1

ALJABAR 1

NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET ARITMATIKA, BARISAN DAN DERET GEOMETRI , SERTA INDUKSI

MATEMATIKA

Dosen Pengasuh :

Dr. Nila kesumawati,M.Si

Disusun oleh :

Kelompok 5:

1. Tety Oktaria (2012 121 160)2. Ike Nurjana (2012 121 153)3. Eko Periadi (2012 121 155)4. Bokli Andika (2012 121 180)5. Yuspita (2012 121 169)6. Arsi Diana (2012 121 168)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG TAHUN 2012

2

DAFTAR ISI

HALAMAN

DAFTAR ISI.........................................................................................1

PETA KONSEP..................................................................................... 2

1. NOTASI SIGMA......................................................................3

2. BARISAN ARITMATIKA ......................................................7

3. DERET ARITMATIKA ( DERET HITUNG )........................9

4. BARISAN GEOMETRI ( BARISAN UKUR ).........................9

5. DERET GEOMETRI................................................................11

6. GEOMETRI TAK HINGGA.....................................................12

7. INDUKSI MATEMATIKA.......................................................13

8. SOAL- SOAL LATIHAN.........................................................14

DAFTAR PUSTAKA.............................................................................15

3

PETA KONSEP

4

Notasi Sigma, Barisan dan Deret, serta Induksi matematika

Notasi Sigma Barisan dan Deret

Barisan dan Deret

Aritmatika

Barisan dan Deret

Geometri

Geometri tak hingga

Induksi matematika

NOTASI SIGMA , BARISAN DAN DERET, SERTA INDUKSI MATEMATIKA

Jika suatu bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu diatas lantai , bola tersebut akan memantul danbila dibiarkan kelamaan akan berhenti. Pemahaman yang baik mengenai barisan dan deret suatu bilangan sangat membantu kamu dalam menyelesaikan permasalahan – permasalahan yang seperti itu.

1 Notasi Sigma

Simbol dari notasi sigma adalah Ʃ (baca : sigma), yang merupakan huruf capital dari Yunani yang berasal dari huruf S dari kata “sum” yang berarti jumlah. Menuliskan penjumlahan dari bilangan – bilangan yang memiliki keteraturan tertentu sehingga memungkinkannya ditulis dalam bentuk yang sederhana. Cara yang demikian disebut notasi sigma. Perhatikan jumlah bilangan – bilangan berikut:

2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42

Penulisan yang demikian tidak jelas dan tidak efektif. Penyajian dengan ditentukan polanya adalah sebagai berikut :

1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 1 (1+1) + 2 (2 + 1) + 3(3 +1) + 4(4 +1) + 5(5 +1) + 6(6 +1)

Maka diperoleh bentuk 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 = ∑i=1

6

n (n+1 )bentuk umum dari

notasi sigma

∑i=1

n

U i

Dengan keterangan :

Bentuk yang demikian cara membacanya “Jumlah U iuntuk nilai i = 1 sampai i =n”

Nilai “i = 1” disebut batas bawah penjumlahan Nilai n disebut batas atas penjumlahan Himpunan {1,2,3,4……,6...n} disebut daerah penjumlahan.

1.1 Sifat – sifat notasi sigma

1.1 .1∑i=1

n

k=nk Untuk k adalah konstanta

1.1 .2∑i=1

n

kU iatau k∑i=1

n

U i dan U i adalah sukuke−i

5

1.1 .3∑i=1

n

(U i+Di )=¿∑i=1

n

U i+∑i=1

n

Di¿

1.1.4 Untuk P anggota bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan q adalah bilangan bulat yang lebih besar dari P.

