4.1. definisi parabola - · pdf file2. untuk parabola yang mempunyai f(0,p) dan direktrik y...

52 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

4.1. DEFINISI PARABOLA Parabola adalah tempat kedudukan titik (himpunan titik) yang berjarak sama

terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik tertentu itu disebut Fokus (F), dan garis

tetap itu disebut Direktrik

Berdasarkan defenisi di atas, kita dapat melukis parabola titik demi titik dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

1. Tetapkan garis g dan titik F .

2. Tarik sebuah garis melalui titik F (diperoleh sumbu x) tegak lurus () garis g sehingga garis

ini memotong g di s.

3. Titik O (0,0) pada garis FS, sehingga OS = OF

4. Buatlah lingkaran yang berpusat di F dan berjari-jari r OF

5. Lakukan seperti langkah 4*) dari titik S sehingga memotong SF di A1.

6. Buatlah garis tegak lurus SF sehingga memotong busur lingkaran A pada titik B1, B1 adalah

salah satu pada parabola .

7. Ulangi langkah no. 4, 5, dan 6 untuk mendapatkan titik lain pada parabola.

8. Setelah beberapa titik ditemukan, hubungkanlah titik itu dengan sebuah kurva yang mulus,

kurva itulah disebut parabola .

Sb. X

Sb. Y

S 0 F(p,0)

g = - p

A1 A2 A3 A4

P(x,y)

B1

B2

B3

B4

g1

g2

g3

g4

Bab IV : Parabola| 53

4.2. PERSAMAAN PARABOLA

- Garis g disebut direktrik

- Titik F(p,0) disebut fokus

- Titik O(0,0) disebut puncak

- FS disebut sumbu simetri

- FS = 2p = Parameter

- AB garis yang disebut latus rectum, tegak lurus

sumbu parabola melalui titik F. Panjang latus

rectum = 4p .

Dari keterangan gambar diatas, dapat diturunkan persamaan parabola sebagai berikut :

Karena FS = 2p, maka eksentritas parabola (e) : e = PQFP

= 1

F(p, 0) dan P(x, y) pada parabola x = g = -p, direktrik PF = QP

Karena FP = 22)( ypx

QP = 22 )()( yypx

= 2)( px

Maka titik akan terletak di parabola, jika dan hanya jika :

22)( ypx = 2)( px

(x – p)2 + y2 = ( x + p )2

x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2

y2 = 2xp + 2xp

y2 = 4xp

Catatan

1. Untuk persamaan parabola y2 = 4px

- Jika p 0, parabola terbuka ke kanan

- Jika p 0, parabola terbuka ke kiri

2. Untuk parabola yang mempunyai F(0,p) dan direktrik y = -p,

maka persamaan parabola x2 = 4py

- Jika p 0, parabola terbuka keatas

- Jika p 0, parabola terbuka kebawah

Sb. Y

Sb. X

P(x,y)

F(p,0)

B

A

0 S

g = - p

persamaan parabola dengan puncak O (0,0)



Sketsa grafiknya 1. Parabola y2 = 4px

2. x2 = 4py

Analog :

- Untuk persamaan parabola dengan dengan puncak (a, b), yaitu : (y – b)2 = 4p (x – a).

Dengan F (p + a, b), sumbu simetri y = b, dan garis direktrik g x = a – p

- Untuk parabola denga puncak (a, b), tapi F (a, p + b), Sumbu simetri x = a,

dan garis direktrik L y = b – p, adalah (x – a)2 = 4p (y – b)

Contoh:

1. Gambarlah grafik dari parabola y2 = 8x !

Penyelesaian :

Koordinat puncaknya O (0,0)

4p = 8

p = 2 Titik F(2,0)

Persamaan direktriks g = x = - p

= - 2

Sumbu simetrinya y = 0

Sb. Y

Sb. X F(p,0)

g x = - p

Sb. Y

Sb. X F(-p,0)

g x = p

Sb. Y

Sb. X F(0,p)

