Definisi

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Misalkan matriks 𝑚 × 𝑛 :

Vektor – vektor

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

[ ]

[ ]

[ ]

n

n

m m m mn

r a a a

r a a a

r a a a

=

=

=

Pada 𝑅𝑛 yang dibentuk dari baris-baris

Matriks A disebut sebagai vektor baris.

Sedangkan vektor – vektor

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

, , ,

n

n

n

m m mn

a a a

a a ac c c

a a a

= = =

Pada 𝑅𝑚 yang dibentuk dari kolom-kolom

matriks A disebut sebagai vektor kolom.

Definisi

Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛 maka subruang dari 𝑅𝑛

yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut

ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅𝑚 yang

direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut

ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem

persamaan yang homogen 𝐴𝑥 = 0 yang merupakan

subruang dari 𝑅𝑛 disebut ruang null dari A.

Teorema

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang ekuivalen baris,

maka

a. Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu adalah

bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang

bersesuaian dari B adalah bebas linear

b. Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu

membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan

hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B

membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

Teorema

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka

vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis

untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1

utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk

ruang kolom dari R

Teorema

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang

kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Definisi

Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari

suatu matriks A disebut rank dari A (notasi : rank(A));

dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas dari

A (notasi : nulitas(A))

Teorema

Jika A adalah matriks dengan 𝑛 kolom, maka

𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 + 𝑛𝑢𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝐴 = 𝑛

1 2 1 1

1 2 3 1

1 2 2 1

A

− − −

= − −

Vektor baris

Vektor kolom

Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh :

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

1 1

1 , 3

1 2

− −

Basis ruang baris diperoleh dengan cara,

Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,

lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki

satu utama berseseuaian dengan matriks 𝐴𝑡.

Ini berarti,

matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

1 1

2 2,

1 3

1 1

− −

− −

Contoh :

Diberikan SPL homogen :

2p + q – 2r – 2s = 0

p – q + 2r – s = 0

–p + 2q – 4r + s = 0

3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas

Jawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :

2 1 2 2 0

1 1 2 1 0

1 2 4 1 0

3 0 0 3 0

− −

− − − −

−

1 0 0 1 0

0 1 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

−

−

1 0

0 2

0 1

1 0

p

qa b

r

s

= +

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

1 0

0 2,

0 1

1 0

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.

Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

Terimakasih