BAB IITINJAUAN PUSTAKA

1. Kajian Tentang Penyakit Diabetes1.1 Penyakit DiabetesDiabetes atau diabetes melitus (DM)merupakan nama lain dari penyakit kencing manis ataupenyakit gula darah.Diabetes tergolong kedalam penyakit kronis yang ditandai dengan peningkatan kadar gula dalam darah sebagai akibat adanya gangguan sistem metabolisme dalam tubuh, dimana organ pankreas tidak mampu memproduksi hormon insulin sesuai kebutuhan tubuh. Hormon insulin berfungsi untuk memecah gula yang ada dalam tubuh.Diabetes dapat juga didefinisikan sebagai gangguan yang ditandai oleh berlebihnya gula dalam darah (hyperglycemia) serta gangguan gangguan metabolisme karbonhidrat, lemak dan protein. Sistem pencernaan memecah karbohidrat menjadi glukosa. Apabilaglukosa diserap ke pembuluh darah, kadar glukosa darah akan meningkat. Pankreas mengeluarkan hormon insulin yang membantu memasukkan glukosa dari darah ke sel untuk digunakan sebagai energi. Diabetes Melitus adalah penyakit yang ditandai oleh ketidak mampuan tubuh untuk memasukkan glukosa dari darah ke sel. Dengan demikian sel kekurangan glukosa, sedangkan darah mengandung glukosa berlebihan. Glukosa darah yang sangat tinggi dapat mengakibatkan koma bahkan sampai mati. Diabetes Melitus dapat merusak pembuluh darah, saraf tepi, jantung, ginjal dan mata. (dr Wara, Pengantar Kesehatan)

1.2 Penyebab Penyakit Diabetes MelitusPenyebab DM adalah kurangnya produksi dan ketersediaan insulin dalamtubuh yang mencukupi maka tidak dapat bekerja secara normal atau terjadinya gangguan fungsi insulin. Insulin berperan utama dalam mengatur kadar glukosa dalam darah, yaitu 60-120 mg/dl waktu puasa dan dibawah 140 mg/dl pada dua jam sesudah makan (orang normal)(Universitas Sumatera Utara)Kekurangan Insulin disebabkan karena terjadinya kerusakan sebagian kecil atau sebagian besar dari sel-sel beta pulau langerhans dalam kelenjar penkreas yang berfungsi menghasilkan insulin. Ada beberapa faktor yang menyebabkan DM sebagai berikut :i. Genetik atau Faktor KeturunanDiabetes mellitus cenderung diturunkan atau diwariskan, bukanditularkan. Anggota keluarga penderita DM memiliki kemungkinan lebih besarterserang penyakit ini dibandingkan dengan anggota keluarga yang tidakmenderita DM. Para ahli kesehatan juga menyebutkan DM merupakan penyakityang terpaut kromosom seks. Biasanya kaum laki-laki menjadi penderitasesungguhnya, sedangkan kaum perempuan sebagai pihak yang membawa genuntuk diwariskan kepada anak-anaknya.ii. Asupan MakananDiabetes mellitus dikenal sebagai penyakit yang berhubungan denganasupan makanan, baik sebagai factor penyebab maupun pengobatan. Asupanmakanan yang berlebihan merupakan factor risiko pertama yang diketahuimenyebabkan DM. Salah satu asupan makanan tersebut yaitu asupankarbohidrat. Semakin berlebihan asupan makanan semakin besar kemungkinanterjangkitnya DM.iii. ObesitasRetensi insulin paling sering dihubungkan dengan kegemukan atauobesitas. Pada kegemukan atau obesitas, sel-sel lemak juga ikut gemuk dan selseperti ini akan menghasilkan beberapa zat yang digolongkan sebagaiadipositokin yang jumlahnya lebih banyak dari keadaan pada waktu tidakgemuk. Zat-zat itulah yang menyebabkan resistensi terhadap insulin.(Universitas Sumatera Utara)