∑i=1

n

U i= ∑i=1+p

n+p

U i−p∧∑i=1

n

U i= ∑i=1−q

n−p

U i+p

1.1.5 Jika 0 < a < b < c < d dan a,b,c,d, ∈ bilangan asli , maka :

∑i=a

b−1

U i+∑i=b

c−1

U i+∑i=c

d

U i=¿∑i=a

d

U i¿

∑i=a

b

U i+ ∑i=b−1

c

U i+ ∑i=c+1

d

U i=∑i=a

d

U i

Contoh soal

1. Ubahlah barisan aritmatika berikut dalam bentuk sigma !a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30

Penyelesaian := 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30= 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6) + 3(7) + 3(8) + 3(9) + 3(10)

¿3 (1 )+3 (2 )+3 (3 )+…+3 (10 )=∑i=1

10

(3 )(i)

b.1

(2)(3)+ 1

(3 )(4)+ 1

( 4 )(5)+….+ 1

(7 )(8)Penyelesaian :

1(2)(3)

+ 1(3 )(4)

+ 1( 4 )(5)

+ 1(5 )(6)

+ 1(6 )(7)

+ 1(7 )(8)

¿∑i=3

81

(n−1 )(n)c. -2 + 4 – 8 + 16 – 32

Penyelesaian :

¿ (−2 )1+(−2)3+(−2)3+(−2)4+(−2)5=∑i=1

5

(−2)n

d.1

21+ 2

22+ 3

23+…+ 8

28

Penyelesaian :

121 +

222 +

323 +

424 + 5

25 +626 +

727 +

828 =∑

i=1

8n2n

6

2. Tentukan nilai dari :

a .∑k=1

3

( k2

2 k+3)c .∑

k=6

11

k2(k+2)

b .nilai n dari∑i=1

n

(2 i−8)=30 d .∑k=0

10

25−k

Penyelesaian :

a .∑k=1

3

( k2

2 k+3 )= 12

2 (1 )+3+ 22

2 (2 )+3+ 32

2 (3 )+3

¿15+ 4

7+ 9

9

¿ 7+20+3535

=6235

b .∑i=1

n

(2 i−8 )=30

= (2(1)-8) + (2(2)-8) +…. + (2(n-1)-8) + (2(n)-8) =30 (2(n)-8) + (2(n-1)-8)+….+ (2(2)-8) + (2(1)-8) =30 + (2(n+1)-16) + (2(n+1)-16) + ….+ (2(n+1)-16) =60

Sebanyak n sukun(2(n+1)-16) =60n(2n-14) =60

2n2−14 n−60=0

n2−7 n−30=0 (n-10)(n+3) = 0

n= 10 atau n= -3 ,Dan yang memenuhi nilai n adalah n= 10

7

c .∑k=6

11

k2(k+2)

¿62 (6+2 )+72 (7+2 )+82 (8+2 )+92 (9+2 )+102 (10+2 )+112(11+2)

= 36 (8) + 49 (9) + 64 (10) + 81 (11) + 100 (12) + 121(13)

= 288 + 441 + 640 + 891 + 1200 + 1573 = 5033

d .∑k=0

10

25−k

¿25−0+25−1+25−2+25−3+25−4+25−5+25−6+25−7+25−8+25−9+25−10

=25+24+23+22+21+20+2−1+2−2+2−3+2−4+2−5

= 63 + 16+8+4+2+1

32 = 63

3132

3. Tunjukan kebenaran kesamaan – kesamaan berikut!

a .∑i=3

7

i2=∑i=1

5

(i+2)2

Penyelesaian :

∑i=3

7

i2=∑i=1

5

(i+2)2

32+42+52+62+72=(1+2)2+(2+2)2+(3+2)2+(4+2)2+(5+2)2

9+16+25+36+49=32+42+52+62+72

135 = 9 + 16 + 25 + 36 + 49

Makaterbukti bila nilai dikedua bentuk sigmasama yaitu∑i=3

7

i2=∑i=1

5

( i+2)2

8

Dalam kehidupan sehari – sehari , sering menjumpai sesuatu yang bersifat teratur dan memiliki pola suatu bilangan ? Yaitu seperti kenaikan jumlah penduduk suatu daerah atau pembelahan suatu sel. Permasalahan seperti tersebut merupakan contoh dari aplikasi barisan dan deret suatu bilangan.

2. Barisan dan Deret Aritmatika dan Barisan dan Deret Geometri

Barisan bilangan merupakan susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama dilambangkan dengan U 1 maka bilangan ke-2 adalah U 2 , dan bilangan

ke-3 adalah U 3… dan bilangan ke-n adalah U n. Maka barisan bilangan itu dapat

dituliskan U 1 , U 2 ,U 3 ,…. ,U n.

