sesi 3 persamaan linier simultan

of 63/63
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Oleh: I Made Wirawan

Post on 18-Feb-2016

28 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

komnum

TRANSCRIPT

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Penyelesaian Persamaan Linier SimultanOleh:I Made WirawanPersamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebasBentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas

aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultanxi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Persamaan Linier SimultanPenyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

AX = BMatrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

Persamaan Linier SimultanPersamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi :Tidak mempunyai solusiTepat satu solusiBanyak solusi

Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:Augmented (A) = [A B]

Contoh 1 :Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?Contoh 1Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :x = jumlah boneka Ay = jumlah boneka B

Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82Kancing6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62

Atau dapat dituliskan dengan :10 x + 8 y = 826 x + 8 y = 62

Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.Contoh 2 :Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut :

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1234Contoh 2 :4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + dTitik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + dTitik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + dTitik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

Contoh 2 :Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

Theorema Penyelesaian Persamaan Linier Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn 0.Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.Metode NumerikMetode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss-JordanMetode Iterasi Gauss-SeidelMetode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

Metode Eliminasi Gaussubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Operasi Baris ElementerMetode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan

Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian langkah yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Multiply an equation through by an nonzero constant. 2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.

Metode Eliminasi GaussSehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

Contoh :Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Contoh :Lakukan operasi baris elementer

Contoh :Penyelesaian :

Echelon FormsThis matrix which have following properties is in reduced row-echelon form (Example 1, 2). 1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1. 2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are grouped together at the bottom of the matrix. 3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row. 4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.A matrix that has the first three properties is said to be in row-echelon form (Example 1, 2).A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-echelon form, but not conversely.Example 1Row-Echelon & Reduced Row-Echelon formreduced row-echelon form:

row-echelon form:

Example 2More on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon formAll matrices of the following types are in row-echelon form ( any real numbers substituted for the *s. ) :

All matrices of the following types are in reduced row-echelon form ( any real numbers substituted for the *s. ) :ContohSolusi dari Sistem Pers Linier

Solution (a) Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.Example 3Solutions of Four Linear Systems (b1)

Solution (b)

leading variablesfree variablesExample 3Solutions of Four Linear Systems (b2)

Free variabel kita misalkan dengan t. Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya.Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusiExample 3Solutions of Four Linear Systems (c1)

Solution (c) Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikanExample 3Solutions of Four Linear Systems (c2)

Solution (c) Selesaikan leading variabel dengan free variabel

3. Free variabel kita misalkan dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

Solution (d): Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier

Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi

Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)

Solution (d): the last equation in the corresponding system of equation is

Since this equation cannot be satisfied, there is no solution to the system.

Elimination Methods (1/7)We shall give a step-by-step elimination procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.

Elimination Methods (2/7)Step1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros.

Step2. Interchange the top row with another row, to bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.

Leftmost nonzero column

The 1th and 2th rows in the preceding matrix were interchanged.Elimination Methods (3/7)Step3. If the entry that is now at the top of the column found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.

Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entires below the leading 1 become zeros.

The 1st row of the preceding matrix was multiplied by 1/2.

-2 times the 1st row of the preceding matrix was added to the 3rd row.Elimination Methods (4/7)Step5. Now cover the top row in the matrix and begin again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form.

The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1.

Leftmost nonzero column in the submatrixElimination Methods (5/7)Step5 (cont.)

-5 times the 1st row of the submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.

The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1. The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1.Leftmost nonzero column in the new submatrix The entire matrix is now in row-echelon form.Elimination Methods (6/7)Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1s.

7/2 times the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row.

-6 times the 3rd row was added to the 1st row. The last matrix is in reduced row-echelon form.5 times the 2nd row was added to the 1st row.Elimination Methods (7/7)Step1~Step5: the above procedure produces a row-echelon form and is called Gaussian elimination.Step1~Step6: the above procedure produces a reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination.Every matrix has a unique reduced row-echelon form but a row-echelon form of a given matrix is not unique.Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss JordanMetode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan atau:

Contoh :Selesaikan persamaan linier simultan:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan

Lakukan operasi baris elementer

Penyelesaian persamaan linier simultan :x1 = 2 dan x2 = 1Contoh :

B2-2B1B2-2B1B3-3B1B3-3B1Example 3Using Elementary row Operations(2/4)

B2 B2B3-3B2B3-3B2Example 3Using Elementary row Operations(3/4)

-2 B3-2 B3B1- B2B1- B2Example 3Using Elementary row Operations(4/4)

Solusi x = 1, y=2 dan z=3B2 + 7/2 B3B1 - 11/2 B3B2 + 7/2 B3B1 - 11/2 B3Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

Metode Iterasi Gauss-SeidelDengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.Untuk mengecek kekonvergenan

CatatanHati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah masalah pivoting yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

ContohBerikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0Susun persamaan menjadi:

(5,1)

(4,3/2)

(7/2,7/4)Contoh

(13/4 , 15/8)

(25/8 , 31/16)

(49/16 , 63/32 )

(97/32 , 127/64)Contoh :Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Hasil Divergen

Hasil Konvergen

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

SoalSelesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8-x1 2x1 + 3x3 = 13x1 7x2 + 4x3 = 10

x y + 2z w = -12x + y - 2z -2w = -2-x + 2y 4z + w = 1 3x - 3w = -3

Selesaikan dg Gauss Seidel5x1 + 2x2 + 6x3 = 0-2x1 + x2 + 3x3 = 0

X1 2x2 + x3 4x4 = 1X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2X1 12x2 11x3 16x4 = 5

Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier SimultanMr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

Model Sistem Persamaan Linier :Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:x1 adalah jumlah boneka Ax2 adalah jumlah boneka BPerhatikan dari pemakaian bahan :B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36

Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 802 x1 + 6 x2 = 36Contoh 1 :metode eliminasi Gauss-Jordan

Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan PolinomialPerhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1234Contoh 2 :Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + dTitik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + dTitik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + dTitik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

a = -0,303b = 6,39c = -36,59d = 53,04

y = -0,303 x3 + 6,39 x2 36,59 x + 53,04