1.3 Jenis Jenis Diabetes MelitusAda tiga bentuk diabetes melitus, yaitu tipe 1, tipe 2, dan diabetes gestasional. Diabetes melitus tipe 1Diabetes melitus tipe 1 adalah hasil kegagalan tubuh dalam memproduksi insulin. Diperkirakan ada sekitar 5 10 % penderita diabetes didiagnosa menderita diabetes tipe 1. Diabetes militus tipe 1 juga disebut insulin-dependent diabetes mellitus (IDDM), yaitu diabetes yang tergantung pada insulin atau diabetes anak anak. Ciri khusus diabetes tipe 1 adalah hilangnya sel beta penghasil insulin pada pulau pulau Langerhans Pankreas sehingga terjadi kekurangan insulin pada tubuh. Penyebab utama kehilangan sel bata pada diabetes tipe 1 adalah kesalahan reaksi autoimunitas yang menghancurkan sel beta pankreas. Reaksi autoimunitas tersebut dapat dipicu oleh adanya infeksi pada tubuh.Saat ini diabetes tipe 1 hanya dapat diobati dengan metode suntik insulin dan memantau tingkat glukosa yang ketat menggunakan alat monitor pengujian darah. Perawatan pada penderita diabetes tipe 1 harus dilakukan secara kontinu. Tanpa bantuan insulin, penyakit ini dapat mennyebapkan penderita koma atau bahkan kematian. Diabetes militus tipe 2Diabetes melitus tipe 2 adalah hasil dari penolakan atau kegagalan tubuh menggunakan zat insulin, yaitu suatu kondisi dimana sel gagal untuk menggunakan insulin dengan benar.Diabetes melitus tipe 2 disebut juga dengan non-insulin-dependent diabetes mellitus (NIDDM) atau diabetes yang tidak bergantung pada insulin. Diabetes seperti ini terjadi karena kombinasi karena kekurangan produksi insulin dan resistensi terhadap insulin atau berkurangnya kemampuan terhadap penggunaan insulin yang melibatkan reseptor insulin di membran sel.Tidak ada cara penyembuhan yang pasti untuk penyakit diabetes melitus tipe 2 meski baru baru ini operasi by pass lambung di klaim dapat menormalkan kadar glukosa darah mencapai 80 % pada penderita obesitas dengan diabetes. Diabetes gestationalDiabetes gestational terjadi pada wanita hamil yang belum pernah menderita diabetes, tetapi memiliki angka gula darah yang cukup tinggi selama kehamilan. Diabetes ini terjadi akibat sekresi insulin relatif tidak memadai dan responsif. Diabates gestational dapat diobati sepenuhnya, akan tetapi harus melalui pengawasan medis selama kehamilan.Meskipun mungkin bersifat sementara, diabetes gestational yang tidak ditangani dapat berpotensi merusak kesehatan janin dan ibu.(Sutanto, 2010 : 150 154)1.4 Gejala Penyakit DiabetesDiabetes melitus mempunyai ciri yang sangat spesifik yaitu dapat dilihat dari kondisi badan dan pemeriksaan kadar gula.Tanda umum gejala penyakit diabetes melitus, yaitu : Banyak kecing (poliuria)Penderita diabetes melitus biasanya sering buang air kecil, terutama saat malam hari. Banyak minum tapi sering merasa haus (polidipsia)Penderita diabetes melitus akan merasa haus terus menerus sepanjang hari. Rasa haus ini sebagai penyeimbang terhadap air yang selalu dikeluarkan melalui air kencing. Banyak makan tapi sering merasa lapar (polifagia)Penderita diabetes melitus sering merasa lapar karena gula darah tidak dipecah menjadi energi. Ini terjadi karena jumlah insulin tidak cukup untuk memecah gula tersebut. Sehingga gula yang tidak terpecah itu akan terbawa air kencing saat penderita buang air kecil.(Soeryoko, 2011 : 11 12)Secara umum ada tiga kebiasaan yang bertambah dan satu hal yang berkurang pada penderita diabetes melitus, yaitu : Bertambahnya frekuensi makan Bertambahnya frekuensi minum Bertambahnya frekuensi buang air kecil Berkurangnya berat badan(Soeryoko, 2011 : 13)

