pembahasan klp 1

8/15/2019 Pembahasan Klp 1

1/19


2/19

2

5. E ?


3/19

3

BAB IIPEMBAHASAN

A. Pengujian Asumsi

Sebelum penerapan diagram kontrol T 2 Hotelling dan Generalized Variance yang

digunakan untuk mengontrol kualitas suatu proses secara multivariat, maka terlebih dahulu

dibutuhkan asumsi bahwa data telah berdistribusi multivariat normal dan bersifat homogen.

Sehingga perlu dilakukan pengujian multivariat normal untuk melihat apakah data memenuhi

asumsi distribusi multivariat normal atau tidak.

Berikut adalah diagram alir dalam penerapan diagram kontrol T 2 Hotelling .

Gambar 1a Diagram alir analisis multivariat

Mulai

Pengambilan

Uji multivariatnormal

Diasumsikan berdistribusi

multivariat

Kesim ul

Selesai

Diagram Kontrol Generalized

Dia ram Kontrol T Hotellin

Ujihomogenitas

Diasumsikanterdapat korelasi

antar variabel


4/19

4

1. Pengujian distribusi multivariat normal

Pengujian multivariat normal dilakukan dengan menggunakan uji Chi Square.

Dengan hipotesis sebagai berikut :

H0 : Data berdistribusi normal multivariat

H1 : Data tidak berdistribusi normal multivariat

Pada taraf signifikansi : α = 0,05

Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut :

2 = ( −)′−1 ( −) atau p-valueDaerah kritis : Tolak H 0 jika proporsi dari jarak 2 ≤2 ( ,0.5) tidak berada di sekitar nilai0,5 atau p-value < α yang berarti data tidak berdistribusi normal.

2. Homogenitas data

Selain asumsi data harus berdistribusi multivariat normal, juga harus terdapat

korelasi antar variabelnya. Uji korelasi dipergunakan untuk mengetahui apakah antar

variabel yang akan dibuat diagram kontrolnya saling berhubungan atau tidak. Metode yang

digunakan adalah Keiser Meyer Olkin (KMO) dan Barlett’s test dengan hipotesis sebagai

berikut :

H0 : ρ = I (tidak terdapat korelasi antar variabel)

H1 : ρ ≠ I (terdapat korelasi antar variabel)

Pada taraf signifikansi : α = 0.05

Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut :

R p

nhitung ln652

12

Daerah kritis : Tolak H 0 jika P- value


5/19

5

C. Diagram Kontrol T 2 Hotelling

Diagram kontrol T 2 Hotelling merupakan diagram yang digunakan untuk mengontrol

suatu proses yang terdiri dari beberapa karakteristik kualitas secara bersama-sama. Diagram

ini berfungsi untuk melihat proses rata-rata vektor. Ini adalah analogi langsung dari grafik

Shewhart univariat. Dalam hal ini terdapat dua bagian dari grafik Hotelling T2 yaitu untuk

subdata yang dikelompokkan dan untuk data pengamatan individu.

1. Diagram kontrol T 2 Hotelling subdata yang dikelompokkan

Misalkan bahwa karakteristik dua kualitas 1 dan 2 secara bersama-sama didistribusikan

sesuai dengan distribusi normal bivariat (lihat Gambar. 11,3). Misalkan 1 dan 2 menjadi

nilai rata-rata dari karakteristik kualitas, dan misalkan 1 dan 2 menjadi standar deviasi

dari 1 dan 2 , masing-masing. Kovarians antara 1 dan 2 dilambangkan dengan 12 .

Asumsikan bahwa 1 , 2 dan 12 diketahui. Apabila 1 dan 2 adalah rata-rata sampel dari

dua karakteristik kualitas dihitung dari sampel berukuran n, maka statistik akan memiliki

distribusi chi-kuadrat dengan 2 derajat kebebasan :

(c1.1)

Persamaan ini dapat digunakan sebagai dasar dari peta kendali untuk proses 1 dan 2 . Jika

proses tetap pada nilai-nilai 1 dan 2 , maka nilai-nilai

02

seharusnya lebih kecil dari bataskendali atas UCL = ,22 dimana ,22 adalah titik atas persentase dari distribusi chi-kuadrat dengan 2 derajat kebebasan. Jika setidaknya salah satu rata-rata bergerak ke

beberapa nilai baru (keluar dari kontrol), maka probabilitas bahwa statistik 02 melebihi batas kendali atas.

