Tugasan 1: Penerokaan

Dalam tugasan ini, anda dikehendaki mengenalpasti alat pengiraan yang berupaya melakukan

operasi matriks/vektor dan menyelesaikan sistem persamaan linear/ketaksamaan linear. Terangkan

secara ringkas dalam laporan anda keupayaan-keupayaan alat pengiraan itu khasnya yang

berkaitan dengan tajuk-tajuk algebra linear yang anda pelajari dalam kursus ini. Anda tidak perlu

menghuraikan cara penggunaannya.

Seterusnya laporkan bagaimana penggunaan alat pengiraan telah membantu anda memahami

konsep dan operasi dalam kursus ini. Anda perlu melaporkan sekurang-kurangnya dua contoh

pembelajaran anda bagi setiap tajuk yang berikut:

a) Sistem Persamaan Linear / Sistem Ketaksamaan Linear

b) Algebra Matriks

c) Ruang Vektor

Untuk tugasan 1 ini, saya telah memilih untuk menggunakan perisian online di laman

sesawang http://www.mathportal.org/calculators.php di mana perisian ini menawarkan

pelbagai jenis Online Calculator termasuklah untuk sistem persamaan linear / sistem

ketaksamaan linear, algebra matriks dan juga ruang vektor.

Untuk system persamaan linear, perisian ini menawarkan dua jenis kaedah

penghapusan dan juga Petua Cramer.

Untuk Petua Cramer, perisian ini menawarkan juga sedikit penerangan tentang

bagaimana mengira menggunakan petua Cramer.

Untuk algebra matriks pula, terdapat pelbagai kemudahan yang ditawarkan dari membuat

operasi matriks, mencari songsangan, mencari penentu dan sebagainya.

Bagi ruang vektor pula, perisian ini menawarkan pelbagai jenis penggunaan seperti

menambah dua vektor, mencari magnitude, skala dan (dot) produk, dan sebagainya.

a) Sistem Persamaan Linear

Contoh 1: Kaedah Penghapusan Gauss.

2 + 3 = 8

2 + 3 + = 5

2 = 5

Dengan menggunakan perisian ini, saya telah ditunjukkan dengan langkah-langkah

penting untuk mendapatkan jawapannya.

Penerangan dari perisian:

Langkah 1: Menukar baris 1 dan baris 3.

Langkah 2: Darabkan baris 1 dengan nilai -2 dan tambahkannya pada baris ke-2.

Langkah 3: Baris ke-3 ditambah dengan hasil darab baris ke-2 dengan nilai 2

5.

Langkah 4: Selesaikan bagi mendapatkan nilai z.

Langkah 5: Selesaikan bagi mendapat nilai y.

Langkah 6: Nilai x diperoleh dengan menggantikan nilai y=1 dan z=2 ke dalam

persamaan pertama itu tadi.

Oleh itu nilai x yang diperoleh dengan menggantikan nilai y=1 dan z=2 ke dalam

persamaan 2 + 3 + = 5, makan x = 0

Contoh 2: Cramers Rule

=

2 + 3 = 8

2 + 3 + = 5

2 = 5

Langkah 1: Mencari penentu bagi persamaan asal (LHS).

Langkah 2: Mencari nilai penentu bagi x iaitu Dx dengan menggantikan lajur x dengan

lajur RHS.

Langkah 3: Mencari nilai penentu bagi y. Gantikan lajur y dengan lajur di RHS.

Langkah 4: Mencari nilai penentu bagi z. Gantikan lajur z dengan lajur RHS.

Langkah 5: Dengan Petua Cramer nilai x, y dan z dapat diperoleh.

Set jawapan adalah:

Langkah-langkah yang ditunjukkan melalui perisian ini adalah jelas, teratur dan mudah

difahami oleh sesiapa sahaja yang menggunakannya. Melalui contoh di atas ini, mudah

bagi saya untuk memastikan turutan langkah dan cara yang betul dalam perkiraan

mencari set jawapan.

b) Algebra Matriks

Contoh 1: Membuat operasi matriks seperti penambahan dan penolakan matriks.

Bagi operasi penambahan dan penolakan matriks, konsep yang penting yang perlu kita

ketahui adalah dimensi matriks yang ditambah atau ditolak itu mestilah sama. Sebagai contoh

seperti di bawah

= (0 2 2

1 3 21 0 5

)

= (5 1 30 7 9

3 2 6)

Penambahan: A + B.

Penolakan: A B.

