sistem persamaan-linier

Click here to load reader

Post on 15-Jul-2015

1.076 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratSistem Persamaan Linear dan Linear dgn Dua PeubahSistem Persamaan Linear dan Linear dgn Tiga PeubahSistem Persamaan Linear dan KuadratSistem Kuadrat dan kuadratPokok Bahasan

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratSistem Persamaan Linear dan Linear dengan Dua PeubahBentuk Umumax + by = cpx + qy = rataua1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Dengan a,b,c,p,q, dan r atau a1,b1,c1,a2,b2,c2 merupakan bilangan bilangan real. Jika c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linear dikatakan homogen sedangkan jika c1 0 atau c2 0 maka sistem persamaan linear dikatakan tidak homogenMenentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan Linear Dua Peubah dapat ditentukan dengan cara sbb :1. Metode Grafik2. Metode Subtitusi3. Metode Eliminasi4. Metode determinan

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratMetode GrafikLangkah langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut Langkah IGambarkan grafik masing masing persamaan pada bidang Cartesius.Langkah 2Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggotaJika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosongJika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh x + y = 1x y = 31013 1 3 P (2, -1)x y = 3x + y = 1x + y = 1x y = 3

    x0y1

    x0y3

    y0x1

    y0x3

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratMetode SubtitusiLangkah langkah untuk meneyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode SubtitusiLangkah 1Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi xLangkah 2Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContohx + y = 44x + 3y = 13Dari persamaan x + y = 4y = 4 - xy = 4 xDisubstitusikan ke persamaan 4x + 3y = 13Diperoleh :4x + 3 (4 x) = 13 4x + 12 3x = 13x + 12 = 13x = 1Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 x, diperoleh y = 4 - 1y = 3Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear itu adalah {(1,3)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratMetode EliminasiLangkah yang ditempuh adalah sbb :Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :2x + 3y = 133x + 4y = 19Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y2x + 3y = 13X 48x + 12y = 529x + 12y = 57 x = 5 x = 53x + 4y = 19X 32x + 3y = 133x + 4y = 19X 3X 26x + 9y = 396x + 8y = 38y =1Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratPenyelesaian sistem persamaan linear dapat juga menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan. Perhatikan contoh berikut :Carilah himpunan penyelesaiaan dari sistem persamaan berikut2x 5y = 153x + 4y = 11Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y2x 5y = 153x + 4y = 11X 4X 5 8x 20y = 6015x + 20y = 5523x = 115x = 5x disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan semula2x 5y = 152(5) 5y = 15 5y = 15 10 5y = 5y = 1 Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah {(5,-1)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratBeberapa persoalan sehari hari seringkali dapat diselesaikan dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan dua peubah. Perhatikan contoh berikut :Disebuah toko Komar membeli 3 barang A dan 4 barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00. Sedangkan Yayuk harus membayar Rp3.600,00 untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ratna membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus membayar . Misalkan : x = barang A dan y = barang BKomarYayuk3x + 4y = 2.7006x + 2y = 3.600(1)(2)3x + 4y = 2.7006x + 2y = 3.600X 2X 16x + 8y = 5.4006x + 2y = 3.6006y = 1.800y = 300

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadraty = 300, disubtitusikan ke persamaan (2)3x + 4y = 2.7003x + 4(300) = 2.7003x + 1.200 = 2.7003x = 2.700 1.2003x = 1.500x = 500Jadi harga sebuang barang A adalah Rp500,00 dan harga sebuang barang B adalah Rp300,00 Ratna harus membayar Rp500,00 + Rp300,00 = Rp800,00 untuk membeli 1 barang A dan 1 barang B

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratSistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga PeubahBentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut :ax + by + cz = dex + fy + gz = hix + jy + kz = lataua1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan real .Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :1. Metode Substitusi2. Metode Eliminasi atau3. Metede Determinan

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratMetode SubstitusiLangkah langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut : Langkah 1 :Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan yLangkah 2 :Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua peubah Langkah 3 :Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh pada langkah 2

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikutx 2y + z = 63x + y + 2z = 47x 6y z = 10Dari persamaan x 2y + z = 6 x = 2y z + 6.Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x 6y z = 10 diperoleh :3(2y z + 6) + y 2z = 46y 3z + 18 + y 2z = 47y 5z = 14 (3)7(2y z + 6) 6y z = 1014y 7z + 42 6y z = 108y 8z = 32 y z = 4 (4)