Misalkan U 1 , U 2 ,U 3 ,…. ,U n merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku – suku barusan itu dinamakan sebagai deret, dan ditulis sebagai berikut : U 1+U 2+U 3+…+U ndan jumlah dari suatu deret dilambangkan

dengan Sn.

2.1 Barisan Aritmatika (Barisan Hitung)

Secara umum dirumuskan dengan bentuk

U n=a+(n−1 ) bdenganb=U n−Un−1

Dengan keterangan : a adalah suku pertama n adalah banyak suku U n adalah suku ke-n

Contoh soal

1. Jika diketahui barisan Aritmatika 3,7,11,15,….,carilah rumus ke-n dan suku ke – 30 !Penyelesaian : Nilai a = 3 dan b = 7- 3 = 4Suku ke-n U n=a+(n−1)b

= 3 + (n-1)4 = 3 + 4n-4 = 4n -1

Suku ke -30 U 30 = 3 + 4(30) -1 =119

9

Suatu barisan Aritmatika dengan banyak suku ganjil . Maka dapatlah suku tengah dari barisan Aritmatika itu dengan :

U t=U 1+U n

2atau U t=

12

(U 1+U n ) dengan t=12(n+1)

Contohsoal

1. Jika barisan Aritmatika 3,8,13,…,283. Tentukanlah suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut !Penyelesaian : Dik : U 1=3 ;U n=283

Maka U t=U 1+U n

2

= 3+283

2 = 143

Dan untuk, U t = 143 a + (t-1)b = 143

3 + 5t – 5 = 1435t = 145t = 29

Namun bila dalam sebuah barisan disisipkan k buah bilangan antara x dan y maka beda barisan yang terbentuk :

b= y−xk+1

Dengan keterangan :

k adalah banyak bilangan x adalah bilangan ke -1 y adalah bilangan ke -2

Contoh soal

1. Jika antara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 bilangan yang berakibat terbentuklah barisan Aritmatika. Tentukan beda dan suku ke-10 !Penyelesaian :

b= y−xk+1

=117+2111+1

=9612

=8

Maka didapat , U 10=a+(n−1)b = 21 + (10-1) 8 = 93

2. Tiga bilangan diantara 8 dan 60 .Penyelesaian :

10

b= y−xk+1

=60−83+1

=524

=13

Maka barisan Aritmatika yang terbentuk adalah 8,21,34,47,60.2.2 Deret Aritmatika (Deret Hitung)

Deret Aritmatika dilembangkan dengan Sn. Berikut adalah sifat – sifat Sn :

Bila a adalah suku pertama dari U n

Sn=n2

¿

Contoh soal

1. Diketahui deret bilangan 10 + 12 + 14 + 16 + ….+ 98 dari deret bilangan itu jumlah bilangan yang habis dibagi 2 dan tidak habis di bagi 5 adalah…Penyelesaian :

U n = a + (n-1)b Sn=n2(a+U n)

98 = 10 + (n-1)2 S45=452

(10+98)

98 = 10 + 2n -2 = 452

(108)

n = 45 = 2430Bila yang dimaksud adalah 10,20,30,40,50,….90.

U n=a+(n−1 ) b Sn=n2(a+U n)

90 = 10 + (n - 1)10 S9=92(10+90)

90 = 10 + 10n -10 = 9(50)n = 9 = 450Maka, jumlah bilangan yang dimaksud pada soal adalahSn=S45−S9 = 2430 – 450 = 1980

2. Bila diketahui suatu deret Aritmatika adalah 12 +15 +18 +… maka S10?Penyelesaian :

Sn=n2(a+(n−1)b)

S10=102

(12+(10−1)3)

= 5 (51) = 2552.3 Barisan Geometri (Barisan Ukur)

Barisan Geometri adalah barisan dengan rasio (pembandingan / pengali) antara dua suku yang berurutan selalu konstan . Bentuk umum dari Deret Geometri :

11

U 1 , U 2 ,U 3 ,…,U n atau ar

, a , ar ,a r 2 ,…,a rn−1 , dengan r≠ 0

Yang berartiU n=a rn−1

Sehingga berlaku :

r=U n

U n−1

Dengan keterangan :

r adalah rasio a adalah suku pertama U n adalah suku ke –n

n adalah banyak suku

Barisan Geometri dibagi menjadi 3 yaitu :

2.3.1. Geometri naik yaitu r > 1 disebut dengan barisan devergen. Contoh: 2,4,8,16,32,64 memiliki r = 2.

2.3.2. Geometri turun yaitu r < 1 disebut jugabarisan konvergen. Contoh: 96,48, 24,12,6,3,3/2,…, memiliki

r = 12

.

