MTE 3110 – Algebre Linear

Tugasan 1 : Sistem Persamaan Linear – SPL ( 30 % )

1. Gunakan kaedah gantian ke belakang (back substitution) untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang berikut.

(a) x1 + x2 + x3 = 8

2 x2 + x3 = 5

3 x3 = 9

Penyelesaian :

x1 + x2 + x3 = 8

2 x2 + x3 = 5

3 x3 = 9

( 1 ) 3x3 = 9

x3 = 93

x3 = 3 #

( 2 ) 2 x2 + x3 = 5

2 x2 + 3 = 5

2 x2 = 5 – 3

x2 = 22

x2 = 1 #

( 3 ) x1 + x2 + x3 = 8

x1 + 1 + 3 = 8

x1 + = 8 – 3 – 1

x1 = 4 #

b) 2x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 1

x2 - 2 x3 + 3x4 = 2

4x3 + 3x4 = 3

4x4 = 4

Penyelesaian:

( 1 ) 4x4 = 4

x4 = 44

x4 = 1 #

( 2 ) 4x3 + 3x4 = 3

4x3 + 3 ( 1 ) = 3

4x3 = 3 - 3

4x3 = 0

x3 = 04

x3 = 0 #

( 3 ) x2 - 2 x3 + 3x4 = 2

x2 - 2 ( 0 ) + 3 ( 1 ) = 2

x2 - 0 + 3 = 2

x2 = 2 + 0 – 3

x2 = - 1 #

( 4 ) 2x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 1

2x1 - ( - 1 ) + 3 ( 0 ) – 2( 1 ) = 1

2x1 + 1 + 0 – 2 = 1

2x1 = 1 – 1 – 0 + 2

2x1 = 2

x1 = 22

x1 = 1 #

2. Tuliskan matriks pekali (coefficient matrix) untuk setiap sistem persamaan dalam Soalan 1. ( a )

(1 1 10 2 10 0 3)

( b )

(2 −13 20 1−2 30 0430 004

)

3. Tuliskan matriks imbuhan (augmnted matrix) untuk setiap sistem persamaan dalam Soalan 1.

( a )

(1 1 10 2 10 0 3|

859)

( b )

((2 −13 20 1−2 30 0430 004

)|1234)

4. Antara matriks-matriks berikut, yang manakah diklasifikasi sebagai matrik bentuk eselon baris (‘beb’ – row echelon form) atau matriks bentuk eselon baris terturun ( ‘bebt’ reduced row echelon form’) ?

Sebelum ini kita telah mempelajari suatu kaedah untuk menurunkan suatu system linear n x n ke bentuk segitiga. Maka kita diperkenalkan dengan Bentuk Eselon Baris ( B.E.B).

Suatu matriks dikatakan berada dalam Bentuk Eselon Baris jika : Semua baris sifar pada baris paling bawah matriks. Pemasukan pelopor pada setiap baris bukan sifar adalah pada sebelah kanan lajur

yang mengandungi pemasukan pelopor pada baris sebelumnya. Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada baris tertentu, maka semua

kemasukan pada lajur di bawahnya adalah sifar.

Jika sesuatu matriks Bentuk Eselon Baris memenuhi 2 ciri tambahan berikut kita katakan ia adalah Bentuk Eselon Baris Terturun (B.E.B.T).

Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada sebarang baris, maka semua kemasukan pada lajur tersebut adalah sifar.

Pemasukan baris bukan sifar adalah satu.

Maka jawapanya adalah berikut:

( a ) (102031 42) BEB ( b ) (1 0 030 1 020 0 11) BEBT

( c ) (1 2 30 0 10 0 0) BEB ( d ) (0 1 20

0 0 010 0 00) BEBT

( e ) (0 0 00 0 00 0 0) BEB ( f ) (1 0 00

0 0 010 0 00) BEBT

5. Untuk setiap sistem persamaan linear yang berikut, gunakan kaedah Penghapusan Gaussian (Gaussian Elimination) untuk memperolehi penyelesaian yang lengkap.

(a) x1 - 2x2 = 3 2x1 - x2 = 9

Penyelesaian:

(1 −22 −1|39)

(-2)B1+B2 (1 −20 3 |33)

(13

) B2 (1 −20 1 |31)

13

(3)

X1 – 2 (1) = 3

X1 = 3 + 2 = 5

Maka x1 = 5

x2 = 1 #

X1 X2

X2 = 1

(b) 2x1 + 3x2 + x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 3

3x1 + 4x2 + 2x3 = 4

Penyelesaian :

(2 3 11 1 13 4 2|

134)

Row interchange B1 B2 (1 1 12 3 13 4 2|

314)

(-2)B1 + B2 (1 1 10 1 −13 4 2 | 3−54 )

(-3)B1 +B3 (1 1 10 1 −10 1 −1|

3−5−5)

(-1)B2+B3 (1 1 10 1 −10 0 0 | 3−50 )

x3 adalah variable bebas, maka x3 = t

x2 – x3 = -5

x2 – t = -5 x2 = -5 + t / x2 = t - 5

x1 + x2 + x3 = 3 Maka x1 = 8 + 2 tx1 + t – 5 + t = 3 x2 = t - 5 x1 = 8 + 2 t x3 = t #

6. Gunakan Kaedah Gauss-Jordan untuk menyelesaikan system persamaan linear berikut.

(a) x1 + x2 = -1 4x1 - 3x2 = 3

Penyeselaian :

(1 14 −3|−1−3)

( -4 ) B1 + B2 (1 10 −7|−17 )

( 1−7 ) B2 (1 10 1|−1−1)

( -1 ) B2 + B1 (1 00 1| 0−1)

Maka x1 = 0 x2 = -1 #

(b) x1 + x2 + x3 = 0 x1 - x2 - x3 = 0

Penyelesaian :

(1 1 11 −1 −1|00)

( -1 ) B1 + B2 (1 1 10 −2 −2|00)

( 12

) B2 (1 1 10 1 1|00)

( -1 ) B2 + B1 (1 0 00 1 1|00)

x2 + x3 = 0 Katakan x3 adalah variable bebas

x3 = t x2 + t = 0 x2 = -t x1 = 0

Maka x1 = 0 x2 = -t x3 = t #

7. Cari set penyelesaian bagi sistem persamaan linear yang di wakili oleh matriks imbuhan berikut dengan menggunakan kaedah Gauss-Jordan.

(1 20 10 0

0 12 11 2

0 0 01|4314)

( -2 ) B4 + B3 (1 20 10 0

0 12 11 0

0 0 01| 43−74

)

( -2 ) B3 + B2 (1 20 10 0

0 10 11 0

0 0 01| 417−74

)

( -1 ) B4 + B2 (1 20 10 0

0 10 01 0

0 0 01| 413−74

)

( -2 ) B2 + B1 (1 00 10 0

0 10 01 0

0 0 01|−2213−74

)

x1 x2 x3 x4

(1 00 10 0

0 00 01 0

0 0 01|−2613−74

) Maka x1 = -26 x2 = 13 x3 = -7 x4 = 4 #