F(0,-p)

g y = - p

g y = p

Sb. X

Sb. Y


2. Gambarlah grafik dari parabola 4x2 – 25y = 0 !

Penyelesaian :

4x2 – 25y = 0

4x2 = 25y

x2 = 425

y

Koordinat puncaknya (0,0)

4p = 425

p = 1625

Titik F(0, 1625

)

Persamaan direktriks y = - 1625

Sumbu simetrinya y = 0

3. Gambarlah grafik dari parabola

a) y2 – 2y – 4x – 9 = 0 !

b) x2 – 2x – 9 = 4y !

Penyelesaian :

a) y2 – 2y – 4x – 9 = 0

y2 – 2y + 1 – 1 = 4x + 9

(y – 1)2 = 4x + 9 + 1

(y – 1)2 = 4

25x

Puncak parabola

1,

25

Parameter : 4p = 4 p = 1

Titik fokus F (1 +

25

, 1) F

1,

23

Persamaan direktriks g = x = a – p

= 23

- 1

= 25

Persamaan lotus rectumnya x = 23

Sb. Y

Sb. X

0

F

1625,0

y = 1625

(5,4) (-5,4)



Sketsa grafiknya :

b) x2 – 2x – 9 = 4y

x2 – 2x + 1 – 1 = 4y + 9

(x – 1)2 = 4y + 9 + 1

(x – 1)2 = 4

25y

Puncak parabola

25,1

Parameter : 4p = 4 p = 1

Titik fokus F (1, 1 +

25

) F

23,1

Persamaan direktriks g = y = b – p

= 23

- 1

= 25

Persamaan lotus rectumnya y = 23

1,

23F

25

x

23,1F

x2 – 2x – 9 = 4y

23

yl


4. Carilah persamaan bola yang mempunyai F(0,-2) dan puncaknya O (0,0) dan sebutkan semua sifat dan

gambarnya !

Karena puncaknya O (0,0) dan F(0,-2), maka persamaan parabola adalah

x2 = 4py x2 = 4 (-2) y

x2 = - 8y

Sifat-sifat parabola ini sebagai berikut :

- F(0,-2) dan puncak (0,0)

- Sumbu simetri x = 0

- Persamaan direktriksnya y = 2

- Parameternya p = -2

- Persamaan lotus rectumnya y = -2

- Panjang lotus rectumnya p4 = 8

4.3. Garis Singgung

1. Persamaan garis singgung dengan koefisien arah m pada parabola y2 = 4px

Misalkan persamaan garis y = mx + n menyinggung parabola y2 = 4px

1 (mx + n)2 = 4px

m2x2 + 2mnx + n2 – 4px = 0

Dengan diskriminan (D) = b2 – 4ac

(2mn – 4p)2 – 4m2n2

Ingat : - Jika D 0, garis g tidak memotong parabola

- Jika D 0, garis g memotong parabola

- Jika D = 0, garis g menyinggung parabola

Jadi, syarat agar garis g menyinggung parabola adalah :

D = b2 – 4ac = 0

(2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0

4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0

– 16mnp = - 16p2

n = mpp

1616 2

n = mp

Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola y2 = 4px adalah

y = mx + n

y = mx + mp

Analog : Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola x2 = 4py adalah

y = mx – pm2



Analog : Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola

axpby 42 adalah (y – b) = m (x – a) + mp

Begitu pula untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola

bypax 42 adalah y – b = m (x – a) - pm2

Contoh 14

Carilah persamaan garis singgung pada gradien 2, terhadap (masing-masing gambar grafiknya)

a) Parabola xy 82

b) Parabola 163 2 yx

Penyelesaian :

a) Persamaan garis singgung denagan m = 2 pada parabola xy 82

mpmxy

222 xy

(karena 4p = 8, p = 2)

