persamaan differensial linier dan aplikasinya

51
PERSAMAAN DIFERENSI LINEAR DAN APLIKASINYA S K R I P S I Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Disusun Oleh : Nama : Rina Andriani Nim : 4150401009 Prodi : Matematika S1 Jurusan : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2005

Upload: yarni-arni

Post on 04-Jan-2016

756 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

PERSAMAAN DIFERENSI LINEAR

DAN APLIKASINYA

S K R I P S I

Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Disusun Oleh :

Nama : Rina Andriani

Nim : 4150401009

Prodi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2005

Page 2: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

ABSTRAK

Rina Andriani (4150401009), Persamaan Diferensi Linear dan Aplikasinya. Jurusan

Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Semarang 2005.

Dalam masalah rekayasa di bidang fisika, biologi, matematika, dan terapan-terapan

lainnya, persamaan diferensial sering ditemui dalam bentuk model matematisnya, dimana dalam

masalah-masalah itu ada variabel tak bebas y dan tergantung pada variabel bebas t yang kontinu.

Meskipun demikian, dalam banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil sebagai nilai-nilai

diskrit. Hal inilah yang akan membawa kepada apa yang dinamakan dengan Persamaan

Diferensi.

Permasalahan dalam penelitian ini adalah mencari solusi umum persamaan diferensi

linear orde satu dan dua baik untuk persamaan homogen maupun nonhomogen, serta aplikasinya

dalam bidang biologi. Selain itu juga akan dibahas dua metode untuk mencari solusi persamaan

diferensi linear non homogen yaitu metode koefisien yang tak diketahui dan metode

transformasi-Z. Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan solusi umum persamaan diferensi

orde satu dan dua baik untuk persamaan homogen maupun nonhomogen serta dapat

menggunakan persamaan diferensi dalam bidang biologi.

Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur.

Dari tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.

Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari solusi umum

persamaan diferensi linear homogen orde satu adalah

yn = c

n

a

b

− , dengan n = 0, 1, 2, … , dan c sembarang konstanta. Dan orde dua adalah

tergantung pada 3 kemungkinan nilai r1 dan r2 yang diperoleh dari persamaan karakteristik dari

persamaan diferensinya. Kemudian solusi umum persamaan diferensi linear nonhomogen dicari

dengan dua metode yaitu: metode diskrit koefisien yang tak diketahui dan transformasi-Z. Dan

persamaan diferensi ini akan diaplikasikan dalam bidang biologi. Persamaan diferensi yang

dibahas disini dapat dikembangkan untuk persamaan diferensi linear dengan orde yang lebih

tinggi ataupun untuk persamaan diferensi nonlinear.

Page 3: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

MOTTO DAN PERUNTUKAN

MOTTOMOTTOMOTTOMOTTO

“ Jadikanlah sabar dan sholat sebagai penolongmu” (Q.S. Al Baqoroh: 45)

“ Imajinasi lebih berharga daripada sekedar ilmu pasti” (Albert Einstein)

“Disaat kita mau berusaha keberhasilan akan selalu menyertai kita”

“ Failed in strunggle doesn’t mean a decline”

PERUNTUKANPERUNTUKANPERUNTUKANPERUNTUKAN

Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.

Kuperuntukan karya ini kepada:

1. Bapak dan Ibu tercinta yang telah memberikan kasih

sayangnya .

2. Kakak dan adikku tercinta.

3. Aa’ Sugeng tersayang.

4. Guruku serta dosenku yang telah memberikan pengetahuan

serta ilmunya.

Page 4: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT., atas limpahan petunjuk dan

karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul “

Persamaan Diferensi Linear dan Aplikasinya”.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Dr. H.A.T. Soegito, S.H., M.M. Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Drs. Kasmadi Imam S., M.S. Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

3. Drs. Supriyono, M.Si. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.

4. Drs. Khaerun, Msi, pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada

penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, dan arahan

kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

6. Segenap sivitas akademika di jurusan Matematika FMIPA UNNES.

7. Ayah dan Ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik secara moral

maupun spiritual dan segala yang ternilai.

8. Kakakku dan adikku yang telah mendorong dalam proses penyelesaian skripsi ini.

9. Sayangku Aa’ Sugeng yang tak henti-hentinya memberikan dorongan serta semangat untuk

segera menyelesaikan skripsi ini.

10. Sahabat-sahabatku Ajeng, Pooi, dan Sari yang telah memberikan dorongan untuk segera

menyelesaikan skripsi ini, serta teman-teman kost lumintu dan kost berkah semuanya.

Page 5: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

11. Teman-temanku Woro, Lidia, Puput, Nany, Mey, Eli, Dwi, Taufik, Sigit, Ardi, Bowo, Doni

dan semua angkatan 2001 yang selalu memberiku semangat dan dorongan hingga selesainya

skripsi ini.

12. Orang-orang yang telah memberikan inspirasi, baik disengaja maupun tidak, serta pihak-

pihak yang telah memberikan segala dukungan baik langsung maupun tidak langsung,

material maupun immaterial, hingga proses penyusunan skripsi ini berjalan dengan lancar

sampai terselesainya skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.

Semarang, Agustus 2005

Penulis

Page 6: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... ii

ABSTRAK ......................................................................................................iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................................... iv

KATA PENGANTAR ..................................................................................... v

DAFTAR ISI .................................................................................................vii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah................................................................ 1

B. Permasalahan ................................................................................ 2

C. Tujuan Penelitian .......................................................................... 2

D. Manfaat Penelitian ........................................................................ 3

E. Sistematika Penulisan Skripsi........................................................ 3

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5

A. Persamaan Diferensi...................................................................... 5

B. Beberapa Solusi Teori Dasar ........................................................ 6

C. Masalah Nilai Awal .................................................................... 14

D. Fungsi ......................................................................................... 15

E. Derivatif(turunan)…………………………………………………15

F. Beberapa Definisi dan Toerema dari Barisan dan Deret………….16

G. Deret Khusus……………………………………………………...19

H. Transformasi-Z……………………………………………………20

BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................... 24

A. Menentukan Masalah ................................................................. 24

B. Merumuskan Masalah ................................................................ 24

C. Studi Pustaka .............................................................................. 24

Page 7: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

D. Analisis dan Pemecahan Masalah................................................ 25

E. Penarikan Simpulan .................................................................... 25

BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................. 26

A. Mencari solusi umum persamaan diferensi linear homogen ......... 26

B. Mencari solusi umum persamaan diferensi linear nonhomogen ... 35

C. Aplikasi persamaan diferensi dalam bidang biologi……………...43

BAB IV PENUTUP ...................................................................................... 45

A. Simpulan .................................................................................... 45

B. Saran .......................................................................................... 47

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 48

Page 8: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Akhir-akhir ini dengan meluasnya penggunaan sirkuit digital, simulasi komputer,

dan metode numerik, membuat topik ini menjadi penting, karena semua itu menggunakan

persamaan diferensi sebagai konsep dasarnya.

Dalam masalah rekayasa dibidang fisika, biologi, matematika, dan terapan-terapan

lainnya, persamaan diferensial sering ditemui dalam bentuk model matematisnya, dimana

dalam masalah-masalah itu ada variabel tak bebas y dan tergantung pada variabel bebas t

yang kontinu. Meskipun demikian, dalam banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil

sebagai nilai-nilai diskrit. Hal inilah yang akan membawa kepada apa yang dinamakan

dengan Persamaan Diferensi.

