Matriks LeslieDalam matematik gunaan, matriks Leslie adalah diskret, model berstruktur umur bagi pertumbuhan populasi yang sangat popular dalam ekologi populasi. Ia telah dicipta oleh dan dinamakan selepas Patrick H. Leslie. Matriks Leslie (juga dipanggil Model Leslie) adalah salah satu cara yang paling terkenal untuk menggambarkan pertumbuhan populasi. Ia telah digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan populasi pelbagai haiwan, seperti jenis spesis ikan, arnab, kumbang, dan manusia.

Model Leslie menggunakan beberapa andaian:• populasi boleh dibahagikan ke dalam kategori diskret;• terdapat taburan populasi yang diketahui berdasarkan kategori tersebut;• populasi adalah bersandar kepada masa dan kita boleh menggunakan selang masa

diskret untuk menghuraikan populasi (contohnya, tahun);• terdapat kebarangkalian dikenalpasti dari satu kategori kepada kategori yang lain dari

satu selang masa ke selang masa seterusnya;• (apabila berdasarkan haiwan, dll) terdapat kebarangkalian pembiakan diketahui

bagi setiap kumpulan umur.

pendaraban matriks adalah satu cara untuk menyatakan bagaimana data boleh berubah. Sebagai contoh, pemasukkan bagi vektor xk boleh mewakili populasi pelbagai kumpulan haiwan dalam sistem ekologi pada k masa, dan matriks segiempat sama A boleh mewakili bagaimana perubahan populasi dari satu tempoh kepada masa yang lain (matriks Leslie).

Maka xk + 1 = Axk setiap untuk k. Jika vektor populasi permulaan adalah x0, apaberlaku pada xk dalam jangka masa panjang?

Contoh: Masalah Arnab FibonacciDalam tahun 1202, Fibonacci berminat dalam pembiakan arnab. Beliau mencipta satu set khayalan bagi idea keadaan arnab membiak dan menimbulkan persoalanan, "Berapa banyak pasangan arnab akan ada pada satu tahun dari sekarang? Set idea keadaan adalah berikut:1. Anda bermula dengan seekor arnab jantan dan seekor arnab benita. Arnab ini baru

dilahirkan.2. Arnab akan mencapai kematangan seksual selepas satu bulan.3. Tempoh bunting arnab ialah satu bulan.4. Apabila ia telah mencapai kematangan seksual, arnab betina akan melahirkan anak

arnab setiap bulan.5. Seekor arnab betina akan sentiasa melahirkan seekor jantan dan seekor arnab benita.6. Arnab tidak akan mati.

Jadi berapa banyak pasang arnab jantan / betina selepas satu tahun (12 bulan)?

Bulan Keadaan0 1 pasang arnab1 Arnab mencapai kematangan seksual, maka masih 1 pasang

arnab2 1 pasang anak arnab baru dilahir + 1 pasang arnab asal

= 2 pasang arnab3 1 pasang anak arnab baru dilahir + 1 pasang arnab matang +

1 pasang arnab asal = 3 pasang arnab

4 2 pasang anak arnab baru dilahir + 1 pasang arnab matang + 2 pasang arnab asal= 5 pasang arnab

5 3 pasang anak arnab baru dilahir + 2 pasang arnab matang + 3 pasang arnab asal= 8 pasang arnab

Populasi arnab menghasilkan jujukan: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Katakan Fk = bilangan pasang arnab pada bulan ke k= [bilangan pasang arnab pada bulan ke k – 1] + [bilangan pasang arnab dilahirkan pada bulan ke k – 1]

= [bilangan pasang arnab pada bulan ke k – 1] + [bilangan pasang arnab pada bulan ke k – 2]= Fk – 1 + Fk – 2

Hubungan, Fk = Fk – 1 + Fk – 2 dikenali sebagai hubungan Fibonacci.

F0 = 0; F1 = 1; dan Fk = Fk – 1 + Fk – 2 untuk semua k > 1 dikenali sebagai jujukan Fibonacci.

Iaitu beberapa sebutan pertama ialah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....

Untuk k ≥ 1, jujukan/urutan Fibonacci menerangkan bilangan pasangan arnab bagi masalah di atas.

Jika menggunakan matriks menggambarkan pertumbuhan populasi arnab;Populasi arnab ini mempunyai 2 kumpulan iaitu arnab muda dan arnab matang/dewasa.

Kita boleh mewakilkan bilangan pasang arnab pada masa k > 1 bagi setiap umur kumpulan

seabgai vektor xk=[Fk−2

Fk−1], di mana pemasukkan pertama Fk-2 mewakili bilangan arnab muda

pada masa k, dan pemasukkan kedua Fk-1 mewakili bilangan arnab dewasa

pada masa k, dengan keadaan tambahan bahawa x0=[10] dan x1=[01 ].Maka kita boleh wakilkan populasi pertumbuhan mengikut masa sebagai

xk + 1 = Axk, di mana A=[0 11 1],

maka

xk + 1 = [0 11 1] [F k−2

F k−1] = [ Fk−1

Fk−2+Fk−1],

yang menunjukkan bahawa pada masa k + 1, bilangan arnab muda adalah Fk-1, manakala bilangan arnab dewasa adalah Fk-2, seperti yang diharapkan.

Perhatikan di sini, signifikasi setiap pemasukkan matriks A, yang untuk kemudahan, kita

akan menulis sebagai A = [a bc d ].

a = 0 mewakili bahawa tiada bilangan Fk-2 arnab muda pada masa k yang akan dilahiran;b = 1 mewakili bahawa semua Fk-1 arnab dewasa pada k masa akan dilahir semula;c = 1 mewakili bahawa semua Fk-2 arnab muda di k masa akan dewasa pada masa k; dand = 1 mewakili bahawa semua Fk-1 arnab dewasa pada k masa masih dewasa pada masa k.

Aktiviti 4.7 – TutorialGunakan matriks A dan butir-butir lain dari contoh Masalah Arnab Fibonacci di atas untuk mencari x0, x1, x2, x3, x4, x5, dan bagi setiap kes, semak bahawa jumlah bilangan pasang arnab dalam setiap bulan seperti yang diharapkan.

Penyelesaian

Vektor Taburan Umur Dan Matriks Peralihan (Transition Matrices)Secara umum, masalah populasi boleh diwakili melalui penggunaan vektor taburan umur dan matriks peralihan.

vektor taburan umur, x = [ x1

x2

⋮xn

] bilangan dalam kumpulan umur pertamabilangan dalam kumpulan umur kedua

⋮bilangan dalam kumpulan umur ke n

dan matriks peralihan, A = [b1

s100⋮0

b2

0s20⋮0

b3

00s3⋮0

…………¿ ⋮…

bn−1

000⋮sn−1

bn000⋮sn

]Untuk i = 1, 2, ..., n, bi di baris teratas mewakili purata bilangan anak / keturunan bagi ahli kumpulan umur ke i.

Untuk i = 1, 2, ..., n - 1, nombor si mewakili kebarangkalian ahli kumpulan umur ke i masih hidup kepada kumpulan umur ke (i +1), manakala sn mewakili kebarangkalian bahawa ahli kumpulan umur ke i masih kekal dalam kumpulan umur ke i.

Contoh 4.9 dan Contoh 4.10Rujuk Application of Mathematics, Deakin University, muka surat 52 dan muka surat 10

Aktiviti 4.10 muka surat 55.