Prosedur proses pemgamatan dapat ditunjukkan secara grafis. Perhatikan kasus

berikut, di mana dua variabel acak 1 dan 2 adalah independen; artinya 12 = 0 , jika

12 = 0 maka persamaan (c1.1) mendefinisikan elips yang berpusat pada ( 1 , 2 ) dengan

sumbu utama sejajar dengan sumbu 1 dan 2 , seperti ditunjukkan pada Gambar. 11.4.

Misalkan 02 dalam persamaan (c1.1) sama dengan ,22 yang mennunjukkan bahwasepasang rata-rata sampel ( 1 , 2 ) menghasilkan suatu nilai 02 yang plot dalam elipsyang menunjukkan proses ini dalam kontrol, sedangkan jika nilai dari 02 plot berada diluar elips maka proses ini di luar kendali. Gambar 11.4 sering disebut elips kontrol.

02 = 12 22 −122 22 x1 −1 2 + 12 x2 −2 2 −2 12 x1 −1 x2 −2


6/19

6

Dalam kasus di mana dua karakteristik kualitas dependent, kemudian 12 ≠0 , dankontrol elips yang sesuai ditunjukkan pada Gambar. 11.5. Ketika dua variabel dependent,

sumbu utama elips tidak lagi sejajar dengan sumbu 1 , 2 . Juga, perhatikan bahwa jumlah

11 titik plot sampel di luar kontrol elips, menunjukkan bahwa penyebab dapat ditetapkan,

namun titik 11 dalam batas kontrol pada kedua grafik kontrol individu untuk 1 dan 2 .

Jadi tidak ada yang tampaknya biasa tentang 11 titik ketika variabel yang dilihat secara

individual, namun pelanggan yang menerima pengiriman bahan sangat mungkin akan

mengamati kinerja yang sangat berbeda dalam produk. Hal ini hampir mustahil untuk

mendeteksi penyebab dialihkan yang menghasilkan titik seperti ini dengan

mempertahankan grafik kontrol individu.


7/19

7

Dua kelemahan yang terkait dengan elips kontrol.

1. Bahwa urutan titik waktu diplot hilang. Hal ini bisa diatasi dengan penomoran titik

diplot atau dengan menggunakan simbol-simbol plotting khusus untuk mewakili

pengamatan terbaru.

2. Bahwa hal itu sulit untuk membangun elips selama lebih dari dua karakteristik kualitas.

Untuk menghindari kesulitan-kesulitan ini, adalah kebiasaan untuk plot nilai-nilai 02 dihitung dari persamaan (11.11) untuk setiap sampel pada peta kendali dengan batas

kendali atas ,22 , seperti ditunjukkan pada Gambar. 11.6. Grafik kontrol ini biasanyadisebut grafik chi-square kontrol. Perhatikan bahwa urutan waktu data tersebut

dikonservasi dengan peta kendali ini, sehingga berjalan pada pola nonrandom lainnya

yang dapat diselidiki. Selain itu, memiliki keuntungan tambahan "ruang" dari proses

yang ditandai dengan satu nomor (nilai statistik

02 ). Hal ini sangat membantu ketika

ada dua atau lebih karakteristik kualitas yang menarik.

Hal ini dimungkinkan untuk memperluas hasil pada kasus, di mana p berkaitan

dengan karakteristik kualitas yang dikendalikan secara bersama-sama. Hal ini diasumsikan

bahwa distribusi probabilitas gabungan dari karakteristik kualitas p adalah distribusi

normal p-variate. Prosedur membutuhkan komputasi rata-rata sampel untuk masing-masing

karakteristik kualitas p dari sampel berukuran n. Rangakaian karakteristik kualitas rata-

rata yang ditunjukkan oleh vektro p x 1

x =

1

2

⋮

Uji statistik yang diplot pada grafik chi-square kontrol untuk masing-masing sampel adalah

