MAKALAH MATEMATIKA

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika

Disusun oleh :

WULAN SARINIM : 1251.0.15

KELAS 1B

FAKULTAS TARBIYYAH PROGRAM PGSD/PGMI-S1INSTITUT AGAMA ISLAM LATIFAH MUBAROKIYYAH

PONDOK PESANTREN SURYALAYA2012

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika merupakan mata pelajaran yang paling digemari dan

menjadi suatu kesenangan oleh sebagian kecil siswa, tetapi bagi sebagian

besar siswa matematika merupakan mata pelajaran yang amat berat dan sulit.

Hal ini disebabkan karena kajian matematika bersifat abstrak. Menurut para

ahli bahwa Matematika pada hakikatnya merupakan sistem aksiomatis

deduktif formal.

Sebagai suatu sistem aksiomatis, matematika memuat komponen-

komponen dan aturan komposisi atau pengerjaan yang dapat menjalin

hubungan secara fungsional antar komponen. Hal ini berimplikasi terhadap

prestasi siswa dalam mata pelajaran matematika yang belum memuaskan,

menurut Ruseffendi (1991, dalam Anggriamurti, 2009) bahwa “terdapat anak-

anak yang setelah belajar matematika yang sederhanapun banyak yang tidak

dipahami, banyak konsep yang dipahami secara keliru”.

Hampir semua manusia yang pernah belajar mengenal ilmu ini karena

diseluruh dunia ilmu ini dipelajari. Dalam perkuliahan kali ini, kami

mahasiswa mendapat tugas untuk membuat makalah tentang materi

matematika, maka judul ini kami pilih guna memenuhi tugas tersebut.

1

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan permasalahan diatas, maka rumusan masalah pada

makalah ini sebagai berikut :

1. Apa pengertian matematika ?

2. Bagaimana sejarah perkembangan matematika ?

3. Apa karakteristik matematika ?

4. Bagaimana hakikat pembelajaran matematika di sekolah ?

5. Bagaimana penyajian matematika di sekolah ?

C. Tujuan Pembahasan

Adapun tujuan dari penyusunan makalah matematika ini secara

khusus disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika.

Selain itu dengan disusunnya makalah ini mahasiswa dapat :

1. Mengetahui pengertian dan sejarah matematika.

2. Mengetahui tentang karakteristik matematika.

3. Memahami bagaimana hakikat pembelajaran matematika di sekolah.

4. Mengetahui bagaimana penyajian matematika di sekolah ?

2

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Hakikat Matematika

Matematika yang diajarkan di jenjang persekolahan seperti Sekolah

Dasar, Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Atas disebut

matematika sekolah. Penyajian matematika sekolah disesuaikan dengan

karakteristik siswa. pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif, sifat

atau teorema yang ditemukan secara induktif, selanjutnya harus dibuktikan

secara deduktif. Namun dalam matematika sekolah pola pikir induktif dapat

digunakan dengan maksud menyesuaikan dengan tahap perkembangan

intelektual siswa.

Dalam National Council of Teachers of Mathematics (2000: 11)

terdapat enam prinsip matematika sekolah mencakup lingkup:

1. Kejujuran. Keunggulan dalam pendidikan matematika memerlukan

kejujuran, harapan, dan dukungan yang kuat bagi siswa.

2. Kurikulum. Kurikulum bukan hanya sekedar kumpulan aktivitas,

kurikulum harus koheren, berpusat pada pentingnya matematika, dan

dijabarkan dengan baik pada tiap kelas.

3. Pengajaran. Pengajaran matematika yang efektif membutuhkan

pemahaman tentang apa yang diketahui siswa dan apa yang diperlukan

siswa serta mendukung siswa mempelajarinya dengan baik.

4. Pembelajaran. Siswa harus belajar matematika dengan pemahaman,

membangun pengetahuannya dari pengalaman.

3

5. Penilaian. Penilaian harus mendukung belajar dan memberi informasi

bagi guru dan siswa.

