Laporan Distribusi PeluangDistribusi Weibull & Binomial

KELOMPOK 1

ALMER HAFIZ WANDALAKSANA(1308605011)BRYAN WAHYU (1308605028)LAURENSIA LIANA(1308605030)PUTU JUNIARTHA KURNIAWAN(1308605052)I GEDE OKA SUDIATMIKA (1308605050)BAGUS RAY ARNATA (1308605032)

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAJURUSAN ILMU KOMPUTERFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS UDAYANABUKIT JIMBARAN2015

KATA PENGANTARPuji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmatnyalah kami dapat membuat dan menyelesaian tugas mata kuliah Permodelan Dan Simulasi ini dengan lancar dan dapat di kumpulkan tepat pada waktunya. Paper ini dibuat dalam rangka memenuhi salah satu tugas dari mata kuliah Permodelan Dan Simulasi . Dalam paper ini membahas mengenai Distribusi weibull dan binomial serta contoh kasus yang dapat dipecahkan dengan distribusi tersebut. Diharapkan setelah membaca paper ini pembaca dapat mengerti mengenai sifat sifat ,parameter yang ada serta dapat mengaplikasikannya untuk dapat menyelesaikan masalah yang ditemukan .Saya menyadari masih terdapat banyak kekurangan dalam paper ini baik dari segi materi ,kalimat,serta cara penyusunannya. Saya mengharapkan kritik serta saran yang membangun dari pembaca . Akhir kata semoga paper ini dapat berguna bagi kita semua.Om Santih, Santih, Santih, Om.Denpasar, 16 September 2014 Penulis

Analisa Weibull

Analisa Weibull adalah suatu metode yang digunakan untuk memperkirakan probabilitas mesin peralatan yang berdasarkan atas data yang ada. Seperti yang diperkirakan oleh Weibull, distribusi ini sangat berguna sekali karena kapabilitas dan sedikit sampelnya, dan kemampuannya dapat menunjukkan bentuk distribusi data yang terbaik. Win Smith Weibull meletakkan dan menggambarkan data pada beberapajenis skala distribusi.Alasan pemakaian metode weibull dalam pemeliharaan mesin/ peralatan adalah dikarenakan untuk memprediksikan kerusakan sehingga dapat dihitung keandalan mesin/ peralatan, dan dapat meramalkan kerusakan yang akan terjadi walaupun belum terjadi kerusakan sebelumnya. Data yang diperlukan adalah data selama 6 tahun terakhir.

Distribusi WeibullDistribusi Weibull secara luas digunakan untuk berbagai masalah keteknikan karena kegunaannya yang bermacam-macam. Pada dasarnya distribusi weibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbagiannya ataupun komponen komponennya.

Fungsi weibull dapat dideskripsikan dengan:

Dan fungsi kumulatif analisa weibull adalah:

dimana:e = 2,718...t = waktu teijadinya kerusakanh = eta = charateristic life (CL)b = beta shape factor atau garis miringF(t) = probabilitas kumulatif dan waktu terjadinya kerusakansebelum atau sama dengan t.f(t) = fungsi padat distribusi frekwensi

Ruang lingkup kegunaan analisa weibull antara lain adalah:1. Perencanaan kegiatan pemeliharaan dan biaya penggantian yang efektif.2. Pengevaluasian rencana-rencana kegiatan pemeliharaan perbaikan.3. Perencanaan pengamanan spare part.4. prediksi kerusakan.5. Dan lain sebagainya.

Penentuan Parameter-Parameter Distribusi WeibullParameter-parameter distribusi weibull ditentukan dengan menggunakan proses perangkingan yaitu proses median rank regression. Hal ini disebabkan karena median rank regression adalah suatu pendekatan yang populer untuk mengestimasikan penggambaran data kerusakan pada grafik weibull.Sebelum dilakukan perhitungan parameter distribusi weibull perlu diketahui jenis-jenis data kerusakan yang digunakan dan karena belum semua peralatan mengalami kerusakan, maka perhitungan terhadap waktu kerusakan untuk tiap peralatan dapat dilakukan untuk beberapa keadaan, yang kemudian disebut dengan waktu kerusakan dan waktu suspension.Suspension adalah data kerusakan dimana kerusakan pada mesin/ peralatan yang belum terjadi sampai saat perhitungan dilakukan atau hanya terjadi satu kali kerusakan saja, sehingga tidak dapat diketahui jarak diantara kerusakan terjadi. Walaupun data suspension hanya berupa perkiraan dalam analisa weibull untuk perhitungan parameter distribusi weibull, tetapi data tersebut tidak dapat diabaikan.Perhitungan waktu kerusakan dan suspension pada mesin/peralatanadalah sebagai berikut:Perhitungan waktu kerusakan untuk peralatan yang baru mengalami 2 buah kerusakan, maka dihitung dengan mencari rentang waktu antar dua kerusakan tersebut, dan disebut dengan waktu kerusakan.Perhitungan waktu kerusakan untuk peralatan yang sudah mengalami beberapa kerusakan, dihitung dengan merata-ratakan seluruh waktu antar tiap kerusakan dan disebut dengan waktu kerusakan.

