3. variabel random dan distribusi peluang mesin 2013

VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG

Dr. Vita Ratnasari, M.Si18/01/2013

1'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Mesin 2013

Definisi Variabel Random

18/01/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Mesin 2013

2

Variabel random ialahSuatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Variabel random dinyatakan dengan huruf besar : XSedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil : x

Contoh 1


3

Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikandari suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambilmaka nilai y yang mungkin dari variabel random Y adalah:

Solusi:Y = jumlah bola merah yang diambilS = {Y|y = 0,1,2}MM 2MH, HM 1HH 0

Ruang

sampel

Type Variabel Random


4

1. Ruang sampel DiskritJika suatu ruang sampel mengandung titikyang berhingga banyaknya atau sederatananggota yang banyaknya sebanyaknyabilangan bulat.

2. Ruang sampel KontinouBila ruang sampel mengandung titik sampelyang tak berhingga banyaknya danbanyaknya sebanyak titik pada sepotonggaris.

f(x) = p(x) = P(X = x) = fgs dist peluang= fungsi padat peluang= pdf = probability density function

F(X = x) = P(X x)= cdf = cumulative distribution function

( ) ( )dx

xdFxf =

18/01/2013

5

'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Mesin 2013

Sifat Distribusi peluang variabel random

1.2.

3. Variabel random4. Diskrit

5. Variabel random6. Kontinou

1)(0 ixf( )ii xXPxf ==)(

=

=i

ixf 1)(

==xt

tfxXPxF )()()(

( ) 1=

=iixf

( ) dttfxXPxFx

x=

== )()(

18/01/2013

6


Contoh 2


7

Sebuah kontraktor mempunyai 4 mesin yang digunakan pada suatu proses produksi. Diramalkan mesin mempunyai rata-rata usiapakai 10 tahun.

Tentukan ruang sampel dari variabel random x.

Misal: X menyatakan jumlah mesin dalam keadaan baik.

Solusi


8

X: jumlah mesin dalam keadaan baik setelah 10 thS: {X|x = 0,1,2,3,4}

Kondisi mesin bil real (x)BBBB 4BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3BBRR, BRRB, RRBB, RBRB, RBBR, RBRB 2BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1RRRR 0

Distribusi Peluang


9

Distribusi peluang suatu variabel random X adalah himpunan nilai peluang variabelrandom X yang ditampilkan dalam bentuktabel dan atau gambar.

X X1 X2 ... Xk

Peluang f(x1) f(x2) ... f(xk)

Distribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahun

BBRR BRBR RBBRRBRB RRBB BRRB RRRR

BRRR RBRRRRBR RRRB

BBBR BBRBBRBB RBBBBBBB

18/01/2013

10


X 4 3 2 1 0

P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Berdasarkan Contoh 2:

a. Tentukan peluang lebih dari 2 mesin yang baik denganusia lebih dari 10 tahun:

b. Tentukan peluang paling banyak 1 mesin baik denganusia lebih dari 10 tahun:

c. Tentukan peluang antara 1 sampai 2 mesin baik denganusia lebih dari 10 tahun:

4 1 5( 2)16 16 16

P X > = + =

165

164

161)1( =+=XP

1610

166

164)21( =+= XP

18/01/2013

11


Contoh 3

Sebuah pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu tokomengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer secara random, Tentukan distribusi peluang banyaknya komputer yg cacat.

X = banyaknya komputer yang cacat = {0, 1, 2}f(0) = P(X = 0)f(1) = P(X = 1)f(2) = P(X = 2)

18/01/2013

12



13

;

Distribusi Probabilitas

3 50 2

82

10(0) ( 0)28

C Cf P XC

= = = =3 51 1

82

15(1) ( 1)28

C Cf P XC

= = = =

3 52 0

82

3(2) ( 2)28

C Cf P XC

= = = =

X = 0 X = 1 X = 2

f(x) 10 2815

283

28

Contoh 4:

Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C padapercobaan laboratorium, merupakan variabelrandom X yang mempunyai fungsi padat peluang:

a. Tunjukkan bahwa

b. Caric. Carilah fungsi kumulatifnya

( )2

, 1 230 ,

x xf xlainnya

<

Solusi:

a.

b.