6. Teknologi. Teknologi mempengaruhi matematika yang diajarkan dan

meningkatkan belajar siswa.

Ebbut dan Straker (Marsigit, 2007: 5-6) menguraikan hakikat

matematika sekolah, matematika adalah kegiatan penelusuran pola dan

hubungan; kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi, dan penemuan;

kegiatan problem solving; alat komunikasi. Implikasi dari pandangan bahwa

matematika merupakan kegitan penelusuran pola dan hubungan adalah:

memberikan kesempatan siswa untuk melakukan kegiatan penemuan dan

penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan; memberi kesempatan

kepada siswa untuk melakukan percobaaan dengan berbagai cara, mendorong

siswa untuk menemukan adanya urutan, perbedaan, perbandingan dan

pegelompokan; mendorong siswa menarik kesimpulan umum; dan membantu

siswa memahami dan menemukan hubngan antara pengertian satu dengan

yang lainnya.

Matematika adalah kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi dan

penemuan. Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika

adalah: mendorong inisiatif dan memberi kesempatan berpikir berbeda;

mendorong rasa ingin tahu, keinginan bertanya, kemampuan menyanggah dan

kemampuan memperkirakan; menghargai penemuan yang di luar perkiraan

sebagai hal yang bermanfaat; mendorong siswa menemukan struktur dan

desain matematika; mendorong siswa menghargai penemuan siswa lainnya;

4

mendorong siswa berfikir refleksif; dan tidak menyarankan penggunaan suatu

metode tertentu.

Matematika adalah kegiatan problem solving, maka dalam

pembelajaran matematika guru perlu menyediakan lingkungan belajar

matematika yang merangsang timbulnya persoalan matematika, membantu

siswa memecahakan persoalan matematika menggunakan caranya sendiri,

membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan untuk memecahkan

persoalan matematika, mendorong siswa untuk berfikir logis, konsisten,

sistematis dan mengembangkan sistem dokumentasi/catatan,

mengembangkan kemampuan dan keterampilan untuk memecahkan

persoalan, membantu siswa mengetahui bagaimana dan kapan menggunakan

berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti jangka, kalkulator,

dan sebagainya

Impilikasi dari pandangan bahwa matematika sebagai alat komunikasi

dalam pembelajaran adalah: mendorong siswa membuat contoh sifat

matematika; mendorong siswa menjelaskan sifat matematika; mendorong

siswa memberikan alasan perlunya kegiatan matematika; mendorong siswa

membicarakan persoalan matematika; mendorong siswa membaca dan

menulis matematika; menghargai bahasa ibu siswa dalam membicarakan

matematikaMenurut Morris Kline (dalam Simanjuntak, 1993) mengatakan

bahwa jatuh bangunnya suatu negara dewasa ini tergantung dari kemajuan

pada bidang matematika. Oleh karena itu sebagai langkah awal untuk

mengarah pada kemajuan suatu bangsa adalah dengan mendorong atau

memberi motivasi belajar matematika pada masyarakat khususnya bagi para

5

anak – anak atau siswa. Pengetahuan mengenai matematika memberikan

bahasa, proses, dan teori yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan,

yang akhirnya bahwa matematika merupakan salah satu kekuatan utama

pembentukan konsepsi tentang alam suatu hakikat dan tujuan manusia dalam

kehidupannya .

Menyadari akan peran penting matematika dalam kehidupan, maka

matematika selayaknya merupakan kebutuhan dan menjadi kegiatan yang

menyenangkan. Sebagai mana dari tujuan yaitu melatih siswa berpikir dan

bernalar dalam menarik kesimpulan, mengembangkan aktifitas kreatif yang

melibatkan imajinasi, penemuan, membuat prediksi dan dugaan serta

mencoba – coba, mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dan

mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan atau ide melalui

tulisan, pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta atau diagram. Oleh karena itu

setiap siswa perlu memili penguasaan matematika yang merupakan

penguasaan kecakapan matematika untuk dapat memahami dunia dan berhasil

dalam kariernya.