(c1.2)

dimana ′ = [ 1 , 2 ,…, ] adalah vektor rerata kontrol untuk setiap karakteristik kualitasdan Σ adalah matriks kovarians. Batas atas peta kendali adalah(c1.3)

02 = (x

−)

′(x

−)−1

UCL = ,2


8/19

8

Estimasi . Dalam prakteknya, biasanya diperlukan untuk estimasi

dan dari analisis sampel awal yang ukuran n, diambil ketika proses diasumsikan

berada dalam kontrol. Misalkan m sampel tersebut tersedia. Rerata sampel dan varians

dihitung dari setiap sampel sebagai berikut:

= 1 =1 = 1,2, …,= 1,2, …, (c1.4) 2 = 1 −1 − 2=1 = 1,2, …,= 1,2, …, (c1.5)

dimana xijk adalah pengamatan pada karakteristik kualitas j dalam sampel k. Kovarians

antara kualitas karakteristik j dan karakteristik kualitas h dalam sampel kth adalah

ℎ=

1

−1

− ℎ−ℎ=1

= 1,2,

…,

≠ℎ (c1.6)

Statistik, , 2 , ℎ kemudian rerata atas semua sampel m akan mendapatkan = 1 =1 ; = 1,2, …, (c1.7a) 2 = 1 2=1 ; = 1,2, …, (c1.7b)

dan

ℎ=1

ℎ=1 ;

≠ℎ (11.7c)

adalah elemen dari vektor , dan rata-rata sampel kovarians matriks S dibentuksebagai

S =

12 12 22

13 …23 ⋯12 32

⋱⋮2

(c1.8)

Rata-rata dari sampel matriks kovarians S adalah estimasi yang tidak bias dari Σ ketika proses berada dalam kontrol.

Diagram Kontrol T 2 . Sekarang kita andaikan bahwa S dari persamaan (c1.8)

digunakan untuk mengestimasi Σ dan vektor diambil sebagai nilai dalam kontrol dari

vektor rerata proses. Jika kita mengganti μ dengan maka Σ dengan S dalam persamaan

(c1.2), statistik uji kini menjadi


9/19

9

2 = −′−1 − (c1.9) Dari persamaan diatas Prosedur ini biasanya disebut peta kendali Hotelling T2. Ini adalah

peta kendali terarah invarian dimana kemampuan untuk mendeteksi pergeseran vektor rata-

rata hanya tergantung pada besarnya pergeseran, dan tidak ke arahnya.

Alt (1985) telah menunjukkan bahwa dalam aplikasi pengontrolan mutu multivariat

satu harus berhati-hati untuk memilih batas kontrol untuk statistik peta kendali Hotelling T 2

[persamaan (c1.9)] berdasarkan bagaimana peta kendali yang digunakan. Ingat bahwa ada

dua tahap yang berbeda dari penggunaan peta kendali. Tahap I adalah penggunaan peta

kendali untuk menetapkan kontrol; yaitu, menguji apakah proses itu di kontrol ketika m

subkelompok awal ditarik dan X statistik sampel dan S dihitung. Tujuan di tahap I adalah

untuk mendapatkan set pengamatan yang dikontrol sehingga batas kontrol dapat dibentuk

untuk tahap II, yang merupakan pemantauan produksi masa depan. Analisis Tahap I

kadang-kadang disebut analisis retrospektif.

Tahap mengontrol batas untuk peta kendali T 2 diberikan oleh

UCL = −1 ( −1)− −+1 , , − −+1 LCL = 0 (c1.10)

Pada tahap II, ketika peta kendali digunakan untuk memantau produksi masa

depan, batas kontrol adalah sebagai berikut:

UCL = +1 ( −1)

− −+1 , , − −+1 LCL = 0 (c1.11)

Perhatikan bahwa UCL dalam persamaan (11.21) hanyalah UCL dalam persamaan (c1.10)

dikalikan dengan (m + 1) / (m -1).

Ketika μ dan Σ diperkirakan dari sejumlah besar sampel awal, adalah kebiasaan

untuk menggunakan UCL = X 2α, p sebagai batas kendali atas di kedua tahap I dan tahap II.