1.5 Komplikasi Penyakit DiabetesDiabetes melitus merupakan penyakit akibat gangguan metabolisme yang perlu dikontrol setiap saat. Kelalaian dalam mengontrol penyankit diabetes dapat menyebabkan terjadinya penyakit komplikasi.Komplikasi diabetes melitus dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu :i. Komplikasi diabetes melitus bersifat mendadak (akut)Komplikasi ini terjadi secara mendadak / tiba tiba, baik pada penderita baru maupun penderita yang sudah lama. Komplikasi yang muncul secara tiba tiba adalah sebagai berikut : HipoglikemiaHipoglikemia adalah suatu keadaan di mana kadar gula darah darah di bawah kadar gula darah normal. Hipoglikemia dapat menyebabkan sistem organ tubuh terganggu, sehingga banyak orgsn tubuh yang tidak dapat menjalankan fungsinya karena kekurangan glukosa. Koma DiabeticKoma diabetic adalah keadaan tidak sadar diri (koma) secara mendadak pada penderita diabetes melitus yang disebkan karena kadar gula darah yang sangat tinggi. Koma Hiperosmolar NonketotikKoma Hiperosmolar Nonketotik adalah suatu keadaan tubuh tanpa penimbunan lemak. Keadaan ini mengakibatka penderita diabetes melitus mengalami permasalahan saat bernafas. Koma Lakto AsidosisKoma lakto asidosis adalah suatu keadaan tubuh dimana asam laktak tidak dapat diubah menjadi bikarbonat. Sehingga dapat meningkatkan kadar asam laktat di dalam darah. Jika jumlah asam laktat melebihi batas normal, maka penderita diabetes dapat mengalami koma / tidak sadarkan diri.ii. Komplikasi diabetes melitus bersifat menahun (kronis)Komplikasi ini muncul setelah beberapa tahun menderita diabetes. Pada penderita diabetes melitus yang telah lama dapat menyebapkan rusaknya pembuluh darah kecil maupun pembuluh darah besar. Oleh karena itu komplikasi kronis dibagi dua, yaitu : komplikasi khusus dan komplikasi umum. Komplikasi KhususKomplikasi khusus (spesifik) terjadi karena adanya kelainan pembuluh darah kecil pada tubuh. Pembuluh darah kecil yang paling rentan menderita akibat diabetes adalah mata, ginjal, dan kaki.Komplikasi spesifik dibagi menjadi 4 bagian berdasarkan anggota tubuh, yaitu : Retinopati DiabetikRetinopati diabetic merupakan komplikasi diabetes melitus yang ditandai adanya gangguan pembuluh darah retina mata. Gangguan ini berupa kebocoran maupun sumbatan pada retina mata, sehingga menyebabkan penumpukan cairan yang mengandung lemak. Neuropati DiabetikKomplikasi neuropati diabetik diatandai dengan menurunnya sensitivitas kulit terhadap dingin, panas, dan getaran. Contohnya yaitu kesemutan dan panas pada ujung jari. Nefropati DiabetikKomplikasi nefropati diabetik adalah terjadinya gangguan fungsi pada ginjal. Contohnya proteinuria, pembengkakan, hipertensi, dan gagal ginjal. Diabetik FootDiabetic foot adalah keadaan luka pada kaki akibat diabetes melitus. Komplikasi UmumKomplikasi ini dapat terjadi karena beberapa hal, antara lain kelainan pembuluh darah besar. Contohnya adalah : GangrenGangren adalah luka membusuk yang terjadi karena diabetes. Luka ini bisa terjadi di seluruh tubuh. Namun, lokasi pembusukan awal biasanya dimulai dari kaki kemudian menyebar keseluruh tubuh. AtherosklerosisAtherosklerosis adalah penimbunan lemak yang menempel pada dinding sebelah dalam pembuluh darah arteri. Akibatnya, tingkat kelenturan pembuluh darah akan menurun dan pembuluh darah akan menjadi rapuh. Selain itu atherosklerosis juga dapat menyebabkan hipertensi, sakit jantung, stroke, dan gagal ginjal. KatarakKatarak adalah penyakit mata yang ditandai dengan kekeruhan mata. Mata yang menderita katarak seperti dilapisi plastik yang dapat mengganggu pandangan. Pada umumnya, katarak timbul pada usia senja, namun pada penderita diabeetes melitus, katarak dapat timbul pada usia muda. TBC ParuTBC paru memiliki hubungan yang sangat erat dengan diabetes melitus. Bakteri dan kuman sangat mudah berkembang biak pada kondisi kadar gula darah yang sangat tinggi. Infeksi Saluran KencingInfeksi saluran kencing terjadi karena lemahnya pertahanan tubuh sehingga kuman mudah menyerang. Radang MulutRadang mulut akibar diabetes melitus dimulai dari radang gusi kemudian berkelanjut menjadi gigi mudah lepas. Pembekuan Darah OtakDiabetes mempunyai resiko meningkatkan pembekuan darah otak. Kadar gula yang tinggi menyebabkan darah menjadi lebih kental dan mengakibatkan rapuhnya pembuluh darah. Jika pembuluh darah yang mengalami kerapuhan adalah pembuluh darah otak maka resiko terjadi pembekuan darah otak sangat besar. Jantung KoronerDiabetes melitus menyebabkan munculnya artherosklerosis. Bila tidak segera diatasi, endapan tersebut akan mengganggu aliran darah pada jantung.(Soeryoko, 2011 :19 - 26)

