program linier - · pdf filevariabel (peubah) x dan y adalah satu. kompetensi dasar 1....

of 78 /78
BAHAN AJAR PROGRAM LINIER Bahan Ajar ini disusun dengan dana hibah dari dikti Untuk STKIP YPM Bangko HAYATUL MUGHIROH,S.Pd.I NIDN. 1010108002 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA STKIP YPM BANGKO 2013

Author: lydat

Post on 05-Feb-2018

294 views

Category:

Documents


5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • BAHAN AJAR

    PROGRAM LINIER

    Bahan Ajar ini disusun dengan dana hibah dari dikti

    Untuk STKIP YPM Bangko

    HAYATUL MUGHIROH,S.Pd.I

    NIDN. 1010108002

    PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

    JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

    STKIP YPM BANGKO

    2013

  • ii

    KATA PENGANTAR

    Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah SWT, karena berkat

    rahmat dan karunia-Nya jugalah penulis berhasil menyelesaikan bahan ajar ini.

    Penulisan bahan ajar ini bertujuan untuk membantu mahasiswa melengkapi bahan

    bacaan yang diperlukan dalam mengikuti perkuliahan Program Linier (PL) yang

    merupakan salah satu mata kuliah wajib diikuti pada Program Studi Pendidikan

    Matemtika STKIP YPM Bangko.

    Bahan ajar ini terdiri dari beberapa Bab sesuai standar kompetensi program

    linier yang mengacu dengan kebutuhan dan tuntunan kurikulum di STKIP YPM

    Bangko. Setelah mempelajari program linier, mahasiswa diharapkan mampu memahami

    : (1) Sistem persamaan linier (2) Persoalan Optimasi dalam PL dan menyelesaikan PL

    dengan metode grafik PL, (3) Metode Simpleks : pengantar metode simpleks, metode

    simpleks maksimasi dan minimasi, contoh contoh persoalan PL maksimasi dan

    minimasi dan penyelesaiannya dengan dengan metode simpleks, (4) Persoalan Dualitas

    : kaidah kaidah transformasi dual, teorema teorema dual, dan pemecahan dual, serta

    mampu menerapkan konsep PL untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari

    hari.

    Penyusunan bahan ajar ini telah banyak dibantu oleh berbagai pihak, untuk itu

    pada kesempatan ini penyusun mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya

    kepada:

    1. Dra. Elfa Eriyani,M.Pd., selaku Ketua STKIP YPM Bangko.

    2. Dr. Yusrizal,M.Pd., selaku Pembantu Ketua I STKIP YPM Bangko.

    3. Dra. Fatimah AS,M.Pd, selaku pembimbing penyusunan bahan ajar.

    4. Ahde Fitri,S.Pd.,M.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan MIPA STKIP YPM

    Bangko.

    5. Semua dosen di lingkungan Program Studi Pendidikan Matematika.

    Penyusunan bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Saran dan kritik yang

    konstruktif akan sangat membantu dalam menyempurnakan bahan ajar ini di masa yang

    akan datang. Semoga bahan ajar ini akan membantu kelancaran perkuliahan dan

    bermanfaat bagi para pembaca.

    Penyusun

  • iii

    DAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR .................................................................................... i

    DAFTAR ISI .................................................................................................. ii

    BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER

    A. Pendahuluan ................................................................................ 1

    B. Sistem Persamaan ....................................................................... 1

    C. Sistem Pertidaksamaan Linier .................................................... 13

    D. Rangkuman ................................................................................. 17

    E. Uji Kompetensi ........................................................................... 17

    BAB II PERSOALAN OPTIMASI

    A. Pendahuluan ................................................................................ 20

    B. Permasalahan Optimasi ............................................................... 21

    C. Model Matematika Masalah Program Linier .............................. 24

    D. Rangkuman ................................................................................. 27

    E. Uji Kompetensi ........................................................................... 27

    BAB III METODE SIMPLEKS

    A. Pendahuluan ................................................................................ 29

    B. Masalah Dua Variabel......................................................... ....... 31

    C. Masalah Tiga Variabel..................................................... ........... 38

    D. Rangkuman ................................................................................. 43

    E. Uji Kompetensi ........................................................................... 44

    BAB IV METODE SIMPLEX SEBAGAI PROSEDUR PERHITUNGAN

    DAN PERMASALAHAN DUAL

    A. Pendahuluan...................................................................... ....... 47

    B. Metode Simpleks sebagai Prosedur Perhitungan ..................... 48

    C. Rumus Transformasi ... .......................................................... 55

    D. Analisis Primal Dual................................................................. 66

    E. Uji Kompetensi ......................................................................... 75

    DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 79

  • Program Linier 4

    BAB I

    SISTEM PERSAMAAN LINIER

    A. Pendahuluan

    Hans Frederich Blichfieldt lahir di kota Illear, Denmark pada tanggal

    9 Januari 1873. Sejak kecil dia sudah menunjukkan kemampuannya dalam

    matematika. Ia mendapat gelar sarjana dalam bidang matematika. Beberapa

    topik yang ditemukannya antara lain penyelesaian persamaan linier. Frederich

    meninggal di Paloseto, Calivornia tanggal 16 November 1945.

