persamaan dan fungsi kuadrat

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 1

CATATAN KULIAH MATEMATIKA TERAPAN 1

Disusun oleh: YULI KUSUMAWATI, S.T., M.T.


4. PERSAMAAN KUADRAT

4.1. Pengertian Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:

ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien, dimana a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan (konstanta) atau disebut juga suku bebas. Berdasarkan nilai a, b, c tersebut, maka terdapat beberapa bentuk persamaan kuadrat: a. Persamaan kuadrat biasa, yaitu x2 + bx + c = 0 b. Persamaan kuadrat sempurna, yaitu x2 + c = 0 c. Persamaan kuadrat tak lengkap, yaitu ax2 + bx = 0 d. Persamaan kuadrat rasional, yaitu ax2 + bx + c = 0

4.2. Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:

a. Pemfaktoran (jika memungkinkan). b. Pelengkapan kuadrat. c. Rumus kuadratik. d. Grafik.

4.2.1. Metode Pemfaktoran Hasil perkalian dari (x+1) (x-3) = x2 - 3x + x – 3, maka proses sebaliknya untuk mengubah x2 - 3x + x – 3 menjadi (x+1) (x-3) disebut pemfaktoran. Teknik pemfaktoran adalah dengan coba-coba (trial and error). Contoh 4.1: Selesaikan persamaan x2 + x – 6 = 0 dengan metode pemfaktoran. Jawab: Faktor dari x2 adalah x dan x, maka letakkan dalam kurung: (x ) (x ) Faktor dari -6 adalah +6 dan -1, atau -6 dan +1, atau +3 dan -2, atau -3 dan +2. Hanya ada satu kombinasi untuk mendapatkan hasil sama dengan +x, yaitu +3 dan -2, sehingga x2 + x – 6 = (x+3) (x-2). Persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0 dapat diubah menjadi (x+3) (x-2) = 0, sehingga penyelesaiannya adalah: (x+3) = 0 , maka x = -3 (x-2) = 0 , maka x = 2 Jadi akar-akar dari x2 + x – 6 = 0 adalah x = -3 dan x = 2. 4.2.2. Metode Pelengkapan kuadrat Bentuk x2 atau (x+2)2 atau (x-3)2 disebut kuadrat sempurna.

Jika x2 = 3, maka x = ±3

Jika (x+2)2 = 5, maka x+2 = ±5, sehingga x = -2±5


Jika (x-3)2 = 8, maka x-3 = ±8, sehingga x = 3±8 Proses menyusun kembali persamaan kuadrat menjadi kuadrat sempurna disebut pelengkapan kuadrat.

(x+a)2 = x2 + 2ax + a2 Untuk membuat bentuk x2 + 2ax + a2 menjadi kuadrat sempurna, maka terlebih dulu mengubah bentuk persamaan tersebut menjadi x2 + 2ax = -a2. Selanjutnya tambahkan (setengah dari koefisien x)2 pada kedua ruas persamaan, yaitu (2a/2)2 = a2, menjadi:

x2 + 2ax + (a2) = -a2 + (a2) atau (x + a) (x + a) = 0 Sehingga akar-akar persamaan tersebut adalah x = -a. Contoh 4.2: Selesaikan persamaan x2 + x – 6 = 0 dengan metode pelengkapan kuadrat. Jawab: Persamaan x2 + x – 6 = 0 dapat diubah menjadi x2 + x = 6

Tambahkan kedua sisi persamaan dengan (setengah dari koefisien x)2 yaitu (1

2)2 , sehingga

bentuk persamaan tersebut menjadi x2 + x + (1

2)2 = 6 + (

1

2)2 atau (x +

1

2)2 = 6 + (

1

2)2

(x + 1

2)2 = 6 + (

1

2)2

(x + 1

2)2 = 6

1

4

x + ½ = √25

4

x = −1

2 ±

5

2

Jadi akar-akar dari x2 + x – 6 = 0 adalah:

x = −1

2 +

5

2 =

4

2 = 2

x = −1

2 -

5

2 = -

6

2 = -3

4.2.3. Metode Rumus Kuadratik Rumus kuadratik dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai konstan a, b dan c dari suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Rumus kuadratik adalah:

Contoh 4.3: Selesaikan persamaan x2 + x – 6 = 0 dengan metode rumus kuadratik. Jawab: Persamaan x2 + x – 6 = 0 mempunyai nilai konstan a = 1, b = 1, dan c = -6 Masukkan nilai a, b, c dalam rumus kuadratik:


x = −(1)±√12−4(1)(−6)

2(1)

= −1±√1+24

2

= −1±√25

2

Jadi akar-akar dari x2 + x – 6 = 0 adalah:

x = −1+√25

2 =

−1+5

2 =

4

2 = 2

x = −1− √25

2 =

−1−5

2 =

−6

2 = -3

4.2.4. Metode Grafik Grafik dari fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai bentuk parabola. Secara umum, parabola akan menghadap ke atas jika nilai a>0, dan menghadap ke bawah jika nilai a<0.

