SMAN 72 JakartaXI – MIA 2Anggota : M. Emirzaki M. Goldy M

Rizky Ferdiansyah Yehezkiel Miracle

SAMPEL, FUNGSI DISTRIBUSI, DAN PENARIKAN KESIMPULANYA(matematika peminatan)

SAMPEL, FUNGSI DISTRIBUSI, DAN

PENARIKAN KESIMPULAN

Sampel dan Fungsi

Distribusi

Variabel Acak

Fungsi Distribusi

Binomial• Hanya memiliki 2

hasil• Peluang hipotesis

sama• Independen

Penarikan Kesimpulan

Menyatakan Hipotesis

Menentukan Tingkat

KesalahanMenyatakan

Hipotesis

Dilakukan Uji Hipotesis

Uji Hipotesis Rata-rata

Uji Hipotesis Persentase

dilakukan pada digunakan untuk

berupa

disebut Memen

uhi syarat

Peta Ko

nsep

A. SAMPEL DAN FUNGSI DISTRIBUSI BINOMIAL1. Sampel, variabel acak, dan fungsi distribusi• Sampel merupakan bagian dari populasi,

sedangkan populasi adalah himpunan semua unsur yang memiliki beberapa karakteristik yang sama.

• Hasil pengukuran dari sampel itulah yang kemudian dijadikan penaksiran terhadap populasi, misalnya dari ribuan barang produksi diambil hanya 100 barang untuk diuji.

• Pemilihan secara acak adalah pemilihan yang dilakukan di mana setiap unsur dalam suatu populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih.

• Suatu eksperimen terdiri atas beberapa percobaan. Percobaan yang bersifat acak disebut eksperimen acak atau percobaan acak.

Contoh percobaanEksperimen: satu buah mata uang logam

dilemparkan sebanyak 3 kali, lalu ditentukan ruang sampelnya (contoh: AAG, AAA, GAG,

GGA, GGG, AGA, AGG, GAG). Dan yang diperlukan adalah jumlah angka yang

muncul dalam percobaan tersebut.Contoh: Jumlah sisi

angka yang muncul

frekuensi

0 11 42 23 1

Nah, dalam eksperimen tersebut dapat disimpulkan bahwa 0, 1, 2, dan 3 adalah nilai yang didapat dari pemilihan satu sampel secara acak. Nilai-nilai itu pun tidak selalu sama tergantung dari hasil eksperimen.• Variabel seperti ini disebut variabel acak, yaitu

variabel yang nilainya ditentukan berdasarkan hasil suatu percobaan.

• Nilai peluang dari setiap variabel acak disebut fungsi peluang.

Berikut contoh variabel acak yang berupa jumlah mata dadu dan fungsi peluangnya untuk pengetosan 2 buah dadu.

Perhatikan bahwa jika nilai semua fungsi dijumlahkan, hasilnya adalah 1

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 jmlh

F(x)

2. Percobaan dan eksperimen binomial• Dalam setiap percobaan pasti selalu

menghasilkan 2 hasil yang berbeda. • Misalnya, pada pengambilan sebuah kartu secara

acak dari 1 set kartu bridge, maka kemungkinan kartu yang terpilih dapat berupa “kartu as” atau “bukan kartu as”. Contoh lain adalah kualitas produk pabrik, dapat berupa “memenuhi standar kualiatas” atau “tidak memenuhi standar kualitas”.

• Dengan demikian, secara statistik dapat kita nyatakan salah satu dari hasil percobaan disebut “sukses”, dan hasil lainnya disebut “gagal”. “sukses-gagal” ini sangat bergantung jenis dan objek percobaannya.

• Percobaan dengan 2 hasil tersebut (sukses-gagal) dikenal dengan istilah percobaan bernoulli atau percobaan binomial. Sedangkan serangkaian percobaan yang hanya terdiri dari percobaan-percobaan binomial disebut eksperimen bernoulli atau eksperimen binomial.

Suatu percobaan dinamakan percobaan bernoulli jika dan hanya memiliki ciri-ciri:1. Setiap percobaan hanya memiliki 2 hasil, yaitu

sukses atau gagal2. Peluang sukses untuk setiap percobaan harus

sama, misalnya p3. Setiap percobaan harus bersifat independen4. Banyaknya rangkaian percobaan pada suatu

percobaan bernoulli harus tertentu

• Pada percobaan binomial, karena hasilnya hanya ada 2, yaitu “sukses” dan “gagal”, maka ruang sampelnya pun juga hanya dua, yaitu S (sukses) dan G (gagal), ditulis {S,G}.

