distribusi binomial dan multinomial1

Distribusi Peubah Acak Diskrti

B. DISTRIBUSI BINOMIAL

Apabila sebuah koin mata uang yang memiliki dua sisi bertuliskan Gambar (G) dan

Angka (A) dilempar satu kali, maka peluang untuk mendapatkan sisi Gambar adalah

0,5 atau 2

1)( =GP . Apabila koin tersebut dilempar dua kali, maka kejadian yang

mungkin muncul adalah GA, GG, AG atau AA dengan peluang masing-masing

adalah 4

1 (Tabel III.2)

Tabel III-2 Kejadian dari Pelemparan Koin Sebanyak Dua Kali

Kejadian Yang Mungkin

Probabilitas

GA 4

1)

2

1)(

2

1()()( ==APGP

GG 4

1)

2

1)(

2

1()()( ==APGP

AG 4

1)

2

1)(

2

1()()( ==APGP

AA 4

1)

2

1)(

2

1()()( ==APGP

Proses pelemparan matauang yang dilakukan dalam dua kali pelemparan diatas

disebut sebagai proses Bernouli yang memiliki 4 persyaratan, yaitu (1) Tiap usaha

memberi 2 hasil (outcome) yang dapat dikelompokkan atas “Sukses” dan “Gagal” (2)

Peluang “Sukses” dinyatakan dengan p tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha

lainnya (3) Percobaan terdiri atas n usaha berulang (4) Tiap usaha bebas dengan

usaha lainnya

Apabila X menyatakan jumlah sisi Gambar yang muncul dari pelemparan dua dadu

dan )(XP adalah peluang munculnya kejadian X, maka dapat disusun Distribusi

Binomial seperti ditunjukkan dalam Tabel III-3

Tabel III-2 Distribusi Peluang Pelemparan Matauang Dua Kali

ixX = )( ixXP =

0 4

1

1 2

1

2 4

1


Andaikan pelemparan matauang dilakukan sebanyak 3 kali (n), maka kejadian yang

mungkin dari munculnya sisi Gambar sebanyak 2 kali (x) adalah GGA, GAG atau

AGG. Jumlah tiga kejadian yang mungkin diatas dapat dihitung dengan kombinasi

2

3dengan peluang masing-masing kejadian

8

1)

2

1()

2

1( 12

= . Dengan demikian

peluang munculnya dua sisi Gambar pada pelemparan koin sebanyak 3 kali adalah

2

3

8

3)

2

1()

2

1( 12

= .

Definisi Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah

b (x;n;p) = xnx

qpx

n−

, untuk x = 0,1,,2…, n

Contoh IV-1 Di suatu kota 70% dari pencurian karena alasan perlu uang untuk membeli ganja. Cari peluangnya bahwa diantara 5 pencurian selanjutnya yang dilaporkan di kota tersebut (a) Paling banyak 3 diantaranya karena alasan perlu uang untuk membeli ganja (b) Tepat 3 diantaranya karena alasan perlu uang untuk membeli ganja

Misalkan X : jumlah pencurian karena perlu uang membeli ganja, p = 0.70, n =5, maka,

a. 3087.0)09.0)(343.0()!35(!3

!530.070.0

3

5)70.0;5,3( 23

=−

=

=b

b. )70.0;5,3()70.0;5,2()70.0;5,1()70.0;5,0()70.0;5,(3

0

bbbbxbx

+++=∑=

= 23324150 30.070.03

530.070.0

2

530.070.0

1

530.070.0

0

5

+

+

+

= )09.0)(343.0(10)027.0)(49.0(10)0081.0)(70.0(5)00243.0)(1(1 +++

= 0.47178 Mencari peluang kejadian binom dapat menggunakan Tabel Binom dalam bentuk

kumulatif ∑=

r

x

pnxb0

),,( seperti ditunjukkan berikut .


N R P

0.10 0.20 0.70 0.80 0.90

1 0 1

.. ..