22 2 3

1 1

8 1 13 9 9 9x xdx

= = + =

( )11 2 3

0 0

10 13 9 9x xP X dx< = = =

18/01/2013 15'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Mesin 2013

c. Untuk -1 < x < 2

jadi:

( ) ( )2 3 3

1 1

13 9 9

xx x t t xF x f t dt dt

+= = = =

( )3

0 1

1 1 29

1 2

x

xF x x

x

<

+=

Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l:

1. Distribusi Uniform

ialah suatu kejadian yang mempunyai probabilitasyang sama.

misal: Probabilitas mata dadu keluar angka 5:

Probabilitas mata uang keluar muka:

( )k

xf 1=

61

21

18/01/2013

17


2. Distribusi Binomial

- Peristiwa terjadi n kali percobaan/kejadian.- Tiap peristiwa menghasilkan 2 kemungkinan,

sukses (p) or gagal (q).- Tiap peristiwa terjadi saling independen.

x = 0, 1, 2, , n

( ) ( ) xnxnx PPCxXP == 1

18/01/2013

18


Contoh 5:

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang . Hitunglah a. Peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang

diuji tidak akan rusak.b. Peluang paling banyak 1 yang rusak dari 4 suku

cadang yang diujikan.c. Peluang terdapat paling sedikit 3 suku cadang

yang baik dari 4 suku cadang yang diujikan.

18/01/2013

19


Solusi:

X : Suku cadang yang baika. P( X = 2) = ?

b. P( X 3) = P(X = 3) + P(X = 4)c. P( X 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

( ) 4 2 4 22; , (1 )B x n p C p p =

18/01/2013

20


2 4 242

3 3 32;4, 14 4 4

B C

=

3. Distribusi Binomial Negatif

Percobaan seperti kejadian pada Binomial, dengan usaha diulang sampai tercapai sejumlahsukses tertentu.

Jadi banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses pada n kejadian adalah Variabel random Binomial Negatif.Distribusi peluangnya disebut distribusi Binomial Negatif.

18/01/2013

21


Berapa peluang sukses ke-k akan terjadi padakejadian ke-n.

Contoh 6:Peluang cacat pembuatan tiang pancang sebesar0.1. Pada pemeriksaan kualitas dilakukanpengambilan sampel sebanyak 5 item.

( ) knknkk qpCnXP == 11

18/01/2013

22


Berapa peluang pengambilan tiang pancang yang ke-5, adalah pengambilan tiang pancang cacatyang ke-2 ?

Solusi:Kemungkinan yang terjadi:

1. BBBCC P(BBBCC) = (0.9)(0.9) (0.9)(0.1)(0.1)2. BBCBC P(BBCBC) = (0.9) (0.9)(0.1)(0.9)(0.1)3. BCBBC P(BCBBC) = (0.1)(0.9) (0.9)(0.9)(0.1)4. CBBBC P(CBBBC) = (0.1)(0.9)(0.9) (0.9)(0.1)

18/01/2013

23


Fungsi dist Binomial Negatif

Jadi peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4 adalah pengambilan tiang pancang cacat yang kedua sebesar 2.43 %

( ) 5 1 2 5 22 2 15P X C p q = =

( ) ( ) ( )2 342 15 0.1 0.9 0.02916P X C= = =

18/01/2013

24


4. Distribusi Geometrik

Sukses pertama pada kejadian ke-n

Contoh 7:Pada saat sibuk di suatu sentral telepon mencapaibatas daya sambungnya, sehingga orang tidakmendapat sambungan. Andaikan peluang mendapatsambungan selama waktu sibuk adalah 0.05. Berapapeluang diperlukan 6 kali usaha agar sambunganberhasil.