2.3.3. Geometri bergoyang yaitu suku – sukunya bergantian positif dan negative , jika r < 0 yang disebut alternate.

Contoh soal

1. Bila terdapat barisan Geometri 24,12,6,3, dengan suku ke-n adalah U n.

Tentukan U n dan suku ke-6 dari barisan tersebut !Penyelesaian :

Suku ke-n → U n=arn−1

= 24.( 12)

n−1

= 3.8 (2−1)n−1

= 3.23 .2−n+1

= 3. 24−n

Suku ke -6 adalah U n=3.24−n

U 6=3.24−6

¿3. 2−2=34

12

Bila Barisan Geometri memiliki banyak suku ganjil n sebagai suku pertama

dan a

U 1 dan suku akhir U n maka U t adalah :

U t=√U 1 .U natau U t2=a .U n, dengan t=1

2(n+1)

Contoh soal

1. Barisan bilangan 12

,1,2,4,….,128 merupakan barisan geometri dengan

banyak suku ganjil. Tentukan suku tengahnya dan suku keberapakah suku tengah tersebut?Penyelesaian :

U t=√U 1 .U n

¿√ 12

.128 ¿√64=8

maka U t=8 → t-1 = 4

a rt−1=8 t = 512

. 2t−1=8

2t−1=16

2t−1=24

Dan apabila diantara x dan y disipkan k buah bilangan , maka x,xr,xr2, …x

rk, y dan dapat dirumuskan r=k+1√ yx

.

Contoh soal :

1. Sisipkan beberapa bilangan dibawah ini agar menjadi barisan geometri!a. Tiga bilangan diantara 6 dan 48.

Penyelesaian :

r=3+1√ 486

= 4√8 = 2Maka barisan Geometri yang terbentuk 6 , 12 , 24 ,48.

Hasil perkalian suku – suku barisan Geometri adalah P = anr12(n−1 )

Dapat dibuktikan dengan

Barisan Geometri : a ,ar , ar2 , …, arn−1

P=a ×ar × ar2× …×ar n−1

13

= anr1+2+3+…+(n−1)

= anrn2(n−1)

2.4 Deret Geometri

Pada keseharian pertambahan penduduk mengikuti dari pola deret Geometri . Rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah

Sn=a (rn−1)

r−1untuk r>1 atauSn=

a (1−rn)1−r

untuk r<1

Contoh soal

1. Jumlah n suku pertama dari barisan Geometri adalah Sn=2n+1−2.

Tentukan rumus suku ke –n dan nilai suku ke – 7.Penyelesaian :

Sn=2n+1−2. Maka, U n=Sn−Sn−1

= ¿ = 2. 2n+2 = 2n

Maka , U 7=27=128

2.5 Geometri Tak Hingga

Deret Geometri tak hingga dapat dirumuskan menjadi :

S∞= a1−r

Juga dapat ditulis dengan notasi sigma :

S=∑k+1

∞

a rn−1=a+ar+ar2+…= a1−r

Contoh soal

1. Tentukan nilai deret Geometri berikut !a. 24 + 12 + 6 +…

b. 1 + 23+¿

Penyelesaian :

14

a. 24 + 12 + 6 + … Diperoleh:

a = 24 dan r = 12

Jadi nilai jumlah tak hingga suku – suku nya adalah

S∞= a1−r

= 24

1−12

= 48

b. 1 + 23+¿

Diperoleh :

a = 1 dan r = 23

maka , S∞= a

1−r= 1

1−23

=3

3. Induksi Metematika

Metode pembuktian dalam matematika yang dikenal dengan istilah Induksi Matematika. Atau dalam kalimat yang lain Induksi Matematika adalah proses pembuktian pernyataan dari kasus – kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli. Misalnya untuk Pn suatu parnyataan bilangan asli n, kebenaran Pn untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan langkah :

