sistem persamaan linier dan pembentukan fungsi 2016 [compatibility mode]
DESCRIPTION
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi - penggunaan matriks dalam ekonomiTRANSCRIPT
25/04/2016
1
SistemSistem PersamaanPersamaan Linier Linier dandanPembentukanPembentukan FungsiFungsi sertasertaPenerapanPenerapan MatriksMatriks dalamdalam EkonomiEkonomipp
Oleh:Imam Awaluddin
1
Bahan Kuliah Matematika EkonomiFakultas Ekonomi dan BisnisUniversitas Lampung2016
Penyelesaian persamaan dengan matriks Penyelesaian persamaan dengan matriks inverseinverse
1 2 34 5 8x x x+ − =
1 2 3
1 2 3
2 3 123 4 5
x x xx x x
− + + =− + =
Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = K
4 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2
1
2
3
4 1 5 82 3 1 123 1 4 5
xxx
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Rumus : X = A-1K
1 1 AdjA A− = Adj 'A C=jA
j
1
2
3
4 1 5 82 3 1 123 1 4 5
xxx
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦33 1 4 5x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
|A| = 4[3(4)-(-1)(1)]–1[(-2)(4)-3(1)]+(-5)[(-2)(-1)-3(3)]|A| = 52 + 11 + 35 = 98.
3
3 1 2 1 2 3⎡ − − ⎤−⎢ ⎥1 4 3 4 3 1
13 11 71 5 4 5 4 1
1 31 71 4 3 4 3 1
16 6 141 5 4 5 4 1
C
⎢ ⎥− −⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥
4
3 12 2 1 2 3−
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
25/04/2016
2
13 1 16⎡ ⎤⎢ ⎥Adj ' 11 31 6
7 7 14A C ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
13 16198 98 98
1
13 1 161
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
5
1 31 61198 98 987 7 14
98 98 98
1 11 31 698
7 7 14A−
−
⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Rumus : X = A-1K
13 16198 98 98 8⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥31 611
98 98 987 7 14
98 98 98
125
X−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
104 80 1961298 98 98 9888 372 30 490
25X
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥88 372 30 490
98 98 98 9856 84 70 9898 98 98 98
51
X−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x1 = 2, x2 = 5, x3 = 1. 6
Penyelesaian persamaan dengan Aturan Penyelesaian persamaan dengan Aturan CramerCramer
1 2 34 5 8x x x+ − =
1 2 3
1 2 3
2 3 123 4 5
x x xx x x
− + + =− + =
Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = K
4 1 5 8x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
7
1
2
3
4 1 5 82 3 1 123 1 4 5
xxx
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Rumus: ii
Ax
A= Cari Determinan A: |A| = 98.
8 1 5⎡ ⎤
1
2
3
81
1 53 11 4
2 24
3 5
xxx
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡
⎢ ⎥ ⎢
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦
−
⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎥AX = K
8
1
8 1 512 3 15 1 4
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
25/04/2016
3
1
8 1 512 3 15 1 4
A−
=−
1
3 1 12 1 12 38 1 ( 5)
1 4 5 4 5 1A = − + −
− −
1 8(13) 1(43) 5( 27) 196A = − − − =
11
196 298
Ax
A= = =
9
Rumus:i
i
Ax
A=
1 84 51 x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥AX = K
1
2
3
12 13 41
235
xx
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦−
4 8 5−⎡ ⎤⎢ ⎥
2 2 12 13 5 4
A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
10
2
4 8 52 12 13 5 4
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
12 1 2 1 2 124 8 ( 5)
5 4 3 4 3 5A
− −= − + −
2 4(43) 8( 11) 5( 46) 490A = − − − − =
⎣ ⎦
22
490 598
Ax
A= = =
11
Rumus:i
i
Ax
A=
1 854 1 x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥
−
AX = K1
2
3
114
2 3 23 1 5
xx
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥
4 1 8⎡ ⎤⎢ ⎥
3 2 3 123 1 5
A ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
12
25/04/2016
4
3
4 1 82 3 123 1 5
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1
3 12 2 12 2 34 1 8
1 5 3 5 3 1A
− −= − +
− −
1 4(27) 1( 46) 8( 7) 98A = − − + − =
33
98 1.98
Ax
A= = =
13