Analisis retrospektif dari sampel awal untuk menguji statistik kendali dan menetapkan

batas kontrol juga terjadi di pengaturan peta kendali univariat. Untuk peta kendali X, itu

biasanya diasumsikan bahwa jika kita menggunakan m ≥ 20 atau 25 sampel awal,

perbedaan batas antara tahap I dan tahap II biasanya tidak diperlukan, karena tahap I dan

tahap II batasnya hampir akan bertepatan. Dalam makalah baru-baru ini, Jensen et al.

(2006) menunjukkan bahwa ukuran sampel yang lebih besar diperlukan untuk memastikan


10/19

10

bahwa kinerja rata-rata menjalankan panjang (Average Run Length/ARL) tahap II benar-

benar akan menjadi dekat dengan nilai-nilai yang diantisipasi. Mereka merekomendasikan

untuk menggunakan banyak sampel pada tahap I yang mungkin untuk memperkirakan

batas pada tahap II. Dengan peta kendali kontrol multivariat, kita harus sangat berhati-hati.

Lowry dan Montgomery (1995) menunjukkan bahwa dalam banyak situasi

sejumlah besar sampel awal akan diperlukan tepat sebelum batas kontrol pada tahap II

yang baik didekati dengan batas chi-square. Para penulis ini yang menunjukkan tabel nilai

minimum yang disarankan dari m untuk ukuran sampel n = 3, 5 dan 10 dan untuk p = 2, 3,

4, 5, 10, dan 20 karakteristik kualitas. Nilai-nilai yang dianjurkan m selalu lebih besar dari

20 sampel awal, dan sering lebih dari 50 sampel. Jensen et al. (2006) melihat bahwa

ukuran sampel yang direkomendasikan ini mungkin terlalu kecil. Ukuran sampel minimal

200 yang diinginkan ketika memperkirakan batas tahap II.

Contoh Diagram Kontrol T 2 Kekuatan tarik dan diameter serat tekstil merupakan dua karakteristik kualitas penting yang

harus dikendalikan secara bersama-sama. Insinyur kualitas telah memutuskan untuk

menggunakan n = 10 untuk spesimen serat dalam setiap sampel. Dia telah mengambil 20

sampel awal, dan atas dasar data ini ia menyimpulkan bahwa 1 =115.59 psi, 2 =1.06(x10-

2) inch, 12 =1.23 , 2

2 =0.83 , dan 12 =0.79 . Mengatur peta kendali T 2.

SolusiStatistik yang akan gunakan untuk tujuan proses kontrol adalah

2 =10

1.23 0.83 −(0.79) 2 [0.83 1 −115.5 2 + 1.23 2 −1.06 2−2 0.79 1 −115.59 2 −1.06 ]

Gambar 4c peta kendali Hotelling T 2 untuk kekuatan tarik dan diameter, Contoh Peta kendali

Kontrol T 2


11/19

11

Data yang digunakan dalam analisis ini dan ringkasan statistiknya terdapat dalam Tabel

11.1, panel (a) dan (b).

Gambar 4c menyajikan peta kendali Hotelling T 2 untuk contoh ini. Kami akan

menganggap hal ini sebagai tahap I, mendirikan statistik kontrol dalam sampel awal, dan

menghitung batas kendali atas dari persamaan (c1.10). Jika α = 0,001, maka UCL adalah

UCL = −1 ( −1)− −+1 , , − −+1 =

2 19 (9)20(10) −20 −2 + 1 0.001,2,20(10) −20−2+1

=342179 0.001,2,179

= (1.91)7.18

=13.72Batas kontrol ini ditunjukkan pada peta kendali di Gambar. 4c. Perhatikan bahwa tidak ada

poin melebihi batas ini, jadi kami akan menyimpulkan bahwa proses yang memegang

kendali. Batas kontrol tahap II dapat dihitung dari persamaan (11.21). Jika α = 0,001, batas

kontrol atas adalah UCL = 15.16. Jika kita telah menggunakan perkiraan batas kontrol

dengan chi-square, kita akan memperoleh 0.001,22 =13.816 , yang cukup dekat dengan batas

yang benar untuk tahap I tetapi beberapa terlalu kecil untuk tahap II. Jumlah data yang

digunakan di sini untuk memperkirakan batas tahap II sangat kecil, dan jika sampel

berikutnya terus menunjukkan kontrol, data baru harus digunakan untuk merevisi batas

kontrol.