Komplikasi diabetes melitus dapat terjadi karena beberapa hal, antara lain :i. Pasien suka melanggar larangan yang berhubungan dengan penyakit tersebut.ii. Semakin lemahnya organ tubuh yang berhubungan dengan penyakit diabetes melitus mengakibatkan organ tersebut tidak dapat bekerja dengan baik.(Soeryoko, 2011 : 26)

1.6 Pencegahan Penyakit DiabetesUntuk penanggulang diabetes, setiap penderita diabetes mempunyai cara dan kebiasaan yang berbeda-beda. Ada yang minum obat, terapi, dan ada pula yang minum herbal.Upaya pencegahan penyakit diabetes melitus terdiri dari empat tahap yaitu pencegahan primordial, pencegahan primer, pencegahan sekunder, dan Pencegahan Tersier.i. Pencegahan PrimordialPencegahan primordial yaitu pencegahan kepada orang-orang yang masih sehat agar tidak memilki faktor resiko untuk terjadinya DM. Edukasi sangat penting peranannya dalam upaya pencegahan primordial. Tindakan yang perlu dilakukan seperti penyuluhan mengenai pengaturan gaya hidup, pentingnya kegiatan jasmani teratur, pola makan sehat, menjaga badan agar tidak terlalu gemuk dan menghindari obat yang bersifat diabetagenik.ii. Pencegahan PrimerPencegahan primer yaitu pencegahan kepada mereka yang belum terkena DM namun memiliki faktor resiko yang tinggi dan berpotensi untuk terkena penyakit DM.Pada pencegahan primer ini masyarakat harus mengenal faktor faktor yang berpengaruh terhadap terjadinya penyakit DM dan upaya untuk mengeliminasi faktor-faktor tersebut.Berikut ini adalah upaya dari pencegahan primer yaitu : PenyuluhanMateri yang perlu diberikan kepada masyarakat tentang penyakit diabetes melitus antara lain adalah definisi penyakit DM, faktor-faktor yang berpengaruh pada timbulnya penyakit DM serta upaya-upaya untuk menekan penyakit DM, pengelolaan penyakit DM secara umum, pencegahan dan pengenalan komplikasi penyakit DM, serta pemeliharaan kaki. Latihan JasmaniLatihan jasmani yang teratur (3-4 kali seminggu selama kurang lebih 30 menit) memegang peran penting dalam pencegahan primer terutama pada DM Tipe 2. Orang yang tidak berolah raga memerlukan insulin 2 kali lebih banyak untuk menurunkan kadar glukosa dalam darahnya dibandingkan orang yang berolah raga. Manfaat latihan jasmani yang teratur pada penderita DM antara lain adalah : Memperbaiki metabolisme yaitu menormalkan kadar glukosa darah dan lipid darah, meningkatkan kerja insulin dan meningkatkan jumlah pengangkut glukosa, membantu menurunkan berat badan, meningkatkan kesegaran jasmani dan rasa percaya diri, serta mengurangi resiko penyakit kardiovaskular.Latihan jasmani yang dimaksud dapat berupa jalan, bersepeda santai, jogging, dan berenang. Latihan jasmani sebaiknya disesuaikan dengan umur dan status kesegaran jasmani. Perencanaan Pola Makan Perencanaan pola makan yang baik dan sehat merupakan kunci sukses supaya terbebasdari penyakit DM. Seluruh penderita harus melakukan diet dengan pembatasan kalori, terlebih untuk penderita dengan kondisi kegemukan. Menu dan jumlah kalori yang tepat umumnya dihitung berdasarkan kondisi penderita.Perencanaan makan merupakan salah satu pilar pengelolaan DM, meski sampai saat ini tidak ada satupun perencanaan makan yang sesuai untuk semua penderita, namun ada standar yang dianjurkan yaitu makanan dengan komposisi yang seimbang dalam karbohidrat, protein, dan lemak sesuai dengan kecukupan gizi baik yakni sebagai berikut: Karbohidrat = 60-70 %, Protein = 10-15 %, dan Lemak = 20-25 %.Jumlah asupan kolesterol disarankan < 300 mg/hari dan