Untuk mendapat solusi-solusi persamaan diferensi tersebut, dapat digunakan versi

diskrit dari persamaan diferensial seperti metode koefisien tak diketahui (undertermined

coefficient), metode variansi parameter, transformasi-Z (yang merupakan versi diskrit

transformasi-laplace), dan lain-lain. Dengan demikian persamaan diferensi merupakan versi

diskrit dari sebagian besar teknik-teknik persamaan diferensial.

Dalam penulisan kali ini hanya membahas persamaan diferensi linear orde satu dan

dua baik untuk persamaan homogen maupun nonhomogen, serta aplikasinya dalam bidang

biologi. Selain itu juga akan dibahas dua metode untuk mencari solusi persamaan diferensi

linear nonhomogen yaitu metode koefisien yang diketahui dan metode transformasi-Z. 1

Page 9: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Dari uraian diatas maka penulis mengangkat judul “ Persamaan Diferensi Linear

dan Aplikasinya “ , sebagai judul skripsi.

B. PERMASALAHAN

1. Bagaimana mendapatkan solusi umum persamaan diferensi linear homogen dengan

koefisien konstan.

2. Bagaimana mendapatkan solusi umum untuk persamaan diferensi linear nonhomogen

dengan koefisien konstan dan dengan menggunakan metode koefisien tak diketahui dan

metode transformasi-Z.

3. Bagaimana aplikasi persamaan diferensi linear dalam bidang biologi.

C. TUJUAN PENELITIAN

1. Mendapatkan solusi umum persamaan diferensi linear homogen dengan koefisien

konstan.

2. Mendapatkan solusi umum untuk persamaan diferensi linear nonhomogen dengan

koefisien konstan dan dengan menggunakan metode koefisien tak diketahui dan metode

transformasi-Z.

3. Dapat menggunakan persamaan diferensi linear dalam bidang biologi.

D. MANFAAT PENELITIAN

Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang diferensi linear khususnya

persamaan diferensi linear dengan orde satu dan orde dua.

Page 10: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI

Penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian, yaitu bagian

awal, bagian isi, dan bagian akhir.

Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan, halaman motto,

halaman persembahan, kata pengantar, dan daftar isi.

Bagian isi terbagi atas 5 bab, yaitu:

BAB I PENDAHULUAN

Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang diangkat, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI

Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan dalam

pemecahan masalah.

BAB III METODE PENELITIAN

Memaparkan tentang prosedur atau langkah-langkah yang dilakukan dalam

penelitian ini meliputi menemukan masalah, perumusan masalah, studi pustaka,

analisis dan pemecahan masalah, penarikan simpulan.

BAB IV PEMBAHASAN

Dalam bab ini berisi pembahasan dan analisis dari penelitian.

BAB V PENUTUP

Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang ditujukan untuk

pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri khususnya.

Page 11: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Bagian akhir memuat daftar pustaka sebagai acuan penulisan dan lampiran-lampiran yang

mendukung kelengkapan skripsi.

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensi

Definisi 1.

Page 12: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Persamaan diferensi adalah persamaan yang menghubungkan perbedaan suku-suku dari

barisan bilangan-bilangan (y0, y1, y2, …, yn, … ) dengan nilai-nilai yn dari barisan tersebut

yang tidak diketahui kwatitasnya dan diharapkan untuk ditemukan. Barisan sering

dinotasikan dengan (yn)0=

∞=

n

n atau secara singkat (yn) ataupun yn. Kecuali ditunjukan

dengan cara lain selalu diasumsikan bahwa indeks n adalah bilangan bulat 0, 1, 2, … .

Contoh persamaan diferensi:

(1) yn+1 – 0,08yn = 1. (1)

(2) yn+2 – yn+1 + yn = 2n + 1. (2)

( Farlow, 1994; 396 )

Definisi 2.

Orde persamaan diferensi adalah selisih antara indeks terbesar dan indeks terkecil dari

anggota-anggota barisan yang muncul pada persamaan.

Dari persamaan di atas persamaan (1) adalah persamaan orde satu, dan persamaan (2) adalah

persamaan orde dua.

( Farlow, 1994; 396 )

Persamaan-persamaan Diferensi Linear

Bentuk umum dari persamaan diferensi linear orde satu dan orde dua berikut-berikut adalah:

anyn+1 + bnyn = fn dan (3)

anyn+2 + bnyn+1 + cnyn = fn. (4)

Barisan-barisan (an), (bn), dan (cn) menyatakan koefisien-koefisien yang diberikan dan yn,

yn+1, yn+2 adalah barisan-barisan konstan atau tergantung pada n.

5

Page 13: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Jika semua suku-suku dari barisan itu konstan, maka persamaannya dikatakan mempunyai

koefisien konstan, namun jika tidak persamaan tersebut dikatakan mempunyai koefisien

variabel.

Jika tidak semua anggota-anggota dari barisan (fn) adalah nol, maka persamaannya disebut

persamaan diferensi nonhomogen. Jika semua anggota-anggota (fn) adalah nol maka

persamaannya disebut persamaan diferensi homogen.

( Farlow, 1994; 397)

B. Beberapa Teori Solusi Dasar.

Teorema 3.

Jika dua barisan (un) dan (vn) adalah solusi dari persamaan diferensi linear homogen

Anyn+2 + Bnyn+1 + Cnyn = 0 (5)

maka setiap kombinasi linear dari barisan tersebut yang berbentuk

c1 (un) + c2 (vn) = (c1 un + c2 vn)

dengan c1 dan c2 sebarang konstan juga merupakan solusi dari persamaan diferensi (5).

Bukti:

Dipunyai (un) dan (vn) adalah solusi-solusi dari persamaan (5).

Jadi Anun+2 + Bnun+1 + Cnun = 0 (6)

dan Anvn+2 + Bnvn+1 + Cnvn = 0 (7)

Akan dibuktikan bahwa

c1 (un) + c2 (vn) = (c1 un + c2 vn)

juga merupakan solusi dari persamaan (5)

Page 14: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

sehingga

An[c1un+2 + c2vn+2] + Bn[c1un+1 + c2vn+1] + Cn[c1un + c2vn]

= [ Anc1un+2 + An c2vn+2] + [Bnc1un+1 + Bn c2vn+1] + [Cnc1un + Cn c2vn]

= [ Anc1un+2 + Bnc1un+1 + Cnc1un] + [An c2vn+2 + Bn c2vn+1 + Cn c2vn]

= c1[Anun+2 + Bnun+1 + Cnun] + c2 [An vn+2 + Bn vn+1 + Cn vn]

= c1 0 + c2 0

= 0 + 0

= 0.

Jadi c1 (un) + c2 (vn) = (c1 un + c2 vn) juga merupakan solusi dari persamaan diferensi (5).

( Farlow, 1994; 400 )

Berikut disajikan definisi dan barisan yang bebas linear.

Definisi 4.

