persamaan diferensial orde 2 -...
TRANSCRIPT
Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan orde dua adalah:
y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu.
Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen
Jika r(x)0, disebut persamaan nonhomogen.
Bentuk umum rangkaian orde dua:
dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian
fungsi yang menyatakan sinyal input
)()()()(
212
2
txtykdt
tdyk
dt
tyd
)(ty
)(tx
Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan orde dua dengan bentuk
merupakan persamaan nonhomogen.
Bentuk persamaan homogennya adalah
Persamaan diferensial homogen inilah yang memberikarakteristik pada solusi persamaannya.
Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentukeksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.
)()()()(
212
2
txtykdt
tdyk
dt
tyd
0)()()(
212
2
tykdt
tdyk
dt
tyd
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Misalkan solusi persamaan diferensial adalah
Persamaan diferensial homogen menjadi
Akar persamaan
0212
2
ststst
Aekdt
dAek
dt
Aed
stAety )(
021
2 stAeksks
021
2 ksks
2
4 2
2
11
2,1
kkks
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Akar persamaan diferensial homogen telah
Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2
s dua nilai riil berbeda saat
s dua nilai riil sama saat
s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat
2
4 2
2
11
2,1
kkks
04 2
2
1 kk
04 2
2
1 kk
04 2
2
1 kk
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebutoverdamped:
Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:
Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umumdisebut critically damped:
Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehinggadiperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)
tsts BeAety 21)(
ojs 2,1
tBtAety oo
t sincos)(
steBAtty )(
1s 2s
sss 21
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.
Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.
Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda
)0(ydt
dy )0(
BAy )0(tsts BeAety 21)(
tstststs BesAesBeAedt
d
dt
tdy2121
21
)(
sehingga
sehingga BsAsdt
dy21
)0(
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat dua akar riil sama
Saat dua akar kompleks
By )0( steBAtty )( sehingga
stst eBsAAeBAtdt
d
dt
tdy
)(
sehingga BAsdt
dy 1
)0(
tBtAety oo
t sincos)( Ay )0(sehingga
tABtBAetBtAedt
d
dt
tdyoooo
t
oo
t sincossincos)(
sehingga oBAdt
dy
)0(
Contoh 1
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1
Jawab:
0)()(
5)(
42
2
tydt
tdy
dt
tyd
Persamaan diferensial: 0)()(
5)(
42
2
tydt
tdy
dt
tyd
Bila makastAety )(
Sehingga persamaan menjadi
dan diperoleh dua akar riil:
𝑦′ 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑠𝑡 dan 𝑦" 𝑡 = 𝐴𝑠2𝑒𝑠𝑡
4𝑠2+5s+1=0
𝑠1 = −1 𝑠2 = −14dan
Contoh 1 (lanj)
Dengan adanya 2 akar riil -1 dan -1/4 maka solusi umumnyaberbentuk:
Diketahui y(0)=3 maka
Diketahui juga y’(0)=1 maka
sehingga
Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:
Solusi persamaan diferensial:
𝑦 𝑡 = 𝐴𝑒−𝑡+𝐵𝑒−1
4𝑡
𝑦 0 = 𝐴 + 𝐵 = 3
𝑦′(𝑡) = −𝐴𝑒−𝑡 − 14𝐵𝑒
−14𝑡
𝑦′ 0 = −𝐴 − 14𝐵 = 1
(1)
(2)
𝐴 = −73 dan 𝐴 = 16
3
𝑦 𝑡 = −7
3𝑒−𝑡+16
3𝑒−
1
4𝑡
Contoh 2
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5
0)(4
1)()(2
2
tvdt
tdv
dt
tvd
Solusi:
𝑣 𝑡 = 2𝑒−12𝑡 + 6𝑡𝑒−
12𝑡
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama
Contoh 3
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3
Solusi:
0)()(
4)(
62
2
tidt
tdi
dt
tid
𝑖 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒
13𝑡sin(16 2𝑡)
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks
Solusi Persamaan Non Homogen
Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen
dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial
nonhomogen maka kombinasi juga
merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen
Persamaan Nonhomogen
)(2 ty
xykyky 21 '''
)()()( 21 tytyty
xykykyykyky 2221212111 ''''''
)()()()(
212
2
txtykdt
tdyk
dt
tyd
xykyky 22212 '''
=0
atau
gunakan
maka
)()()( 21 tytyty
y1 solusi persamaan homogen
)(1 ty
Solusi Persamaan Non Homogen
Untuk menentukan solusi persamaan diferensial
nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang
menyerupai dengan konstanta bentuk umum.
Misalnya untuk pilih
Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial danselesaikan untuk konstantanya
)(2 ty
)(tx
ttx 5)( BAtty )(2
Contoh 4
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3
Jawab:
Persamaan diferensial homogennya adalah
Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperolehpada Contoh 3 yaitu:
ttidt
tdi
dt
tid2)(
)(4
)(6
2
2
0)()(
4)(
62
2
tidt
tdi
dt
tid
𝑖1 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒
13𝑡sin(16 2𝑡)
Contoh 4 (lanj)
Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Pilih dan masukkan ke persamaan di atas
sehingga didapat dan
dan diperoleh dan
ttidt
tdi
dt
tid2)(
)(4
)(6
2
2
BAtti )(2
tBAtdt
BAtd
dt
BAtd2)(
)(4
)(6
2
2
tBAtA 240
𝐴𝑡 + −4𝐴 + 𝐵 = 2𝑡
𝐴 = 2 −4𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴 = 2, 𝐵 = 8 𝑖2 𝑡 = 2𝑡 + 8
Contoh 4
Solusi persamaan diferensial homogen
Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah
𝑖1 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒
13𝑡sin(16 2𝑡)
𝑖2 𝑡 = 2𝑡 + 8
𝑖 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡
𝑖 𝑡 = 3𝑒13𝑡 cos 1
6 2𝑡 + 6 2𝑒13𝑡 sin 1
6 2𝑡 + 2𝑡 + 8
TABEL SOLUSI PARTIKULAR
PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x)Solusi: y=yh+yp
yh = solusi homogenyp = solusi partikular