Perhitungan untuk peralatan yang baru mengalami satu kerusakan, maka perhitungan dilakukan mulai dari tanggal terjadinya kerusakan tersebut sampai pada akhir periode perhitungan, yang disebut dengan suspension.4. Perhitungan untuk peralatan yang belum mengalami kerusakan, maka perhitungan suspension untuk keadaan :Waktu pemasangan (tanggal pemasangan) sesudah pertengahan awal periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari waktu pemakaian sampai dengan akhir periode perhitungan.Waktu pemasangan (tanggal pemasangan) sebelum pertengahan awal periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari perhitungan awal periode sampai dengan akhir periode perhitungan.

Keandalan dan Laju Kerusakan

Keandalan dari suatu mesin/ peralatan dapat didefenisikan sebagai peluang bahwa mesin atau peralatan tersebut akan berfungsi sebagai mana mestinya.Fungsi keandalan adalah fungsi matematik yang menyatakan hubungan keandalan dengan wkatu. Karena nilai fungsi keandalan merupakan nilai probailitas, maka nilai fungsi keandalan (R) 0 1.Keandalan (reliability) peralatan dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :

Dimana :F (t) = probabilitas kumulatifR (t) = probabilitas keandalan (reliability)Keandalan suatu mesin/ peralatan erat kaitannya dengan laju kerusakan mesin/peralatan tersebut yang merupaan banyaknya kerusakan tiap satuan waktu.Maka laju kerusakan mesin/ peralatan dapat dihitung dengan pesamaan sebagai berikut :

dimana :f(t) = fungsi distribusi weibullh(t) = laju kerusakanPenggambaran parameter b menentukan tingkatan kerusakan kerusakan yang sering terjadi. Tingkatan-tingkatan kerusakan b adalah :beta beta = 1, diindikasikan kerusakan secara random (tidak dipengaruhi oleh umur mesn), dimana lajut kerusakan adalah konstan (tidak berubah).beta > 1, diindikasikan kerusakan wear out, dimana laju kerusakan meningkat sejalan dengan waktu.

Rata-rata Waktu Kerusakan (MTTF)Keandalan suatu system sering dinyatakan dalam bentuk angka yang menyatakan masa pakai sistem tersebut, dengan sering disebut sebagai rata-rata waktu kerusakan (MTTF)Rata-rata waktu kerusakan (MTTF) hanya digunakan pada komponen atau peralatan yang sekali mengalami kerusakan harus diganti dengan komponen atau peralatan yang masih baru dan baik.Rata-rata kerusakan (MTTF) dengan menggunakan distribusi weibull dirumuskan sebagai berikut :

Rata-rata waktu kerusakan (MTTF) untuk tiap peralatan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut :

Contoh Soal (Distribusi Weibull) :1. Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan = 0,5 dan = 5000. Hitunglah waktu sampai-gagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam.Jawab : Rata-rata waktu sampai-gagal

2. Perusahaan mesin ketik Sherwood membuat mesin ketik yang diklaim tahan sampai 5 tahun (t). Berdasarkan uji sampel terhadap beberapa mesin ketik merek Sherwood, skala maksimum mesin ketik tersebut mencapai nilai 3.5 () dan skor parameter senilai 7. Tentukan besar kemungkinan mesin ketik bermerk Sherwood bertahan melebihi 5 tahun.

Jawaban:

1. Sebuah pesawat TV diuji beberapa kali. Dalam pengujian, skala basis mencapai 2.1 basis dan skala parameter mencapai 5. Harapan produsen TV adalah, bisa digunakan lebih dari 3 tahun tanpa terbakar. Carilah peluang TV terbakar setelah lebih dari 3 tahun pemakaian.

