ma1201 m5-1 19-02-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

19 Februari 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

9.2 Deret Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnyabila mungkin, menghitung jumlahnya

9.3 Deret Positif: Uji Integral

M ik k k d t itifMemeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

2/19/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

9.4 Deret Positif: Uji Lainnya

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasiodengan uji perbandingan dan uji rasio

9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyaratdan Kekonvergenan Bersyarat

Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratd t ti t dderet ganti tanda

2/19/2014 3(c) Hendra Gunawan

9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A

9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMemeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio

2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4

dengan uji perbandingan dan uji rasio

Mengapa Perlu Uji LainnyaMengapa Perlu Uji Lainnya

Kita telah mempunyai beberapa ‘senjata’ utkKita telah mempunyai beberapa senjata utkmenyelidiki kekonvergenan deret, ada: definisi, sifat deret geometri teorema kelinearan deretsifat deret geometri, teorema kelinearan deret, uji suku ke‐n, uji jumlah terbatas, dan uji integral (termasuk uji deret‐p) Namun kita masih(termasuk uji deret p). Namun, kita masihkesulitan menghadapi deret seperti

1 n

dan 411n

.!

2 n

n


Catatan. Di sini kita masih membahas deret positif.

Uji PerbandinganUji Perbandingan

Misalkan 0 ≤ a ≤ b utk n ≥ K (utk suatu K N)Misalkan 0 ≤ an ≤ bn utk n ≥ K (utk suatu K N).

(i) ik k k kb(i) Jika konvergen, maka konvergen. na nb

(ii) Jika divergen, maka divergen. na nb

Catatan. Kedua pernyataan di atas ekuivalen.


ContohContoh

Deret konvergen karena 1 11Deret konvergen karena

k i d k

41 n

1

441 nn

untuk tiap n N dan konvergen. 4n


Uji Perbandingan LimitUji Perbandingan Limit

Misalkan a ≥ 0 dan b > 0 dan Lan limMisalkan an ≥ 0 dan bn > 0 dan .

(i) ik 0 k d b

Lbn

n

lim

(i) Jika 0 < L < ∞, maka dan sama‐sama konvergen atau divergen.

na nb

(ii) Jika L = 0 dan konvergen, maka nb na( ) g ,konvergen.

n n


ContohContoh

Deret divergen karena 1 111lim Deret divergen karena

d di

n1

1

11

lim nnn

dan divergen. n


SoalSoal

Selidiki kekonvergenan deret ln nSelidiki kekonvergenan deret .2n


Uji RasioUji Rasio

Misalkan deret dengan an > 0 dan na g n n

.lim 1

n

n aa

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen.

n

n a

(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikan( ) ρ , jkesimpulan apapun.

Catatan. Pada deret geometri, rasionya konstan.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

ContohContoh

Selidiki kekonvergenan deret 2n

Selidiki kekonvergenan deret

b i hi

.!n

Jawab: Kita hitung

02lim22lim1

nn

.01

lim!)!1(

lim

nnn nn

2n

Menurut Uji Rasio, deret konvergen. !2n


SoalSoal

Selidiki kekonvergenan deret berikut:Selidiki kekonvergenan deret berikut:

ln n1.

nn

.n

2. .!n

n


9.5 DERET GANTI TANDAMA1201 MATEMATIKA 2A

9.5 DERET GANTI TANDAMemeriksa kekonvergenan mutlak/ bersyarat deret ganti tanda


bersyarat deret ganti tanda

Apa itu Deret Ganti TandaApa itu Deret Ganti Tanda

Kita telah mempelajari deret positif (dan deretp j p (negatif). Sekarang kita tinjau deret ganti tanda, yaitu deret berbentuky

...4321 aaaa

dengan an > 0 untuk tiap n N. Sebagai contoh, kita akan menyelidiki kekonvergenan derety gharmonik ganti tanda