12 xy Titik singgungnya :

xy 82

xx 812 2

08144 2 xxx

0144 2 xx

022 2 x

21,0

21 2

xx

Untuk 21

x , y = 2 . 21

+ 1 = 2

Titik singgungnya

2,

21

Focus parabola xy 82 )0,2F puncak 0(0,0,0)

Persamaan direktriksnya x = – 2

Panjang latus rectumnya 84 p

Persamaan latus rectumnya 2 x



b) Persamaan garis singgung dengan m = 2 pada parabola 163 2 yx adalah

y – b = m (x – a) – pm2

y + 1 = 2 (x – 3) – pm2

y + 1 = )6(62 x

y + 1 = 2x

y = 2x – 1

Titik singgungnya didapat dengan proses

11263 2 xx

xxx 12962

03096 22 xxx

32,1 x

Untuk x = - 3, 132 y

= - 7 , titik singging (-3,-7)

Sketsa grafiknya :

Puncak (3,-1)

F

25,3

Panjang lotus rectum 2344 p

= 6

Persamaan direktriksnya

pby

231

= 21

2. Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik S(x1,y1)

Misalkan garis singgungnya y = mx + n, maka absis titik singgungnya dapat diperolah

dari persamaan

y2 = 4px

21

y

25,3F

163 2 yx

y = 2x – 1


(mx + n)2 = 4px

m2x2 +2mnx + n2 = 4px

m2x2 +2mnx + n2 - 4px = 0

m2x2 + (2mn – 4p) x + n2 = 0

karena hanya ada titik singgung, maka absisnya diperoleh ;

abx21

21 242

mpmnx

21 2

22m

mnpx

212

mmnpx

Dan ordinatnya,

y1 = mx1 + n

y1 = m nm

mnp

2

2

mmnmnpy

2

1

mpy 2

1 1

2ypm

Sedangkan persamaan garis dengan gradien m adalah y – y1 = m (x – x1), sehingga;

11

12 xxypyy

111 2 xxpyyy

12

11 2 xxpyyy ..................(i)

Titik S (x1, y1) melalui y2 = 4px, sehingga y12 = 4px1................(ii)

Persamaan (i) dan (ii)

yy1 – y12 = 2p (x – x1)

yy1 – 4px1 = 2px – 2px1

yy1 = 4px1 – 2px1 +2px

yy1 = 2p (x + x1), persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px

Analog :

Untuk persamaan garis singgung pada parabola (y – b)2 = 4p (x-a)

di titik S(x1,y1) adalah (y – b) (y1 – b) = 2p (x + x1 -2a)



Contoh 15:

1. Carilah persamaan garis singgung di titik (–4,2) pada parabola:

a) xy 2

b) xy 82

Penyelesaian:

a) Persamaan garis singgun di (–4,2) pada parabola xy 2

11 2 xxpyy

4114 pp

441̀12

xy

2212 xy

4221

yxyx

b) Persamaan garis singgung di (–4,2) pada parabola xy 82

11 2 xxpyy

284 pp

442 xy

1642 xy

01624 yx

082 yx 2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(-2,-3) pada parabola y2 = 8x

Penyelesaian :

Misalkan titik singgungnya S(xo, yo),

maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2 = 8x

)(2 11 xxpyy

)(4 oo xxyy , karena 4p = 8

p = 2

Karena titik A(-2,-3) pada garis singgung

)2(43 oo xy atau 834 oo yx ..............................(i)

Karena S(xo, yo) juga pada parabola y2 = 8x


22

818 oooo yxxy

......................................................(ii)

(ii) (i) 834 oo yx

83814 2

oo yy

8321 2 oo yy

01662 oo yy

01662 oo yy

028 oo yy

oy = - 8

oy = 2

Untuk oy = - 8 xo = 8, diperoleh S1(8,-8)

Untuk oy = 2 xo = 8, diperoleh S2

2,

21

Jadi persamaan garis singgung di S1 )8(48 xy

82 xy

Jadi persamaan garis singgung di S2

2142 xy

242 xy 4.4. Garis Normal

Garis normal parabola adalah garis tegak lurus pada garis singgung parabola di titik singgung itu.