12/19

12

Kepentingan luas di pengontrolan mutu multivariat telah menyebabkan peta kendali

kontrol Hotelling T 2 dimasukkan kedalam beberapa paket perangkat lunak. Program-

program ini harus digunakan dengan hati-hati, karena kadang-kadang merekamenggunakan rumus yang salah untuk menghitung batas kendali. Secara khusus, beberapa

paket menggunakan:

UCL = −1−, , − Batas kendali ini jelas tidak benar. Ini adalah daerah kritis yang benar untuk digunakan

dalam multivariat Uji Hipotesis pada vektor rerata μ, di mana sampel ukuran m diambil

secara acak dari distribusi normal p-dimensi, tetapi tidak langsung berlaku untuk peta

kendali baik masalah untuk tahap I atau tahap II. Interpretasi Sinyal Out-of-Control. Salah satu kesulitan yang dihadapi dengan peta

kendali kontrol multivariat adalah interpretasi praktis sinyal out-of-control. Secara khusus,

mana dari variabel p (atau yang bagian dari mereka) bertanggung jawab untuk sinyal?

Pertanyaan ini tidak selalu mudah untuk dijawab. Praktek standar untuk plot peta kendali X


13/19

13

univariat pada variables individu x1, x2, . . ., x p. Namun, pendekatan ini mungkin tidak

berhasil, untuk alasan dibahas sebelumnya. Alt (1985) menyarankan menggunakan peta

kendali dengan jenis batas kontrol Bonferroni [yaitu, menggantikan /2 di perhitungan

batas kendali peta kendali dengan /(2 ) ]. Pendekatan ini mengurangi jumlah alarm

palsu yang terkait dengan penggunaan banyak peta kendali kontrol univariat simultan.

Hayter dan Tsui (1994) memperluas ide ini dengan memberikan prosedur tepat untuk

interval kepercayaan simultan. Prosedur mereka juga dapat digunakan dalam situasi di

mana asumsi normalitas tidak valid. Jackson (1980) merekomendasikan menggunakan peta

kendali kontrol berdasarkan p komponen utama (yang adalah kombinasi linear dari

variabel asli). Komponen utama yang dibahas dalam Bagian 11.7. Kerugian dari

pendekatan ini adalah bahwa komponen utama tidak selalu memberikan interpretasi yang

jelas tentang situasi sehubungan dengan variabel aslinya. Namun, mereka sering efektif

dalam mendiagnosis sinyal out-of-control, terutama dalam kasus di mana komponen utama

memiliki interpretasi dalam hal variabel asli.

Pendekatan lain yang sangat berguna untuk diagnosis sinyal out-of-control adalah

untuk menguraikan statistik T 2 menjadi komponen-komponen yang mencerminkan

kontribusi masing-masing variabel individu. Jika T 2 adalah nilai sekarang dari statistik, dan

T 2(t) adalah nilai dari statistik untuk semua variabel proses kecuali engan satu, kemudian

Runger, Alt, dan Montgomery (1996 b) menunjukkan bahwa= 2 −( )2 (c1.12)merupakan indikator dari kontribusi relatif dari variabel i dengan statistik secara

keseluruhan. Ketika sinyal out-of-control yang dihasilkan, sebaiknya menghitung nilai-

nilai di (i = 1, 2,..., P) dan memfokuskan perhatian pada variabel yang dj relatif besar.

Prosedur ini memiliki keuntungan tambahan dalam bahwa perhitungan dapat dilakukan

dengan menggunakan paket perangkat lunak standar.