Dua barisan (un) dan (vn), n ≥ 0 dikatakan bebas linear jika dan hanya jika

A un + B vn = 0 ∀ n = 0, 1, 2, ... berakibat A = B = 0. (8)

Jika ada konstanta A dan B yang keduanya tidak sama dengan nol sedemikian hingga

persamaan (8) dipenuhi untuk semua n ≥ 0 maka kedua barisan itu dikatakan tak bebas

linear.

( Farlow, 1994; 400 )

Definisi 5.

Casoration C(un, vn) dari dua barisan (un) dan (vn) adalah barisan yang ditentukan dengan

determinan

Page 15: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

C(un, vn) =

11 ++ nv

nu

nv

nu

= unvn+1 – un+1vn untuk n = 0, 1, 2, … . (9)

Jika (un) dan (vn) adalah solusi-solusi persamaan linear homogen, maka casoration C(un, vn)

dari dua barisan itu selalu nol atau tidak pernah nol untuk semua n.

Teorema 6.

Jika (un) dan (vn) adalah dua solusi yang bebas linear dari

anyn+2 + bnyn+1 + cnyn = 0 (10)

maka setiap solusi (wn) dari persamaan (10) dapat dinyatakan sebagai

(wn) = c1 (un) + c2 (vn) (11)

dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta.

Bukti :

Dipunyai (un) dan (vn) adalah dua solusi persamaan (10). Jelas kombinasi linear c1 (un) + c2

(vn) juga merupakan solusi persamaan (11).

Akan dicari c1 dan c2.

Dipunyai (un) dan (vn) suatu solusi (10).

Ambil sembarang c1, c2 ∈R.

Bangun c1(un) + c2(vn).

Tulis c1(un) + c2(vn) = (wn).

(wn) adalah sembarang solusi persamaan (10).

Karena itu c1 dan c2 akan memenuhi dua suku pertama

w0 = c1u0 + c2v0

w1 = c1u1 + c2v1

Page 16: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Dari uji kebebasan linear, bentuk (unvn+1 – un+1vn) = 0 bukan barisan Casoration, sehingga

u0v1 – u0v1 ≠ 0. Tetapi karena kedua barisan yaitu (wn) dan c1 (un) + c2 (vn) memenuhi

persamaan diferensi dan syarat awal yang sama, maka keduanya haruslah barisan yang sama.

Dua solusi yang bebas linear (un) dan (vn) disebut suatu himpunan basis dari solusi, dan

himpunan semua kombinasi solusi ini disebut solusi umum dari persamaan (10).

( Farlow, 1994; 401 )

Solusi Persamaan Diferensi

Solusi dari persamaan diferensi adalah suatu barisan sederhana yang memenuhi persamaan

diferensi untuk semua nilai n = 0, 1, 2, … .

Teorema 7.

Solusi umum persamaan diferensi orde dua.

ayn+2 + byn+1 + cyn = 0. (n = 0, 1, 2, … ) (12)

tergantung pada dua akar r1 dan r2 dari persamaan karakteristik ar2+br +c = 0.

Karena a, b, dan c real, persamaan karakteristik mempunyai tiga kemungkinan nilai r1 dan r2,

yaitu:

1. Kasus r1 ≠ r2:

Jika r1 dan r2 akar-akar real dan berbeda, maka solusi umum persamaan (12) adalah:

yn = c1r1n + c2r2

n. (n = 0, 1, 2, … ) (13)

dengan c1 dan c2 adalah konstanta.

Bukti:

Page 17: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Kasus ini muncul bila diskriminan D = b2 – 4ac dari persamaan (12) bernilai positif, karena

dengan demikian akar-akarnya adalah r1 = a

Db

2

+− dan

r2 = a

Db

2

−−. Sehingga r n

1 dan r n

2 adalah dua barisan dari solusi persamaan diferensi linear

homogen ini. Jika r n

1 dan r n

2 adalah dua barisan dari solusi persamaan diferensi linear

homogen maka setiap kombinasi linear dari barisan tersebut adalah:

yn = c1r1n + c2r2

n, dengan c1 dan c2 sembarang konstan.

Jadi setiap kombinasi linear dari barisan r n

1 dan r n

2 dengan akar-akar real dan berbeda adalah

solusi umum dari persamaan (3).

2. Kasus r1 = r2:

Jika r = r1 = r2 = - a

b

2, maka solusi umum dari persamaan (12) adalah:

yn = c1rn + c2nr

n . (n = 0, 1, 2, … ) (14)

dengan c1 dan c2 adalah konstanta.

Bukti:

Dibuktikan dengan mensubstitusikan yn ke dalam persamaan (12) dengan

yn = c1rn + c2nr

n . (n = 0, 1, 2, … )

a[c1rn+2

+ c2(n+2)rn+2

] + b[c1rn+1

+ c2(n+1)rn+1

] + c[c1rn + c2nr

n]

= (ac1rn+2

+ ac2nrn+2

+ ac22rn+2

) + (bc1rn+1

+ bc2nrn+1

+ bc2rn+1

) + (cc1rn + cc2nr

n).

= (ac1rn+2

+ bc1rn+1

+ cc1rn) + (ac2nr

n+2 + bc2nr

n+1 + cc2nr

n) + (ac22r

n+2 + bc2r

n+1).

= c1(a rn+2

+ b rn+1

+ rn) + c2n (a r

n+2 + b r

n+1 + cr

n) + (ac22r

n+2 + bc2r

n+1).

= c1 0 + c2 0 + (ac22rn+2

+ bc2rn+1

).

= 0.

Page 18: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Jadi bentuk dalam kurung diatas yaitu:

ac22rn+2

+ bc2rn+1

= 0.

atau r = -a

b

2.Karena r = -

a

b

2 berarti persamaan karakteristik dari (12) mempunyai akar-akar

yang sama dan yn = c1rn + c2nr

n, (n = 0, 1, 2, … ) merupakan solusi dari persamaan (12).

3. Kasus (r1= reiθ

, r2= r e-iθ

):

Jika akar-akarnya adalah kompleks sekawan, r1 = p+iq dan r2 = p-iq, ditulis dalam bentuk

eksponen sebagai r1 = reiθ

dan r2 = r e-iθ

, dengan

r = 22qp + dan tg θ =

p

q, maka solusi umum dari persamaan (12) adalah:

yn = rn

(c1 cos nθ + c2 sin nθ ) (n = 0, 1, 2, … ) (15)

dengan c1 dan c2 adalah konstanta.

Bukti:

Bila diskriminannya kurang dari nol (b2 – 4ac < 0) maka akar-akarnya

r1 = p+iq dan r2 = p-iq dengan p = -a

b

2 dan q =

a

D

2. Dalam bentuk eksponen r1 dan r2 dapat

ditulis sebagai r1 = reiθ

dan r2 = r e-iθ

dengan

r = 22qp + dan tg θ =

p

q.

ex = ...

!3!21

32

++++xx

x

eix

= ...!3

)(

!2

)(1

32

++++ixix

ix

= ...!3!2

132

+−−+x

ix

ix

Page 19: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

=

−+− ...

!4!21

42 xx + i

−+− ...

!5!3

53 xxx

= cos x + i sin x

eiθ

= cos θ + i sin θ .

Solusi umum persamaan (12) adalah:

yn = c1r1n + c2r2

n

= c1 (reiθ

)n + c2 (r e

-iθ)n.

