persamaan diferensial orde 2 -...

19
Persamaan Diferensial Orde 2 Matematika Teknik 2 S1-Teknik Elektro

Upload: vankhue

Post on 20-Mar-2019

259 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Persamaan Diferensial Orde 2

Matematika Teknik 2S1-Teknik Elektro

Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan orde dua adalah:

y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu.

Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen

Jika r(x)0, disebut persamaan nonhomogen.

Bentuk umum rangkaian orde dua:

dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian

fungsi yang menyatakan sinyal input

)()()()(

212

2

txtykdt

tdyk

dt

tyd

)(ty

)(tx

Persamaan Diferensial Orde Dua

Persamaan orde dua dengan bentuk

merupakan persamaan nonhomogen.

Bentuk persamaan homogennya adalah

Persamaan diferensial homogen inilah yang memberikarakteristik pada solusi persamaannya.

Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentukeksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.

)()()()(

212

2

txtykdt

tdyk

dt

tyd

0)()()(

212

2

tykdt

tdyk

dt

tyd

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Misalkan solusi persamaan diferensial adalah

Persamaan diferensial homogen menjadi

Akar persamaan

0212

2

ststst

Aekdt

dAek

dt

Aed

stAety )(

021

2 stAeksks

021

2 ksks

2

4 2

2

11

2,1

kkks

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Akar persamaan diferensial homogen telah

Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2

s dua nilai riil berbeda saat

s dua nilai riil sama saat

s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat

2

4 2

2

11

2,1

kkks

04 2

2

1 kk

04 2

2

1 kk

04 2

2

1 kk

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebutoverdamped:

Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:

Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umumdisebut critically damped:

Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehinggadiperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)

tsts BeAety 21)(

ojs 2,1

tBtAety oo

t sincos)(

steBAtty )(

1s 2s

sss 21

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.

Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.

Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda

)0(ydt

dy )0(

BAy )0(tsts BeAety 21)(

tstststs BesAesBeAedt

d

dt

tdy2121

21

)(

sehingga

sehingga BsAsdt

dy21

)0(

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Saat dua akar riil sama

Saat dua akar kompleks

By )0( steBAtty )( sehingga

stst eBsAAeBAtdt

d

dt

tdy

)(

sehingga BAsdt

dy 1

)0(

tBtAety oo

t sincos)( Ay )0(sehingga

tABtBAetBtAedt

d

dt

tdyoooo

t

oo

t sincossincos)(

sehingga oBAdt

dy

)0(

Contoh 1

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1

Jawab:

0)()(

5)(

42

2

tydt

tdy

dt

tyd

Persamaan diferensial: 0)()(

5)(

42

2

tydt

tdy

dt

tyd

Bila makastAety )(

Sehingga persamaan menjadi

dan diperoleh dua akar riil:

𝑦′ 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑠𝑡 dan 𝑦" 𝑡 = 𝐴𝑠2𝑒𝑠𝑡

4𝑠2+5s+1=0

𝑠1 = −1 𝑠2 = −14dan

Contoh 1 (lanj)

Dengan adanya 2 akar riil -1 dan -1/4 maka solusi umumnyaberbentuk:

Diketahui y(0)=3 maka

Diketahui juga y’(0)=1 maka

sehingga

Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:

Solusi persamaan diferensial:

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑒−𝑡+𝐵𝑒−1

4𝑡

𝑦 0 = 𝐴 + 𝐵 = 3

𝑦′(𝑡) = −𝐴𝑒−𝑡 − 14𝐵𝑒

−14𝑡

𝑦′ 0 = −𝐴 − 14𝐵 = 1

(1)

(2)

𝐴 = −73 dan 𝐴 = 16

3

𝑦 𝑡 = −7

3𝑒−𝑡+16

3𝑒−

1

4𝑡

Contoh 2

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5

0)(4

1)()(2

2

tvdt

tdv

dt

tvd

Solusi:

𝑣 𝑡 = 2𝑒−12𝑡 + 6𝑡𝑒−

12𝑡

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama

Contoh 3

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3

Solusi:

0)()(

4)(

62

2

tidt

tdi

dt

tid

𝑖 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒

13𝑡sin(16 2𝑡)

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks

Solusi Persamaan Non Homogen

Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen

dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial

nonhomogen maka kombinasi juga

merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen

Persamaan Nonhomogen

)(2 ty

xykyky 21 '''

)()()( 21 tytyty

xykykyykyky 2221212111 ''''''

)()()()(

212

2

txtykdt

tdyk

dt

tyd

xykyky 22212 '''

=0

atau

gunakan

maka

)()()( 21 tytyty

y1 solusi persamaan homogen

)(1 ty

Solusi Persamaan Non Homogen

Untuk menentukan solusi persamaan diferensial

nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang

menyerupai dengan konstanta bentuk umum.

Misalnya untuk pilih

Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial danselesaikan untuk konstantanya

)(2 ty

)(tx

ttx 5)( BAtty )(2

Contoh 4

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3

Jawab:

Persamaan diferensial homogennya adalah

Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperolehpada Contoh 3 yaitu:

ttidt

tdi

dt

tid2)(

)(4

)(6

2

2

0)()(

4)(

62

2

tidt

tdi

dt

tid

𝑖1 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒

13𝑡sin(16 2𝑡)

Contoh 4 (lanj)

Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Pilih dan masukkan ke persamaan di atas

sehingga didapat dan

dan diperoleh dan

ttidt

tdi

dt

tid2)(

)(4

)(6

2

2

BAtti )(2

tBAtdt

BAtd

dt

BAtd2)(

)(4

)(6

2

2

tBAtA 240

𝐴𝑡 + −4𝐴 + 𝐵 = 2𝑡

𝐴 = 2 −4𝐴 + 𝐵 = 0

𝐴 = 2, 𝐵 = 8 𝑖2 𝑡 = 2𝑡 + 8

Contoh 4

Solusi persamaan diferensial homogen

Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah

𝑖1 𝑡 = 3𝑒13𝑡cos(16 2𝑡)+6 2𝑒

13𝑡sin(16 2𝑡)

𝑖2 𝑡 = 2𝑡 + 8

𝑖 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡

𝑖 𝑡 = 3𝑒13𝑡 cos 1

6 2𝑡 + 6 2𝑒13𝑡 sin 1

6 2𝑡 + 2𝑡 + 8

TABEL SOLUSI PARTIKULAR

PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x)Solusi: y=yh+yp

yh = solusi homogenyp = solusi partikular

LATIHAN