sistem persamaan linier (awal)

Download sistem persamaan linier (awal)

Post on 07-Jul-2018

227 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    1/28

    MATEMATIKA IV

    Pengajar : Riyanny Pratiwi

    Program Studi Teknik Sipil ; Fakultas Teknik ; Univ. Tanjungpur

    Materi 2 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

    Pertemuan 1

    Kompetensi :

    Mampu menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar da

    pemecahan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan lin

    1

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    2/28

    S i s t e

    m

    P e r s a

    m a

    a n

    L i

    n i e r

    SPL adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pers dimana semua persamaan digambarkan dalam satu diagram

    Tujuan SPL adalah untuk mencari nilai koordinat 2 persamaan linier salin

    (mempunyai nilai koordinat yang sama). • Untuk mencari nilai pertemuan dari dua persamaan linier adalah dapat me

    metode Substitusi dan metode eliminasi • Jika sebuah sistem persamaan linier digambarkan dalam sebuah diagram

    nilai sistem persamaan linier adalah merupakan pertemuan dari dua gar linier tersebut.

    • Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancanga umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya.

    Bentuk umum : dimana : x1, x2, . . . , xn variabe

    aij , bi, (i = 1, 2, . . , m; j =

    2

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    3/28

    Sistem Persamaan Linier 

    Homogen Non Homogen

    Mempuny Pemecah

    Tidak Mempunyai Pemecahan

    Pemecah Tak-Hingg

    Pemecahan Tunggal

    Pemecahan Non - Trivial

    Pemecahan Trivial

    Selalu Ada

    Pemecahan

    S K E M

    A

    S P L

    3

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    4/28

    Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN

    Tidak mempunyai pe disebut TIDAK KONSIS

    TUNGGAL BANYAK

    S i s t e

    m

    P e r s a

    m a

    a n

    L i

    n i e r

    SPL Eliminasi

    Subtitusi

    Eliminasi d

    GrafikSPLDV

    SPL homogen

    SPLTV

    4

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    5/28

    SPLDV

    Bentuk  Persamaan Bentuk Grafik 

    Metode Penyelesaian

    Eliminasi

    Grafik  Subtitusi dan Eli

    0   c y x 

    Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel, masing-masing

    variabel berpangkat satu.

    S P L

    D

    u a

    V a

    ri a

    b e l

    S

    P L D V

    5

    X dan y disebut variabel c = konstanta

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    6/28

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    7/28

    7

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    8/28

     Menggambar garis garis atau bidang planar yang merupaka

    dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut

    kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

    G R A F

    I K

     Persamaan Linier Simultan atau SPL mempunyai kemungkinan sol

     Tidak mempunyai solusi

     Tepat satu solusi

     Banyak solusi

    8

    S

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    9/28

    9

    S P L

    T

    i g

    a

    V a r

    i a

    b e l

    S

    P L T V

    Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang te

    variabel, dengan masing-masing variabel bederajat satu.

    Bentuk Umum SPLTV:

    Penyelesaian SPLTV merupakan susunan terurut tripel bilangan (x,y,z) yan persamaan tersebut.

     

    

    

    

    

    3333

    2322

    1111

    d  zc yb xa

    d  zc yb xa

    d  zc yb xa

    Metode substitusi Metode gabungan

    Metode matriks adj

    Metode OBE

    Aturan cramer 

    Penelesaian SPLTV

    S

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    10/28

    S O L U S

    I M

    E N G G U

    N A

    K A N M A

    T R I K

    Ax = b   Matrik

    SPL

    dibentuk 

       

    m aa

    aa

    aa

    ...

    1

    21

    11

    matrik perlua denga vecto terakh ditulisk

    Aug

    STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:

    mengganti SPL menjadi MATRIKS yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam

    bentuk yang lebih sederhana.

    10

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    11/28

    S

    O L

    U S I

    S P L T V

    11 Metode gabungan

    1. Eliminasi salah satu peubah dengan menggunakan 2 PLTV.

    2. Lakukan kembali eliminasi terhadap peubah yang sama dengan pe

    dieliminasi di atas, tetapi untuk 2 persamaan linier yang berbeda.

    3. Eliminasi salah satu peubah dari persamaan yang diperoleh dari hasi

    langkah 1 dan 2.

    4. Substitusi peubah yang diperoleh dari hasil eliminasi langkah 3 untuk

    salah satu persamaan linier 2 peubah.

    5. Substitusi 2 nilai peubah yang diperoleh dari langkah 3 dan 4 pada s

    pada soal.

    Metode matriks adjoint

    A . x = b

    A-1 . A . x = b . A-1

    I . x = b . A-1

    x = b . A-1

    a. Mencari de

    b. Mencari kof

    c. Mencari ad

    d. Mencari inv

    e. Mencari ha

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    12/28

    12

    O

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    13/28

    TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN

    PENYELESAIAN SPL SPL

    1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.

    2. Menukar posisi dua

    persamaan sebarang.

    3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan

    lainnya.

    MATRIKS

    1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

    2. Menukar posisi dua baris sebarang.

    3. Menambahkan kelipatan suatu

    baris ke baris lainnya.

    Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (O

    SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sed

    hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu ba

    O P E R A

    S I

    B A R I

    S

    EL E M E

    N T E

    R

    13

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    14/28

    CONTOH

    DIKETAHUI

    kalikan pers (i)

    dengan (-2), kemu-

    dian tambahkan ke

    pers (ii).

    kalikan baris

    dengan (-2),

    tambahkan ke

    baris (ii).

    …………(i)

    …………(ii)

    …………(iii)

    kalikan pers (i)

    dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke

    pers (iii).

    k

    d ta

    b

    kalikan pers (ii)

    dengan (1/2).

    k

    d

    14

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    15/28

    kalikan pers (iii) dengan (-2).

    kalikan brs (iii) dengan (-2).

    LANJUTAN CONTOH

    kalikan pers (ii)

    dengan (1/2).

    kalikan baris

    dengan (1/2)

    kalikan pers (ii)

    dengan (-3), lalu

    tambahkan ke pers

    (iii).

    kalikan brs (ii)

    dengan (-3),

    lalu tambahkan

    ke brs (iii).

    kalikan pers (ii)

    dengan (-1), lalu

    tambahkan ke pers

    (i).

    kalikan brs (ii)

    dengan (-1), la

    tambahkan ke

    (i).

    15

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    16/28

    Lanjutan CONTOH

    kalikan pers (ii)

    dengan (-1), lalu

    tambahkan ke pers

    (i).

    kalikan brs (i

    dengan (-1),

    tambahkan ke(i).

    kalikan pers (iii)

    dengan (-11/2), lalu

    tambahkan ke pers (i)

    dan kalikan pers (ii) dg

    (7/2), lalu tambahkan

    ke pers (ii)

    kalikan brs (iii)

    dengan (-11/2),

    tambahkan ke b

    dan kalikan brs (

    (7/2), lalu tamb

    ke brs (ii)

    Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapa

    kaitan menarik antara bentuk SPL dan representas

    matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan

    METODA ELIMINASI GAUSS.

    16

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    17/28

    BENTUK ECHELON-BARIS

    Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

    maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

    Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

    Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

    1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

    tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

    2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.

    3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading

    1 baris berikut.

    4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

    17

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    18/28

    Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

    Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

    bentuk echelon-baris.

    CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

    CONTOH bentuk echelon-baris:

    18

  • 8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)

    19/28

    B