diusahakan lemak berasal dari sumber asam lemak tidak jenuh dan membatasi PUFA (Poly Unsaturated Fatty Acid) dan asam lemak jenuh. Jumlah kalori disesuaikan dengan pertumbuhan, status gizi, umur, ada tidaknya stress akut dan kegiatan jasmani .iii. Pencegahan SekunderPencegahan sekunder adalah upaya untuk mencegah atau menghambat timbulnya komplikasi dengan tindakan-tindakan seperti tes penyaringan yang ditujukan untuk pendeteksian dini DM serta penanganan segera dan efektif. Tujuan utama kegiatan-kegiatan pencegahan sekunder adalah untuk mengidentifikasi orang-orang tanpa gejala yang telah sakit atau penderita yang beresiko tinggi untuk mengembangkan atau memperparah penyakit.Memberikan pengobatan penyakit sejak awal sedapat mungkin dilakukan untuk mencegah kemungkinan terjadinya komplikasi menahun. Edukasi dan pengelolaan DM memegang peran penting untuk meningkatkan kepatuhan pasien berobat. Diagnosis Dini Diabetes Mellitus Dalam menetapkan diagnosis DM bagi pasien biasanya dilakukan dengan pemeriksaan kadar glukosa darahnya. Pemeriksaan kadar glukosa dalam darah pasien yang umum dilakukan adalah : Pemeriksaan kadar glukosa darah setelah puasa. Kadar glukosa darah normal setelah puasa berkisar antara 70-110 mg/dl. Seseorang didiagnosa DM bila kadar glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri lebih dari 126 mg/dl dan lebih dari 140 mg/dl jika darah yang diperiksa diambil dari pembuluh vena. Pemeriksaan kadar glukosa darah sewaktu.Jika kadar glukosa darah berkisar antara 110-199 mg/dl, maka harus dilakukan test lanjut. Pasien didiagnosis DM bila kadar glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri ataupun vena lebih dari 200 mg/dl. Test Toleransi Glukosa Oral (TTGO). Test ini merupakan test yang lebih lanjut dalam pendiagnosaan DM. Pemeriksaan dilakukan berturut-turut dengan nilai normalnya : 0,5 jam < 115 mg/dl, 1 jam < 200 mg/dl, dan 2 jam < 140 mg/dl. Pengobatan Segera Intervensi fakmakologik ditambahkan jika sasaran glukosa darah belum tercapai dengan pengaturan makanan dan latihan jasmani. Dalam pengobatan ada 2 macam obat yang diberikan yaitu pemberian secara oral atau disebut juga Obat Hipoglikemik Oral (OHO) dan pemberian secara injeksi yaitu insulin. OHO dibagi menjadi 3 golongan yaitu : pemicu sekresi insulin (Sulfonilurea dan Glinid), penambah sensitivitas terhadap insulin (Metformin dan Tiazolidindion), penambah absobsi glukosa (penghambat glukosidase alfa).Selain 2 macam pengobatan tersebut, dapat juga dilakukan dengan terapi kombinasi yaitu dengan memberikan kombinasi dua atau tiga kelompok OHO jika dengan OHO tunggal sasaran kadar glukosa darah belum tercapai. Dapat juga menggunakan kombinasi kombinasi OHO dengan insulin apabila ada kegagalan pemakaian OHO baik tunggal maupun kombinasi.iv. Pencegahan TersierPencegahan tersier yaitu usaha mencegah agar tidak terjadi kecacatan lebih lanjut walaupun sudah terjadi komplikasi.Dalam upaya ini diperlukan kerjasama yang baik antara pasien pasien dengan dokter mapupun antara dokter ahli diabetes dengan dokter-dokter yang terkait dengan komplikasinya. Penyuluhan juga sangat dibutuhkan untuk meningkatkan motivasi pasien untuk mengendalikan penyakit DM.Dalam penyuluhan ini yang perlu disuluhkan mengenai : Maksud, tujuan, dan cara pengobatan komplikasi kronik diabetes Upaya rehabilitasi yang dapat dilakukan Kesabaran dan ketakwaan untuk dapat menerima dan memanfaatkan keadaan hidup dengan komplikasi kronik. (Universitas Sumatera Utara)

