BAHAN AJAR

PROGRAM LINIER

Bahan Ajar ini disusun dengan dana hibah dari dikti

Untuk STKIP YPM Bangko

HAYATUL MUGHIROH,S.Pd.I

NIDN. 1010108002

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

STKIP YPM BANGKO

2013

ii

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah SWT, karena berkat

rahmat dan karunia-Nya jugalah penulis berhasil menyelesaikan bahan ajar ini.

Penulisan bahan ajar ini bertujuan untuk membantu mahasiswa melengkapi bahan

bacaan yang diperlukan dalam mengikuti perkuliahan Program Linier (PL) yang

merupakan salah satu mata kuliah wajib diikuti pada Program Studi Pendidikan

Matemtika STKIP YPM Bangko.

Bahan ajar ini terdiri dari beberapa Bab sesuai standar kompetensi program

linier yang mengacu dengan kebutuhan dan tuntunan kurikulum di STKIP YPM

Bangko. Setelah mempelajari program linier, mahasiswa diharapkan mampu memahami

: (1) Sistem persamaan linier (2) Persoalan Optimasi dalam PL dan menyelesaikan PL

dengan metode grafik PL, (3) Metode Simpleks : pengantar metode simpleks, metode

simpleks maksimasi dan minimasi, contoh contoh persoalan PL maksimasi dan

minimasi dan penyelesaiannya dengan dengan metode simpleks, (4) Persoalan Dualitas

: kaidah kaidah transformasi dual, teorema teorema dual, dan pemecahan dual, serta

mampu menerapkan konsep PL untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari

hari.

Penyusunan bahan ajar ini telah banyak dibantu oleh berbagai pihak, untuk itu

pada kesempatan ini penyusun mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya

kepada:

1. Dra. Elfa Eriyani,M.Pd., selaku Ketua STKIP YPM Bangko.

2. Dr. Yusrizal,M.Pd., selaku Pembantu Ketua I STKIP YPM Bangko.

3. Dra. Fatimah AS,M.Pd, selaku pembimbing penyusunan bahan ajar.

4. Ahde Fitri,S.Pd.,M.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan MIPA STKIP YPM

Bangko.

5. Semua dosen di lingkungan Program Studi Pendidikan Matematika.

Penyusunan bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Saran dan kritik yang

konstruktif akan sangat membantu dalam menyempurnakan bahan ajar ini di masa yang

akan datang. Semoga bahan ajar ini akan membantu kelancaran perkuliahan dan

bermanfaat bagi para pembaca.

Penyusun

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................... i

DAFTAR ISI .................................................................................................. ii

BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER

A. Pendahuluan ................................................................................ 1

B. Sistem Persamaan ....................................................................... 1

C. Sistem Pertidaksamaan Linier .................................................... 13

D. Rangkuman ................................................................................. 17

E. Uji Kompetensi ........................................................................... 17

BAB II PERSOALAN OPTIMASI

A. Pendahuluan ................................................................................ 20

B. Permasalahan Optimasi ............................................................... 21

C. Model Matematika Masalah Program Linier .............................. 24

D. Rangkuman ................................................................................. 27

E. Uji Kompetensi ........................................................................... 27

BAB III METODE SIMPLEKS

A. Pendahuluan ................................................................................ 29

B. Masalah Dua Variabel......................................................... ....... 31

C. Masalah Tiga Variabel..................................................... ........... 38

D. Rangkuman ................................................................................. 43

E. Uji Kompetensi ........................................................................... 44

BAB IV METODE SIMPLEX SEBAGAI PROSEDUR PERHITUNGAN

DAN PERMASALAHAN DUAL

A. Pendahuluan...................................................................... ....... 47

B. Metode Simpleks sebagai Prosedur Perhitungan ..................... 48

C. Rumus Transformasi ... .......................................................... 55

D. Analisis Primal Dual................................................................. 66

E. Uji Kompetensi ......................................................................... 75

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 79

Program Linier 4

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINIER

A. Pendahuluan

Hans Frederich Blichfieldt lahir di kota Illear, Denmark pada tanggal

9 Januari 1873. Sejak kecil dia sudah menunjukkan kemampuannya dalam

matematika. Ia mendapat gelar sarjana dalam bidang matematika. Beberapa

topik yang ditemukannya antara lain penyelesaian persamaan linier. Frederich

meninggal di Paloseto, Calivornia tanggal 16 November 1945.

