p7 spl homogen dan non-homogen
TRANSCRIPT
Sistem persamaan linier
SPL homogen dan non homogen
• Secara umum, sistem yang terdiri dari m persamaan linear dan n variabel tak diketahui, disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR, mempunyai bentuk
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Contoh 1
x + 2y + 3z = 62x – 3y + 2z = 143x + y – z = -2
mempunyai solusi : x = 1, y = -2, z = 3
Solusi sistem persamaan linear
Contoh 2x + 2y – 3z = -42x + y – 3z = 4
mempunyai solusi: x = r + 4y = r – 4
z = rdengan r sebarang bil. Real.
Sistem mempunyai banyak solusi
Solusi persamaan linear
Contoh 3Sistem linierx + 2y = 102x – 2y = -43x + 5y = 26
mempunyai solusi : x = 2, y = 4Bandingkan dengan sistem linier
x + 2y = 102x – 2y = -43x + 5y = 56
mempunyai solusi : x = 2, y = 4, y = 10 solusi y = 4 dan y = 10 sistem tidak mempunyai solusi
Solusi persamaan linear
Skema Sistem persamaan linear
Sistem Persamaan Linier
Homogen Non Homogen
Mempunyai Pemecahan
Tidak Mempunyai Pemecahan
Pemecahan Tak-HinggaPemecahan Tunggal
PemecahanNon - Trivial
Pemecahan Trivial
Selalu Ada Pemecahan
SPL berbentuk :
dapat dibawa ke persamaan :
atau A X = BSistem diatas disebut dengan sistem Persamaan Linier non homogen
Ax = b bAMatriks diperbesar (Augmented
Matrices)SPL
dibentuk
bA Matriks eselon baris tereduksi
diubah
Ax = b bAMatriks diperbesar (Augmented
Matrices)SPL non homogen
dibentuk
bA Matriks eselon baris tereduksi
diubah
Operasi tersebut yaitu:- Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol- Menukar letak dari dua baris matriks- Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan atau pengurangan baris dengan k kali atau kelipatan baris yang lain.
Operasi baris elementer adalah suatu operasi yang digunakan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier.
Diketahui sistem persamaan:2x + 3y + 4z = 54x + 5y + z = 10 x + 2y + 7z = 12
Carilah solusinya! Penyelesaian
=
==> z =
=
Carilah solusi dari SPL berikut :1. x + 2y + 3z = 9
2x – y + z = 83x – z = 3
2. x + y + 2z – 5w = 32x + 5y – z – 9w = -32x + y – z + 3w = -11 x – 3y + 2z + 7w = -5
3. x + 2y + 3z + 4w = 5 x + 3y + 5z + 7w = 11 x – z – 2w = -6
Ax = 0Solusi dari sistem homogen yg berbentuk :
x1 = x2 = … = xn = 0
disebut dengan solusi trivial, jika tidak demikian disebut solusi non trivial
Bentuk umum :
Sistem Persamaan Linier Homogen :
1. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0.
2. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:
Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada
Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya
2 2 -1 0 1 0
-1 -1 2 -3 1 0
1 1 -2 0 -1 0
0 0 1 1 1 0
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya
2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0
1 1 -2 0 -1 00 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0-1 -1 2 -3 1 01 1 -2 0 -1 00 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 3/2 -3 3/2 0
0 0 -3/2 0 -3/2 0
0 0 1 1 1 0
Brs-1 (1/2)
Brs-2 + brs-1
Brs-3 – brs-1
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 3/2 -3 3/2 0
0 0 -3/2 0 -3/2 0
0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 3 0 0
Brs-2 (2/3)
Brs-3 (– 2/3)
Brs-3 – brs-2
Brs-4 – brs-2
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 3 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
Brs-3 (1/2)
Brs-4 (1/3)
Brs-4 – brs-3
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
baris-1 + (1/2) baris-2
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
x1 + x2 + x5 = 0
x3 + x5 = 0
x4 = 0
x5 = s x3 + x5 = 0 x3 = – x5
x2 = t x1 + x2 + x5 = 0 x1 = – x2 – x5
Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) }
Soal LatihanSoal Latihan
1. x + 2y + 3z = 0 2. x + y + z + w = 0
-x + 3y + 2z = 0 x + w = 0 2x + y – 2z = 0 x + 2y + z = 0
Jika sistem homogen terdiri dari m persamaan dan n variabel tak diketahui, dengan m < n, maka solusinya selalu nontrivial.
Jika sistem homogen mempuyai solusi trivial, maka pastilah m > n.
Carilah solusi dari SPL berikut :