1 111 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15

...1 41

31

21

Kekonvergenan Deret Ganti TandaKekonvergenan Deret Ganti Tanda

Diketahui deret ganti tandaDiketahui deret ganti tanda

i hi j l h i l

...4321 aaaaKita hitung jumlah parsialnya

11 aS

21212

aSaaaSaSaaS

... 434

323213

aSSaSaaaS


.dst

Kita perhatikan pula bahwa S1, S3, S5, … turun1 3 5dan terbatas di bawah, sehingga konvergen, katakan ke S*. Sementara itu, S2, S4, S6, … naik2 4 6dan terbatas di atas, sehingga konvergen, katakan ke S**. Baik S* maupun S** berada diantara Sn dan Sn+1 (ilustrasi di papan tulis).

Jadi, |S* – S**| ≤ |Sn – Sn+1| = an+1., | | | n n+1| n+1

Jadi, jika maka S* = S**, sehinggaderet konvergen ke bilangan yang sama sebut‐

,0lim0

nn

aderet konvergen ke bilangan yang sama, sebutlah S. Dapat pula diperiksa bahwa

|S S | ≤ |S S | a|S – Sn| ≤ |Sn+1 – Sn| = an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Uji Deret Ganti TandaUji Deret Ganti Tanda

Diketahui deret ganti tandaDiketahui deret ganti tanda

d k i

...4321 aaaadengan an > an+1 > 0 untuk tiap n N.

Dari pengamatan sebelumnya, kita simpulkan:

Jika maka deret konvergen.,0lim0

nn

a

Lebih jauh, jika jumlahnya ditaksir dengan Sn, maka kesalahannya tak lebih daripada a

0n

maka kesalahannya tak lebih daripada an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18

ContohContoh

Deret merupakan deret ganti1 111 Deret merupakan deret gantitanda dengan an = 1/n turun dan menuju 0.

Jadi deret ganti tanda ini konvergen

...1 432

Jadi, deret ganti tanda ini konvergen.

Bila kita ingin menaksir jumlahnya dengank l h k l bih d i d 0 01 k kikesalahan tak lebih daripada 0.01, maka kitaharus menaksirnya dengan S99, yaitu

....1 991

981

41

31

21

99 S


Kekonvergenan MutlakKekonvergenan Mutlak

Teorema Diketahui deret sembaranguTeorema. Diketahui deret sembarang.

Jika konvergen, maka konvergen.

nu

nu || nu g , g

Catatan. Deret dikatakan konvergen

n || n

nu gmutlak apabila konvergen.

Kebalikan teorema di atas tidak berlaku:

n

|| nuKebalikan teorema di atas tidak berlaku: kekonvergenan tidak menjaminkekonvergenan .

nu || ukekonvergenan .


|| nu

ContohContoh

Deret konvergen1 11111 Deret konvergen

mutlak, karena deret...1 3216842

konvergen

...1 321

161

81

41

21

konvergen.


Kekonvergenan BersyaratKekonvergenan Bersyarat

Deret harmonik ganti tanda ...1 41

31

21 Deret harmonik ganti tanda

konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak.

...1 432

Deret yang konvergen tetapi nu || nutidak konvergen dikatakan konvergen bersyarat.

Sebagai contoh, merupakan

d k b...1 4

131

21

deret yang konvergen bersyarat. 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22

Uji Rasio MutlakUji Rasio Mutlak

Misalkan deret sembarang dengan suku‐ nu g gsuku tak nol, dan

n

li 1nu

( )

.lim 1

n

n

n u

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak.

(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.p p p


LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan deret dan dalam halSelidiki kekonvergenan deret dan, dalam halkonvergen, tentukan apakah ia konvergenmutlak atau bersyaratmutlak atau bersyarat.

1ln)1(

n n

1.

sin n

.)1(2

n

n

n

2. 1

2 .sinn n

n


ma1201 m5-1 19-02-14

Documents