Gambar 4.1. Grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a dan nilai D

Cara menyelesaikan fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan metode grafik sebagai berikut: 1. Buatlah tabel yang memuat nilai x dan nilai y dari fungsi y = ax2 + bx + c, 2. Plot nilai-nilai tersebut pada koordinat Cartesius dan hubungkan titik-titik tersebut

sehingga membentuk kurva mulus. 3. Tandai titik-titik perpotongan pada axis (sumbu x) yaitu titik dimana y = 0. Nilai x dari titik-

titik perpotongan tersebut merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Banyaknya penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat tergantung pada berapa kali kurva memotong sumbu x. Akar dapat berupa akar tidak riil (imajiner), satu akar riil, maupun dua akar riil. Untuk mengetahui jenis akar suatu persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai diskriminannya, yaitu D = b2-4ac.


Jika D > 0 (memotong sumbu x di dua titik yang berbeda), maka kedua akarnya riil dan berlainan.

Jika D = 0 (menyinggung sumbu x di satu titik), maka hanya mempunyai satu akar riil.

Jika D < 0 (tidak memotong maupun menyinggung sumbu x), maka kedua akarnya tidak riil (imajiner).

4. Sumbu simetri parabola terhadap sumbu x dapat dihitung dengan menggunakan rumus x = -b/2a atau x = (x1+x2)/2.

5. Koordinat titik balik maksimum atau minimum dapat dihitung dengan menggunakan rumus x = -b/2a dan y = D/-4a), dimana D = b2-4ac.

Contoh 4.4: Selesaikan persamaan x2 + x – 6 = 0 dengan metode grafik. Jawab: Buatlah tabel yang berisi nilai x dan nilai y dari fungsi y = x2 + x – 6 sebagai berikut:

X -3 -2 -1 0 1 2

Y 0 -4 -6 -6 -4 0

Gambarlah grafik berdasarkan tabel tersebut.

Karena kurva memotong sumbu x di -3 dan 2, maka akar persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0 adalah x = -3 dan x = 2. Pada contoh 4.4 nilai diskriminan dari x2 + x – 6 = 0 adalah: D = b2 - 4ac = 12 - 4.1.(-6) = 25 Berdasarkan nilai diskriminan tersebut (D >0, D = 25 = 52), maka persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0 mempunyai dua akar riil yang berlainan. Sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = x2 + x – 6 adalah: x = -b/2a = -1/2(1) = -1/2 Koordinat titik baliknya adalah: (x;y) = (-b/2a , D/-4a) = (-1/2.1 , 25/(-4.1)) = (-½,-6¼)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3


4.3. Menyusun Persamaan dan Fungsi Kuadrat 4.3.1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka berlaku operasi akar sebagai berikut:

𝑥1 + 𝑥2 = −b

a

𝑥1. 𝑥2 =c

a

Cara menyusun persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x1 dan x2 adalah: a. Menggunakan faktor: (x - x1)(x - x2) = 0 b. Menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarnya: x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 Contoh 4.5: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 2. Jawab: x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 x2 – (-3 + 2) x + (-3) . 2 = 0 x2 + x - 6 = 0 Contoh 4.6: Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - 6 = 0, hitunglah: a. x1 + x2 b. x1 . x2 c. x1

2 + x22

d. 1

𝑥1+

1

𝑥2

Jawab: x2 + x - 6 = 0, mempunyai nilai a = 1, b = 1, dan c = -6

a. 𝑥1 + 𝑥2 = −b

a= −

1

1= −1

b. 𝑥1. 𝑥2 =c

a =

−6

1= −6

c. Bentuk x12 + x2

2 dicari dari persamaan berikut: (x1 + x2)2 = x1

2 + 2 x1 . x2 + x2

2 x1

2 + x2

2 = (x1 + x2)2 - 2 x1 . x2 Selanjutnya masukkan nilai (x1 + x2) dan (x1 . x2) di atas: x1

2 + x2

2 = (-1)2 – 2 (-6) = 1 + 12 = 13

d. 1

𝑥1+

1

𝑥2 =

𝑥2

𝑥1.𝑥2

+ 𝑥1

𝑥1.𝑥2

= 𝑥1 + 𝑥2

𝑥1.𝑥2

=−1

−6=

1

6


Contoh 4.7: Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - 6 = 0, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 -1) dan (x2 -1). Jawab: x2 + x - 6 = 0, mempunyai nilai a = 1, b = 1, dan c = -6