( ) 11 == npqnXP

18/01/2013

25


X = kejadian sambungan berhasilDiperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil: GGGGGS

Jadi peluang yang diperlukan agar 6 kali usaha dalam melakukan sambungan akan berhasil sebesar 3.6 %

( ) ( )( ) 036.095.005.06 51 ===XP

18/01/2013

26


5. Distribusi Hypergeometrik

Banyaknya sukses dalam variabel random ukuran n sampel yang diambil dari N populasi, yang mengandung k sifat tertentu dari populasi.

x = 0, 1, 2, , n

==

nN

xnkN

xk

CCCknNxh N

n

kNxn

kx),,;(

18/01/2013

27


Contoh 8:

Suatu kotak berisi 40 suku cadang, dikatakanmemenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebihdari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialahdengan memilih 5 suku cadang secara random. Berapa peluang mendapatkan tepat satu yang cacatdalam sampel berukuran 5?

3011.0

540

437

13

)3,5,40;1( =

=h

18/01/2013

28


6. Distribusi Poisson

Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.

x = 0, 1, 2, e = 2.71828

Sebagai pendekatan untuk distribusi binomial bila n cukup besar dan p kecil (n > 20 dan p < 0.05)

!)(

xexf

x=

18/01/2013

29


Contoh 9:

Dari pengalaman masa lalu selama 20 tahun terakhir, rata-rata terjadi hujan lebat 4 kali per tahun. Berapa peluang tidak terjadi hujan lebat tahundepan?

018.0!0

4)0(40

===eXP t

18/01/2013

30


Soal-soal

1. Seorang petani jeruk mengeluh karenadari panen jeruknya terserang suatu virus. Cari

peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen ini:a. Semuanya terserang virus tersebut.b. Antara 1 sampai 3 yang terserang virus

tersebut.c. Cari distribusi peluangnya

32

18/01/2013

31


2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25 % truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Carilah peluangnya dari 15 truk yang diuji, jika:a. 3 sampai 6 mengalami ban pecahb. kurang dari 4 yang mengalami ban pecahc. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah

18/01/2013

32


3. Dari kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acakdan kemudian ditembakkan. Bila kotak itumengandung 3 peluru yang cacat yang tidak akanmeledak, berapakah peluang bahwa:a. keempatnya meledakb. paling banyak 2 yang tidak akan meledak

18/01/2013

33


Rata-rata dan varians dari distribusi peluang

Jika X adalah variabel random diskrit dengandistribusi peluang f(x), maka nilai rata-rata X dinyatakan:

E(X) = ekspektasi X

Varians X dinyatakan dgn Var(X) =

( ) ( )i ii

E X x f x = =2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22

22 2 2

i ii

E X X f x

E X E X E X

= = =

= =

18/01/2013

34


Ekspektasi dari Distribusi peluang

Diskrit

Kontinou

( )( ) ( ) ( )dxxfxgxgE =( ) ( )dxxfxXE ==

( )( ) ( ) ( )xfxgxgE =( ) ( )xfxXE ==

18/01/2013

35


Sifat-sifat ekspektasi:

1. E(ax) = a E(x)2. E(a + bx2) = a + b E(x2)3. E(xy) = E(x) E(y)

18/01/2013

36


Standart Deviation

Var (X) = E( X )2

= E(X2) 2 , dimana; = E(X) = E(X2) (E(X)) 2

)()(tan XVariansXDeviasidartS =

18/01/2013

37


Sifat-sifat varians:

1. Varians tidak negatif2. Var (x + a) = Var (x)3. Var (bx) = b2 Var (x)4. Var (a + bx) = b2 Var (x)

18/01/2013

38


Distribusi Binomial (x; n, p)

Nilai Harapan (expected value)

Varians X

( ) ( )i ii

E X x f x np= = =

( )2( ) 1Var X np p= =


Distribusi Binomial Negatif (x; k, p)


Varians X

( ) ( ) 1i ii

pE X x f x kp

= = =

22

(1 )( ) pVar X kp

= =


Distribusi Geometrik (x; p)


Varians X

( ) ( ) 1i ii

E X x f xp

= = =

22

(1 )( ) pVar Xp

= =


Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k)


Varians X

( ) ( )i ii

kE X x f x nN

= = =

2( ) 11

N n k kVar X nN N N

= =


Distribusi Poisson (x; )


Varians X

( )E X =

( )Var X =


contoh 10

Seorang kontraktor memasukkan penawaran tender untuk 3 pekerjaan A, B dan C. Jumlah pesaing untukmendapatkan pekerjaan A, B dan C masing-masing4, 3 dan 2. Andaikan peristiwa A, B dan C bebassecara statistik dan X menyatakan jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan kontraktor:a. Tentukan distribusi peluang Xb. Tentukan rata-rata Xc. Tentukan varians X

18/01/2013

44


Peluang sukses mendapatkan pekerjaan A: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan B: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan C:

X = jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkanseorang kontraktor.