2. Model Matematika2.1 Definisi Model MatematikaModel matematika merupakan representasi dari sistem-sistem fisik atau problem dunia nyata dalam pernyataan matematika. Model matematika banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu dan bidang studi, misalnya bidang fisika, ilmu biologi dan kedokteran, ilmu sosial, ekonomi dan sebagainya.(Widowati, 2007 : 2)Model matematika terdiri dari tiga jenis, yaitu model empiris, model simulasi, dan model stokastik dan deterministik.i. Model EmpirisPada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan utama adalah mengkonstruksi formula (persamaan) matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokan data.ii. Model SimulasiDalam pendekatan ini, program komputer ditulis bersdasarkan aturan-aturan. Aturan-aturan ini dipercaya untuk membentuk suatu proses atau fenomena yang akan berjalan terhadap waktu dalam kehidupan nyata.iii. Model Deterministik dan StokastikModel deterninistik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk mempresentasikan hubungan antara berbagai komponen (variabel) suatu sistem atau masalah. Suatu contoh adalah persamaan diferensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas (yang dinyatakan dengan variabel tak bebas dari persamaan) dan waktu sebagai variabel bebas. Diberikan syarat awak yang sesuai untuk memprediksi perilaku sistem model.(Widowati, 2007 : 1-2)

2.2 Proses Pembentukan ModelLangkah-langkah yang dilakukan dalam pembentukan model matematika dapat dinyatakan dalam bagan berikut:

Problem Dunia RealProblem MatematikaMembuat AsumsiFormulasi Persamaan / PertidaksamaanPenyelesaian Persamaan / PertidaksamaanInterpretasi SolusiBandingkan DataSolusi Dunia RealDunia RealDunia Matematika

Gambar 1. Proses Pemodelan Matematika

Berdasarkan bagan di atas, langkah-langkah pembentukan model matematika dapat dinyatakan sebagai berikut:1. Menyatakan problem dunia nyata kedalam bentuk problem matematika. Menyatakan problem pada dunia nyata ke bentuk problem matematika dilakukan dengan membuat pertanyaan untuk permasalahan dan menentukan faktor yang dianggap penting atau sesuai dengan permasalahan.1. Membuat AsumsiAsumsi dibuat dengan melihat hubungan antar faktor yang terpilih pada langkah 1. Hubungan ditentukan oleh hukum yang berlaku dalam permasalahan tersebut.1. Memformulasikan persamaanUntuk menyatakan hubungan antar asumsi, dilakukan dengan menformulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan menjadi model matematika.1. Melakukan AnalisisPada langkah ini akan dicari solusi dari persamaan yang telah diperoleh dari langkah 3.1. Melakukan PengujianModel yang diperoleh dilakukan pengujian dengan membandingkan hasil atau solusi yang didapat dengan keadaan sebenarnya.1. Menginterpretasikan ModelMenerjemahkan solusi matematika yang telah didapat ke dalam keadaan yang sesungguhnya.1. Solusi dunia nyataJika langkah diatas membentuk hasil yang sesuai dengan keadaan yang sebenarnya, maka diperoleh solusi dunia nyata.(Widowati, 2007 : 3)

3. Teori Persamaan Diferensial3.1 Persamaan DiferensialDefinisi 1Persamaan diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang memuat turunan dari satu variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.( Ross, 1989:1)Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi persamaan diferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP).