= c1 rn e

inθ + c2 r

n e

-inθ.

= c1rn (cos nθ + i sin nθ ) + c2r

n (cos nθ - i sin nθ ).

= rn [ c1 (cos nθ + i sin nθ ) + c2 (cos nθ - i sin nθ )].

= rn

[(c1 cos nθ + c1 i sin nθ ) + (c2 cos nθ - c2 i sin nθ )].

= rn [(c1 cos nθ + c2 cos nθ ) + (c1 i sin nθ - c2 i sin nθ )].

= rn [ (c1 + c2) cos nθ + (c1 i – c2i) sin nθ ].

= rn

[C1 cos nθ + C2 sin nθ ].

Dengan C1 = c1 + c2 dan C2 = c1 i – c2 i.

Teorema 8.

Jika (pn) adalah solusi khusus dari persamaan nonhomogen

anyn+2 + bnyn+1 + cnyn = fn, (n = 0, 1, 2, … ).

(an ≠ 0), maka setiap solusi dari persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk

(yn) = (hn) + (pn) (n = 0, 1, 2, … ).

dengan (hn) adalah solusi umum persamaan homogennya.

Page 20: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Bukti:

Jika (pn) adalah solusi khusus dari persamaan diferensi linear nonhomogen anyn+2 + bnyn+1 +

cnyn = fn

maka anpn+2 + bnpn+1 + cnpn = fn.

Akan ditunjukkan bahwa (hn) = (yn) – (pn) adalah solusi persamaan diferensi homogen.

anhn+2 + bnhn+1 + cnhn = an (yn+2 – pn+2) + bn(yn+1 – pn+1) + cn (yn - pn).

= an yn+2 – an pn+2 + bnyn+1 – bn pn+1 + cn yn - cn pn.

= (an yn+2 + bnyn+1+ cn yn) – (an pn+2 + bn pn+1+ cn pn).

= fn - fn

= 0.

Karena itu (hn) = (yn) – (pn) adalah solusi dari persamaan diferensi

anyn+2 + bnyn+1 + cnyn = 0.

Dengan demikian (yn) dapat ditulis sebagai:

(yn) = ((yn) – (pn)) + (pn)

= (hn) + (pn).

Teorema terbukti.

C. Masalah Nilai Awal.

Masalah menemukan suatu solusi untuk persamaan diferensi yang diberikan syarat awalnya

disebut “ masalah nilai awal “.

Bilamana bentuk masalah menggunakan persamaan orde satu atau dua, sering diasumsikan

bahwa satu anggota pertama atau dua anggota pertama dari barisannya yang diketahui.

Untuk persamaan orde satu, bentuk yn+1 diselesaikan dalam bentuk yn, kemudian dapat

Page 21: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

ditentukan nilai-nilai y1, y2, y3, … dengan satu syarat awal y0. Sedangkan untuk persamaan

orde dua bentuk yn+2 diselesaikan dalam bentuk yn+1 dan yn, kemudian ditentukan nilai-nilai

y2, y3, y4, … dengan dua syarat awal y0 dan y1.

( Farlow, 1994; 398 )

D. Fungsi

Dipunyai pengaitan R : A → B.

R merupakan fungsi jika dan hanya jika :

(a) ∀ x∈A ∃ y∈B ∋ y = R(x) dan

(b) ∀ x1, x2∈A, x1 = x2, f(x1) = f(x2).

E. Derivatif (turunan)

Definisi 9.

Dipunyai f : (a, b) → R fungsi kontinu dan x0∈ (a,b).

Jika 0

lim

→h

h

xfhxf )()( 00 −+ ada,

maka 0

lim

→h

h

xfhxf )()( 00 −+ disebut turunan f di xo dan diberikan lambang f’(xo).

Teorema 11.

Dipunyai 0

lim

→h

h

xfhxf )()( 00 −+ = f(xo).

Jika f’(xo) ada maka f kontinu di x = xo.

Page 22: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Bukti:

Dipunyai f’(xo) ada.

Jelas f’(xo) = 0

lim

→h

h

xfhxf )()( 00 −+.

Tulis f’(xo) = a.

oxx →

⇔lim

. .)()( 0 a

xx

xfxf

o

=−

=→

⇔ )(lim

xfxx o

oxx →

lim = a(x - xo).

==→

⇔ )()(lim

o

o

xfxfxx

).(lim

o

o

xxaxx

−→

).()(lim

o

o

xfxfxx

=→

Jadi f kontinu di titik x = xo.

F. Beberapa definisi dan teorema dari barisan dan deret

Pengertian Barisan:

Dipunyai fungsi f : A → R.

Jelas Rf = ( f(1), f(2), f(3), … )

= ( f(1), f(3), f(2), … )

Perhatikan ( f(1), f(2), f(3), …) ≠ ( f(2), f(1), f(3), …).

Ekspresi ( f(1), f(2), f(3), …) disingkat (f(n))n∈A disebut barisan yang dibangun oleh fungsi

f.

Contoh

Page 23: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Suatu barisan disajikan dengan 5 unsur pertama, yaitu: (2, 4, 6, 8, 10, … ).

Jelas (2, 4, 6, 8, 10, … ) = (2.1, 2.2, 2.3, 2.4, … ).

Jadi (2, 4, 6, 8, 10, … ) = (2n)n∈A.

Definisi 10.

Barisan (an) mempunyai limit L ⇔ untuk setiap ε > 0 terdapat suatu bilangan asli N

sehingga | an – L | < ε apabila n > N.

Diketahui (an)n∈A konvergen ke L dan ditulis

∞→n

Limitan = L.

Definisi 11.

Barisan an dikatakan

i. naik apabila an < an+1 untuk semua n.

ii. turun apabila an > an+1 untuk semua n.

suatu barisan yang naik atau turun disebut monoton.

Contoh :

(1) Barisan2

1,

3

2,4

3, …,

1+n

n, … adalah naik.

(2) Barisan 1, 2

1,

3

1,4

3, …,

n

1, … adalah turun.

Definisi 12.

Page 24: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Bilangan C disebut batas bawah barisan (an) apabila C ≤ an untuk semua bilangan bulat

positif n dan bilangan D disebut batas atas barisan (an) apabila an ≤ D untuk semua bilangan

bulat positif n.

Definisi 13.

Barisan (an) dikatakan terbatas jika dan hanya jika barisan terbatas tersebut mempunyai

batas atas dan batas bawah.

Teorema 14.

Suatu barisan yang monoton terbatas adalah konvergen.

Bukti :

Dipunyai barisan (an) monoton naik dan terbatas di atas.

Tulis A = (an : n ∈ N ) ⊆ R.

Jelas A terbatas di atas.

Tulis a = sup A.

Ambil sembarang ε > 0.

Jelas a – ε bukan suatu batas atas A.

Pilih n0∈ N ∋ a – ε < an 0 .

Dipunyai (an)n∈N monoton naik.

Jelas an > an 0 ∀ n > no.

Jadi a – ε < an 0< an ≤ a < ε.

Jadi ∀ ε > 0 ∃ no∈ N ∋ | an – a | < ε maka n > no.

Jadi (an)n∈N → a.

Page 25: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Jadi (an) adalah suatu barisan yang konvergen.

Definisi 15.