𝑥1 + 𝑥2 = −b

a= −

1

1= −1

𝑥1. 𝑥2 =c

a =

−6

1= −6

Susun persamaan kuadrat dengan akar-akarnya (x1 -1) dan (x2 -1): x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 x2 – ((x1 - 1) + (x2 - 1)) x + (x1 – 1) . (x2 - 1) = 0 x2 – (x1 + x2 - 2) x + x1 . x2 - (x1 + x2) + 1 = 0 Selanjutnya masukkan nilai (x1 + x2) dan (x1 . x2) di atas: x2 – (x1 + x2 - 2) x + x1 . x2 - (x1 + x2) + 1 = 0 x2 – ((-1) - 2) x + (-6) - (-1) + 1 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 Jadi bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 -1 dan x2 -1 adalah x2 + 3x - 4 = 0. Cek untuk jawaban contoh 4.7: Dari contoh 4.3, akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - 6 = 0 adalah -3 dan 2 sehingga nilai dari x1 - 1 = -3 – 1 = -4 dan x2 - 1 = 2 – 1 = 1. Maka bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya -4 dan 1 adalah: x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 x2 – (-4 + 1) x + (-4) . 1 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 (benar) 4.3.2. Menyusun Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat terbesar dari variabelnya adalah dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c adalah bilangan riil dan a 0. Contoh 4.8: Jika f(x) = y = x2 + x – 6, tentukan f(x) jika x = 0 dan x = 2. Jawab: f(0) = 02 + 0 – 6 = -6 (jika x = 0, maka y = -6) f(2) = 22 + 2 – 6 = 0 (jika x = 2, maka y = 0) Fungsi kuadrat dapat disusun sebagai berikut: a. Jika y = f(x) melewati tiga titik yaitu (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3), maka fungsi kuadratnya

dapat disusun dengan memasukkan nilai koordinat ketiga titik tersebut ke dalam rumus


y = ax2 + bx + c sehingga didapat tiga fungsi. Sel3anjutnya koefisien a, b, dan c ditentukan dengan metode eliminasi atau substitusi.

b. Jika y = f(x) memotong sumbu x di titik (x1,0) dan (x2,0) serta melalui titik (x3,y3), maka bentuk fungsi kuadratnya adalah y = a(x - x1)(x - x2). Selanjutnya dari persamaan tersebut dicari nilai koefisien a.

c. Jika y = f(x) melewati titik puncak (xp,yp) dan satu titik lain di (x3,y3), maka bentuk fungsi kuadratnya adalah y = a(x – xp)2 + yp

Contoh 4.9: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik (-2,-4), (-1,-6) dan (2,0). Jawab: Bentuk umum fungsi kuadrat yang melalui tiga titik adalah: y = ax2 + bx + c Masukkan nilai x dan y dari titik-titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat tersebut: -4 = a (-2)2 + b(-2) + c 4a – 2b + c = -4 (1) -6 = a (-1)2 + b(-1) + c a - b + c = -6 (2) 0 = a (2)2 + b(2) + c 4a + 2b + c = 0 (3) Kurangi persamaan (1) dengan persamaan (3): 4a – 2b + c = -4 4a + 2b + c = 0 _ -4b = -4 b = 1 (4) Kurangi persamaan (1) dengan persamaan (2): 4a – 2b + c = -4 a - b + c = -6 _ 3a - b = 2 (5) Substitusikan nilai b ke dalam persamaan (5): 3a - b = 2 3a – 1 = 2 3a = 3 a = 1 (6) Substitusikan nilai a dan b ke dalam persamaan (2): a - b + c = -6 (1) – (1) + c = -6 c = -6 Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik (-2,-4), (-1,-6) dan (2,0) adalah: y = ax2 + bx + c y = (1)x2 + (1)x + (-6) y = x2 + x – 6 Contoh 4.10: Tentukan fungsi kuadrat yang titik puncak grafiknya adalah (-½,-6¼) dan melalui titik (-1,-6): Jawab: Bentuk umum fungsi kuadrat dengan titik puncak (p,q) dan melalui titik (x,y) adalah: y = a(x-p)2 + q Masukkan koordinat titik puncak ke dalam fungsi kuadrat tersebut: y = a (x-(-½))2 + (-6¼) y = a (x+½)2 - 6¼