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratPersamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z:7y 5z = 14y z = 4dari persamaan y z = 4y = z 4Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = 14, diperoleh : 7 (z 4) 5z = 147z 28 5z = 142z = 14z = 7Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z 4, diperolehy = 7 4 = 3Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y z + 6, diperolehx = 2(3) 7 + 6x = 6 7 + 6x = 5Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratMetode EliminasiLangkah langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah :Langkah 1:Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua peubahLangkah 2:Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat pada langkah 1Langkah 3:Substitusikan nilai nilai dua peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :2x y + z = 6x 3y + z = 2x + 2y z = 3 Eliminasi peubah z:Dari persamaan pertama dan kedua:2x y + z = 6x 3y + z = 2 x + 2y = 8Dari persamaan kedua dan ketiga:x 3y + z = 2x + 2y z = 32x y = 1(4)(5)Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan yx + 2y = 82x y = 1Eliminasi peubah y:x + 2y = 82x y = 1X 1X 2x + 2y = 84x 2y = 25x = 10x = 2

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratEliminasi peubah x:x + 2y = 82x y = 1X 2X 12x + 4y = 162x y = 15y = 15y = 3Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y z = 3x + 2y z = 32 + 2(3) z = 38 z = 3x = 5Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh penerapan persoalan sehari hari dalam sistem persamaan tiga peubah:Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, harga sebuah pensil dan harga sebuah penghapus ?Jika dimisalkan bahwa :Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiahHarga untuk sebuah pensil adalah y rupiah danHarga untuk sebuah penghapus adalah z rupiahDengan demikian model matematika yang sesuai dengan data tersebut adalah :

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadrat2x + y + z = 4.700x + 2y + z = 4.3003x + 2y + z = 7.100Eliminasi peubah z2x + y + z = 4.700x + 2y + z = 4.300x y = 400x + 2y + z = 4.3003x + 2y + z = 7.100-2x = -2.800x = 1.400Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x y = 1.400, diperoleh :1.400 y = 400y = 1.000Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700 diperoleh: 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700 3.800 + z = 4.700z = 900Jadi harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,00 harga sebuah pensil adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah penghapus adalah Rp900,00

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratSistem Persamaan Linear dan KuadratSistem persamaan linear dan kuadrat dibagi menjadi dua bagian sebagai berikut :1.Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk EksplisitSistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Implisit

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadrat1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk EksplisitSuatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)y = ax + by = px2 + qx + rBagian linearBagian kuadratDengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan bilangan real.Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah langkah sebagai berikut :Langkah 1 :Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat Langkah 2:Nilai nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan linear

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratContoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini :y = x 1y = x2 3x + 2Substitusikan bagian linear y = x 1 ke bagian kuadrat y = x2 3x + 2, diperolehx 1 = x2 3x + 2x2 4x + 3 = 0(x 1)(x 3) = 0x = 1 atau x = 3Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x 1Untuk x = 3 diperoleh y = 3 1 = 2 jadi (3, 2)Untuk x = 1 diperoleh y = 1 1 = 0 jadi (1, 0)Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadrat2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisitPersamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.px + qy + r = 0ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0Bagian linearBagian kuadrat Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan bilangan real.Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkanB. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratA. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkanLangkah langkah penyelesaiannya adalah :Langkah 1:Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam xLangkah 2:Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y Langkah ketiga:Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratCarilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini :x + y 1 = 0x2 + y2 25 = 0Dari persamaan x + y 1 = 0 menjadi y = 1 xSubstitusi y ke persamaan x2 + y2 25 = 0, diperoleh :x2 + ( 1 x)2 25 = 0x2 + 1 2x + x2 25 = 0 2x2 2x 24 = 0x2 x 12 = 0(x + 3)(x 4) = 0x = -3 atau x = 4Substitusi nilai nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 xUntuk x = -3 diperoleh y = 1 (-3) = 4 jadi (-3, 4)Untuk x = 4 diperoleh y = 1 4 = -3 jadi (4, -3)Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratA. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkanLangkah langkah penyelesaiannya adalah :Langkah 1:Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0.L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing masing berbentuk linierLangkah 2:Bentuk bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh sistem sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratCarilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut:2x + 3y = 84x2 12xy + 9y2 = 16Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut:4x2 12xy + 9y2 = 16(2x 3y)2 16 = 0 (2x 3y + 4)(2x 3y 4) = 02x 3y + 4 = 0 atau 2x 3y 4 = 0Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh:2x + 3y = 82x 3y + 4 = 0Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian (1, 2)2x + 3y = 82x 3y 4 = 0Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian ( 3, 2/3)Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)}

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratSistem persamaan kuadrat dan kuadratSistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :y = ax2 + bx + cy = px2 + qx + rBagian kuadrat pertamaBagian kuadrat keduaLangkah langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan kuadratLangkah 1 :Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang keduaLangkah 2 :Nilai nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah bentuk yang sederhana).

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadratCarilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini:y = x2 1y = 1 x2Substitusi y = x2 1 ke persamaan y = 1 x2, diperoleh :x2 1 = 1 x22x2 2 = 0x2 1 = 0(x + 1)(x 1) = 0x = -1 atau x = 1Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 1 = 0 jadi (-1, 0)Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)}Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 1 = 0 jadi (1, 0)

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadrat

  • oleh:IslamuddinexitSistem Persamaan Linier dan kuadrat