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN PEMBENTUKAN FUNGSPEMBENTUKAN FUNGSII
Pokok Bahasan dalam Matematika I, telahd b h b k f l ldibahas cara membentuk fungsi melaluidua titik koordinat yang diketahui. Dalampokok bahasan ini akan dibahas caramembentuk fungsi melalui beberapa titikkoordinat yang diketahuiy g
14
MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier Linier SatuSatuVariabelVariabel BebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik
Bentuk Umum Fungsi Linier:
Y = a0 + a1X.Untuk menentukan parameter fungsi (a0 dana1), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:
15
02
1
an X YaX X XY
∑ ∑⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
contohcontoh
X Y X2 X.Y0 3 0 01 5 1 52 7 4 143 9 9 274 11 16 44
∑X = 10 ∑ Y = 35 ∑ X2 = 30 ∑X.Y = 90
16
25/04/2016
5
contohcontoh
X Y X2 X.Y0 3 0 01 5 1 52 7 4 143 9 9 274 11 16 44
∑X = 10 ∑ Y = 35 ∑ X2 = 30 ∑X.Y = 90
17
Pembentukan pers. matriks:Pembentukan pers. matriks:
05 10 35a⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Dengan menggunakan invers matriks, a0 dana1 dapat dicari dengan Rumus : X = A‐1K
0
110 30 90a=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
18
10
1
5 10 3510 30 90
aa
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
MencariMencari inverseinverseBa = K a = B‐1KB‐1 =(1/|B|) (Adj B)Adj B = (kof B)’
0
1
5 10 3510 30 90
aa⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Adj B (kof B)110 30 90a⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
30 10AdjB
10 5−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
30 10kof.B
10 5−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
19
-13 130 101 5 5B
10 5 1 1505 10
⎡ ⎤−−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ −⎣ ⎦
MenyelesaikanMenyelesaikan persamaanpersamaan matriksmatriks
03 1 355 5
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥a
1
0
1
901 15 10
21 18 37 9 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
a
aa
a0 = 3, a1 = 2Y = 3 + 2X
20
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
25/04/2016
6
Atau dapat dicari dengan aturan CramerAtau dapat dicari dengan aturan Cramer
Parameter a0 dan a1 dapat dicari dengan menggunakan invers matriks atau dengan menggunakan invers matriks atau dengan aturan Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 3, a1 = 2.Fungsi liniernya: Y = 3 + 2X.
21
MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier DuaLinier DuaVariabelVariabelBebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik KoordinatKoordinat
Bentuk Umum Fungsi Linier:Y = a + a X + a XY = a0 + a1X1 + a2X2.
Untuk menentukan parameter fungsi (a0, a1 dan a2), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:
n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
22
1 2 02
1 1 1 2 1 12
2 2 1 2 2 2
n X X a YX X X X a X YX X X X a X Y
∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ContohContoh 1:1:
X1 X2 Y X1.X1= X 2
X2.X2= X 2
X1.Y X2.Y X1.X2= X1
2 = X22
0 1 4 0 1 0 4 01 3 8 1 9 8 24 32 5 12 4 25 24 60 103 7 16 9 49 48 112 214 9 20 16 81 80 180 364 9 20 16 81 80 180 36
∑ X1=
∑X2 =
∑ Y =
∑ X12
= ∑ X2
2
=∑X1.Y
=∑X2.Y =
∑X1X2=
10 25 60 30 165 160 380 70
23
Pembentukan persamaan matriksPembentukan persamaan matriks
1 2 0n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2
1 1 1 2 1 12
2 2 1 2 2 2
X X X X a X YX X X X a X Y
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
05 10 25 60a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
24
0
1
2
10 30 70 16025 70 165 380
aa
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
25/04/2016
7
Karena determinannya nol, maka tidak adapenyelesaianpenyelesaian.
25
MembentukMembentuk FungsiFungsi Linier DuaLinier DuaVariabelVariabelBebasBebas MelaluiMelalui BeberapaBeberapaTitikTitik KoordinatKoordinat
Bentuk Umum Fungsi Linier:Y = a + a X + a XY = a0 + a1X1 + a2X2.