15

141

3

( ) 4.032

43

540 =

==XP

( ) 43.031

43

54

32

41

54

32

43

511 =

+

+

==XP

18/01/2013

45


( ) 149.031

41

54

31

43

51

32

41

512 =

+

+

==XP

( ) 0167.031

41

513 =

==XP

X 0 1 2 3

f(x) 0.4 0.43 0.149 0.016

E(x) = x f(x) 0 0.43 0.298 0.348


Jadi rata-rata hanya satu pekerjaan yang akandimenangkan oleh seorang kontraktor.

( ) ==i

ii xfxx 1076.1

X 0 1 2 3

f(x) 0.40 0.43 0.149 0.016

X2 f(x) 0 0.43 0.596 1.044


Var (X) = E(X2) 2

= E(X2) (E(X))2

= 2.07 - (1.076)2

= 0.91

( ) ( ) ==i

ii xfxXE 07.222

18/01/2013

48


Koefisien Variasi ( x )

Kemencengan ()x

xx

=

( )3

3

x

xXE

=

18/01/2013

49


Distribusi Kontinou

1. Distribusi NORMALKARL FRIEDRICH GAUSS

- < x < SimetrisBell shapeX N ( , 2 )

2

21

221)(

=

x

exf

18/01/2013

50



51

f(x)

x

Transformasi Normal Standart


52

(Transformasi)

menggunakan tabel normal standart

( )2~ ,X N

( )~ 0,1Z N

XZ

=

Contoh 11:

Pendapatan mingguan seorang karyawan diindustri kaca berdistribusi normal dengan mean $ 1.000 dan standart deviasi $ 100.

1. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling banyak $ 900 per minggu.

2. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling sedikit $ 1.250 per minggu.

3. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan antara $ 900 dan $ 1.100 per minggu.

18/01/2013

53


Solusi:

X = pendapatan mingguan, = $ 1.000 dan = $ 100

a. P( x < 900) =

= = 0.1587

b. P( x > 1.250) =

=

= = = 0.0062 = 0.62 %

ZP

( )5.21

c. P(900 < x < 1.100) =

= =

=

k) = 0.2578

18/01/2013

56


2. Diberikan distribusi normal dengan = 40 dan = 6, dapatkan luasan :

a). Di bawah 32b). Di atas 27c). Antara 42 dan 51d). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di

bawah k = 45%e). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di

atas k = 13%

18/01/2013

57


3. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bolam yang umurnya berdistribusi normal dengan mean 800 jam dan standart deviasinya 40 jam. Hitung probabilitas sebuah bolam hasil produksinya akan berumur antara 778 dan 834 jam.

18/01/2013

58


4. Kekuatan batang baja yang dibuat dengan prosestertentu diketahui kira-kira mendekati distribusinormal dengan mean 24 dan deviasi standart 3.Para konsumen menghendaki bahwa paling sedikit95% batang tersebut mempunyai kekuatan lebih 20.Apakah kualitas batang baja tersebut sesuaidengan ketetapan konsumen.

18/01/2013

59


5. Ukuran mata bor untuk komponen tertentu yangdigunakan dalam proses perakitan (assembly) merupakandimensi (karakteristik) kualitas yang penting. Daripengamatan tiap jam berukuran 4 sampel selama 25 jamdiperoleh : = 4,3 mm, s = 0,243 mm. Batas spesifikasimata bor 4,4 0,2 mm. Biaya scrap dan rework tiap unitmasing-masing $ 2,40 dan $ 0,75. Produksi 1200 unit.a). Taksir parameter produk yang discrap & rework?b). Taksir biaya total scrap dan rework tiap hari?c). Jika rata-rata proses digeser 4,5 mm, jelaskan

dampaknya pada persentase produk yang discrapdan rework serta biayanya?

