sistem persamaan linier (awal)

Download sistem persamaan linier (awal)

Post on 07-Jul-2018

227 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    1/28

    MATEMATIKA IV

    Pengajar : Riyanny Pratiwi

    Program Studi Teknik Sipil ; Fakultas Teknik ; Univ. Tanjungpur

    Materi 2 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

    Pertemuan 1

    Kompetensi :

    Mampu menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar da

    pemecahan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan lin

    1

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    2/28

    Siste

    m

    Persa

    ma

    an

    Li

    nier

    SPL adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih persdimana semua persamaan digambarkan dalam satu diagram

    Tujuan SPL adalah untuk mencari nilai koordinat 2 persamaan linier salin

    (mempunyai nilai koordinat yang sama).• Untuk mencari nilai pertemuan dari dua persamaan linier adalah dapat me

    metode Substitusi dan metode eliminasi• Jika sebuah sistem persamaan linier digambarkan dalam sebuah diagram

    nilai sistem persamaan linier adalah merupakan pertemuan dari dua garlinier tersebut.

    • Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangaumumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya.

    Bentuk umum : dimana :x1, x2, . . . , xn variabe

    aij , bi, (i = 1, 2, . . , m; j =

    2

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    3/28

    SistemPersamaan Linier 

    Homogen Non Homogen

    MempunyPemecah

    Tidak MempunyaiPemecahan

    PemecahTak-Hingg

    PemecahanTunggal

    PemecahanNon - Trivial

    PemecahanTrivial

    Selalu Ada

    Pemecahan

    SKEM

    A

    SPL

    3

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    4/28

    Mempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN

    Tidak mempunyai pedisebut TIDAK KONSIS

    TUNGGAL BANYAK

    Siste

    m

    Persa

    ma

    an

    Li

    nier

    SPLEliminasi

    Subtitusi

    Eliminasi d

    GrafikSPLDV

    SPL homogen

    SPLTV

    4

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    5/28

    SPLDV

    Bentuk Persamaan Bentuk Grafik 

    MetodePenyelesaian

    Eliminasi

    Grafik  Subtitusi dan Eli

    0   c y x 

    Sistem persamaan linear dua variabeladalah suatu sistem persamaan lineardengan dua variabel, masing-masing

    variabel berpangkat satu.

    SPL

    D

    ua

    Va

    ria

    bel

    S

    PLDV

    5

    X dan y disebut variabelc = konstanta

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    6/28

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    7/28

    7

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    8/28

    Menggambar garis garis atau bidang planar yang merupaka

    dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut

    kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

    GRAF

    IK

    Persamaan Linier Simultan atau SPL mempunyai kemungkinan sol

    Tidak mempunyai solusi

    Tepat satu solusi

    Banyak solusi

    8

    S

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    9/28

    9

    SPL

    T

    ig

    a

    Var

    ia

    bel

    S

    PLTV

    Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang te

    variabel, dengan masing-masing variabel bederajat satu.

    Bentuk Umum SPLTV:

    Penyelesaian SPLTV merupakan susunan terurut tripel bilangan (x,y,z) yanpersamaan tersebut.

    3333

    2322

    1111

    d  zc yb xa

    d  zc yb xa

    d  zc yb xa

    Metode substitusiMetode gabungan

    Metode matriks adj

    Metode OBE

    Aturan cramer 

    Penelesaian SPLTV

    S

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    10/28

    SOLUS

    IM

    ENGGU

    NA

    KANMA

    TRIK

    Ax = b  Matrik

    SPL

    dibentuk 

    maa

    aa

    aa

    ...

    1

    21

    11

    matrikperluadengavectoterakhditulisk

    Aug

    STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:

    mengganti SPL menjadi MATRIKS yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam

    bentuk yang lebih sederhana.

    10

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    11/28

    S

    OL

    USI

    SPLTV

    11Metode gabungan

    1. Eliminasi salah satu peubah dengan menggunakan 2 PLTV.

    2. Lakukan kembali eliminasi terhadap peubah yang sama dengan pe

    dieliminasi di atas, tetapi untuk 2 persamaan linier yang berbeda.

    3. Eliminasi salah satu peubah dari persamaan yang diperoleh dari hasi

    langkah 1 dan 2.

    4. Substitusi peubah yang diperoleh dari hasil eliminasi langkah 3 untuk

    salah satu persamaan linier 2 peubah.