Ebbutt dan Straker (dalam Depdiknas, 2006) mengemukakan hakekat

dan karakteristik matematika sekolah yang selanjutnya disebut sebagai

matematika, sebagai berikut.

a. Matematika sebagai kegiatan penelusuran pola dan hubungan

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah

guru perlu:

1) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan kegiatan

penemuan dan penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan,

6

2) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan percobaan

dengan berbagai cara,

3) mendorong siswa untuk menemukan adanya urutan, perbedaan,

perbandingan, pengelompokan, dsb,

4) mendorong siswa menarik kesimpulan umum,

5) membantu siswa memahami dan menemukan hubungan antara

pengertian satu dengan yang lainnya

b. Matematika sebagai kreativitas yang memerlukan imajinasi, intuisi dan

penemuan.

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah

guru perlu :

1) mendorong inisiatif siswa dan memberikan kesempatan berpikir

berbeda,

2) mendorong rasa ingin tahu, keinginan bertanya, kemampuan

menyanggah dan kemampuan memperkirakan,

3) menghargai penemuan yang diluar perkiraan sebagai hal bermanfaat

daripada menganggapnya sebagai kesalahan,

4) mendorong siswa menemukan struktur dan desain matematika,

5) mendorong siswa menghargai penemuan siswa yang lainnya,

6) mendorong siswa berfikir refleksif, dan

7) tidak menyarankan hanya menggunakan satu metode saja.

c. Matematika sebagai kegiatan pemecahan masalah (problem solving)

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah

guru perlu:

7

1) menyediakan lingkungan belajar matematika yang merangsang

timbulnya persoalan matematika,

2) membantu siswa memecahkan persoalan matematika menggunakan

caranya sendiri,

3) membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan untuk

memecahkan persoalan matematika,

4) mendorong siswa untuk berpikir logis, konsisten, sistematis dan

mengembangkan sistem dokumentasi/catatan,

5) mengembangkan kemampuan dan ketrampilan untuk memecahkan

persoalan,

6) membantu siswa mengetahui bagaimana dan kapan menggunakan

berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti : jangka,

penggaris, kalkulator, dsb.

d. Matematika sebagai alat berkomunikasi. Implikasi dari pandangan ini

terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu:

1) mendorong siswa mengenal sifat-sifat matematika,

2) mendorong siswa membuat contoh sifat matematika,

3) mendorong siswa menjelaskan sifat matematika,

4) mendorong siswa memberikan alasan perlunya kegiatan matematika,

5) mendorong siswa membicarakan persoalan matematika,

6) mendorong siswa membaca dan menulis matematika,

7) menghargai bahasa ibu siswa dalam membicarakan matematika.

8

B. Sejarah Matematika

Dalam sejarah perkembangan matematika, banyak ditemukan

berbagai tulisan matematika di berbagai wilayah yang merupakan sisa

peninggalan zaman prasejarah, di antaranya :

1. Matematika Babilonia tahun 1900 SM, ditemukan oleh Plimpton;

2. Matematika Moskow di Rusia tahun 1950 SM;

3. Matematika Rhind di Mesir tahun 1650 SM;

4. Sulbha sutra / matematika India tahun 800 SM.

Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir. Oleh

karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. Logika

adalah bayi matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa logika.

Pada awal perkembangan matematika di Indonesia setelah penjajahan

Belanda dan Jepang, digunakan istilah “Ilmu Pasti” untuk matematika.

Sejarah matematika termasuk bagian dari matematika. Sejarah

matematika tidak saja ada karena keberadaannya merupakan suatu

keniscayaan, tetapi ia juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada

perkembangan matematika dan pembelajaran matematika. Matematika yang

diciptakan oleh manusia terdahulu, memberi ilham bagi paradigm

pembelajaran yang bersifat konstruktivistik sebagai bentuk implikasi sejarah

matematika dalam pembelajaran.

