ma1201 m13-1 16-04-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

16 April 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p

4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Soal 1Soal 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.


Soal 2Soal 2

Hitung apabila S dAx2Hitung apabila S

adalah daerah cincin yg

S

dAx1 20

dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.

Soal 1 dan 2 lebih mudahSoal 1 dan 2 lebih mudahdikerjakan dlm koordinatpolar!polar!


Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p


Ingat: Sistem Koordinat PolarIngat: Sistem Koordinat Polar

Sistem koordinat polar terdiri dariSistem koordinat polar terdiri darisumbu polar (berupa setengah garis, yang berimpit dengan sumbu‐x positif Py g p g ppada bidang R2) dan titik asal O.

Setiap titik P pada bidang kemudian θ

r

Setiap titik P pada bidang kemudiandinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r, dan besar sudut θ yang

Oθ

P = P(r θ)y gdibentuk oleh ruas garis OP dansumbu polar (dihitung berlawanan

P = P(r,θ)

arah dengan arah jarum jam).4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Hubungan Koordinat Polar dandKoordinat Cartesius

Jika P = P(r θ) maka P dapat dinyatakan dalamJika P = P(r,θ), maka P dapat dinyatakan dalamkoordinat Cartesius sebagai P = P(x,y) dengan

x = r cos θ dan y = r sin θx = r cos θ dan y = r sin θ.

Sebaliknya, jika P = P(x,y), maka P dapat dinyata‐kan dalam koordinat polar P = P(r,θ) dengan

r2 = x2 + y2 dan tan θ = y/x,

dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x = 0dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x 0.


Persamaan Kurva dalam KoordinatlPolar

Persamaan lingkaran yang ber‐Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari‐jari R dapatdinyatakan secara sederhana dalam Rykoordinat polar sebagai

r = R, 0 ≤ θ ≤ 2π.

R

r R, 0 ≤ θ ≤ 2π.

Persamaan setengah garis y = x, dengan x > 0, dapat dinyatakandalam koordinat polar sebagai π/4

θ = π/4, r > 0. 4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 8

13.4 INTEGRAL LIPAT DUA DALAMMA1201 MATEMATIKA 2A

KOORDINAT POLARM hit i t l li t d d lMenghitung integral lipat dua dalamkoordinat polar


Elemen Luas dalam Koordinat PolarElemen Luas dalam Koordinat Polar

Bila dalam koordinatBila dalam koordinatCartesius elemen luas∆A sama dengan ∆x.∆y, maka dalam koordinatpolar

∆A = r.∆r.∆θ. Dari mana datangnyarumus ini? Lihatgambar di samping.


Integral Lipat Duadalam Koordinat PolarD b tit i θ d i θDengan substitusi x = r cos θ dan y = r sin θ, integral lipat dua yang semula dinyatakand l k di t C t i k di t kdalam koordinat Cartesius sekarang dinyatakandalam koordinat polar sebagai:

SS

rdrdrrfdAyxf )sin,cos(),(

Catatan: Dalam koordinat polar, daerah sepertisetengah lingkaran atau cincin setara dengan

SS

setengah lingkaran atau cincin setara dengan“persegi panjang”.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 11

Daerah dalam Koordinat PolarDaerah dalam Koordinat PolarDaerah cakram lingkaran

S = {(x,y) | x2 + y2 ≤ R2}

dapat dinyatakan sebagai Rp y g

S = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π}.

Daerah segitiga yang dibatasioleh sumbu‐x, garis y = x, dan

θ

garis x = 1, merupakan daerahr‐sederhana, dengan r

= sec θ

0 ≤ r ≤ sec θ, 0 ≤ θ ≤ π/4.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 12

θ = 0

Contoh 1Contoh 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.

Jawab: V

)(2/ 2

222 rdrdrdAyxJawab: V

)(

2/22/ 4

0 0

r

rdrdrdAyxS


244 000

ddr

Contoh 2Contoh 2

Hitung I = apabila dAx2Hitung I = apabila

S adalah daerah cincin yg

S

dAx1 20

dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.

Jawab: I =

2 2

22 .cos rdrdr

= …

0 1


Soal 1Soal 1

Hitung I = bila S adalah daerah dA1Hitung I = bila S adalah daerah

segitiga yang dibatasi oleh sumbu‐x, garis y = x,

S

dAyx 22

dan garis x = 1.

J b IJawab: I = …


Soal 2Soal 2

Tentukan volume bendaTentukan volume bendapejal yang dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2paraboloida z = x + y , tabung x2 + y2 = 2y, danbidang‐xybidang xy.

Jawab: V = …


Soal 3Soal 3

Buktikan bahwa

1 dydxBuktikan bahwa

Jawab:

0 0222 .

4)1(dydx

yx


13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPATMA1201 MATEMATIKA 2A

13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPATMenentukan massa dan pusat massa lamina d k i t l li t ddengan menggunakan integral lipat dua


Ingat: Distribusi Massa d dpada Bidang

Misal kita mempunyai y=f(x)Misal kita mempunyaisebuah lamina (kepingdatar) dengan rapat massa ●datar) dengan rapat massaδ konstan, yang menempatidaerah pada bidang yang

y=g(x)

daerah pada bidang yang dibatasi oleh garis x = a danx = b serta kurva y = f(x) danx b serta kurva y f(x) dany = g(x) dengan f(x) ≥ g(x)pada [a b]

∆m ≈ δ[f(x) – g(x)].∆x

∆My ≈ δx[f(x) – g(x)].∆xpada [a, b].


∆Mx ≈ ½δ[f(x)2 – g(x)2].∆x

Momen dan Pusat Massa LaminaMomen dan Pusat Massa Lamina

Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh

Massa: )]()([ dxxgxfmb

a

Momen thd sb‐y: )]()([ dxxgxfxMb

y

a

Momen thd sb‐x: )]()([ 22 dxxgxfMb

ay

Momen thd sb x: )]()([2

MM

dxxgxfM

y

ax

Pusat massa:11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 20

.*;*m

Mym

x xy

Massa dan Pusat Massa Lamina d δ( )dengan Rapat Massa δ(x,y)

Massa )( dAMassa:

Momen)(

),(

dAM

dAyxmS

thd Sb‐x:

Momen

x dm=δ(x,y)dA),( dAyxxM

Sy

Momen

thd Sb‐y:y),( dAyxyM

Sx

Pusat Massa: .*;*m

Mym

Mx xy


Catatan: Bila rapat massanya δ konstan, maka rumus ini sama dgn rumus sebelumnya.

Contoh/Latihan 1Contoh/Latihan 1

Tentukan massa Jawab:1 1 4 .

5m ydydx

dan pusat massalamina yang

21

1 1

5

0

x

y y

M d d

dibatasi olehkurva y = x2 dan

21

1 1

0.yx

M xydydx

garis y = 1, dengan rapat 2

1 12

1

4 .7x

x

M y dydx

massa di setiaptitik δ(x,y) = y.

4 / 7 5* 0; * .4 / 5 7

x

x y


4 / 5 7

Contoh/Latihan 2Contoh/Latihan 2

Tentukan massa dan pusat massa lamina ber‐bentuk seperempat cakram lingkaran berjari‐jari1 di Kuadran I, dgn rapat massa δ(x,y) = x2 + y2.

Jawab:


SoalSoal

Tentukan massa dan pusat massa lamina yangTentukan massa dan pusat massa lamina yang dibatatasi oleh kardioid r = 1 + sin θ, denganrapat massa konstan [Gambar terlebih dahulurapat massa konstan. [Gambar terlebih dahulukardioid tsb!]


ma1201 m13-1 16-04-14

Documents