Untuk menggambarkan prosedur ini, pertimbangkan contoh berikut dari Runger,

Alt, dan Montgomery (1996a). Ada p = 3 untuk karakteristik kualitas dan matriks

kovarians yang diketahui. Asumsikan bahwa ketiga variabel telah diperkecil sebagai

berikut:


14/19

14

= − ( −1) 2 Hasil skala ini dalam setiap variabel proses memiliki mean nol dan varians satu. Oleh

karena itu, Σ kovarians matriks dalam bentuk korelasi; yaitu, elemen-elemen diagonal

utama semuanya adalah satu dan elemen off-diagonal adalah korelasi berpasangan antara

variabel proses (x).

Dalam contoh kita,

Σ =1 0.9 0.9

0.9 1 0.90.9 0.9 1

Nilai dari proses yang di-kontrol maksudnya adalah μ '= [0, 0, 0]. Pertimbangkan tampilan

berikut:

Observationy’

Control ChartStatistic

02 (= 02 ) d1 =

2 −( )2 d2 d3(2, 0, 0) 27.14 27.14 6.09 6.09(1, 1, -1) 26.79 6.79 6.79 25.73(1, -1, 0) 20.00 14.74 14.74 0(0.5, 0.5, 1) 15.00 3.69 3.68 14.74

Sejak Σ diketahui, kita dapat menghitung batas kendali atas untuk grafik dari distribusi chi-

kuadrat. Kami akan memilih0.005,3

2 =12.84 sebagai batas kontrol atas. Jelas semua empat

vektor pengamatan di layar atas akan menghasilkan sinyal of-control keluar. Runger, Alt,

dan Montgomery (1996b) menunjukkan bahwa cutoff perkiraan untuk besarnya suatu

individu d i adalah α,12 . Memilih α = 0.001, kita akan menemukan 0.01,1

2 =6.63 , sehingga

setiap d i melebihi nilai ini akan dianggap sebagai kontributor besar. Statistik dekomposisi

di atas dihitung memberikan panduan yang jelas tentang variabel dalam vektor observasi

yang telah bergeser.

Diagnostik lainnya telah diusulkan dalam literatur. Misalnya, Murphy (1987) serta

Chua dan Montgomery (1992) telah mengembangkan prosedur berdasarkan analisis

diskriminan, prosedur statistik untuk mengklasifikasikan pengamatan ke dalam kelompok.

Tracy, Mason, dan Young (1996) juga menggunakan dekomposisi dari T 2 untuk tujuan

diagnostik, tetapi prosedur mereka membutuhkan perhitungan yang lebih luas dan

menggunakan dekomposisi lebih rumit daripada persamaan (c1.12).


15/19

15

2. Diagram kontrol T 2 Hotelling data pengamatan individu

Dalam beberapa pengaturan industri ukuran subkelompok secara alami n = 1.

Situasi ini sering terjadi di industri kimia dan proses industri. Sejak industri sering

memiliki beberapa karakteristik kualitas yang harus dipantau, diagram kontrol multivariat

dengan n = 1 akan menarik di sana.

Misalkan sampel m, masing-masing berukuran n = 1, tersedia dan p yang jumlah

karakteristik kualitas diamati pada masing-masing sampel. Biarkan dan S menjadi

sampel berarti vektor dan matriks kovariansi, masing-masing, dari pengamatan ini. The

Hotelling T 2 statistik pada persamaan (c1.9) menjadi2 = −′ −1 − (c2.1)

Tahap II batas kontrol untuk statistik ini adalah

UCL =+1 ( −1)2− , , −

LCL = 0 (c2.2)

Ketika jumlah sampel awal m besar-mengatakan, m> 100-banyak praktisi menggunakan

batas kontrol perkiraan, baik

UCL = −1−, , − (c2.3)atau

UCL=

,2 (c2.4)

Untuk m> 100, persamaan (c2.3) adalah perkiraan yang layak. Batas chi-square dalam

persamaan (c2.4) hanya tepat jika matriks kovarians diketahui, tetapi banyak digunakan

sebagai perkiraan. Lowry dan Montgomery (1995) menunjukkan bahwa batas chi-kuadrat

harus digunakan dengan hati-hati. Jika p besar-mengatakan, p = 10-maka setidaknya 250

sampel harus diambil (m = 250) sebelum batas kendali atas chi-square adalah pendekatan

yang masuk akal untuk nilai yang benar.

