Oleh :Apriana Romansyah, S.Pd.

Bab 1.Matriks

Matriks

Operasi Matriks

TransposePenjumlaha

n/Penguranga

nPerkalian Perpangkat

an

Determinan Matriks

Ordo 2 x 2 Ordo 3 x 3

Cara SarrusCara

Ekspansi Kofaktor

Invers Matriks

Ordo 2 x 2 Ordo 3 x 3

Eliminasi Gauss-Jordan

SPL

SPLDV SPLTV

Persamaan Matriks

Home

1.1 Matriks dan Operasi Matriks

HOME

› Bentuk umum matriks

Kolom

Baris

Ordo MatriksDitulis sebagai banyak baris x banyak kolom

Kesamaan MatriksDua matriks dikatakan sama jika dan hanya

jika satu matriks merupakan duplikat matriks lainnya.

Transpose MatriksTranspose matriks merupakan matriks A yang diubah kedudukan baris menjadi kolom dan

ditulis sebagai AT.

HOME

Transpose

HOME

› = (

Penjumlahan dan pengurangan matriks

HOME

› Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat dilakukan jika mengikuti aturan berikut.

(i) Ordo (A) = ordo (B)(ii) A B = ,

untuk setiap elemen seletak.

› Perkalian dua matriks= dan = , diperoleh = Dengan mengalikan baris matriks A terhadap kolom matriks B.Sifat-sifat yang berlakui. A x B B x Aii. A x I = I x A = Aiii. A x O = O x A = O

I = matriks identitasO = matriks nol

› Perkalian skalar dengan matriksA = dan k skalar merupakan bilangan real, maka kA = untuk setiap i dan j.

Perkalian HOM

E

› Sifat-sifat yang berlaku

i. (A + B)2 = A2 + B2 + AB + BA

ii. (A - B)2 = A2 + B2 – (AB + BA)

iii. (A + B)(A – B) = A2 – AB + BA - B2

› Ak = A x A x A x ... x A (sebanyak k faktor) dengan k bilangan bulat positif dan A merupakan matriks persegi berordo m x m.

Perpangkatan

HOME

Contoh

1.2.1 Determinan Matriks Persegi Berordo 2 x 2Matriks A berordo 2 x 2 A = dinotasikan dengan: det (A) = det

Determinan Matriks Persegi

HOME

› Cara Cramer› Diberikan SPLDV .› Maka bentuk matriks:

1.2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Determinan.

HOME

› Nilai x dan y ditentukan oleh:

› dan , dengan

› Dx = dan D =

Contoh

HOME

i. Pindahkan dua kolom pertama dari determinan kesebelah kanan

ii. Lakukan perkalian keenam diagonal.

= aei + bfg + cdh – gec –hfa - idb

› Perhatikan matriks A =

› Determinan matriks A dengan cara Sarrus dilakukan dengan aturan berikut:

1.2.3 Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3-Cara Sarrus

HOME

(-) (-) (-)

(+)

(+)

(+)

|𝑎 𝑐𝑔 𝑖|=𝑎𝑖−𝑔𝑐

1. Pengertian MinorMinor dari elemen umum adalah determinan yang berisi elemen setelah baris dan kolom yang dihilangkan.

Cara Ekspansi Kofaktor

HOME

Penghilangan kolom ke-2

Penghilangan baris ke-2

3. Ekspansi dan kofaktor-minor› Dengan menggunakan

ekspansi ini, kita dapat menghitung determinan matriks berordo lebih dari 2 x 2.

2. Kofaktor› Kofaktor dari sebuah

elemen adalah nilai minor beserta tandanya

› Sifat 2Jika ada semua elemen pada baris atau pada kolom dari sebuah determinan sama dengan nol. atau

1.2.4 Sifat-sifat determinan matriks persegi› Sifat 1

› Sifat 3Jika dua baris (atau dua kolom) dari sebuah determinan saling ditukar, maka tanda dari determinan akan berubah.

atau

› Sifat 4Jika dua baris (atau dua kolom) dari sebuah determinan sama atau kelipatannya, maka nilai determinan itu samadengan nol. atau

› Sifat 5Jika ada setiap elemen pada baris (atau kolom) dari sebuah determinan dikali oleh bilangan real k, maka nilai determinan itu bernilai k kali determinan matriks awal.

› Sifat 6Jika masing-masing elemen pada baris (atau kolom) dinyatakan sebagai jumlah dua suku (baris atau kolom), maka determinan matriks tersebut merupakan jumlah kedua determinan itu.

› Sifat 7Nilai sebuah determinan tidak berudah, jika masing-masing elemen pada baris (atau kolom) dikali dengan bilangan real k dan ditambahkan pada sembarang baris (atau kolom).

› Ketentuan determinan matriks.

› Perhatikan SPLTV berikut. Model matematika SPLTV berbentuk.

1.2.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan Determinan.

› Penyelesaiannya adalah (x, y, z) dan HP =

›

› Nilai x, y, dan z › , ,

1.3 Invers Matriks PersegiMisalkan M merupakan matriks persegi berordo n x n dan I matriks satuan (identitas) berordo n x n. Jika ada sebuah matriks M-1 (dibaca: invers M) akan selalu berlaku.M-1 M = M M-1 = I

Invers Matriks

HOME

A. Formula Matriks Persegi Berordo 2 x 2Diberikan matriks A berordo 2 x 2: Invers matriks A ditentukan oleh:dengan D = ad-bc(i) Untuk D 0, matriks A disebut nonsingular berarti

mempunyai invers.(ii) Untuk D = 0, matriks A disebut singular berarti tidak

mempunyai invers.

1.3.1 Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2

HOME

› Carilah A-1 dari A = .

B. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 x 2 dengan Eliminasi Gauss-Jordan

1.3.2 Invers Matriks Persegi Berordo 3 x 3Untuk menentukan invers matriks persegi berordo 3 x 3 akan lebih mudah jika kita menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

Ordo 3 x 3

HOME

Proses pencarian matriks sebaga berikut.

1.3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Bentuk di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks Gauss-Jordan sebagai berikut.

Eliminasi Gauss-Jordan

HOME

1.3.3 Persamaan Matriks

HOME

Persamaan matriks sama seperti persamaan bentuk aljabar.Bentuk umum persamaan matriks adalah sebagai berikut.(i) A X = B A-1A X = A-1 B

I X = A-1 BX = A-1 B

(ii) X A = B X A A-1 = B A-1

X I = B A-1

X = B A-1

HOME

Dengan A =.Untuk menetukan penyelesaian SPL berikut. Dapat dilakukan dengan menulis SPL dalam bentuk matriks:

1.3.4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Menggunakan Invers Matriks

Perhatikan SPL berikut A B

› Proses pencarian matriks X sebagai berikut

1.3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Persiapkan diri Anda, pertemuan selanjutnya Ulangan Harian