C. Pengertian Matematika

Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein dan

mathenem yang berarti mempelajari. Kata matematika diduga erat

9

hubungannya dengan kata sansekerta, medha atau widya yang artinya

kepandaian, ketahuan atau intelegensi. (Nasution, 1980: 2).

Kata matematika berasal daru perkataan latin matematika yang

mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti

mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti

pengetahuan dan ilmu (knowledge, science). Kata matheimatike berhubungan

pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu matheinatau mathenein

yang artinya belajar (berpikir).

Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang

bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan

karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.

Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika

berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang

diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-

konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika

dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol

formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang

beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat

bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti

sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.

Sedangkan dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI),

matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara

bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian

masalah mengenai bilangan. (Hasan Alwi, 2002:723)

10

Menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika

dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:

a. Matematika sebagai struktur yang terorganisir.

b. Matematika sebagai alat (tool).

c. Matematika sebagai pola pikir deduktif.

d. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking).

e. Matematika sebagai bahasa artifisial.

f. Matematika sebagai seni yang kreatif.

Jadi matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir

deduktif dan cara bernalar untuk memahami bahasa artifisial dan sebagai seni

kreastif yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur, ruang, relasi,

perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas.

D. Tahapan dalam Matematika

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan

perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian

peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan

dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: struktur, ruang, dan

perubahan.

a. Pelajaran tentang struktur dirnulai dengan bilangan. Pertama dan yang

sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi

arimetikanya, yang dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat

yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

11

b. llmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan

trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke

dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri

Noneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum.

Bidang ilmu modern tentang geometridiferensial dan geometri aljabar

menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial

menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness, dan

arah. Sementara itu, dalam geometri aljabar, objek-objek geometris

digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial.

c. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat

dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan

kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama

yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi.

Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan

antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan

masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

d. Untuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah

bilangan riil. Di sisi lain, studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat

fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Agar dapat menjelaskan dan

menyelidiki dasar matematika, bidang pasti, logika matematika, dan

teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika

terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai

alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan

digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidikiteoriyang

12

secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara

bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke

dalam laporan.

E. Sejarah Perkembangan Matematika

1. Pembelajaran yang Realistik/Konstruktivis

Pemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak

membutuhkan “ceramah” dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk

"menemukan" konsep tersebut. Lalu daripada langsung menyuguhkan

lambang formal semacam 36 : 3, guru dapat menggunakan soal yang

kontekstual, seperti di bawah ini.

Tiga anak akan membagi 36 permen sama rata. Berapa permen

yang akan diperoleh oleh tiap-tiap anak? Siswa-siswi mungkin akan

menemukan salah satu dari model atau prosedur penyelesaian berikut ini.

a. Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan

permen menjadi tiga daerah bagian yang sama.

b. Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen

yang telah didistribusi ke salah satu anak.

c. Mengelompokkan tigatiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap

kali permen didistribusi, akan terdistribusi ke tiga orang anak.

d. Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit

memuat ide tentang pengurangan berulang (repeated subraction)

maupun bagi adil (fair sharing), bahkan ide tentang kebalikan

perkalian (invers of multiplication). Tugas guru adalah memfasilitasi

13

siswa-siswi sampai pada ide-ide tersebut sebelum benar-benar

menyatakannya sebagai kalimat matematika formal (penggunaan

simboldan konsep/prinsip matematika).

2. Sejarah Bilangan Negatif don Bilangan Positif di Cina Kuno

Di Cina, penggunaan bilangan positif ditandai dengan batang (atau

gambar batang) merah, sedangkan bilangan negatif ditandai dengan batang

hitam. Mungkin ini telah dikenal ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat

melihatnya pada Jianzhong Suanshu (antara tahun 206 SM -220 M). Apa

yang digunakan oleh orang Cina Kuno tersebut dapat digunakan dalam

pembelajaran untuk menunjukkan bilangan bulat (bulat positif, nol,

dan bulat negatif). lllustrasi dari Cina kuno dapat digunakan untuk

menunjukkan sifat negatif sebagai hutang dan positif sebagai piutang

(atau mempunya).