• Peluang dari kedua hasil tersebut adalah :P(S) = pP(G) = 1 – p , dgn 0 ≤ p ≤ 1Jika 1 – p = q maka p + q = 1

3. Distribusi binomialSebuah eksperimen terdiri atas n percobaan binomial dengan peluang p untuk sukses dan q untuk gagal pada setiap percobaannya, maka fungsi peluang variabel x dapat dinyatakan dalam persamaan:

b(x =, dengan x = 0, 1, 2, …, n

Keterangan :b(x : peluang binomial x bila dilakukan n

kali percobaan dengan peluang sukses adalah p.: kombinasi x unsur dari n unsur, yang dirumuskan dengan = , dengan n! = 1 × 2 × 3 × … × x Perlu diingat pula bahwa 0! = 1p : peluang suksesq : peluang gagaln : banyaknya percobaan

Contoh soal 1.11. Setelah dilakukan penelitian bertahun-tahun terhadap hasil panen buah apel, diketahui dari setiap 1.200 buah apel yang dipanen akan terdapat 120 buah apel yang busuk. Jika diambil 4 buah apel secara acak, berapakah peluang ditemukannya:a. tidak ada buah apel yang busuk ?b. ada 1 buah apel yang busuk ?c. ada 2 buah apel yang busuk ?d. ada 3 buah apel yang busuk ?e. Semua buah apel busuk ?

JawabanPeluang ditemukannya buah apel yg busuk adalah = . Karena penelitian sudah dilakukan bertahun-tahun, maka kita anggap peluang tersebut konstan. Kita pilih peluang terambil apel yang busuk adalah p, dan peluang tidak terambil apel yang busuk adalah q. Dengan demikian, p = dan q = 1 – p

= 1 - =

Jawabana) Peluang tidak ada apel yang busuk adalah:b(x untuk x = 0 dan n = 4, yaitub(0 = = 0,6561b) Peluang ditemukan 1 apel yang busuk adalah: b(x untuk x = 1 dan n = 4, yaitub(1 = = 0,2916c) Peluang ditemukan 2 apel yang busuk adalah: b(x untuk x = 2 dan n = 4, yaitub(2 = = 0,0486

Jawaband) Peluang ditemukan 3 apel yang busuk adalah: b(x untuk x = 3 dan n = 4, yaitub(3 = = 0,0036e) Peluang ditemukan semua apel busuk adalah: b(x untuk x = 4 dan n = 4, yaitub(4 = = 0,0001

4. Statistik deskriptif distribusi binomiala) rata-rata (µ) µ = =+++…+ Ket: merupakan variabel acak merupakan peluang dari setiap variabel tersebut

*Khusus untuk distribusi binomial, nilai rata-rata dapat dicari dengan rumus : µ = np

Contoh soal 1.2Data diambil dari contoh 1.2Berapa rata-ratanya?Jawab : µ = 0 × (0,6561) + 1 × (0,291) + 2 × (0,0486) + 3 × (0,0036) + 4 × (0,0001) = 0,4Atau dgn cara lain:Dik : n = 4 dan p = 0,1Jawab : µ = np µ = 4 × (0,1) = 0,4

b) Varians dan simpangan baku- Varians () = -

- Simpangan baku =

Khusus untuk distribusi binomial, nilai varians dapat dihitung dengan cara lain : = npq

Contoh soal 1.3Data diambil dari contoh 1.2a) Berapa nilai variansnya?b) Berapa nilai simpangan bakunya?Jawab : a) = × (0,6561) + × (0,291) + ×

(0,0486) + × (0,0036) + × (0,0001) – = 0,36 *dgn cara lain: = npq = 4 × (0,1) × (0,9)

= 0,36b) = = 0,6

B. Uji hipotesis dan penarikan kesimpulan1. Populasi dan sampel• Populasi adalah keseluruhan unsur-unsur yang

memiliki beberapa karakteristik yang sama. Misalnya populasi yang terdiri atas semua siswa SMAN dj indonesia. Populasi dapat berbentuk kriteria (kualitatif) atau angka (kuantitatif).

• Untuk mengukur karakteristik dari suatu populasi, diperlukan observasi atau pengukuran, atau juga disebut dengan istilah sensus.

• Penaksiran karakteristik dari suatu populasi berdasarkan pengukuran sampelnya disebut pengambilan atau penarikan kesimpulan

2. Hipotesis• Tujuannya untuk memfokuskan atau membatasi

pengukuran sehingga hasilnya dapat lebih tepat sasaran, tidak melebar kemana-mana.

• Dalam menguji suatu hipotesis, perlu dihindari kesalahan hasil pengujian. Kesalahan tersebut terdiri dari 2 macam, yaitu:

a) Kesalahan jenis pertama (type-1 error), yaitu “bila menolak suatu hipotesis yang seharusnya diterima”

b) Kesalahan jenis kedua (type-2 error), yaitu bila “menerima hipotesis yang seharusnya ditolak”

3. Jenis-jenis hipotesis• Penelitian untuk menguji sebuah hipotesis yang

selanjutnya disebut pengujian hipotesis pada ujungnya adalah kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis yang telah ditetapkan sebelumnya.

• Hipotesis yang mengandung pengertian sama atau tidak ada perbedaan dilambangkan ().

• Setiap penetapan suatu hipotesis, diperlukan hipotesis lain yang isinya berlawanan sebagai alternatif (dilambangkan ).

• Misalnya yang akan diuji adalah parameter (berupa rata-rata, persentase, varians, dsb) terhadap nilai yang diketahui. Pasangan hipotesis antara dan dapat dirumuskan sebagai berikut.

a. : = : b. : = : c. : = :

, atau

, atau

.