Dengan manual:

Distribusi BinomialDisebut pula distribusi BERNOULLI ditemukan oleh JAMES BERNOULLI adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan var random diskrit (var yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baik-cacat, siang-malam, dsb.

Ciri-ciri Distribusi Binomial1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti sukses-gagal 2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap perubahan3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya 4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tetap

Rumus Rumus Distribusi binomialp= peluang suksesn= jumlah pengulanganx= jumlah sukses dalam n pengulangan

Mean ()

E(X) =np

VarianVar(X) =np(1 p)

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)Mx(t) = (1 p+pet)n

Fungsi KarakteristikCx(t) = (1 p+peit)n

Fungsi Pembangkit PeluangGx(t) = (1 p+pt)n

Nilai Harapan Distribusi Binomial

Informasi singkat mengenai distribusi binomial dapat dilihat di artikel Distribusi Binomial. Pada bagian ini, akan dibahas mengenai nilai harapan dari distribusi binomial tersebut. Nilai harapan yang akan dibahas adalah nilai harapanX,X2,X3, (XE(X))2dan (XE(X))3.

Nilai harapanX

Misalkanx 1 =k, makax=k+ 1n 1 =m, makan=m+ 1nx=m+ 1 k 1 =mkSehingga

Nilai HarapanX2Misalkan

Tentukan terlebih dahuluE[X(X 1)]

Selanjutnya bisa ditentukan

Nilai HarapanX3Misalkan

Tentukan terlebih dahuluE[X(X 1)]

Selanjutnya bisa ditentukan

Nilai Harapan (XE(X))2

Nilai Harapan (XE(X))3

MGF Distribusi BinomialPosted byRory Labels:Statistik Matematika

Sekilas singkat mengenai distribusi binomial dapat dilihat di artikel Distribusi Binomial. Pada artikel kali ini, akan diturunkan MGF (Moment Generating Function) dari distribusi binomial tersebut. Selanjutnya dengan MGF yang telah diturunkan, akan dicarimomenpertama, momen kedua danvariandari distribusi binomial.

Berikut ini adalah penurunan rumus MGF distribusi binomial.

Dengan menggunakan teorema binomial newton, maka persamaan tersebut menjadi

Dengan menggunakan hasil MGF di atas, akan diturunkan momen pertama, momen kedua dan varian distribusi binomial sebagai berikut.

Nilai harapanX

Nilai harapanX2

misalkan

dimana

sehingga

Varian (Nilai Harapan (XE(X))2

CONTOH SOAL

Survei Komnas PA pada tahun 2013, menunjukkan bahwa dari 8.564 siswa SMP berusia 13-14 tahun, sebanyak 90% sudah terpapar iklan rokok dan 41% dari yang sudah terpapar rokok tersebut akhirnya mencoba untuk merokok. Apabila diambil 20 siswa SMP di DKI Jakarta secara acak, maka hitunglah peluang:a. Tidak ada siswa yang tidak merokokb. Lebih dari 5 siswa yang merokok.

2. Anggaplah anda dihadapkan dengan 20 pertanyaan pilihan ganda dalam suatu ujian. Masing-masing pertanyaan mempunyai 4 kemungkinan jawaban, sehingga probabilitas anda dapat menjawab dengan benar adalah 0.25. Berapa probabilitas bahwa anda dapat menjawab paling tidak 10pertanyaan dengan benar hanya dengan menerka.PenyelesaianUntukmenyelesaikanmasalahinikitaperlumenghitungprobabilitasdistribusibinomial dengan n =20 dan p =0.25.kPr(X=k)kPr(X=k)

00.00360.168

10.02170.112

20.6680.060

30.13390.027

40.189100.009

50.202110.003

3. Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dariperistiwa berikut :a). Mata dadu 5 muncul 1 kalib). Mata dadu genap muncul 2 kalic). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali. a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memilikiprobabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )P(X=1) = C14.p1.q3= 4(1/6)1(5/6)3= 0,386 b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2P(X=2) = C24.p2.q2= 6(1/2)2(1/2)2= 0,375 c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4P(X=4) = C 44.p4.q0 .p .q= 1(2/6)4(2/3)0= 0,0123

DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN EXCEL

DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN EXCEL DENGAN RUMUS (BINOMDIST)