Jika dimensi matriks A dan B adalah tidak sama, operasi penambahan dan

penolakan matriks tidak dapat disempurnakan. Melalui perisian ini, ianya

menunjukkan bahawa kita tidak boleh membuat operasi penambahan dan

penolakan antara berlainan dimensi matriks.

Contoh:

= (0 2 2

1 3 21 0 5

)

= (1 23 4

)

Penambahan: A + B.

Perisian menyatakan bahawa penambahan tidak dapat dilaksanakan oleh kerana

matriks A dan B tidak sama dari segi saiz (dimensi).

Penolakan: A B.

Perisian menyatakan bahawa penolakan tidak dapat dilaksanakan oleh kerana

matriks A dan B tidak sama dari segi saiz (dimensi).

Contoh 2: Pendaraban Matriks.

Bagi operasi pendaraban matriks, konsep yang penting yang perlu kita ketahui adalah

dimensi matriks yang ditambah atau ditolak itu mestilah sesuai. Sebagai contoh seperti di

bawah ini di mana matriks 3x3 digunakan:

= (0 2 2

1 3 21 0 5

)

= (5 1 30 7 9

3 2 6)

Langkah demi langkah ditunjukkan dengan penggunaan perisian ini:

Setiap pemasukan nilai di dalam set jawapan matriks itu telah diberikan jalan kira yang

penuh dengan bantuan nombor-nombor yang berwarna.

Contoh matriks 3x3 darab dengan 2x2:

= (0 2 2

1 3 21 0 5

)

= (5 10 7

)

Dengan menggunakan perisian ini, saya dapat mengetahui konsep di mana bilangan

lajur bagi matriks pertama mestilah sama dengan bilangan baris bagi matriks kedua.

c) Ruang Vektor.

Contoh 1: Mencari sudut antara dua vektor.

Bagi mencari nilai sudut antara dua vektor, satu formula khas telah digunakan iaitu

cos() =

Untuk lebih memahami secara mendalam tentang formula di atas, mari kita kaji satu

contoh.

1 = {1,2,3}

2 = {4,5,6}

Dimana,

a = v1 ; b = v2 ; ||a|| = ||v1|| ; ||b|| = ||v2||

Dari formula yang diberikan, adalah operasi skala (dot) produk. Dengan

menggunakan perisian ini, ianya menunjukkan bahawa untuk mencari hasil darab

(dot) ini, kita perlu mendarab unsur yang sama jenis dan ditambah dengan hasil darab

jenis yang lain sebagai contoh jenis x, y atau z.

Berdasarkan gambar di atas, perisian ini telah menerangkan bahawa dot produk bagi

dua vektor = (1, 2, 3) dan = (1, 2, 3) adalah:

= 1 1 + 2 2 + 3 3

(1,2,3) (4,5,6) = (1) (4) + (2) (5) + (3) (6)

(, , ) (, , ) =

(untuk kiraan di atas ini, andaikan v1 = a dan v2 = b)

Selepas mendapat hasil darab bagi kedua-dua vektor tersebut, kiraan mencari

panjang vektor ataupun lebih dikenali sebagai magnitube dijalankan. Berikut adalah

penerangan dari perisian mengenai cara-cara untuk mendapatkan magnitud bagi

vektor v1.

||v1|| dikira dengan menambah setiap unsur dalam vektor v1 yang telah dikuasa

duakan. Maka dengan itu, nilai magnitud bagi v1 = 14 .

Manakala, nilai magnitud v2 pula adalah 77.

Selepas itu, dari formula yang digunakan kita telah mendapat nilai bagi cos = 0.9747.

Oleh itu = 12.9.

Penggunaan perisian online ini begitu membantu dalam mempelajari cara-cara

mendapatkan magnitude, dot produk dan seterusnya mencari sudut di antara dua

vektor.

Contoh 2: Mencari hasil penambahan dan penolakan vektor.

Dengan menggunakan contoh vektor yang sama;

1 = {1,2,3}

2 = {4,5,6}

Mencari v1+v2 :

Perisian menerangkan bahawa proses penambahan bagi dua vektor perlulah di Antara

jenis unsur yang sama, jika unsur x perlu ditambah dengan unsur x sahaja.

Oleh itu, v1+v2 = (5,7,9).

Mencari v1-v2 :

Sama seperti proses penambahan, penolakan Antara dua vektor perlu dilakukan di

Antara unsur yang sama sahaja. Oleh itu, v1 - v2 = (3, 3, 3).