Dipunyai (un) suatu barisan dan

Sn = u1 + u2 + u3 + … + un

Barisan (sn) disebut deret tak hingga.

Deret tak hingga ini dinyatakan dengan :

∑∞

=1n

nu = u1 + u2 + u3 + … + un + …

Bilangan – bilangan u1, u2, u3, …, un , … disebut suku–suku deret tak hingga, sedangkan

bilangan–bilangan s1, s2, s3, … disebut jumlah parsial deret tak hingga.

G. Deret khusus

a. Deret geometri didefinisikan sebagai: ∑∞

=1n

a rn-1

= a + ar + ar2

+ … .

Selanjutnya a disebut suku pertama dan r disebut rasio.

Jika | r | < 1 maka deret ∑∞

=1n

a rn-1

kovergen.

Jika | r | ≥ 1 maka deret ∑∞

=1n

a rn-1

divergen.

Jelas Sn = r

ran

1

)1(.

Kasus | r | < 1:

Page 26: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Jelas Sn = ∞→n

limSn.

= ∞→n

lim

r

ran

1

)1(.

= r

a

−1 .

b. Deret p didefinisikan sebagai: ∑∞

=1

1

np

n

= p

1

1 +

p2

1 +

p3

1 + … .

Dengan p adalah suatu konstanta, kovergen untuk p > 1 dan divergen untuk

p ≤ 1. Deret dengan p = 1 disebut deret harmonik.

H. Transformasi-Z.

Definisi 16.

Transformasi-Z dari barisan (yo, y1, y2, … ) adalah fungsi F(z) yang didefinisikan oleh deret

infinite:

F(z) = Z(yn ) = yo + z

y1 + 2

2

z

y +

3

3

z

y + … (18)

Transformasi-z adalah pemetaan dari klas barisan ke klas fungsi, sering ditunjukan dengan Z

: (yn) → F (z).

Barisan semula (yn) disebut juga transformasi kebalikan-Z atau invers transformasi-Z ataupun

kebalikan dari F(z). Ditunjukan dengan Z-1

[F(z)]. Jadi (yn) = Z-1

[F(z)].

(Farlow, 1994;413)

Contoh

Tentukan transformasi-Z dari barisan berikut:

Page 27: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

a. (1) = (1, 1, 1, …, 1, … ).

b. (yn) = (1, r, r2, …, r

n, … ).

c. (yn) = (1, 2, 3, …,n, … ).

d. (yn) = (0, 1, 1, 1, …, 1, … ).

Penyelesaian:

a. Z(1) = 1 + z

1 +

2

1

z + … =

11

1−

− z =

1−z

z │z│>1.

b. Z(yn) = 1 + z

r +

2

2

z

r + … =

11

1−

− rz =

rz

z

− │z│> r.

c. Z(yn) = 1 + z

2 +

2

3

z + … =

2)1( z

z

− │z│>1.

d. Z(yn) = 0 + z

1 +

2

1

z + … =

z

1

1−z

z =

1

1

−z │z│>1.

Sifat-sifat Transformasi-Z.

Sifat-sifat berikut dipenuhi oleh transformasi-Z yaitu:

1. Sifat linear.

Z(ayn+bzn) = a Z(yn) + b Z(zn).

Bukti:

Z(ayn+bzn) = Σ (ayn+bzn) z-n

.

= (ayo + bzo) + z

bzay )( 11 ++

2

22 )(

z

bzay + + …

= (ayo + bzo) +

+

z

bz

z

ay 11 +

+

2

2

2

2

z

bz

z

ay + …

=

++ ...

2

21

z

az

z

ayayo +

++ ...

2

21

z

bz

z

bybyo

Page 28: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

= a Z(yn) + b Z(zn). Terbukti.

2. Sifat pergeseran.

a. Z(yn+1) = z Z(yn) – z yo.

Bukti:

Z(yn+1) = y1 + ...3

4

2

32 +++z

y

z

y

z

y

= z

+++ ...

3

3

2

21

z

y

z

y

z

y

= z oo zyz

y

z

y

z

yy −

++++ ...

3

3

2

21 .

= z Z(yn) – z yn.

Terbukti.

b. Z(yn+1) = z2 Z(yn) – z

2yo – zy1.

Bukti:

Z(yn+2) = y2 + ...3

5

2

43+++

z

y

z

y

z

y

= z2

+++ ...

4

4

3

3

2

2

z

y

z

y

z

y

= z2 1

2

3

3

2

21 ... zyyzz

y

z

y

z

yy oo −−

++++

= z2 Z(yn) – z

2 yo – zy1. Terbukti.

3. Sifat derivatif

Z(nyn) = -z dz

d F(z).

dengan (yn) = (yo, y1, y2, … ).

Page 29: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

(yn+1) = (y1, y2, y3, … ).

(yn+2) = (y2, y3, y4, … ).

Bukti:

Z(nyn) = 0yo + ...32

3

3

2

21 +++z

y

z

y

z

y

= -z

+−−− ...

320

4

3

3

2

2

1

z

y

z

y

z

y

= -z dz

z

y

z

y

z

yyd o

++++ ...

3

3

2

21

= -z dz

d F(z).

Terbukti.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Page 30: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Pada penelitian ini metode yang penulis gunakan adalah studi pustaka. Langkah-

langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

A. Menentukan Masalah.

Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber

pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.

B. Merumuskan Masalah.

Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah ditemukan, yaitu :

1. Bagaimana mendapatkan solusi umum persamaan diferensi linear homogen dengan

koefisien konstan.

2. Bagaimana mendapatkan solusi umum untuk persamaan diferensi linear nonhomogen

dengan koefisien konstan dan dengan menggunakan metode koefisien tak diketahui

dan metode transformasi-Z.

3. Bagaimana aplikasi persamaan diferensi linear dalam bidang biologi.

C. Studi Pustaka.

Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan

data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan, mengumpulkan konsep

pendukung seperti definisi dan teorema serta membuktikan teorema-teorema yang

diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai

bahan dasar pengembangan upaya pemecahan masalah.

D. Analisis dan Pemecahan Masalah.

Analisis dan pemecahan masalah dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Mencari solusi umum persamaan diferensi linear:

a. Untuk persamaan diferensi linear homogen.

24

Page 31: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

b. Untuk persamaan diferensi linear nonhomogen.

Solusi umum persamaan diferensi linear nonhomogen dicari dengan dua metode yaitu

:

(i). Metode diskrit koefisien yang tak diketahui.

(ii).Transformasi-Z.

2. Pembahasan aplikasi persamaan diferensi linear dalam bidang biologi.

E. Penarikan Simpulan.

Tahap ini merupakan tahap akhir dari penelitian. Penarikan simpulan dari permasalahan

yang dirumuskan berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya.

Page 32: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

BAB IV

PEMBAHASAN

A. MENCARI SOLUSI UMUM PERSAMAAN DIFERENSI LINEAR HOMOGEN.

a. Persamaan Diferensi Orde Satu.

Bentuk umum dari persamaan diferensi linear orde satu dengan koefisien konstan adalah:

ayn+1 + byn = 0 (A.1)

dengan a dan b sembarang konstanta.

Solusi dari persamaan ini dapat ditemukan dengan mencoba menuliskannya dalam bentuk:

yn = rn

(A.2)

dengan r ≠ 0 dan r konstanta yang tidak diketahui.

