Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Warsoma Djohan

Prodi Matematika, FMIPA - ITB

March 11, 2011

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY

Fungsi Dua PeubahFungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankanpasangan terurut(x,y) R2 dengan sebuah bilanganz R.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 2 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY

Fungsi Dua PeubahFungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankanpasangan terurut(x,y) R2 dengan sebuah bilanganz R.

Notasi: z = f (x,y).x dany disebutpeubah/variabel bebas.z disebutpeubah/variabel tak bebas.

Contoh: f (x,y) =

yx2x2+(y1)2

f

(x,y) z

f : (x,y) z

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 2 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY

Fungsi Dua PeubahFungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankanpasangan terurut(x,y) R2 dengan sebuah bilanganz R.

Notasi: z = f (x,y).x dany disebutpeubah/variabel bebas.z disebutpeubah/variabel tak bebas.

Contoh: f (x,y) =

yx2x2+(y1)2

f

(x,y) z

f : (x,y) z

Daerah definisi/Domaindari fungsi f , dinotasikanDf , adalah kumpulansemua pasangan(x,y) sehinggaf (x,y) terdefinisi/punya nilai.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 2 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY

Fungsi Dua PeubahFungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankanpasangan terurut(x,y) R2 dengan sebuah bilanganz R.

Notasi: z = f (x,y).x dany disebutpeubah/variabel bebas.z disebutpeubah/variabel tak bebas.

Contoh: f (x,y) =

yx2x2+(y1)2

f

(x,y) z

f : (x,y) z

Daerah definisi/Domaindari fungsi f , dinotasikanDf , adalah kumpulansemua pasangan(x,y) sehinggaf (x,y) terdefinisi/punya nilai.

Daerah Nilai/Rangedari fungsif , Rf = {z R|z = f (x,y), (x,y) Df}.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 2 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY

Fungsi Dua PeubahFungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankanpasangan terurut(x,y) R2 dengan sebuah bilanganz R.

Notasi: z = f (x,y).x dany disebutpeubah/variabel bebas.z disebutpeubah/variabel tak bebas.

Contoh: f (x,y) =

yx2x2+(y1)2

f

(x,y) z

f : (x,y) z

Daerah definisi/Domaindari fungsi f , dinotasikanDf , adalah kumpulansemua pasangan(x,y) sehinggaf (x,y) terdefinisi/punya nilai.

Daerah Nilai/Rangedari fungsif , Rf = {z R|z = f (x,y), (x,y) Df}.

Latihan: Tentukan daerah definisi dari contoh di atas lalu gambarkan.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 2 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Grafik Fungsi Dua Peubah ITB USE ONLY

Grafik fungsi dua peubahz = f (x,y) merupakansuatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaanstandard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yangmerupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

( , )x y

( , )z f x y=

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 3 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Grafik Fungsi Dua Peubah ITB USE ONLY

Grafik fungsi dua peubahz = f (x,y) merupakansuatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaanstandard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yangmerupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

( , )x y

( , )z f x y=

Contoh: Gambarkan grafikz = 13

369x24y2

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 3 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Grafik Fungsi Dua Peubah ITB USE ONLY

Grafik fungsi dua peubahz = f (x,y) merupakansuatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaanstandard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yangmerupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

( , )x y

( , )z f x y=

Contoh: Gambarkan grafikz = 13

369x24y2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

9x2+4y2+9z2 = 36 z 0

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 3 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Grafik Fungsi Dua Peubah ITB USE ONLY

Grafik fungsi dua peubahz = f (x,y) merupakansuatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaanstandard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yangmerupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

( , )x y

( , )z f x y=

Contoh: Gambarkan grafikz = 13

369x24y2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

9x2+4y2+9z2 = 36 z 0

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.0.5

0.5

1

1.5

8

6

4

2

2

4

6

8

6

4

2

2

4

6

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 3 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Grafik Fungsi Dua Peubah ITB USE ONLY

Grafik fungsi dua peubahz = f (x,y) merupakansuatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaanstandard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yangmerupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

( , )x y

( , )z f x y=

Contoh: Gambarkan grafikz = 13

369x24y2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

9x2+4y2+9z2 = 36 z 0

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.0.5

0.5

1

1.5

8

6

4

2

2

4

6

8

6

4

2

2

4

6Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar.Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalahdengan membuatkontur/kurva ketinggiannya.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 3 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur

x

y

z z=f(x,y)

WD

2011

Diberikan sebuah permukaanz = f (x,y).

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 4 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur

x

y

z z=f(x,y)

z=k

WD

2011

Diberikan sebuah permukaanz = f (x,y).

Iriskan permukaan tersebut dengan bidangz = k

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 4 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur

x

y

z z=f(x,y)

z=k

WD

2011

Diberikan sebuah permukaanz = f (x,y).

Iriskan permukaan tersebut dengan bidangz = k

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 4 / 34

Ope

n S

ourc

e N

ot F

or C

omm

erci

al U

se

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur

x

y

z z=f(x,y)

z=k

f(x,y)=kkurva ketinggian

WD

2011

Diberikan sebuah permukaanz = f (x,y).

Iriskan per