1(

    22

    22

    khkhkh

    kkhh

    khkhf

    ).0,0(),(),( khkh

  • Teorema

    Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a,b).

    Contoh. f(x,y) = x2 + y2 mempunyai turunanparsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R

    2, karena itu f mempunyai turunan di setiap titik.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 13

  • Sifat Turunan

    Operator del memenuhi sifat-sifat berikut:

    1.

    2.

    3.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 14

    )()()]()([ pgpfpgpf

    )(.)](.[ pfpf

    )()()()()]()([ pfpgpgpfpgpf

  • Teorema

    Jika f mempunyai turunan di p,

    maka f kontinu di p.

    Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyaiturunan di p.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 15

  • Soal

    Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyaiturunan di titik (0,0).

    1.

    2.

    3.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 16

    .0)0,0(,),(22

    fyx

    xyyxf

    .),( 22 yxyxf

    .1),( 22 yxyxf

  • Soal

    Buktikan bahwa

    4.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 17

    2.

    f g f f g

    g g

  • 12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN BAGIAN I

    MA1201 MATEMATIKA 2A

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 18

    Menentukan persamaan bidang singgungpada suatu permukaan di titik tertentu

    Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsidi sekitar titik tertentu

  • Hampiran Linear & Bidang Singgung

    Bila f mempunyai turunan di p = (a,b), maka kitamempunyai hampiran linear

    Dalam hal ini, persamaan

    merupakan persamaan bidang singgung padapermukaan z = f(x,y) di titik (a,b).3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 19

    ),(),(),(),( byaxbafbafyxf

    ))(,())(,(),(

    ),(),(),(

    bybafaxbafbaf

    byaxbafbafz

    yx

  • Contoh

    Persamaan bidang singgung pada permukaan z =

    di (1,2) adalah

    Menggunakan persamaan bidang singgung ini, kita mempunyai hampiran

    (1.1)2 + (1.9)2 5 + 2(0.1) + 4(-0.1) = 4.8.3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 20

    22),( yxyxf

    .425)2(4)1(25

    )2)(2,1()1)(2,1()2,1(

    yxyx

    yfxffz yx

  • Diferensial

    Misal z = f(x,y) mempunyai turunan di p = (a,b). Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebasx dan y, maka

    disebut diferensial dari f di (a,b). Jadi, hampiranlinear di sekitar (a,b) dapat dituliskan sebagai

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 21

    ),(),(),( dydxbafbadfdz

    ),(),(),( badfbafyxf

  • Contoh

    Jika z = , maka diferensial darif di (1,2) adalah

    Jika dx = 0.1 dan dy = -0.1, maka

    dz = 2(0.1) + 4(-0.1) = -0.2.

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 22

    22),( yxyxf

    .42)2,1()2,1( dydxdyfdxfdz yx

  • Soal

    Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengank menyatakan suatu konstanta.

    Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahanmaksimum 1% dan dalam pengukuran Vterdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlahkesalahan maksimum dalam perhitungan P?

    3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 23