Tracy, Young, dan Mason (1992) menunjukkan bahwa jika n = 1, fase I batas harusdidasarkan pada distribusi beta. Hal ini akan menyebabkan tahap I batas didefinisikan

sebagai

UCL =( −1) 2 , 2,( − −1) 2

LCL = 0 (c2.5)


16/19

16

di mana β α, p/2,(m - p -1)/2 adalah persentase poin α atas distribusi beta dengan parameter p/2

dan (m - p - 1)/2. Perkiraan untuk tahap I batas berdasarkan F dan distribusi chi-square

cenderung tidak akurat.

Sebuah masalah yang signifikan dalam hal pengamatan individu memperkirakan

kovarians Matriks Σ. Sullivan dan Woodall (1995) memberikan diskusi yang sangat baik

dan analisis masalah ini, dan membandingkan beberapa estimator. Juga melihat Vargas

(2003) dan Williams, Woodall, Birch, dan Sullivan (2006). Salah satunya adalah "biasa"

estimator yang diperoleh dengan hanya mengumpulkan semua m pengamatan-mengatakan,

S1 =1 −1 − −′ =1

Seperti dalam kasus univariat dengan n = 1, kita akan berharap bahwa S1 akan sensitif

terhadap outlier atau out-of-control pengamatan dalam sampel asli dari pengamatan n.

Kedua estimator [awalnya disarankan oleh Holmes dan MERGEN (1993)] menggunakan

perbedaan antara pasangan berturut pengamatan:

v = x +1 −xi i=1, 2, …, m-1Sekarang mengatur vektor ini menjadi V matriks, di mana

=

v1′

v2′

⋮v −1

′

Penaksir untuk Σ adalah satu-setengah matriks sampel kovarians dari perbedaan-perbedaan

ini:

S2 =1

2

V′ V

( −1) (c2.6)(Sullivan dan Woodall awalnya dinotasikan estimator S 5 ini.)

Contoh Diagram Kontrol T 2 Tabel 11.2 menunjukkan contoh dari Sullivan dan Woodall (1995), di mana mereka

menerapkan prosedur grafik T 2 ke Data Holmes dan Ergenm (1993). Ada 56 pengamatan pada komposisi "grit," di mana L, M, dan S menunjukkan masing-masing persentase

tergolong besar, menengah, dan kecil. Hanya dua komponen pertama digunakan oleh

semua orang


17/19

17

Gambar 5c T 2 peta kendali untuk data pada Tabel 11.2

persentase menambah 100%. Mean vektor untuk data tersebut adalah ′ . Dua matriks

sampel kovarian adalah

S1 =3.770 −5.495−5.495 13.53 dan S2 = 1.562 −2.093−2.093 6.721


18/19

18

Gambar 5c menunjukkan diagram kontrol T 2 dari contoh ini. Sullivan dan Woodall (1995)

menggunakan metode simulasi untuk menemukan batas kontrol yang tepat untuk

kumpulan data ini (probabilitas alarm palsu adalah 0,155). Williams et al. (2006)

mengamati bahwa asimtotik (besar-sampel) distribusi statistik T 2 menggunakan S2 adalah2 . Mereka juga membahas mendekati distribusi. Namun, dengan menggunakan simulasi

untuk menemukan batas kontrol adalah pendekatan yang masuk akal. Perhatikan bahwa

hanya peta kendali pada Gambar. 5c.b didasarkan pada sinyal S2. Ternyata bahwa jika kita

hanya mempertimbangkan sampel 1-24, mean sampel vektor

x1−24′ = 4.23 90.8 dan jika kita hanya mempertimbangkan 32 pengamatan terakhir mean sampel vektor

x25

−56

′ = 6.77 86.3

Ini adalah statistik yang berbeda secara signifikan, sedangkan "dalam" matriks kovarians

tidak berbeda secara signifikan. Ada pergeseran jelas dalam vektor rata-rata berikut sampel

24, dan ini benar terdeteksi oleh peta kendali berdasarkan S2.


19/19

19

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

pembahasan klp 1

Documents