Untuk menentukan parameter fungsi (a0, a1 dan a2), menggunakan rumus dalam bentuksistem persamaan linier:
n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
26
1 2 02
1 1 1 2 1 12
2 2 1 2 2 2
n X X a YX X X X a X YX X X X a X Y
∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ContohContoh 2:2:
X1 X2 Y X1.X1= X 2
X2.X2= X 2
X1.Y X2.Y X1.X2= X1
2 = X22
0 1 4 0 1 0 4 01 2 8 1 4 8 16 22 5 12 4 25 24 60 103 6 16 9 36 48 96 184 10 20 16 100 80 200 404 10 20 16 100 80 200 40
∑ X1=
∑X2 =
∑ Y =
∑ X12
= ∑ X2
2
=∑X1.Y
=∑X2.Y
=∑X1X2
=10 24 60 30 166 160 376 70
27
Pembentukan persamaan matriksPembentukan persamaan matriks
1 2 0n X X a Y∑ ∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2
1 1 1 2 1 12
2 2 1 2 2 2
X X X X a X YX X X X a X Y
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ = ∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∑ ∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
05 10 24 60⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
a
28
0
1
2
10 30 60 16024 60 166 376
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
aa
25/04/2016
8
Parameter a0, a1 dan a2 dapat dicari denganmenggunakan invers matriks atau denganmenggunakan invers matriks atau denganaturan Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 1,099, a1 = 2,549 , a2 = 1,209.Fungsi liniernya: Y = 1,099 + 2,549X1 + g y 11,209X2.
29
PenerapanPenerapan MatriksMatriks dalamdalam BidangBidangEkonomiEkonomi
Pembentukan fungsi linier (regresi linier) dalam ekonomidalam ekonomiMaksimisasi utilitas dengan kendalaanggaranMaksimisasi output dengan kendala biayaMinimisasi biaya dengan kendala output tertentuM k l b h d dMaksimisasi laba perusahaan dengan duaproduk atau lebihMaksimisasi laba monopolis dengandiskriminasi harga.
30
LatihanLatihan 1: 1: PembentukanPembentukan fungsifungsipermintaanpermintaan Q = f(P, YQ = f(P, YDD))
X1 = P
X2
YY Q
X12
P2X2
2
Y 2X1X2
PYX1YPQ
X1YY QP =YD = Q = P2 = YD
2 =PYD = PQ =YDQ1 42 20 1 1764 42 20 8402 39 18 4 1521 78 36 7023 35 17 9 1225 105 51 5954 30 14 16 900 120 56 4205 25 12 25 625 125 60 3005 25 12 25 625 125 60 3006 21 9 36 441 126 54 1897 20 6 49 400 140 42 120
28 212 96 140 6876 736 319 3166
31
07 28 212 9628 140 736 319
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
a
Parameter a0, a1 dan a2 dapat dicari denganmenggunakan invers matriks atau dengan aturan
1
2
28 140 736 319212 736 6876 3166
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
aa
Cramer.Hasil yang diperoleh a0 = 31,901, a1 = -3,091 , a2 = -0,192.Fungsi liniernya: Q = 31,901 - 3,091P - 0,192YD.
32
25/04/2016
9
SoalSoal LatihanLatihan diskriminasidiskriminasi hargaharga
Perusahaan penerbangan “Gagak Hitam” i hk ti t k l memisahkan tiga pasar untuk pelayanan
penerbangannya. Permintaan masing-masing pasar adalah sebagai berikut:
11 112
12 210
Penerbangan siang : 12Penerbangan malam : 11
Q PQ P
= −
= −
33
2 210
13 38
gPenerbangan khusus : 13
QQ P= −
1 2 3dimana Q Q Q Q= + +
240 10 0,5C Q Q= + +
PERTANYAAN:Bentuk fungsi penerimaannyaBentuk fungsi labanyaCarilah tingkat output dan harga di masing-masingpasar yang memaksimumkan laba dengan:
Metode inverse matriksMetode aturan Cramer.