Masukkan koordinat titik yang melalui grafik fungsi kuadrat tersebut: y = a (x+½)2 - 6¼ -6 = a (-1+½)2 - 6¼ -6 = a (-½)2 - 6¼ ¼a = -6 + 6¼ a = 1 Jadi fungsi kuadrat yang titik puncak grafiknya (-½,-6¼) dan melalui titik (-1,-6) adalah: y = a(x-p)2 + q y = 1(x-(-½))2 + (-6¼) y = (x+½)2 - 6¼ y = x2 + 2 (½) x + (½)2 - 6¼ y = x2 + x - 6 Contoh 4.11: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-3,0) dan (2,0) serta melalui titik (-1,-6): Jawab: Bentuk umum fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (x1,0) dan (x2,0) serta melalui titik (x3,y3) adalah: y = a(x - x1)(x - x2) Masukkan koordinat titik potong tersebut ke dalam fungsi kuadrat: y = a(x - x1)(x - x2) y = a(x – (-3))(x – (2)) y = a(x + 3)(x - 2) Masukkan koordinat titik yang melalui grafik fungsi kuadrat tersebut: y = a(x + 3)(x - 2) -6 = a((-1) + 3)((-1) - 2) -6 = a(2)(-3) -6a = -6 a = 1 Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-3,0) dan (2,0) serta melalui titik (-1,-6) adalah: y = a(x - x1)(x - x2) y = 1(x – (-3))(x – (2)) y = (x + 3)(x - 2) y = x2 + x - 6

4.4. Aplikasi Persamaan Kuadrat Contoh 4.12: Di tengah-tengah suatu persil berbentuk persegi panjang dengan luas 1000m2 akan dibangun suatu gudang berbentuk kotak. Di sekeliling batas persil tersebut diberi pagar berarus listrik. Jika gudang yang akan dibangun berukuran 40m x 10m, hitunglah jarak antara sisi-sisi gudang dengan pagar persil. Jawab: Luas persil (A) = (40 + 2x) (10 + 2x) 1000 = 400 + 80x + 20x + 4x2 4x2 + 100x – 600 = 0


Akar-akar persamaan dihitung dengan rumus kuadratik: Persamaan 4x2 + 100x – 600 = 0 mempunyai nilai konstan a = 4, b = 100, dan c = -600 Masukkan nilai a, b, c dalam rumus kuadratik:

x = −b±√b2−4ac

2a

= −(100)±√1002−4(4)(−600)

2(4)

= −100±√10000+9600

8

= −100±√19600

8

= −100±140

8

Jadi akar-akar dari 4x2 + 100x – 600 = 0 adalah:

x = −100+140

8=

40

8= 5

x = −100−140

8=

−240

8= −30 (karena ukuran tidak bernilai negatif, maka hasil ini diabaikan)

Jadi jarak sisi-sisi gudang dengan pagar persil adalah 5m. Contoh 4.13: Untuk keperluan suatu survey dilakukan perjalan melintasi Sungai Mahakam dengan menggunakan perahu mesin. Jarak dari hilir ke hulu adalah 15km. Waktu yang diperlukan dari hilir ke hulu dan kembali lagi ke hilir adalah 3 jam. Jika kecepatan arus sungai 2km/jam saat menuju hilir, hitunglah berapa kecepatan perahu tersebut. Jawab: Misalkan kecepatan perahu di air = x dan kecepatan perahu relatif terhadap daratan = v. Kecepatan perahu saat menuju ke hulu: v = x – 2 Kecepatan perahu saat kembali ke hilir hulu: v = x + 2 Waktu = jarak / kecepatan Total waktu perjalanan = waktu ke hulu + waktu ke hilir 3 = 15/(x-2) + 15/(x+2) Kalikan kedua ruas dengan (x-2)(x+2): 3 (x-2)(x+2) = 15 (x+2) + 15 (x-2) 3(x2-4) = 15x+30 + 15x-30 3x2 - 30x - 12 = 0 Akar-akar persamaan dihitung dengan rumus kuadratik:


Persamaan 3x2 - 30x - 12 = 0 mempunyai nilai konstan a = 3, b = -30, dan c = -12

Masukkan nilai a, b, c dalam rumus kuadratik:

x = −b±√b2−4ac

2a

= −(−30)±√302−4(3)(−12)

2(3)

= 30±√900+144

6

= 30±√1044

6

= 30±32,31

6

Jadi akar-akar dari 3x2 - 30x - 12 = 0 adalah:

x = 30+32,31

6=

62,31

6= 10,39

x = 30−32,31

6=

−2,31

6= −0,39 (karena ukuran tidak bernilai negatif, maka hasil ini diabaikan)

Jadi kecepatan perahu tersebut adalah 10,39m/jam.

persamaan dan fungsi kuadrat

Education