Jika SR garis singgung PS SR, maka PS

garis normal

PS’ = sumbu simetri parabola (sumbu

Normal)

RS’ = sumbu tangens

Persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px

yy1 = 2p (x + x1)



koofisien garis singgung = 1

2yp

, karna garis singgung parabola tegak lurus dengan garis normal maka

ms mn = - 1

1

2yp mn = - 1, mn = -

py2

1

Sehingga diperoleh persamaan garis normal di titik S(x1, y1) pada y2 = 4px adalah;

11

1 2xx

pyyy

Contoh 16 :

Diketahui puncak suatu parabola (1,2) dan F(4,2), tentukanlah :

a) Persamaan parabola tersebut

b) Persamaan garis singgung di (2,6)

c) Persamaan garis normalnya di (4,0)

penyelesaian :

a) persamaan parabola dengan puncak (1,2) dengan F(4,2), berarti P = 3

)1(3.4)2( 2 xy

1212442 xyy

xyy 121642

b) persamaan garis singgung di (2,6) pada parabola (y – 2) = 12 (x – 1) adalah

)(2 11 xxpyy

)2(3.26 xy

0126601266 yxxy

c) persamaan garis normalnya di (4,0) adalah

)(2 1

11 xx

pyyy

)2(366 xy

62 xy

22 xy

4.5. Garis Tengah Sekawan

Garis tengah sekawan pada parabola adalah tempat kedudukan titik-titik tengah dari tali busur.

- Jika T1, T2, dan T3 adalah titik tengah tali busur A1B1, A2B2 dan A3B3

- A1B1 // A2B2 // A3B3, maka garis T yang melalui T1, T2, dan T3 disebut garis tengah sekawan


B1

B2

B3

A1

A2

A3

T1 T2 T3



Persamaan Garis Tengah Sekawan

Misalkan kita ambil persamaan tali busur y = mx + n, dan persamaan parabola

y2 = 4px, sehingga ;

(mx + n)2= 4px

m2x2 + 2mnx +n2 = 4px

m2x2 +2mnx – 4px + n2 = 0

m2x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0

Atau y = mx + n

mx = y – n

mnyx

y2 = 4px

y2 = 4p

mny

y2 =m

pnpy 44

m y2= 4py – 4pn

m y2 - 4py + 4pn = 0

y1 + y2 = ab

=

mp4

= mp4

T1 titik tengah 11BA

yt = tt yy 21

yt =

mp4

21

yt = mp2

, persamaan garis tengah sekawan sejajar sumbu X

Contoh 17 :

1. Diketahui partabola xy 22 dan garis tengah sekawan y = - 1. jika tali busurnya memotong sumbu x

dan membentuk sudut , hitunglah besar sudut !

Penyelesaian :


y2 = 2x

p = 1

y = –1

mpy

m11

m = –1

tg = –1

tg = tg 1350

= 1350

2. Tentukan persamaan tali busur suatu parabola xy 42 , jika (3,-2) merupakan titik tengah sekawan tali

busur itu !

Penyelesaian :

Misalkan persamaan tali busur

y = mx + c, potongkan dengan parabola xy 42

cmxy

mcyx

m

cyy 42

my2 – 4y + 4c = 0

y1 + y2 = ab

y1 + y2 = m4

yt = 2

21 yy

22 21 yy y1 + y2 = - 4

y1 + y2 = m4

m44

m = - 1

Tali busur melalui (3,-2)



cmxy

c )3)(1(2

c 32

1c

Persamaan tali busur yang dimaksud adalah

cmxy

y = - 1x + 1

y = - x + 1

4.1. definisi parabola - · pdf file2. untuk parabola yang mempunyai f(0,p) dan direktrik y...

Documents