MODUL KULIAH ALJABAR LINIER PKKP- STTI NIIT I-TECH

Mata KuliahALJABAR LINIER

SemesterI

KelasPKKP SISTEM INFORMASI & TEKNIK INFORMATIKA

DosenIr. Dwi Martisunu, M.Si

Pertemuan : 9 (Sembilan) Waktu : Minggu, 20 Mei 2012

Modul9 (Mei)

TopikPersamaan Linier Simultan Homogen

Sub TopikPerhitungan Persamaan Linier Simultan Homogen

Materi Perhitungan dari Persamaan Linier Simultan Homogen dengan metode Substitusi dan eliminasi Gauss Jordan

Tujuan Menjelaskan Cara menghitung Persamaan Linier Simultan Homogen dengan metode substitusi dan eliminasi gauss jordan.

PERSAMAAN LINIER SIMULTAN HOMOGEN

Persamaan Linier Simulatan Homogen adalah sejumlah persamaan linier di mana sisi sebelah kanan (SBK) dari persamaan tersebut adalah nol (atau B = 0):

Bentuk Dasar Persamaan Linier Simultan Homogen :

a11, x1 + a12 x2 + .. + .. + an xn = 0a21, x1 + a22 x2 + .. + .. + a2n xn = 0am1, x1 + am2 x2 + .. + .. + amn xn = 0

a11a12anx10

A = a21a22a2nX = x2B = 0

am1am2amnXn0

A = Matriks Koefisien Persamaan Linier simultan aij = i = 1, 2, ,m dan j = 1, 2, , nX = matrik kolom bilangan yang tidak diketahui

Persamaan di atas dapat di tulis sebagai berikut : AX = 0, Contoh : 1. Dua (2) Persamaan Linier Homogen dengan 3 variabel :Xi + 2X2 + 3X3 = 03Xi - X2 + X3 = 0

2. Tiga (3) Persamaan Linier Homogen dengan 3 variabel :Xi + X2 - X3 = 02Xi - 3X2 + X3 = 0Xi - 4X2 + 2X3 = 0

a11a12an.anX10

a21a22a2n.a2nX20

A =............=..

ai1ai2aij.ainXi0

...........

am1am2amn.amn.0

AX = 0Keterangan : I A I = Determinan matriks koefisien persamaan linier m = Jumlah baris n = Jumlah Kolom Unique = Hanya 1 solusi (sistem konsisten) atau trivial Infinite = Banyak solusi (sistem konsisten) atau non trivial Jika rank (A) = n dimana n = jumlah bilangan yang tidak diketahui dan det (A) tidak sama dengan nol, penyelesaian persamaan adalah trivial (unique yaitu X = 0 atau X1 , X2,Xn = 0.)

Metode penyelesaian Persamaan Linier Simultan Homogen dapat digunakan dengan:Metode Substitusi dan Metode Eliminasi Gauss Jordan

METODE SUBSTITUSI Menyelesaikan sistem persamaan linier homogen dengan mengeliminasi variabel variabelnya: 1. Mempersingkat sistem persamaan linier dan variabel yang besar menjadi lebih kecil. Dengan cara mengambil salah satu persamaan untuk ditambahkan atau disubstitusi ke persamaan linier yang lain untuk mengeliminasi variabel tertentu.2. Memecahkan sistem persamaan yang lebih kecil itu menjadi persamaan linier dengan satu variabel menggunakan penambahan atau substitusi. Penyelesaian persamaan itu akan mendapatkan nilai variabel pertama. 3. Mendapatkan variabel kedua dengan cara memasukkan nilai variabel yang pertama ke ke persamaan linier lainnya.4. Menggunakan nilai variabel pertama dan kedua untuk mendapatkan nilai variabel lainnya, dan akhirnya diperoleh seluruh nilai X1, X2 , , dan Xn

Contoh : Persamaan Linier Homogen (Metode Substitusi)1. Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini :2Xi + 3X2 = 04Xi + 6X2 = 0Jawab : - 32X1 + 3X2 = 0 2X1 = - 3X2 x1 = ------ X2 (1) 2

4X1 + 6X2 = 0 (dibagi 2) 2X1 + 3X2 = 0 2X1 = - 3X2

- 3X1 = ------ X2 (2) 22. Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini : Xi + 2X2 + 3X3 = 03Xi - X2 + X3 = 0Jawab : X1 + 2X2 + 3X3 = 0 X1 = - 2X2 3X3 (1)

3Xi - X2 + X3 = 0 (2)