    5. Substitusi 2 nilai peubah yang diperoleh dari langkah 3 dan 4 pada s

    pada soal.

    Metode matriks adjoint

    A . x = b

    A-1 . A . x = b . A-1

    I . x = b . A-1

    x = b . A-1

    a. Mencari de

    b. Mencari kof

    c. Mencari ad

    d. Mencari inv

    e. Mencari ha

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    12/28

    12

    O

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    13/28

    TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN

    PENYELESAIAN SPLSPL

    1. Mengalikan suatu persamaandengan konstanta tak nol.

    2. Menukar posisi dua

    persamaan sebarang.

    3. Menambahkan kelipatan suatupersamaan ke persamaan

    lainnya.

    MATRIKS

    1. Mengalikan suatu barisdengan konstanta tak nol.

    2. Menukar posisi dua barissebarang.

    3. Menambahkan kelipatan suatu

    baris ke baris lainnya.

    Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (O

    SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sed

    hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu ba

    OPERA

    SI

    BARI

    S

    ELEME

    NTE

    R

    13

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    14/28

    CONTOH

    DIKETAHUI

    kalikan pers (i)

    dengan (-2), kemu-

    dian tambahkan ke

    pers (ii).

    kalikan baris

    dengan (-2),

    tambahkan ke

    baris (ii).

    …………(i)

    …………(ii)

    …………(iii)

    kalikan pers (i)

    dengan (-3), kemu-dian tambahkan ke

    pers (iii).

    k

    dta

    b

    kalikan pers (ii)

    dengan (1/2).

    k

    d

    14

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    15/28

    kalikan pers (iii)dengan (-2).

    kalikan brs (iii)dengan (-2).

    LANJUTAN CONTOH

    kalikan pers (ii)

    dengan (1/2).

    kalikan baris

    dengan (1/2)

    kalikan pers (ii)

    dengan (-3), lalu

    tambahkan ke pers

    (iii).

    kalikan brs (ii)

    dengan (-3),

    lalu tambahkan

    ke brs (iii).

    kalikan pers (ii)

    dengan (-1), lalu

    tambahkan ke pers

    (i).

    kalikan brs (ii)

    dengan (-1), la

    tambahkan ke

    (i).

    15

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    16/28

    Lanjutan CONTOH

    kalikan pers (ii)

    dengan (-1), lalu

    tambahkan ke pers

    (i).

    kalikan brs (i

    dengan (-1),

    tambahkan ke(i).

    kalikan pers (iii)

    dengan (-11/2), lalu

    tambahkan ke pers (i)

    dan kalikan pers (ii) dg

    (7/2), lalu tambahkan

    ke pers (ii)

    kalikan brs (iii)

    dengan (-11/2),

    tambahkan ke b

    dan kalikan brs (

    (7/2), lalu tamb

    ke brs (ii)

    Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapa

    kaitan menarik antara bentuk SPL dan representas

    matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan

    METODA ELIMINASI GAUSS.

    16

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    17/28

    BENTUK ECHELON-BARIS

    Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

    maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

    Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

    Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

    1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

    tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

    2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.

    3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading

    1 baris berikut.

    4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

    17

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    18/28

    Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

    Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

    bentuk echelon-baris.

    CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

    CONTOH bentuk echelon-baris:

    18

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    19/28

    Bentuk umum echelon-baris

    dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

    19

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    20/28

    Bentuk umum echelon-baris teredu

    dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

    20

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    21/28

    Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris

    Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

    Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di at

    21

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    22/28

    METODA GAUSS-JORDAN

    Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah

    matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.CONTOH: Diberikan SPL berikut.

    Bentuk matriks SPL ini adalah:

    22

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    23/28

    -2B1 + B2 B2

    5B2+B3

    6 18 0 8 4 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    1- 3- 0 2- 1- 0 0

    0 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2

    B3   ⇄ B4 B3 B3/3

    -3B3+B2B2

    2B2+B1B1

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    24/28

    Akhirnya diperoleh:

    Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka dipero

    penyelesaian:

    dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai

    berhingga banyak penyelesaian.

    24

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    25/28

    METODA SUBSTITUSI MUNDUR

    Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

    Bentuk ini ekuivalen dengan:

    LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

    LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

    25

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    26/28

    LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

    LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker

    jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah padametoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

    26

    Eli i i G i

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    27/28

    Eliminasi Gaussian

    Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kem

    menggunakan substitusi mundur.

    CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

    PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

    Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:

    27

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    28/28

    28