metode numerik -...

METODE NUMERIKSISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER

(SPL) SIMULTAN

1

http://maulana.lecture.ub.ac.id/lecture/metode-numerik/

Sistem Persamaan Linier Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas

Matriks:

nnnnnn

n

n

n

C

CCC

x

xxx

aaa

aaaaaaaaa

3

2

1

3

2

1

21

33231

22221

11211

nnmnmmm

nn

nn

Cxaxaxaxa

CxaxaxaxaCxaxaxaxa

332211

22323222121

11313212111

2

Penyelesaian SistemPersamaan Linier (SPL)

Algoritma Gauss Naif Algoritma Gauss Jordan Algoritma Gauss Seidel

3

Algoritma Gauss Naif1. Membagi persamaan pertama dengan

koefisien a11. Langkah tersebut disebut normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah agar koefisien dari x1 berubah menjadi 1.

2. Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi (dalam hal ini persamaan pertama) dengan koefisien pertama dari persamaan kedua (yaitu a21).

3. Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama.

4

Algoritma Gauss Naif

4. Kalikan persamaan pertama yang sudah dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a11 = a31.

5. Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah 4.

6. Baris kedua dibagi dengan koefisien a22. Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar koefisien x2 berubah menjadi 1.

5

Algoritma Gauss Naif

7. Kalikan persamaan kedua yang sudah dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan suatu koefisien tertentu sehingga a22 = a32.

8. Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.

6

Algoritma Gauss Naif (Ex.)

Diketahui SPL:2x1 + 2x2 + x3 = 43x1 - x2 + x3 = 1x1 + 4x2 - x3 = 2

Bagaimana penyelesaiannya?

7


Matriks yang terbentuk:

Langkah:1.

214

141113122

3

2

1

xxx

212

1411132

111

21

2

2

1

1

xxx

b

8


2. dan 3.

4. dan 5.

25

2

1412

1402

111

3

3

2

1

12

xxx

bb

05

2

23302

1402

111

3

2

1

13

xxx

bb

9


6.

7. dan 8.

04

52

23308

1102

111

41

3

2

1

2

xxx

b

4154

52

815008

1102

111

3

3

2

1

23

xxx

bb

10


Hasil:

24

158

15

3

3

x

x

1281

45

45

81

2

32

x

xx

022112

221

1

321

x

xxx

11

Algoritma Gauss Jordan Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah

sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :

diubah menjadi C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:

CXIA | CXAI 1|

nn C

CCC

x

xxx

A

3

2

1

3

2

1

1

1000

010000100001

nn Cx

Cx

Cx

22

11

12

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

Diketahui SPL:2x1 + 2x2 + x3 = 43x1 - x2 + x3 = 1x1 + 4x2 - x3 = 2

Bagaimana penyelesaiannya?

13


Langkah:1.

2.

214

100010001

111

41

2

132

3

2

1

xxx

212

100010002

1

112

1

41

1

131

21

3

2

1

1

xxx

b

14


3.

4.

13

12 3bbbb

05

2

1021

0123

0021

232

12

1

34

1

001

3

2

1

xxx

04

52

1021

041

83

0021

238

12

1

311

001

41

3

2

1

2

xxx

b

15


5.

6.

23

21

3bb

bb

4154

54

3

143

813

041

83

041

81

8158

18

3

010

001

3

2

1

xxx

24

54

3

158

156

1513

041

83

041

81

18

18

3

010

001

158

3

2

1

3

xxx

b

16


7.

Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2

32

31

818

3

bb

bb

210

158

156

1513

151

51

154

51

52

521

100

010

001

3

2

1

xxx

17

Algoritma Gauss Seidel Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan

yang berjumlah besar. Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan

harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0. Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan

dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.

Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.

18

Algoritma Gauss Seidel

1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 2. Hitung

Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka

11

141431321211 a

xaxaxaxaCx nn

11

11 a

Cx

19

Algoritma Gauss Seidel3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk

menghitung x2. Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2

22

232312122 a

xaxaxaCx nn

22

12122 a

xaCx

20

Algoritma Gauss Seidel4. Menghitung x3

Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3

a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn

33

343423213133 a

xaxaxaxaCx nn

33

23213133 a

xaxaCx

21


5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1,

x2, x3, ..., xn baru

nn

nnnn

nn

nn

axaxaxaxaC

x

axaxaxaCx

axaxaxaCx

111313212111

22

232312122

11

131321211

22


7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:

8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|

%100

%100

)(

)(

barun

lamanbarunan

barui

lamaibaruiai

xxx

x

xxx

x

23

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Diketahui SPL:x1 + 7x2 – 3x3 = –51 4x1 – 4x2 + 9x3 = 61 12x1 – x2 + 3x3 = 8dan a = 5 %

86151

3112944371

3

2

1

xxx

24


Iterasi ke-0 x1 = x2 = x3 = 0

Iterasi ke-1

51151

1

x 25,664

514614461 1

2

xx

58,1843

25,665183

128 213

xxx

25


Iterasi ke-2

78,34073

55,136649,9661283

128

55,13664

58,184949,9664614

9461

49,9661

58,184325,667511

3751

213

312

321

xxx

xxx

xxx

26


Iterasi ke-3

Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|

11,701893

94,2752219,198401283

128

94,275224

78,3407919,198404614

9461

19,198401

78,3407355,13667511

3751

213

312

321

xxx

xxx

xxx

27

Algoritma Gauss Seidel (Ex.)Iterasi ke- Nilai x a

0x1 = 0x2 = 0x3 = 0

1x1 = 51

x2 = 66,25x3 = 184,58

2x1 = 966,49

x2 = 1366,55x3 = 3407,78

a = 105,28 %a = 104,85 %a = 105,42 %

3x1 = 19840,19x2 = 27522,94x3 = 70189,11

a = 104,87 %a = 104,97 %a = 104,86 % 28

Koefisien Relaksasi () Tujuan:

Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri

berdasarkan masalah yang dihadapi. Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara 0

s/d 1 disebut Under Relaksasi. antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk

mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.

29

Koefisien Relaksasi ()

Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan

lamai

baruii xxx 1

30

0<<21

Solusi perbaikan dengan Koefisien Relaksasi ()pada metode Gauss Seidel

31

x1

x2

u v

x1(target)

x2(target)

x1

x2

uv

x1(target)

x2`(target)

Konvergen lambat Divergen

0<<11<<2Over relaxation Under relaxation

Mempercepat konvergensi Divergen menjadi konvergen

Solusi:

Koefisien Relaksasi () (Ex.)Iterasi

ke- Nilai x dengan (1,5)

0 x1 = 0x2 = 0

1 x1 = 10x2 = 15

2 x1 = 6x2 = 7,5

x1 baru = 4x2 baru = 3,75

3 x1 = 4x2 = 3,75

Contoh perhitungan :x1 baru = 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10= 9 + (–0,5) . 10= 4

32

metode numerik -...

Documents