14

BAB III

KARAKTERISTIK MATEMATIKA

Untuk memahami karakteristik daripada matematika maka harus

dipahami terlebih dahulu hakekat matematika. Menurut Hudoyo (1979:96),

hakekat matematika berkenaan dengan ide-ide struktur- struktur dan hubungan-

hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan

dengan konsep-konsep yang abstrak. Jika matematika dipandang sebagai struktur

dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu

memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur.

Beberapa hakekat atau definisi dari matematika adalah sebagai berikut:

1. Matematika sebagai cabang ilmu pengetahuan eksak atau struktur yang

teroganisir secara sistematik.

Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan

suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri

atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian

pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema

pengantar/kecil) dan corolly/sifat).

2. Matematika sebagai alat (tool)

Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai

masalah dalam kehidupan sehari-hari.

3. Matematika sebagai pola pikir deduktif

15

Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif,

artinya suatu teori atau matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah

dibuktikan secara deduktif (umum).

4. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking).

Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena

beberapa hal, seperti matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid),

rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang

sistematis.

5. Matematika sebagai bahasa artifisial.

Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika. Bahasa

matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki

arti bila dikenakan pada suatu konteks.

6. Matematika sebagai seni yang kreatif.

Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola

yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai

seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

Berdasarkan uraian-uraian hakikat matematika di atas maka dapat di

simpulkan bahwa karakteristik- karakteristik matematika dapat dilihat pada

penjelasan berikut:

1. Memiliki kajian objek abstrak.

2. Bertumpu pada kesepakatan.

3. Berpola pikir deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat

diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.

16

4. Memiliki simbol yang kosong dari arti. Rangkaian simbol-simbol dapat

membentuk model matematika.

5. Memperhatikan semesta pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang kosong

dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai.

6. Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada

yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem tidak boleh

ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.

A. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak.

Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak,

sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut

merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi,

dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur

matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol

tertentu. Contoh simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan

“tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang

dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikbya. Fakta lain dapat terdiri dari

rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami bahwa yang dimaksud

adalah “tiga di tambah empat”.

2. Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk

menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek

tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu

konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih

17

komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks

misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”. Konsep

berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang

membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat

ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan.

Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep

tertentu.

3. Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan

pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya

“penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang

dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah

suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk

memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

4. Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat

terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu

relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip

adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat

berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.

B. Bertumpu pada Kesepakatan

Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat

penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep

primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam

pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan

18

berputar-putar dalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai postulat

(sekarang) ataupun pernyataan pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu

dibuktikan). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang

selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu

terdapat konsep primitif tertentu. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat

dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.

C. Berpola Pikir Deduktif

Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif.

Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang

berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal

yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk

yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak

sederhana.

Contoh: Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan”

melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Phytagoras. Bila

hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika

tertentu, maka teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif

antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah

diterima dengan benar.

Dari contoh prinsip diatas, bahwa urutan konsep yang lebih rendah

perlu dihadirkan sebelum abstraksi selanjutnya secara langsung. Supaya hal

ini bisa bermanfaat, bagaimanapun, sebelum kita mencoba

mengkomunikasikan konsep yang baru, kita harus menemukan apakontribusi

19

konsepnya; dan begitu seterusnya, hingga kita mendapat konsep primer yang

lain.

D. Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti

Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang

digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol

dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model

matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri

tertentu, dsb. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya

x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda +

belum tentu berarti operasi tamba untuk dua bilangan.

Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang

mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda

dalam model x + y = z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan

memanfaatkan model itu. Kosongnya arti itu memungkinkan matematika

memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).