Definisi 2Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan yang memuat turunan biasa dari satu variabel terikat terhadap satu variabel bebas.( Ross, 1989:2)Contoh 1:

Definisi 3Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah suatu persamaan yang memuat turunan parsial dari satu variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel bebas.(Ross, 1989:2)Contoh 2:

Berdasarkan kelinearan, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear, seperti yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4Suatu persamaan diferensial linear orde-n, dalam variabel terikat y dan variabel bebas x, adalah suatu persamaan yang berbentuk

dimana . (Ross, 1989:3)Persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika memenuhi tiga kondisi berikut (Ross, 1989:3):1. Turunan atau variabel terikatnya berpangkat satu.1. Tidak mengandung perkalian antara variabel terikat dengan turunannya.1. Tidak mengandung fungsi transeden dalam variabel terikat maupun turunannya.

Contoh 3:

Persamaan diferensial yang tidak termasuk kriteria persamaan diferensial linear disebut persamaan diferensial nonlinear.

Contoh 4:

3.2 Sistem Persamaan DifferensialSistem persamaan diferensial dapat dikelompokkan berdasarkan bentuk persamaannya, yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial non linear.Definisi 5Diberikan Sistem persamaan diferensial linear orde satu berikut:

Dimana A adalah matriks koefisien berukuran dan fungsi kontinu. Sistem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde satu. Jika maka sistem dikatakan homogen dan jika maka sistem dikatakan nonhomogen.(Perko, 1996:60)Contoh 5 :

Persamaan diferensial linear orde satu homogen= 2x1 x2 5x3= x1 9x2+ 3x3= 6x1 + 2x2 7x3

Definisi 6Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu dinyatakan sebagai berikut:

dengan , dan

jika fungsi nonlinear pada maka sistem disebut sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear.(Perko, 1996:65)Contoh 6

Merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu= 2a + 5a2= b + 5a2 + 8a

Model matematika penyakit diabetes dengan pengaruh transmisi vertikal berbentuk persamaan diferensial nonlinear, sehingga untuk menganalisis model diperlukan teori kestabilan.

4. Teori KestabilanDalam menganalisa kestabilan diperlukan titik tetap dari persamaan diferensial.4.1 Titik TetapDefinisi 7Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:

Jika titik memenuhi persamaan dan , maka titik disebut titik tetap.(Ross, 1989:634)Contoh 7 :Misalkan x(t) dan y(t) memenuhi sistem persamaan berikut : = ax bxy = cy + dxy (1)Dengan a, b, c, dan d adalah konstanta positif. Titik (x0 , y0) dikatakan titik tetap dari sistem persamaan (1), jika :ax0 bx0 y0 = 0cy0 + d x0 y0= 0 (2)Dengan menyelesaikan sistem persamaan (2) diperoleh dua titik tetap, yaitu : (0,0) dan ( , )Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu sistem persamaan nonlinear, dapat dilakukan dengan melinearkan sistem persamaan diferensial nonlinear tersebut.

4.2 PelinearanDiberikan sistem persamaan diferensial nonlinear berikut

Karena sistem persamaan diferensial (3) merupakan sistem persamaan nonlinear, maka dilakukan pelinearan dengan menggunakan ekspansi Taylor (Blanchard, 2002: 44) untuk suatu titik tetap. Misalkan titik tetap persamaan (1) adalah . Misalkan dan , maka dan . Sehingga persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk dan sebagai berikut:

maka didapatkan:

Pada keadaan setimbang dengan menggunakan ekspansi Taylor pada titik tetap sehingga diperoleh persamaan linear berikut:

Karenakemudian karena nilai sangat kecil, sehingga nilai dapat diabaikan. Sistem persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut:

Atau dapat ditulis sebagai:

A merupakan matriks Jacobi yang dihitung di titik , dimana matriks jacobi didefinisikan .