Persamaan (A.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (A.1), didapat

arn+1

+ brn = 0

rn(ar + b) = 0

Dari sini diperoleh ar+b= 0 yang disebut persamaan karakteristik dan r=-a

b yang disebut

akar persamaan karakteristik, dengan a ≠ 0. Maka solusi umum persamaan (A.1) adalah:

yn = c

n

a

b

− (A.3)

dengan c adalah sembarang konstanta.

Jika suku pertama yo dari barisan (A.3) diberikan maka persamaan (A.1) disebut masalah

nilai awal dan solusi yang dihasilkan oleh masalah nilai awal itu adalah:

yn = yo

n

a

b

− (A.4)

26

Page 33: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Contoh

Cari solusi dari masalah nilai awal dan gambarkan grafik dari 5 suku pertama solusi-

solusinya

1. yn+1 – 2yn = 0 y0 = 1

2. yn+1 – 0.5yn = 0 y0 = 1

selidiki juga barisannya konvergen atau divergen.

Penyelesaian

1. Persamaan karakteristik dari yn+1 – 2yn = 0 adalah r – 2 = 0 sehingga diperoleh r = 2.

Dengan demikian solusi dari persamaan diferensinya adalah yn = c2n dan solusi dari

masalah nilai awal adalah yn = 2n.

yo = 1

y1 = 21

= 2

y2 = 22

= 4

y3 = 23

= 8

y4 = 24

= 16

Page 34: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

(yn) = (2n│n =0, 1, 2,…).

Barisannya monoton naik, mempunyai batas bawah, dan tidak punya batas atas, sehingga

tidak terbatas.

Jadi barisan yn divergen.

2. Persamaan karakteristik dari yn+1 – 0.5yn = 0 adalah r – 0.5 = 0 sehingga r= 0.5. Dengan

demikian solusi dari persamaan diferensinya adalah yn=c(0.5)n dan solusi dari masalah

nilai awal adalah yn= (0.5)n.

yo = 1

y1 = 0.5 = 2

1

y2 = (0.5)2 =

4

1

y3 = (0.5)3

= 8

1

y4 = (0.5)4 =

16

1

yn

n

Page 35: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

(yn) = ((2

1)n │n = 0, 1, 2, … ).

Barisannya monoton turun dan terbatas (mempunyai batas atas dan batas bawah).

Jadi barisan yn konvergen.

b. Persamaan Diferensi Orde Dua.

Pandang persamaan diferensi linear homogen dengan koefisien konstan

ayn+2 + byn+1 + cyn = 0. (n = 0, 1, 2, … ) (A.5)

dengan a, b, dan c sembarang konstanta.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, dengan mencoba suatu solusi dalam bentuk yn = rn

dengan r ≠ 0 dan r konstanta yang tidak diketahui.

Dengan mensubtitusikan yn = rn ke dalam persamaan (A.5) diperoleh:

rn (ar

n + br + c) = 0.

persamaan ini memenuhi untuk semua n = 0, 1, 2, … jika dan hanya jika r memenuhi

persamaan karakteristik

yn

n

Page 36: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

ar2 + br + c = 0. (A.6)

Solusi umum persamaan (A.5) dapat dilihat dari teorema 3.

Contoh

1. Cari solusi dari masalah nilai awal berikut dan gambarkan grafik dari lima suku pertama

solusinya

yn+2 + yn+1 – 6yn = 0, yo = 1, y1 = 0.

Penyelesaian:

Dicari dulu solusi umum dari persamaan diferensi. Persamaan karakteristiknya adalah:

r2 + r – 6 = (r-2)(r+3) = 0,

dengan akar-akar real dan tak sama yaitu r1 = 2, r2 = -3. Sehigga solusi umumnya adalah:

yn = c12n + c2(-3)

n (n = 0, 1, 2, … ).

Substitusikan ke dalam syarat awal yang diberikan didapat:

yo = c1 + c2 = 1.

y1 = 2c1 – 3c2 = 0.

Dengan solusi c1 = 5

3, c2 =

5

2. Dengan demikian solusi masalah nilai awal adalah:

yn = 5

3 2

n +

5

2 (-3)

n (n = 0, 1, 2, … ).

5 suku pertama solusinya adalah:

y1 = 0

y2 = 5

3 (2)

2 +

5

2 (-3)

2 = 6

y3 = 5

3 (2)

3 +

5

2 (-3)

3 = -6

Page 37: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

y4 = 5

3 (2)

4 +

5

2 (-3)

4 = 42

-10

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

2. Cari solusi dari masalah nilai awal berikut dan gambarkan grafik dari 5 suku pertama

solusi-solusinya.

yn+2 – 6yn+1 + 9y = 0, yo = 2, y1 = 15.

Selidiki juga barisannya konvergen atau divergen.

Penyelesaian:

Dicari lebih dulu solusi umum persamaan diferensi. Persamaan karakteristiknya adalah:

r2 – 6r + 9 = (r - 3)

2 = 0.

Dengan akarnya adalah r1 = r2 = 3.

Jadi solusi umumnya adalah:

yn = c1 3n + c2 n 3

n (n = 0, 1, 2, … ).

Substitusikan persamaan ini ke dalam syarat awal yang diberikan didapat:

yo = c1 = 2

y1 = 3c1 + 3c2 = 15

dengan c1 = 2 dan c2 = 3. Dengan demikian solusi dari masalah nilai awal semula adalah:

yn

n

Page 38: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

yn = 2 (3n ) + 3 n (3

n ) (n = 0, 1, 2, … ).

5 suku pertama solusinya adalah:

yo = 2.

y1 = 15.

y2 = 2 (32 ) + 3 (2) (3

2 ) = 72.

y3 = 2 (33 ) + 3 (3) (3

3 ) = 297.

y4 = 2 (34 ) + 3 (4) (3

4 ) = 1134.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5

(yn) = (2 (3n

) + 3 n (3n

) │n = 0, 1, 2, … ).

Barisannya adalah barisan yang monoton naik, mempunyai batas bawah dan tidak

mempunyai batas atas, sehingga tidak terbatas.

Jadi barisannya divergen.

3. Cari solusi masalah nilai awal berikut dan gambarkan grafik dari 5 suku pertama

solusinya.

yn+2 – 2yn+1 + 2yn = 0, yo = 1, y1= 0.

Selidiki juga apakah barisannya konvergen atau divergen.

Penyelesaian:

yn

n

Page 39: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Dicari dulu solusi umum persamaan diferensi. Persamaan karakteristiknya adalah r2 - 2r + 2

= 0, dengan akar-akarnya adalah r1= 1+ i, r2 = 1 – i. Dalam bentuk eksponen dapat ditulis r1

= reiθ

dan r2 = r e-iθ

, dengan r = 2 dan θ = arc tg 1 = 4

π.

Dengan demikian solusi umumnya adalah:

yn = ( 2 )n

+

4sin

4cos 21

ππ nc

nc

= 2 2

n

+

4sin

4cos 21

ππ nc

nc . (n = 0, 1, 2, … ).

Substitusikan persamaan ini ke dalam syarat awal yang diberikan:

yo = c1 = 1

y1 = 2 2

1

+ 21 2

2

12

2

1cc

= c1 + c2 = 0.

atau c1 = 1 dan c2 = -1.