4. Jenis-jenis pengujian hipotesisa. Uji 2 pihakApabila hipotesis tandingan yaitu mempunyai perumusan “tidak sama”, yaitu : maka pengujian yang digunakan adalah uji 2 pihak. Luas daerah penolakan ini pada setiap ujungnya adalah .

𝑑1 𝑑2

Daerah penolakan

Luas : Daerah

penolakan Luas :

Daerah penerima

an

• Dari gambar tersebut, dan adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan.

• Nilai sudah ditentukan sebelumnya• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima

jika nilai rasio uji berdasarkan sampel berada di daerah penerimaan, yaitu di antara dan . Jika tidak demikian maka ditolak”

b. Uji 1 pihak: pihak kananApabila hipotesis tandingan yaitu mempunyai perumusan “lebih besar”, yaitu : maka pengujian yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu pihak kanan. Luas daerah penolakan adalah .

Daerah penerima

an

Daerah penolakan

Luas :

𝑑

• Dari gambar tersebut, adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan

• Nilai sudah ditentukan sebelumnya• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “tolak

jika nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak kurang dari . Jika tidak demikian maka ditolak”

c. Uji 1 pihak: pihak kiriApabila hipotesis tandingan yaitu mempunyai perumusan “lebih kecil”, yaitu : maka pengujian yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu uji pihak kiri. Luas daerah penolakan adalah .

Daerah penerima

an Daerah

penolakan Luas :

• Dari gambar tersebut, adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan

• Nilai sudah ditentukan sebelumnya• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima

jika nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak lebih besar dari . Jika tidak demikian maka ditolak”

5. Menentukan distribusi pengujian yang digunakan• Untuk menguji hipotesis, diperlukan nilai-nilai

distribusi-distribusi probalbilitas atau distribusi peluang secara teoritis

• Nilai-nilai tersebut disajikan dalam bentuk tabel dan merupakan nilai-nilai standar penelitian

• Nilai-nilai probabilitas yang paling sering digunakan adalah distribusi normal (z) dan distribusi student (t)

• Pengujian hipotesis yang dipelajari pada bab ini adalah pengujian rata-rata dan pengujian persentase. Apabila nilai simpangan baku populasi sudah diketahui maka yang digunakan adalah distribusi-z

• Apabila nilai simpangan baku populasi tidak diketahui, dapat digunakan nilai varians atau simpangan baku sampel. Dan distribusi yang digunakan adalah distribusi-t

• Pada distribusi-t, perlu ditentukan terlebih dahulu nilai derajat kebebasannya, yaitu dk = n -1, dengan n adalah banyak sampel yang digunakan

6. Menghitung nilai rasio uji• Rasio uji adalah hasil perbandingan data statistik

sampel yang telah dihitung dengan data populasi.• Ada 2 jenis uji hipotesis: a. uji hipotesis rata-rata b. uji hipotesis persentase

Tabel distribusi-z

a. Uji hipotesis rata-rata• Rasio uji (RU) untuk uji hipotesis rata-rata

populasi yang menggunakan tabel-z adalahRU =

• ket: n = banyaknya sampel = rata-rata sampel = rata-rata asumsi populasi yang dinyatakan pada = simpangan baku atau deviasi standar populasi

• jika simpangan baku populasi tidak diketahui, maka rumus yang digunakan adalah

RU = = • ket : s = simpangan baku sampel

Contoh soal 2.1Direktur pemasaran sebuah perusahaan minuman mengatakan bahwa rata-rata produk minuman yang terjual setiap harinya adalah 2.000 botol. Seorang wartawan ingin menguji pernyataan direktur pemasaran itu. Ia memeriksa catatan perusahaan, dan adalah 150 botol, lalu melakukan penelitian selama 49 hari. Dia mencatat bahwa jumlah penjumlahan rata-rata per hari adalah 1.950 botol. Dengan menggunakan tingkat kesalahan = 0,05, apa kesimpulan yang dapat ditarik oleh wartawan itu?

Jawaban Diketahui : = 2.000 = 150 = 0,05 = 1.950 n = 49

Jawab : Langkah 1 : merumuskan hipotesisHipotesis :• : = 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang

terjual setiap hari adalah 2.000 botol• : 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang

terjual setiap hari bukan 2.000 botol

JawabanLangkah 2 : menentukan tabel yang digunakan• Karena simpangan baku populasi diketahui maka

tabel distribusi yang digunakan adalah tabel distribusi normal (tabel-z)

Langkah 3 : menentukan batas-batas daerah penolakan hipotesis

• Karena : 2.000 maka uji yang dilakukan adalah uji 2 pihak

• Luas daerah penolakan uji 2 pihak = = x 0,05

= 0,025

Jawaban• Dari tabel distribusi-z (slide ke-36), batas yang

bersesuaian adalah = = 1,96

0,025

0,025Daerah

penerimaan

-1,96 +1,96

Langkah 4 : menentukan kriteria pengambilan kesimpulan

b. Uji hipotesis persentase• RU = = • ket: : = persentase sampel = persentase asumsi populasi yang dinyatakan dlm