Substitusi ke persamaan (1) ke dalam persamaan (2)

3 (- 2X2 3X3 ) - X2 + X3 = 0

- 6X2 9X3 - X2 + X3 = 0

- 7X2 8X3 = 0

- 7X2 = 8X3 = 0

X2 = 8X3 (3)

7

( Lanjutan nomor 2 )

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) :

- 8X1 = - 2 ( -----) X3 3X3 7

- 16X1 = (-------) X3 3X3 7

- 5X1 = (----- ) X3 7

- 8X2 = (----- ) X3 7

X2 = 1

3. Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini : Xi + X2 - X3 = 02Xi - 3X2 + X3 = 0 Xi - 4X2 + 2X3 = 0

Jawab :X1 + X2 - X3 = 0 X1 = - X2 + X3 (1)2Xi - 3X2 + X3 = 0 (2) Xi - 4X2 + 2X3 = 0 (3)

Substitusi ke persamaan (1) ke dalam persamaan (2)

2Xi - 3X2 + X3 = 0

2(- X2 + X3) - 3X2 + X3 = 0

-2X2 + 2X3 - 3X2 + X3 = 0 3-5X2 + 3X3 = 0 X2 = ----- X3 5

( Lanjutan nomor 3 )

Substitusi ke persamaan (1) ke dalam persamaan (3)

X1 - 4(- X1 + X3) + 2X3 = 0

X1 - 4 X1 - 4X3 + 2X3 = 0 25X1 - 2X2 = 0 X1 = ----- X3 5 2X1 = (---- ) X3 5

3X2 = (----- ) X3 5

X3 = 1

METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN Persamaan linier homgen dalam bentuk persamaan matriks membentuk matriks ekstensi dari matriks Amxn menjadi Amxn+1` dengan meletakkan vektor kolom Bn (sisi sebelah kanan persamaan) pada kolom ke n+1 pada matriks Amxn+1 . Kemudian matriks ekstensi tersebut ditranformasi menjadi matriks diagonal atau identitas melalui Operasi Baris Elementer (OBE) atau Eliminasi Gauss Jordan. Eliminasi Gauss Jordan dilakukan untuk menghapus (Meng-nol-kan) semua elemen yang ada di sebelah kiri / bawah dan kanan / atas diagonal utama matriks Anxn (matriks koefisien persamaan linier suimultan homogen).

a11a12an.anX10a11a12an0

a21a22a2n.a2nX20a21a22a2n0

A =............=..=......0OBE

ai1ai2aij.ainXi0ai1ai2aij0

.................0

am1am2amn.amn.0am1am2amn0

AX = B AB Operasi Baris Elementer (OBE)Contoh : Persamaan Linier Homogen (Metode Gauss Jordan)1. Tentukan penyelesaian persamaan linier homogen berikut ini :2Xi + 3X3 = 04Xi + 6X2 = 0Jawab :2X1 + 3X3 = 0 4Xi + 6X2 = 0 23X1=0

46X20

230b21(-2)230

460000

3 Dari matriks ekstensi menunjukkan bahwa : 2 X1 = - 3 X2 atau X1 = --- X2 , X2 = 1 22. Tentukan penyelesaian persamaan linier homogen berikut ini :Xi + 2X2 + 3X3 = 03Xi - X2 + X3 = 0Jawab :Xi + 2X2 + 3X3 = 03Xi - X2 + X3 = 0

123Xi =0

3-11X20

1230b21(-3)1230b2(1/7)1230

3-1100-7-80018/70

1230b12(-2)105/70

018/70018/70

Dari matriks ekstensi menunjukkan bahwa :

5 8 X1 = - ---- X3 ; X2 = --- X3 , X3 = 17 7

3. Tentukan penyelesaian persamaan linier homogen berikut ini :

Xi + X2 - X3 = 02Xi - 3X2 + X3 = 0 Xi - 4X2 + 2X3 = 0

Jawab :

Xi + X2 - X3 = 02Xi - 3X2 + X3 = 0 Xi - 4X2 + 2X3 = 0

11-1Xi =0

2-31X20

1-42X30

11-10b21(-2)11-10b32(-1)11-10

2-3100-5300-530

1-420b31(-1)0-5300000

11-10b2(-1/5)11-1010-2/50

0-53001-3/5001-3/50

000000000000

Dari matriks ekstensi menunjukkan bahwa :

2 3 X1 = ---- X3 ; X2 = --- X3 , X3 = 05 5

1