Uji apakah labanya maksimum (dg uji |H|)Berapa laba maksimumnyaBerapa elastisitas permintaa masing2 pasar padatingkat output dan harga tersebut.
34
Cara penyelesaianCara penyelesaian
Ingat rumus: π = R – C, dan R = PQKarena ada 3 pasar: R = R1 + R2 + R3.π = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 - C
11 1 1 112
12 2 2 210
1
12 144 1211 110 1013 104 8
Q P P QQ P P QQ Q
= − ⇒ = −
= − ⇒ = −
π = (144-12Q1)Q1+(110-10Q2)Q2+(104-8Q3)Q3–C
35
13 3 3 3813 104 8Q P P Q= − ⇒ = −
C = 40 + 10Q + 0,5Q2
C = 40 + 10(Q1+Q2+Q3) + 0,5(Q1+Q2+Q3)2.C 40 + 10Q + 10Q + 10Q + 0 5Q 2C = 40 + 10Q1 + 10Q2 + 10Q3 + 0,5Q1
2
+ Q1Q2 + 0,5Q22 + Q2Q3 + 0,5Q3
2 + Q1Q3.
π = 144Q1 – 12Q12+110Q2 – 10Q2
2 +104Q3 – 8Q32
– 40 – 10Q1 – 10Q2 – 10Q3 – 0,5Q12
– Q1Q2 – 0 5Q22 – Q2Q3 – 0 5Q3
2 – Q1Q3Q1Q2 0,5Q2 Q2Q3 0,5Q3 Q1Q3.
π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2
2 +100Q2
– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40.
36
25/04/2016
10
π = –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q2
2 + 100Q2
– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3– 40.
π1 = –25 Q1 + 134 – Q2 – Q3 = 0π = 21 Q + 100 Q Q = 0π2 = –21 Q2 + 100 – Q1 – Q3 = 0π3 = –17 Q3 + 94 – Q1 – Q2 = 0
25Q1 + Q2 + Q3 = 134Q1 + 21Q2 + Q3 = 100Q1 + Q2 + 17Q3 = 94
37
1
2
3
25 1 1 1341 21 1 1001 1 17 94
QQQ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Kunci jawabanKunci jawaban
Q1 = 4,99; P1 = 84,12.Q = 4 29; P = 67 10Q2 = 4,29; P2 = 67,10.Q3 = 4,98; P3 = 64,16.|H1| = -25, |H2| = 524, |H3| = |A| = -8864.ε1 = -1,40, ε2 = -1,56, ε3 = -1,61.
38
MaksimasiMaksimasi UtilitasUtilitas dengandengan kendalakendalaanggarananggaranU = f(X,Y)I = PxX + PyYx yL = f(X,Y) + λ(I ‐ PxX ‐ PyY)FOCLX = fX – λPx = 0LY = fY – λPY = 0I ‐ PxX – PyY = 0
D i FOC b k X Y d λ d di i dDari FOC tsb maka X, Y, dan λ dapat dicari denganmenggunakan persamaan matriks. Sedangkan dariSOC dapat dibuktikan apakah utilitasnyanyamaksimum dengan menggunakan determinanHessian terbatas.
39
ContohContoh::Fs. Utilitas: U = 2XY Kendala anggaran: 3X + 4Y = 90Kendala anggaran: 3X + 4Y 90L = XY + λ(90 ‐ 3X ‐ 4Y)FOCLX = 2Y – 3λ = 0LY = 2X – 4λ = 0Lλ = 90 ‐ 3X ‐ 4Y = 0
Dari FOC tersebut dapat dibentuk dalampersamaan matriks.
40
25/04/2016
11
DibentukDibentuk dalamdalam persamaanpersamaan matriksmatriks2Y – 3λ = 0
2X – 4λ = 03X 4Y 90– 3X – 4Y = –90
0 2 3 02 0 4 03 4 0 90λ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
XY
41
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Dengan menggunakan aturan Cramer ataumatriks inverse, dapat diperoleh nilai X = 15, Y = 11,25 dan λ = 7,5. Sedangkan U = 337,5.