    Penyelesaian persamaan linier ini akan bermanfaat dalam kehidupan

    sehari-hari, karena masalah-masalah yang disajikan dalam persamaan linier

    berawal dari aktivitas nyata yang ditemukan di sekitar kita. Penyelesaian ini

    akan lebih banyak digunakan oleh pedangang, pengusaha atau pembeli dalam

    hal berbisnis

    B. Sistem Persamaan

    Sebuah garis dalam bidang xy merupakan himpunan pasangan

    berurutan (x,y), secara aljabar dapat dinyatakan dengan persamaan yang

    berbentuk:

    a11 x + a12y = b1 ................1) disebut persamaan linier, sebab pangkat dari

    variabel (peubah) x dan y adalah satu.

    Kompetensi Dasar 1. Menyelesaikan persoalan sistem persamaan linier 1, 2 dan 3 variabel

    2. Merubah persamaan linier ke dalam bentuk matriks

    Indikator

    Mahasiswa diharapkan mampu: 1.1. menyelesaikan permasalahan sistem persamaan linier

    1.2. menganalisis sistem persamaan linier dalam soal cerita

    1.3. menciptakan masalah persamaam linier dari kehidupan sehari hari

    2.1. mengidentifikasi permasalahan sistem persamaan linir

    2.2. merubah sistem persamaan linier ke dalam bentuk mat

    2.3. memberikan contoh persamaan linier yang dapat diubah dalam bentuk matrik

  • Program Linier 5

    Secara lebih umum, sebuah persamaan linier dalam n variaberl x1,x2,. .

    . xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

    a11 x 1 + a12x2 + ... + a1nx n =b1 ................2) dimana a11, a12, ... ain, dan b1

    adalah konstanta linier.

    Sebuah pemecahan (penyelesaian/solusi) dari persamaan ................2)

    mengandung pengertian terdapat sebuah urutan dari n bilangan s1, x2, . . . . , sn

    yang apabila disubtitusikan secara berurutan menggantikan x1, x2 , . . . , xn

    akan memenuhi persamaan itu (persamaan menjadi kesamaan yang benar).

    Himpunan semua persamaan seperti itu disebut himpunan pemecahan

    (bilangan penyelesaian). Sebuah sistem persamaan linier adalah kumpulan

    (himpunan terhingga) persamaan linier ini di dalam variabel x1, x2, . . . , xn.

    Dalam bentuk umum, sebuah sistem persamaan dapat dirumuskan sebagai

    berikut :

    a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

    a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

    .

    .................... 3)

    .

    .

    am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

    Sama halnya dengan sebuah persamaan, himpunan pemecahan sebuah

    sistem persamaan linier adalah sebuah urutan dari bilangan-bilangan s1, x2, . . .

    . , sn yang bila dipakai untuk menggantikan x1, x2 , . . . , xn memenuhi sistem

    persamaan itu. Pada sistem persamaan linier akan ada 3 kemungkinan yaitu :

    .

    1. Pemecahan dengan menggunakan aturan Cramer

    Perhatikan :

    a11x1 + a12x2 = b1

    a21x1 + a22x2 = b2

  • Program Linier 6

    Dengan bantuan pengertian matrik sistem linier diatas dapat

    dinyatakan sebagai sebuah persamaan matriks.

    [

    ] [

    ] [

    ]

    dengan [

    ] [

    ] [

    ]

    terdapat dua kemungkinan :

    1. Bila determinan (A) = 0, maka tidak terdapat A-1

    2. Bila determinan (A) 0, maka terdapat A-1

    Ingat, determinan (A) atau det (A) = a11a22 - a12x21 .

    Selanjutnya, untuk memperoleh pasangan (x1 , x2) yang

    memperoleh pemecahan sistem persamaan diatas Cramer

    mengembangkan aturan sebagai berikut :

    Dimana :

    Dengan demikian terdapat kemungkinan :

    1.

    memeperlihatkan sistem persamaan tidak mempunyai pemecahan.

    Secara geometris kedua garis lurus itu sejajar.

    tidak ada pemecahan

    Contoh :

    sistem persamaan yang tidak mempunyai

    penyelesaian

  • Program Linier 7

    tidak (konsisten)

    2. memperlihatkan

    sistem persamaan mempunyai banyak pemecahan. Secara

    geometris kedua garis lurus itu berimpit.

    tak

    terhing

    ga

    pemeca

    han

    Contoh :

    sistem persamaan yang mempunyai tak

    terhingga

    banyaknya penyelesaian (konsisten)

    3.