Jadi yn = 2 2

n

4sin

4cos

ππ nn, (n = 0, 1, 2, … ).

yo = 1.

y1 = 0.

y2 = 2 2

2

4

2sin

4

2cos

ππ = -2.

y3 = 2 2

3

4

3sin

4

3cos

ππ = -4.

Page 40: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

y4=2 2

4

4

4sin

4

4cos

ππ=-4.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

(yn) = (1, 0, -2, -4, -4, … ).

Barisan ini bukan barisan monoton. Jadi barisannya divergen.

B. MENCARI SOLUSI UMUM PERSAMAAN DIFERENSI LINEAR NONHOMOGEN.

Misalkan persamaan diferensi linear nonhomogen dengan koefisien konstan

ayn+2 + byn+1 + cyn = fn, (n = 0, 1, 2, … ). (B.1)

dengan a, b, dan c sembarang konstanta.

Solusi umum dari persamaan ini adalah jumlah dari solusi umum persamaan homogennya

ditambah sembarang solusi khusus dari persamaan (B.1).

yn

n

Page 41: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

a. Metoda Diskrit Koefisien yang Tak Diketahui.

Metode diskrit koefisien yang tak diketahui ini adalah cara untuk menentukan solusi khusus

dari persamaan diferensi yang bagian nonhomogennya mempunyai bentuk tertentu seperti

dalam tabel (B.1) berikut ini. Ide dasar metode ini adalah mengamsumsikan bahwa pn suatu

bentuk yang mirip dengan bentuk fn, yang mengandung koefisien yang tidak diketahui dan

yang harus ditentukan melalui substitusi pn ini ke dalam persamaan semula.

Tabel B.1 Solusi khusus dari ayn+2 + byn+1 + cyn = fn.

fn

Bentuk solusi khusus pn

1. a (konstanta) A

2. ank (k = bil bulat) Aon

k + A1n

k-1+ … + Ak-1n+Ak

3. a bn A b

n

4. a cos bn A cos bn + B sin bn

5. a sin bn A cos bn + B sin bn

Ada dua aturan yang harus dipenuhi jika menggunakan metoda ini yaitu:

1. Jika fn terdiri beberapa faktor, maka solusi khusus adalah jumlah solusi khususnya untuk

tiap-tiap faktor dalam fn.

2. Jika suatu faktor dari solusi khusus adalah kelipatan dari solusi homogen, maka semua

faktor-faktor dalam solusi khusus harus dikalikan dengan pangkat bilangan bulat positif

terendah n untuk menjamin bahwa tidak ada kelipatannya.

Contoh

1. Cari Solusi dari masalah nilai awal berikut:

Page 42: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

yn+2 – 4yn+1 + 4yn = n +1 yo = 3 y1 = 6

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik dari persamaan homogennya adalah r2 – 4r + 4 = 0, dengan akar-akar

yang sama r1 = r2 = 2.

Dengan demikian solusi umum dari persamaan homogennya adalah:

hn = c1 2n + c2 n 2

2 (n = 0, 1, 2, … ).

Dengan melihat tabel (B.1) nomor 1 dan 2, dicoba solusi khusus yang berbentuk pn = An + B.

Dengan mensubstitusikan pn ke dalam persamaan diferensinya, didapat:

An – 2A + B = n + 1 (n = 0, 1, 2, … ).

Karena persamaan ini harus memenuhi untuk semua nilai n, maka untuk nilai n = 0 dan n = 1

juga dipenuhi sehingga didapat A=1, B=3 dan solusi khusus menjadi pn = n + 3.

Dengan demikian solusi umum persamaan diferensi adalah:

yn = c1 2n + c2 n 2

n + n + 3.

Substitusikan kedalam syarat awalnya:

yo = c1 + 3 = 3

y1 = 2 c1= + 2 c2 + 1 + 3 = 6

didapat:

c1 = 0 dan c2 = 1.

Jadi solusi dari masalah nilia awal adalah:

yn = n 2n + n + 3, dengan n = 0, 1, 2, …

2. Cari solusi dari masalah nilai awal berikut:

yn+2 – 3yn+1 + 2yn =2n yo = 2, y1 = 4.

Page 43: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik dari persamaan homogennya adalah r2 – 3r + 2 = 0 dengan akar-

akarnya r1 = 1, r2 = 2.

Solusi homogennya adalah:

hn = c1 + c2 2n (n = 0, 1, 2, 3, …).

Solusi khusus dicari dengan mencoba pn = A 2n. Namun 2

n ada dalam solusi homogennya,

jadi harus dikalikan lagi dengan n dan didapat pn = A n 2n.

Substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan diferensinya, didapat:

A (n+2) 2n+2

– 3 A (n+1)2n+1

+ 2An2n = 2

n.

[4(n+2) A – 6 (n+1) A + 2nA] 2n = 2

n, atau

A = 2

1.

Dengan demikian pn = n 2n-1

adalah solusi khusus dan solusi umumnya adalah:

yn = c1 + c2 2n + n 2

n-1 (n = 0, 1, 2, 3, …).

Substitusikan ke dalam syarat awalnya:

yo = c1 + c2 = 2.

y1 = c1 + 2c2 + 1 = 4.

didapat:

c1 = c2 = 1.

Jadi solusinya masalah nilai awal adalah:

yn = 1 + 2n + n 2

n-1 (n = 0, 1, 2, 3, …).

3. Cari solusi umum dari masalah nilai awal berikut:

Page 44: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

yn+2 – yn = sin

2

πn yo = 2, y1 =

2

3.

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik dari persamaan homogennya adalah r2 – 1 = 0 dengan akar-akarnya

r1 = 1, r2 = -1.

Solusi umum persamaan homogennya adalah:

hn = c1 + c2 (-1)n (n = 0, 1, 2, 3, …).

Untuk solusi khusus dicoba pn = A cos

2

πn + B sin

2

πn.

Substitusikan pn kedalam pesamaan diferensinya, didapat:

A cos

+

2

)2( πn + B sin

+

2

)2( πn - A cos

2

πn - B sin

2

πn = sin

2

πn.

Dengan rumus-rumus trigonometri didapat:

-A cos

2

πn - B sin

2

πn - A cos

2

πn - B sin

2

πn = sin

2

πn.

-2 A cos

2

πn - 2 sin

2

πn = sin

2

πn.

Didapat -2A = 0 dan -2B = 1 atau A = 0 dan B = -2

1.

Solusi khususnya adalah pn = -2

1 sin

2

πn (n = 0, 1, 2, 3, …).

Dan solusi umum persamaan diferensinya adalah:

yn = c1 + c2 (-1)n -

2

1 sin

2

πn (n = 0, 1, 2, 3, …).

Substitusikan ke dalam syarat awalnya:

yo = c1 + c2 = 2.

Page 45: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

y1 = c1 – c2 - 2

1 =

2

3.

Didapat c1 = 2 dan c2 = 0.

Jadi solusi masalah nilai awal adalah:

yn = 2 - 2

1 sin

2

πn (n = 0, 1, 2, 3, …).

b. Transformasi-Z.