Untuk melihat kestabilan titik tetap, dibutuhkan nilai eigen dan vektor eigen yang didefinisikan sebagai berikut :

5. Nilai Eigen dan Vektor EigenDalam menganalisa kestabilan dari titik tetap maka dibutuhkan beberapa teori mengenai nilai eigen dan vektor eigen, berikut definisinya.Definisi 8Jika A matriks n x n, maka vektor tak nol dalam Rn disebut vektor eigen dari A, jika Ax kelipatan skalar dari x yaitu:Ax = x, untuk suatu skalar . Skalar merupakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . (Anton, 1993:277)Teorema 1Jika J adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain:1. adalah nilai eigen dari J.1. Sistem persamaan mempunyai pemecahan yang tak trivial.1. Ada vektor tak nol x di dalam , sehingga . 1. adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik .(Anton, 1998:280)

Kestabilan dari titik tetap dapat dilihat dari kondisi nilai eigen dari matriks Jacobiannya. Berikut klasifikasi kestabilan titik tetap berdasarkan nilai eigennya:

Tabel 1. Klasifikasi Kestabilan Titik Tetap

Nilai eigenTipe titik tetapKarakteristikkestabilan

Nilai eigen real , dimana

Simpul Simpul Stabil asimtotikTak stabil

Nilai eigen real , dimana

Sadel Tak stabil

Nilai eigen kompleks dimana

Spiral Spiral Stabil asimtotikTak stabil

Nilai eigen kompleks dimana

Pusat Stabil tapi bukan stabil asimtotik

Sumber: Kohler (2006: 451)Pada kondisi tertentu nilai eigen dari matriks Jacobian sulit ditemukan, analisis kestabilan titik tetap dapat dilakukan dengan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.6. Kriteria Routh HurwithDefinisi 9Kriteria Routh-Hurwitz digunakan untuk menganalisis titik tetap suatu sistem apabila nilai eigen persamaan pada matriks Jacobi sulit dicari.(Edelstein, 1988:234)

Diketahui sistem persamaan dengan k persamaan dan X variabel sebagai berikut:

dengan matriks Jacobi

dan persamaan karakteristiknya .Diberikan matriks Hurwitz , dengan sebagai berikut:

dengan unsur baris ke l kolom ke m dari matriks yaitu:

Jika semua nilai eigen dari matriks Jacobi adalah real negatif maka titik tetapnya adalah stabil. Hal ini terjadi jika dan hanya jika semua determinan matriks Hurwitz adalah positif yaitu det . Contoh untuk diperoleh kriteria sebagai berikut:

(Edelstein, 1988: 234)

7. Bilangan Reproduksi DasarBilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan rata-rata infeksi sekunder yang disebabkan oleh satu individu yang terinfeksi yang berlansung dalam populasi rentan (susceptible). Dinotasikan dengan R0. Bilangan tersebut diperlukan sebagai parameter utuk mengetahui tingat penyebaran suatu penyakit.

8. Model Dasar SISModel SIS merupakan model penyebaran penyakit dengan fase kompartemen yaitu S dan I. S (susceptible) adalah individu yang sehat namun rentan (tak kebal) terhadap penyakit dan I (infective) adalah individu yang terkena penyakit dan dapat menularkan penyakitnya. Individu yang rentan (S) tersebut berinteraksi dengan individu yang terinfeksi (I), sehingga terinfeksi suatu penyakit. Dalam model SIS ini, individu dalam kelas infeksi dapat sembuh dengan pengobatan medis atau proses alam, sehingga masuk kelas sehat (susceptible), tetapi kesembuhan itu tidak mengakibatkan individu tersebut kebal, sehingga memungkinkan terinfeksi kembali dan masuk kelas infeksi (infektive).

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. 8th edition. Bandung: Erlangga.Ross, S. 1989. Introduction to Ordinary Differential Equation. Jhon Wiley and Sons Inc: New York.Soeryoko, Hery. 2011. 25 Tananman Obat Ampuh Penakluk Diabetes Mellitus. Yogyakarta : C.V Andi Offset.Sutanto. 2010. Cekal (Cegah dan Tangkal) Penyakit Modern (Hipertensi, Stroke, Jantung, dan Diabetes)http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/29762/4/Chapter%20II.pdf, Diakses 03 Oktober 2015https://pemodelanmatematikauin.files.wordpress.com/2013/05/lectures-kalkuus-variasi-figueroa.pdf , Diakses 03 Oktober 2015http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-26681-Presentation-4629755.pdf , Diakses 03 Oktober 2015