UntukUntuk melihatmelihat apakahapakah utilitasnyautilitasnyamaksimummaksimumFOC:LX = 2Y – 3λ = 0LX 2Y 3λ 0LY = 2X – 4λ = 0Lλ = 90 ‐ 3X ‐ 4Y = 0
SOC: LXX = 0, LXY = 2, LYY = 0, LYX = 2gX = 3, gY = 4
42
0 3 43 0 2 48 0 max4 2 0
= = > →H U
MaksimasiMaksimasi LabaLaba perusahaanperusahaan dengandengan 3 3 barangbarang salingsaling berkaitanberkaitan
P1 = 70 – 2Q1 – Q2 – Q3.P2 = 120 –Q1 – 4Q2 – 2Q3P2 120 Q1 4Q2 2Q3.P3 = 90 – Q1 – Q2 – 3Q3.TC = Q1
2 + Q1Q2 + 2Q22 + 2Q2Q3 + Q3
2 + Q1Q3.Carilah output dan harga masing‐masingbarang agar labanya maksimum dengan
k t Cmenggunakan aturan Cramer.Berapa laba maksimumnya dan buktikanbahwa labanya maksimum
43
MencariMencari fungsifungsi labalabaΠ = TR – TC
Π = PQ – TCΠ = PQ TC
Π = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 – TC
Π = (70 – 2Q1 – Q2 – Q3)Q1 + (120 –Q1 – 4Q2 –2Q3)Q2 + (90 – Q1 – Q2 – 3Q3)Q3 – (Q1
2 + Q1Q2 + 2Q2
2 + 2Q2Q3 + Q32 + Q1Q3)
Π = 70Q1 – 2Q12 – Q2Q1 – Q3Q1 + 120Q2 – Q1Q2
– 4Q22 – 2Q3Q2 + 90Q3 – Q1Q3 – Q2Q3 – 3Q3
2
– Q12 – Q1Q2 – 2Q2
2 – 2Q2Q3 – Q32 – Q1Q3.
44
25/04/2016
12
SyaratSyarat ΠΠmax max FOCFOCΠ = 70Q1 + 120Q2 + 90Q3 – 3Q1Q2 – 5Q2Q3
– 3Q1Q3 – 3Q12 – 6Q2
2 – 4Q32.1 3 1 2 3
Πmax FOCΠ1 = 70 – 3Q2 – 3Q3 – 6Q1 = 0Π2 = 120 – 3Q1 – 5Q3 – 12Q2 = 0Π3 = 90 – 5Q2 – 3Q1 – 8Q3 = 0Dapat disusun ulang:Dapat disusun ulang:– 6Q1 – 3Q2 – 3Q3 = –70– 3Q1 – 12Q2 – 5Q3 = –120– 3Q1 – 5Q2 – 8Q3 = –90
45
MembentukMembentuk persamaanpersamaan matriksmatriks1
2
6 3 3 703 12 5 1203 5 8 90
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
QQQ
Dengan menggunakan aturan Cramer:33 5 8 90⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Q
1 2 3
11
336, 2000, 2160, 1680
2000 5,95336
= − = − = − = −
−= =
−
A A A A
AQ
A
46
22
33
3362160 6,43336
1680 5336
−= =
−−
= =−
AA
QAA
QA
BuktiBukti ππ max max SOCSOCΠmax FOCΠ1 = 70 – 3Q2 – 3Q3 – 6Q1 = 0Π2 = 120 – 3Q1 – 5Q3 – 12Q2 = 0Π2 120 3Q1 5Q3 12Q2 0Π3 = 90 – 5Q2 – 3Q1 – 8Q3 = 0SOC:Π11 = ‐6, Π12 = ‐3, Π13 = ‐3Π21 = ‐3, Π22 = ‐12, Π23 = ‐5Π 3 Π 5 Π 8Π31 = ‐3, Π32 = ‐5, Π33 = ‐8
47
6 3 33 12 5 3363 5 8
− − −= − − − = −− − −
H
|H1| = ‐6 < 0,|H2| = 63 > 0,|H3| = |H|= ‐336 < 0,Maka πmaksimum
Selamat BerlatihSelamat Berlatih
wassalamwassalam
48