1. P(1 ) adalah benar.

2. Andai Pn benar maka untuk Pn+1 juga benar

Secara sistematisnya , prosedur (algoritma) pembuktian dengan Induksi Matematika adalah:

1. Langkah 1 (baris Induksi) pemeriksaan untuk bilangan asli terkecil , P(1 )

* catatan: kadang bukti tidak selalu dari n=1 , tetapi boleh n=2 dan seterusnya.

2. Bila Pn benar maka buktikan bahwa Pn+1 juga benar.

3. Bila pernyataan itu berlaku untuk semua bilangan asli n , maka Pn adalah benar.

Contoh soal

15

1. Buktikan bahwa 1+ 3+ 5 + 7 + … + (2n -1) = n2

Penyelesaian :

Misal Pn=1+3+5+7+…+ (2n−1 )=n2

a. Untuk n = 1, P(1 )=12 , adalah benar.

b. Missal untuk n = k, Pk=k2, adalah benar.

Untuk n = k artinya 1+ 3+ 5 + 7 + … + (2k -1) = k 2

c. Ditunjukkan untuk n = k+1 , maka berlaku

Pk +1=(k+1)2 untuk n = k+1 akan di buktikan

1+ 3+ 5 + 7 + … + (2k -1) + (2(k+1)-1) = (k+1)2

= k 2+(2 (k−1 )−1) =k 2+2 k+1=(k+1)2 , terbukti

Jadi, Pn berlaku untuk n∈A , maka rumus tersebut benar.

16

LATIHAN AKBAR

1. Tentukan rumus umum suku ke-n deret dibawah ini dan tentukan pula jumlah 7 suku pertama!a. 1 + 2 + 4 + 8 + ….

b. 12 + 8 + 163

+ 329

+…

2. Tulislah jumlah – jumlah tersebut dalam notasi sigma !a. 13+23+33+43+53

b. −2+4−8+16−323. Tiga bilangan bentuk Aritmatika jika suku ke-3 ditambah 2 dan suku

ke-2 dikurang 2, diperoleh Barisan Geometri. Jika suku ke-3barisan Aritmatika ditambah 2 maka hasilnya menjadi 4 suku pertama . Maka suku pertama deret Aritmatika itu adalah ….

4. Bila diketahui suku ke-2 dan ke-6 suatu deret Geometri dengan suku positif berturut – berturut adalah 6 dan 96. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah….

5. Buktikan bahwa 32n+22 n+2 habis dibagi 5 untuk n bilangan asli!6. Tentukan beda pada Barisan Aritmatika berikut ini

a. 3, 5, 7, 9 c. 4, -2 , -8 , -14b. 4, 104, 204 d. -10, -5, 0, 5

7. Sisipkan Berbagai bilangan di bawah ini agar membentuk barisan Aritmatika!a. Empat bilangan diantara 2 dan 12

8. Tentukan jumlah deret Aritmatika yang diminta pada deret Aritmatika berikut!a. 6 + 9 + 12 + 15 +… S10=…

b. 12 + 5 – 2 – 9 – 16…. S13=…

17

Daftar Pustaka

Bird, John. 2002. Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta: Erlangga

Depdiknas. 2003. Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Atas Dan Madrasah Aliyah. Jakarta : depdiknas

Purcell, Edwinj.1990.Kalkulus dan Geometri Analitik . Jakarta : Erlangga

Sembiring, Suwah. 2006. Rahasia Pintar Matematika Untuk SMA/ MA. Bandung : Yrama Widya

Setyaningtyas, Yualind. 2009. Buku Sakti Matematika SMP. Yogyakarta: Kendi Mas Media

Tampomas, Husein. 2007. Seribupena Matematika. Jakarta :

Erlangga

Wahyudin, H.2002. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta: Tarity Samudra Berlian

Wirodiktomo,. 2010. Matematika SMA. Jakarta: Yudistira

18