5 0 1 2 3 4 5

0.0024 0.0308 0.1630 0.4718 0.8319 1.0000

∑=

=+++=

3

0

4718.0)70.0;5,3()70.0;5,2()7.0;5,1()70.0;5,0()70.0;5,(x

bbbbxb

∑ ∑= =

=−=−=

3

0

2

0

3088.01630.04718.0)70.0;5,()70.0;5,()70.0;5,3(x x

xbxbb

Contoh IV-2 Apabila dilakukan pelemparan 3 buah mata uang sebanyak 5 kali , berapa peluang untuk mendapatkan semuanya Gambar atau semuanya Angka sebanyak 2 kali Langkah Pertama Hitung terlebih dahulu peluang untuk mendapatkan Semua Gambar atau semua Angka padda pelemparan 3 buah mata uang. Dengan menggunakan Daigram Pohon, dapat disusun kajadian yang mungkin sebagai berikut

Koin 1 Koin2 Koin 3 Kejadian G GGG G A GGA G G GAG A A GAA G AGG G A AGA A G AAG A A AAA

Apabilan X adalah peubah Acak munculnya G pada pelemparan 3 buah koin, maka dapat disusun Distribusi Peubah Acak sebagai berikut


X Kejadian Probabilitas 0 AAA

81

1 GAA, AGA, AAG 8

3

2 GGA, GAG, GGA 8

3

3 GGG 8

1

Dari Tabel terlihat bahwa peluang untuk mendapatkan Semua Gambar atau Semua angka pada pelemparan 3 buah koin adalah

82)()( =+ AAAPGGGP

Langkah Kedua Gunakan rumus binomial untuk mendapatkan peluang mendapatkan semua Angka atau Semua gambar sebanyak 2 kali, yaitu

2109,0256

54)

16

9)(

16

1(6)

16

9)(

16

1(

)!24(!2

!4)

4

3()

4

1(

2

4)

4

1;4,2( 22

===−

=

=b

Apabila A adalah kejadian munculnya semua Gambar atau semua Angka dan B adalah kejadian selainnya, maka munculnya kejadian A 2 kali dalam 4 kali pelemparan adalah AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA dan BBAA (lihat diagram pohon berikut)

1 2 3 4 Kejadian A AAAA A B AAAB A A AABA B B AABB A A ABAA A B B ABAB A ABBA B B ABBB A BAAA A B BAAB A A BABA B B B BABB A BBAA A B B BBAB A BBBA B B BBBB


Teorema : Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan np=µ dan

variansi npq=2

σ

A.1 DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF

Definisi Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peuban acak x yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k diberikan oleh

kxkqp

k

xpkxb

−

−

−=

1

1),;(

* untuk x = k, k+1, k+2, ….

Apabila 3 matauang yang dilempar sebanyak 4 kali, maka munculnya

kejadian A (semua Gambar atau semua Angka) yang kedua muncul pada

pelemparan keempat (ABBA, BABA, BBAA) adalah

1055,0256

27)

16

9)(

16

1(3)

4

3()

4

1(

12

14)

4

1,2;4( 242*

===

−

−=

−b

A.2 DISTRIBUSI GEOMETRIK

Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peuban acak x yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh

1

);(−

=x

pqpxg untuk x = 1,2,3,…

Apabila 3 matauang yang dilempar sebanyak 4 kali, maka munculnya

kejadian A (semua Gambar atau semua Angka) yang pertama muncul pada

pelemparan keempat (BBBA) adalah

1055.0256

27)

4

3(

4

1)

4

1;4( 14

===−

g

Teorema : Distribusi geometrik mempunyai rataan p

1=µ dan variansi

2

2 1

p

p−=σ


C. DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Apabila n percobaan berulang dapat menghasilkan lebih dari 2 outcome yang

mungkin dengan probabilitas masing-masing konstan pada setiap percobaan, akan

dihasilkan distribusi multinomial.

Distribusi Multinomial. Bila sutau usaha tertentu dapat menghasilkan k macam

hasil kEEE ,..., 21 dengan peluang kppp ,..., 21 , maka distribusi peluang peubah

acak kXXX ,..., 21yang menyatakan banyak terjadinya

kEEE ,..., 21dalam n usaha

bebas adalah

kx

k

xx

k

kk pppxxx

nnpppxxxf ...

,...,);,...,;,...,( 21

21

21

2121

=

dengan ∑=

=

k

i

i nx1

dan ∑=

=

k

i

ip1

1

Contoh IV-3

Menurut teori genetika, persilangan tertentu sejenis marmut akan menghasilkan

keturunan berwarna merah, hitam dan putih dalam perbandingan 8: 4 :4. Carilah

peluang bahwa 5 dari 8 turunan akan berwarna merah, 2 hitam dan 1 putih.

Jawab :

Jika 1E adalah marmot berwarna merah dengan 5.01 =p , 2E adalah marmot

berwarna hitam dengan 25.02 =p dan 3E adalah marmot berwarna putih dengan

25.03 =p , maka

12525.025.05.0

1,2,5

8)8;25.0;25.0;5.0;1,2,5(

=f

= 082.0)25.0)(0625.0)(03125.0(!1!2!5

!8=

distribusi binomial dan multinomial1

Documents