E. Memperhatikan Semesta Pembicaraan

Sehubungan dengan penjelasan tentang kosongnya arti dari simbol-

simbol dan tanda-tanda dalam matematika diatas, menunjukkan dengan jelas

bahwa dalam memggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup

apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraanya adalah bilangan, maka

simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraanya transformasi,

maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan

20

itulah yang disebut dengan semesta pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun

ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh

semesta pembicaraannya.

Contoh: Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model

2x = 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa

menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x = 2,5. Tetapi kalu suda

ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat maka jawab x = 2,5 adalah salah

atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan

semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada.

Sering dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan

kosong”.

F. Konsisten Dalam Sistemnya

Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang

mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang

terlepas satu sama lain. Misal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri.

Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu

sama lain, tetapi dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang

lebih “kecil” yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem

geometri, terdapat beberapa sistem yang “kecil” yang berkaitan satu sama lain.

Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau

konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam

makna maupun dalam hal nilai kebenarannya.

21

BAB IV

HAKIKAT MATEMATIKA DI SEKOLAH

Matematika sekolah adalah bagian dari matematika yang dipilih, antara

lain dengan pertimbangan atau berorientasi pada kependidikan. Dengan demikian,

pembelajaran matematika perlu diusahakan sesuai dengan kemampuan kognitif

siswa, mengkongkritkan objek matematika yang abstrak sehingga mudah

difahami siswa. Selain itu sajian matematika sekolah tidak harus menggunakan

pola pikir deduktif semata, tetapi dapat juga digunakan pola pikir induktif, artinya

pembelajarannya dapat menggunakan pendekatan induktif. Ini tidak berarti bahwa

kemampuan berfikir deduktif dan memahami objek abstrak boleh ditiadakan

begitu saja.

A. Penyajian Matematika di Sekolah

Pembelajaran pada hakekatnya adalah proses interaksi antara peserta

didik dengan lingkungannya, sehingga terjadi perubahan perilaku ke arah

yang lebih baik (Mulyasa, 2002:100). Dalam pembelajaran, tugas guru yang

paling utama adalah mengkondisikan lingkungan agar menunjang terjadinya

perubahan tingkah laku.

Pembelajaran matematika menurut Russeffendi (1993:109) adalah

suatu kegiatan belajar mengajar yang sengaja dilakukan untuk memperoleh

pengetahuan dengan memanipulasi simbol-simbol dalam matematika

sehingga menyebabkan perubahan tingkah laku.

22

Dalam kurikulum 2004 disebutkan bahwa pembelajaran matematika

adalah suatu pembelajaran yang bertujuan:

1. Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya

melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan

kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi

2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan

penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa

ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba

3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah

4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau

mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan,

grafik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan

B. Pola Pikir Matematika di Sekolah

Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif. Sifat atau

teorema yang ditemukan secara induktif ataupun empirik harus dibuktikan

kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai dengan strukturnya.

Tidaklah demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada

akhirnya tetap diharapkan mampu berpikir deduktif, namun dalam proses

pembalajarannya dapat digunakan pola pikir induktif.

Pola pikir induktif yang digunakan sebagai bentuk penyesuaian

dengan tahap perkembangan intelektual siswa-siswi. Namun, untuk

penyajian matematika di MA digunakan pola pikir deduktif. Jika definisi

jajaran genjang telah diterapkan di MI untuk memperkenalkan konsep suatu

23

bangun datar, misalnya persegi, guru dapat menunjukkan berbagai bangun

geometri atau gambar datar kepada siswanya, kemudian menunjuk bangun

yang berbentuk persegi, dengan mengatakan, “lni namanya persegi.”

Selanjutnya menunjuk bangun lain yang bukan persegi dengan mengatakan,

“lni bukan persegi.” Dengan demikian siswa-siswi menangkap pengertian

persegi secara intuitif secara visual, sehingga dia dapat membedakan mana

bangun yang berupa persegi dan mana yang bukan. Ini merupakan langkah

induktif atau mengikuti pola pikir induktif. Namun selanjutnya dapat juga

ditanamkan pola pikir deduktif secara amat sederhana, misalnya siswa MI

tersebut diajak ke suatu tempat yang banyak bangun-bangun geometrinya.