Persamaan diferensi dapat juga diselesaikan dengan transformasi-Z. Untuk memahami

transformasi-Z, pandang barisan bilangan-bilangan (yo, y1, y2, … ) dan bangun suatu deret

infinite dari variabel-variabel z sebagai berikut:

Z(yn ) = ∑∞

=

0n

n

n zy = yo + z

y1 + 2

2

z

y +

3

3

z

y + … (B.2)

Deret ini akan konvergen untuk │z│> R untuk beberapa bilangan R yang tergantung pada

(yn) dan pada daerah yang terdefinisi pada fungsi z. Fungsi z ini yang disebut transformasi-Z

barisan (yn).

Z(yn) adalah fungsi z yang sering ditunjukan dengan F(z). Sebagian barisan dan transformasi-

Z ditunjukan dalam tbel B.2 berikut ini.

Tabel B.2 Macam-macam transformasi-Z.

(yn)

F(z)

1. (1)

1−z

z

2. (rn)

rz

z

Page 46: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

3. (n) 2)1( −z

z

4. (n2)

3)1(

)1(

+

z

zz

5. Uk(r)

)( rzz

zk

6. (sin bn)

1cos2

sin2

+− bzz

bz

7. (cos bn)

1cos2

)cos(2

+−

bzz

bzz

Barisan Uk (r) disebut pergeseran barisan geometri yang mempunyai k suku pertama “0”

diikuti denagn 1, r, r2, r

3, … .

Contoh

Uo (r) = (1, r, r2, r

3, …),

U1 (r) = (0, 1, r, r2, r

3, …),

U2 (r) = (0, 0, 1, r, r2, r

3, …), dst.

Invers transformasi-Z dapat ditemukan dengan menggunakan tabel (B.2).

Contoh

Cari invers transformasi-Z dari fungsi F(z) = 1

1

−z.

Penyelesaian:

Page 47: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Bagi pembilang dan penyebut dengan z, didapat:

F(z) = 1

1

−z

= z

1

z

11

1

= z

1

+++ ...

111

2zz

= 0 + ...111

32+++

zzz.

Dengan demikian invers transformasi-Z adalah (0, 1, 1, 1, … ).

Dengan menggunakan transformasi-Z ini suatu masalah nilai awal akan dirubah menjadi

persamaan lain yang lebih sederhana yang kemudian diselesaikan dengan sifat-sifat

transformasi-Z. Hasil-hasil yang diperoleh ditransformasikan kembali sehingga diperoleh

solusi dari masalah semula.

Contoh

Cari solusi dari masalah nilai awal berikut:

yn+2 – 4yn+1 + 4yn = n + 1, yo = 3, y1 = 6.

Penyelesaian:

Z(yn+2 – 4yn+1 + 4yn) = Z(n + 1).

Z(yn+2) – 4Z(yn+1) + 4Z(yn) = Z(n) + Z(1).

z2

Z(yn) – z2yo – zy1 - 4[z Z(yn)-zyo] +Z(yn) =

2)1()1( −+

− z

z

z

z.

Z(yn) (z-2)2 – z

2yo –zy1 + 4zyo =

2

2

)1( −z

z.

Page 48: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

Dengan memasukan nilai dari yo dan y1 didapat:

Z(yn) (z-2)2 – 3z

2 – 6z + 12z =

2

2

)1( −z

z.

Z(yn) (z-2)2 – (3z

2 – 6z) =

2

2

)1( −z

z.

Z(yn) = 22

222

)2()1(

)1)(63(

−−

−−+

zz

zzzz.

Z(yn) = 22

234

)2()1(

616123

−−

−+−

zz

zzzz.

Z(yn) = 22

2323423

)2()1(

)242()122463()44(

−−

+−+−+−++−

zz

zzzzzzzzzz.

Z(yn) = 22

222

)2()1(

)1(2)1()2(3)2(

−−

−+−−+−

zz

zzzzzzz.

Z(yn) = 22 )2(

2

)1(

3

)1( −+

−+

− z

z

z

z

z

z.

Inverskan kedua sisi persamaan didapat:

yn = Z-1

−+

−+

−22 )2(

2

)1(

3

)1( z

z

z

z

z

z.

yn = Z-1

−2)1(z

z + Z

-1

− )1(

3

z

z + Z

-1

−2)2(

2

z

z.

yn = n + 3 + n 2n.

C. APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSI DALAM BIDANG BIOLOGI.

Dalam bidang biologi ini persamaan diferensi adalah alat yang ideal untuk mempelajari

populasi biologi, karena banyak spesies tumbuhan dan hewan yang berubah dalam periode

Page 49: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

setiap tahun. Contohnya sekawanan rusa yang berubah setiap tahun karena pekawinan dan

kelahiran dalam habitatnya. Demikian juga untuk hewan-hewan liar yang lain, perubahan

jumlah populasi umumnya berlaku pada interval waktu tahunan. Karena itu persamaan

diferensi dipilih untuk mempelajari perubahan dalam bidang biologi.

Contoh

Pengawasan industri penangkapan ikan.

Seorang ahli biologi perikanan mempelajari akibat dari penangkapan ikan pada populasi air

tawar. Populasi ikan dalam suatu danau awalnya berjumlah 1 juta dan kecepatan

pertumbuhannya 4% per tahun. Peraturan memperbolehkan untuk menangkap ikan sebanyak

80000 ikan per tahun. Dengan syarat ini berapakah ukuran populasi ikan di masa yang akan

datang.

Penyelasaian:

Jika yn adalah ukuran populasi ikan pada akhir tahun ke n maka masalah nilai awal yang

menggambarkan populasi ikan di masa yang akan datang:

yn+1 – yn = 0.04yn – 80000, yo = 1000000.

� � � �

perubahan pertumbuhan penangkapan ukuran populasi

populasi ikan alami ikan

Solusi dari persamaan ini adalah:

yn = 1000000 (1.04)n – 2000000 [(1.04)

n - 1].

= 1000000 (1.04)n + 2000000 -2000000(1.04)

n.

= 2000000 – 1000000(1.04)n.

= 1000000 [ 2 – (1.04)n ].

Jadi solusinya adalah:

Page 50: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

yn = 1000000 [ 2 – (1.04)n ].

Aplikasi dalam bidang biologi ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Jika suatu populasi biologi tumbuh dengan kecepatan k per periode waktu dan jika populasi

berkurang secara periodik sejumlah d maka persamaan diferensi yang menggambarkan

ukuran populasi pada akhir periode ke n (yn) adalah:

yn+1 = (1 + k) yn – d .

dengan solusinya:

yn = yo (1+k)n

- k

d [ (1+k)

n – 1 ]. (n = 0, 1, 2, 3, … ).

Page 51: Persamaan Differensial Linier Dan Aplikasinya

DAFTAR PUSTAKA

Campbell, S.L. (1994). An Introduction to Differential Equations and Their Applications.

California : Wadsworth Publishing Company.

Farlow, S.J. (1994). An Introduction to Differential Equations and Applications. New York :

McGraw-Hill, Inc.

Kreyszig, E. (1988). Advanced Engineering Mathematics. New York : Jonh Wiley & Sons, Inc.

Leithold, L. (1991). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Spiegel, M. R. (1974). Advanced Calculus. New York : McGraw-Hill, Inc.