KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami masih diberi kesempatan untuk bekerja bersama untuk menyelesaikan makalah ini. Dimana makalah ini dengan judul “PARABOLA”. Tidak lupa kami ucapkan terimakasih kepada guru matematika peminatan kami dan orangtua kami yang telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebab itu kami minta maaf sebesar-besarnya.

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

 

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda-benda yang dengan bentuk yang bervariasi. Ada yang berbentuk bulat, persegi, segi empat, segi lima, lingkaran, setengan lingkaran ellips, parabola, hiperbola, tak beraturan, dan sebagainya. Jika kita perhatikan, ternyata setiap benda memiliki bentuk yang sangat unik. Benda yang kelihatannya sama, tetapi memiliki perbedaan-perbedaan yang sangat mendasar sekali. Pada makalah ini akan dipaparkan mengenai parabola. Di mana parabola tersebut merupakan himpunan bagian dari kerucut.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini yaitu memahami secara detail tentang parabola.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu garis dan satu titik tertentu. Satu garis tertentu disebut direktris (garis arah), sedangkan satu titik tertentu disebut titik api (fokus). Garis yang melalui fokus dan tegak lurus direktris merupakan sumbu simetri parabola, memotong parabola pada titik puncaknya.

2.2 Persamaan Parabola yang berpuncak di O (0,0)

F(p.0) = titik fokus

P(x,y) = titik sembarang pada kurva

L = proyeksi titik P pada garis direktris

l = garis direktris (garis arah)

|AB| = panjang latus rectum

Rumus

1. Persamaan parabola puncak (0,0) dengan sumbu simetri x

Y2 = 4px

Persamaan sumbu simetri y = 0 Titik fokus F (p,0) Persamaan direktris x = -p Panjang latus rectum |4p|

2. Persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu simetri x, titik fokus F(-p,0), garis direktris x = p

Y2 = -4py

3. Persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu simetri y, titik fokus F(0,p), garis direktris y = -p

X2 = 4py

4. Persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu simetri y, titik fokus F(0,-p), garis direktris y = p

X2 = -4py

2.3 Persamaan Parabola yang berpuncak di (a,b)

Contoh:

Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0

Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris

b. Titik fokus d. Sumbu semetri

Jawab:

Ubah persamaan parabola ke persamaan umum:

x•

•

•

•O(0,0)

F(p,0)

••

•

y

P(a,b)Fp(a+p,b

)a

•

•a. Titik puncak

P(a,b)b. Titik fokus F(a+p,b)c. Direktris x =

-p+ad. Sumbu semetri y = b

xO

(0,0)

P(-4,2) F

y 3x – y2 + 4y + 8= 0

y2 - 4y = 3x + 8

y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4

(y – 2)2 = 3x + 12

(y – 2)2 = 3(x + 4)

Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu

parabola mendatar yang terbuka ke kanan.

Dari persamaan tersebut diperoleh:

a. Titik puncak P(-4,2)

b. 4p = 3 maka p =

34

Titik Fokus F(a+p,b)

F (−4+ 34,2 )

F (−3 1

4,2)

c. Persamaan direktris :

d. Sumbu semetrinya : y = 2

Soal untuk latihan:

a.Tentukan persaaman parabola yang berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)

b.Tentukan persamaan Parabola yang titik fokusnya F(2-3) dan persamaan didertrisnya y = 5

2.3 Persamaan garis singgung parabola

x=− p+a=−34

−4

x=−4 34

A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1)

yy1 = 2p(x+x1)

Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada tabel berikut

Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung

y2 = 4px yy1 = 2p(x+x1)

y2 = -4px yy1 = -2p(x+x1)

x2 = 4py xx1 = 2p(y+y1)

x2 = -4py xx1 = -2p(y+y1)

(y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a)

(y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a)

(x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b)

(x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b)

Contoh Soal:

x

y

•

•A(x1,y1)

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2,4)

jawab :

y2 = 8x

4p = 8

p = 2

Titik A(x1,y1) A(2,4)

Persamaan garis singgungnya adalah

yy1 = 2p(x+x1)

y.4 = 2.2(x+2)

4y = 4(x+2)

y = x+2

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola

(x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1)

Jawab : a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1

(x+1)2 = -3(y-2)

-4p = -3

p =

34

Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah

(x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b)

(x +1)(2 +1) = -2.

34 (y - 1 – 2.2)

(x + 1)(3) = -2.

34 (y – 5)

3(x + 1) = −3

2( y−5)

2(x + 1) = -(y – 5)

2x + 2 = -y + 5

y = -2x + 3

2.5 Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien tertentu

Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m

Persamaan parabola Persamaan garis singgung

y2 = 4px y = mx +

y2 =- 4px y = mx -

x2 = 4py y = mx – m2p

x2 = -4py y = mx + m2p

(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +

(y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) - (x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p (x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p