Bila kepada siswa itu ditanyakan manakah yang merupakan persegi, ternyata

dia dapat menunjuk dengen benar, berarti siswa tersebut telah menerapkan

pola pikir deduktif yang sederhana.

Demikian banyak topik matematika yang penyajiannya perlu

diawali dengan langkah-langkah induktif namun akhirnya tetap diarahkan

agar siswa dapat berpikir secara deduktif.

C. Keterbatasan Semesta

Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif. Sifat atau

teorema yang ditemukan secara induktif ataupun empirik harus dibuktikan

kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai dengan strukturnya.

Tidaklah demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada

akhirnya tetap diharapkan mampu berpikir deduktif, namun dalam proses

pembalajarannya dapat digunakan pola pikir induktif.

24

Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika untuk

matematika sekolah dengan memperhatikan aspek pendidikan, dapat terjadi

"penyederhanaan" dari konsep matematika yang kompleks. Pengertian

semesta pembicaraan tetap diperlukan, namun mungkin lebih dipersempit.

Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berarti meningkat juga tahap

perkembangannya maka semesta itu berangsur diperluas lagi

Sebagai contoh keterbatasan semesta matematika di MI, dalam hal

pembelajaran tentang bilangan, mulai dari kelas 1 berturut (urut hingga kelas

5 misalnya, di kelas 1 siswa secara berturut-turut mulai dikenalkan hanya

bilangan cacah yang tidak lebih dari 100 kemudian semakin meningkat. Pada

saat siswa hanya mengenal bilangan cacah yang tidak lebih dari 100, tentu

saja guru belum perlu memberikan soal yang operasinya menghasilkan

bilangan di luar 0-100 itu. Demikian juga dalam hal memperkenalkan

pecahan, secara bertahap semesta dan penyebutnya dianekaragamkan atau

diperluas semestanya. Di MI tidak semua operasi terhadap bilangan bulat

dlperkenalkan, hanya diperkenalkan operasi penjumlahan dan pengurangan.

Belum diperkenalkan perkalian dan pembagian bilangan bulat (khususnya

untuk bilngan negatif).

D. Tujuan Pendidikan Matematika

Tujuan Pendidikan Matematika yang dimaksud di sini adalah tujuan

secara umum mengapa matematika diajarkan di berbagai jenjang sekolah.

Selain itu juga dikemukakan tujuan pembelajaran matematika yang ingin

dicapai oleh suatu institusi atau sekolah melalui kurikulum yang ditetapkan.

25

Selanjutnya akan dikemukakan semacam klasifikasi atau pengelompokan

tujuan pembe!ajaran matematika yang dalam tulisan ini menjadi fokus

pembahasan bertalian dengan nilai-nilai yang terkandung dalam pembelajaran

matematika. Dalam Peraturan Menteri Pendidikan Nasional nomor 22 tahun

2006 dikemukakan bahwa mata pelajaran matematika diajarkan di sekolah

bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :

a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan

mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan

tepat, dalam oemecahan masalah.

b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi

matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau

menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.

c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah,

merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan

solusi yang diperoleh.

d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media

lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.

e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu

memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari

matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

Bila diperhatikan secara cermat terlihat bahwa kelima tujuan yang

dikemukakan di atas memuat nilai-nilai tertentu yang dapat mengarahkan

klasifikasi atau penggolongan tujuan pembelajaran matematika di semua

jenjang pendidikan sekolah menjadi (1) tujuan bersifat formal dan (2)

26

tujuan yang bersifat material. Adapun tujuan yang bersifat formal lebih

menekankan kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian.

Sedangkan tujuan yang bersifat material lebih menekankan kepada

kemampuan menerapkan matematika dan keterampilan matematika. Hal

yang perlu diperhatikan adalah bahwa selama ini dalam praktek

pembelajaran di kelas guru lebih menekankan kepada tujuan yang bersifat

material, antara lain karena tuntutan lingkungan yang sangat dipengaruhi

oleh sistem evaluasi regional ataupun nasional.

Pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam

pembelajaran matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi

tunggal, masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah

dengan berbagai cara penyelesaian. Untuk meningkatkan kemampuan

memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami

masalah, membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan

menafsirkan solusinya.

Dalam setiap kesempaian, pembelajaran matematika hendaknya

dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual

problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara

bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk

meningkatkan keefektifan pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan

teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau

media lainnya. Selain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana

matematika banyak diterapkan dalam teknologi informasi sebagai

perluasan pengetahuan oeserta didik.

27

E. Matematika Informal

Pada pembahasan terdahulu telah disinggung istilah "matematika

informal". Pada bagian ini lebih luas di uraikan. Sekarang ini telah dikenal

istilah "Pendidikan Formal" dan Pendidikan non-Formal", Makna dari

"Pendidikan formal" adalah pendidikan yang dilaksanakan di sekolah,

sedangkan makna dari "pendidikan non-formal" adalah pendidikan yang

dilaksanakan di luar sekolah tetapi masih jelas strukturnya.

Pendidikan informal diartikan pendidikan yang terlaksana di luar

pendidikan formal maupun pendidikan non formal. Dalam suatu keluarga

misalnya, banyak pendidikan informal yang terjadi. Pendidikan anak dalam

keluarga dapat terjadi atau terlaksana hanya dengan memperhatikan

kebiasaan bapak dan ibu dalam keluarga itu. Si anak, mungkin tanpa sadar

mengikuti kebiasaan yang dia lihat setiap hari di rumah.

Pengetahuan matematika yang diperoleh oleh anak di tingkat

"Roudlotul Athfal" atau "Bustanul Athfal" tidak mengikuti struktur

matematika yang ada di Madrasah lbtidaiyah atau jenis madrasah yang

tain (mungkin ini penyebab tidak disebut madrasah tetapi roudloh).

Pengetahuan matematika yang kini dimaksukkan dalam "kurikulum" RA.

antara lain adalah "klasifikasi dan seriasi". Keduanya dapat dicapai

melalui pendidikan informal.

Tentu saja masih banyak pengetahuan metematika atau yang

mengarah kepada matematika yang dapat diperoleh anak seusia anak TK

secara informal. Hal yang penting dan perlu diperhatikan adalah bahwa

jangan sampai matematika Ml tanpa pertimbangan yang matang langsung

28

diberikan kepada anak TK. Jangan sampai memaksakan sesuatu

pengetahuan yang belum mampu dicerna atau diatngkap anak TK secara

formal.

29

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kata matematika berasal daru perkataan latin matematika yang

mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti

mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti

pengetahuan dan ilmu (knowledge, science). Kata matheimatike berhubungan

pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu matheinatau mathenein

yang artinya belajar (berpikir).

Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan

yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya.

Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat

matematika. Berdasarkan uraian-uraian hakikat matematika di atas maka

dapat di simpulkan bahwa karakteristik- karakteristik matematika dapat

dilihat pada penjelasan berikut:

1. Memiliki kajian objek abstrak.

2. Bertumpu pada kesepakatan.

3. Berpola pikir deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat

diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.

4. Memiliki simbol yang kosong dari arti. Rangkaian simbol-simbol dapat

membentuk model matematika.

5. Memperhatikan semesta pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang

kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model

yang dipakai.

30

6. Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem.

Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem

tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul

kontradiksi.

B. Saran

1. Untuk para mahasiswa agar dapat lebih memperdalam tentang ilmu

matematika khususnya untuk pembelajaran di sekolah.

2. Untuk mahasiswa agar lebih mengembangkan teori ilmu matematika yang

didapat dan dikorelasikan dengan proses pembelajaran di sekolah.

31

DAFTAR PUSTAKA

Hasan Alwi, dkk. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.

Suherman., E, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika.

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Etimologi.

Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan lmplikasinya terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakafta: Departemen Pendidikan Nasional

32