Penyelesaian persamaan linier ini akan bermanfaat dalam kehidupan

sehari-hari, karena masalah-masalah yang disajikan dalam persamaan linier

berawal dari aktivitas nyata yang ditemukan di sekitar kita. Penyelesaian ini

akan lebih banyak digunakan oleh pedangang, pengusaha atau pembeli dalam

hal berbisnis

B. Sistem Persamaan

Sebuah garis dalam bidang xy merupakan himpunan pasangan

berurutan (x,y), secara aljabar dapat dinyatakan dengan persamaan yang

berbentuk:

a11 x + a12y = b1 ................1) disebut persamaan linier, sebab pangkat dari

variabel (peubah) x dan y adalah satu.

Kompetensi Dasar 1. Menyelesaikan persoalan sistem persamaan linier 1, 2 dan 3 variabel

2. Merubah persamaan linier ke dalam bentuk matriks

Indikator

Mahasiswa diharapkan mampu: 1.1. menyelesaikan permasalahan sistem persamaan linier

1.2. menganalisis sistem persamaan linier dalam soal cerita

1.3. menciptakan masalah persamaam linier dari kehidupan sehari hari

2.1. mengidentifikasi permasalahan sistem persamaan linir

2.2. merubah sistem persamaan linier ke dalam bentuk mat

2.3. memberikan contoh persamaan linier yang dapat diubah dalam bentuk matrik

Program Linier 5

Secara lebih umum, sebuah persamaan linier dalam n variaberl x1,x2,. .

. xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

a11 x 1 + a12x2 + ... + a1nx n =b1 ................2) dimana a11, a12, ... ain, dan b1

adalah konstanta linier.

Sebuah pemecahan (penyelesaian/solusi) dari persamaan ................2)

mengandung pengertian terdapat sebuah urutan dari n bilangan s1, x2, . . . . , sn

yang apabila disubtitusikan secara berurutan menggantikan x1, x2 , . . . , xn

akan memenuhi persamaan itu (persamaan menjadi kesamaan yang benar).

Himpunan semua persamaan seperti itu disebut himpunan pemecahan

(bilangan penyelesaian). Sebuah sistem persamaan linier adalah kumpulan

(himpunan terhingga) persamaan linier ini di dalam variabel x1, x2, . . . , xn.

Dalam bentuk umum, sebuah sistem persamaan dapat dirumuskan sebagai

berikut :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

.

.................... 3)

.

.

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Sama halnya dengan sebuah persamaan, himpunan pemecahan sebuah

sistem persamaan linier adalah sebuah urutan dari bilangan-bilangan s1, x2, . . .

. , sn yang bila dipakai untuk menggantikan x1, x2 , . . . , xn memenuhi sistem

persamaan itu. Pada sistem persamaan linier akan ada 3 kemungkinan yaitu :

.

1. Pemecahan dengan menggunakan aturan Cramer

Perhatikan :

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Program Linier 6

Dengan bantuan pengertian matrik sistem linier diatas dapat

dinyatakan sebagai sebuah persamaan matriks.

[

] [

] [

]

dengan [

] [

] [

]

terdapat dua kemungkinan :

1. Bila determinan (A) = 0, maka tidak terdapat A-1

2. Bila determinan (A) 0, maka terdapat A-1

Ingat, determinan (A) atau det (A) = a11a22 - a12x21 .

Selanjutnya, untuk memperoleh pasangan (x1 , x2) yang

memperoleh pemecahan sistem persamaan diatas Cramer

mengembangkan aturan sebagai berikut :

Dimana :

Dengan demikian terdapat kemungkinan :

1.

memeperlihatkan sistem persamaan tidak mempunyai pemecahan.

Secara geometris kedua garis lurus itu sejajar.

tidak ada pemecahan

Contoh :

sistem persamaan yang tidak mempunyai

penyelesaian

Program Linier 7

tidak (konsisten)

2. memperlihatkan

sistem persamaan mempunyai banyak pemecahan. Secara

geometris kedua garis lurus itu berimpit.

tak

terhing

ga

pemeca

han

Contoh :

sistem persamaan yang mempunyai tak

terhingga

banyaknya penyelesaian (konsisten)

3.