18/01/2013

60


x


61

6. Tinjau proses pembuatan coil. Diambil sampel berukuran 5

buah tiap jam dan dicatat tingkat resistensinya (ohm)nya.

Data diberikan pada Tabel 1.

Andaikan spesifikasi proses 21 3 ohm

a. Tentukan persentase produk cacat (tidak memenuhi)

spesifikasi bila tingkat resistensi berdistribusi normal.

b. Andaikan tiap hari diproduksi 10000 coil dan coil dengan

tingkat resistensi kurang dari LSL tidak dapat digunakan,

tentukan kerugian bila biaya scrap tiap unit $ 1.

62

Tabel 1Sampel

keData Sampel

keData

123456789

10111213

20,22,21,23,2219,18,20,20,2225,18,20,17,2220,21,22,21,2119,24,23,22,2022,20,18,18,1918,20,19,18,2020,18,23,20,2121,20,24,23,2221,19,20,20,2020,20,23,22,2022,21,20,22,2319,22,19,18,19

21,619,820,421,021,619,419,020,422,020,021,021,019,4

141516171819202122232425

20,21,22,21,2220,24,24,23,2321,20,24,20,2120,18,18,20,2020,24,22,23,2320,19,23,20,1921,21,21,24,2223,22,22,20,2221,18,18,17,1921,24,24,23,2320,22,21,21,2019,20,21,21,22

21,222,821,219,222,420,222,021,818,623,020,820,6

x x



63

Tabel 1 mean = 20,816 Standar deviasi = 1,188725


64

Tabel 2Mean = 37,175 Standar deviasi = 1,678933


65

7. Tingkat ketebalan magnetic coating pada proses pem-buatan audio tape merupakan karakteristik kualitaspenting. Suatu sampel berukuran 4 unit dipilih tiap jamdan tingkat ketebalannya diukur dengan instrument optik(Tabel 2). Batas-batas spesifikasi proses 38 4,5.Jika tingkat ketebalan proses coating kurang dari batasspesifikasi maka digunakan untuk produk lain denganmelalui proses lain.

a). Berapa persen produk tidak memenuhi batas spesifikasi?b). Jika rata-rata proses bergeser menjadi 37,8 berapa

persen produk akan diterima?

Tabel 2


66 Sampel ke Sampel ke

12345678910

36,435,837,333,937,836,138,639,434,439,5

11121314151617181920

36,735,238,839,035,537,138,339,236,837,7

THE GOLDEN TRIANGEL


VarIABEL RANDOM dan distribusi PELUANGDefinisi Variabel RandomContoh 1Type Variabel RandomSlide Number 5Sifat Distribusi peluang variabel randomContoh 2 SolusiDistribusi PeluangDistribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahunBerdasarkan Contoh 2:Contoh 3Slide Number 13Contoh 4:Solusi:Slide Number 16Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l:2. Distribusi BinomialContoh 5:Solusi:3. Distribusi Binomial NegatifSlide Number 22Slide Number 23Slide Number 244. Distribusi GeometrikSlide Number 265. Distribusi HypergeometrikContoh 8:6. Distribusi PoissonContoh 9:Soal-soalSlide Number 32Slide Number 33Rata-rata dan varians dari distribusi peluang Ekspektasi dari Distribusi peluangSifat-sifat ekspektasi:Standart Deviation Sifat-sifat varians:Distribusi Binomial (x; n, p)Distribusi Binomial Negatif (x; k, p)Distribusi Geometrik (x; p)Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k) Distribusi Poisson (x; ) contoh 10Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Distribusi KontinouSlide Number 51Transformasi Normal StandartContoh 11:Solusi:Slide Number 55SoalSlide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Tabel 1Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Tabel 2THE GOLDEN TRIANGEL

3. variabel random dan distribusi peluang mesin 2013

Documents