ma1201 m12-2 11-04-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

11 April 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12.5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p


13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIMA1201 MATEMATIKA 2A

PANJANGMenghitung atau menaksir integral lipat duaMenghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisidefinisi


Ingat: Integral Tentu untukb hFungsi Satu Peubah

Jumlah Riemann untuk f , , n

ii xtf ).(f

merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x) x є [a b] Jika

i

iif1

)(

di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika

n

iiiP

xtf10||

).(lim

ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]d d f k b

i 1

didefinisikan sebagai

b

dxxf )(

n

iiPxtf

0||).(lim 1¾ 0 1/3 ½ 7/8


a

iP 10||

Jumlah Riemann Fungsi Dua PeubahJumlah Riemann Fungsi Dua Peubah

Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} {( ,y) , y }dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆x dan lebar ∆y dandengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann

k h i l

n

iiii Ayxf

1),(

Syg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S.

S

p g p j g


Integral Lipat Fungsi Dua PeubahIntegral Lipat Fungsi Dua Peubah

Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisiMisalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika

n

ada maka f dikatakan terintegralkan pada S

iiiiP

Ayxf10||||

),(lim

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,

n

di b t i t l li t d d i f d S

iiiiP

S

AyxfdAyxf10||||

),(lim:),(

disebut integral lipat dua dari f pada S. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7

ContohContoh

Diketahui persegi panjang SDiketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.

T k i il i dAyx864 2

Taksir nilai

dengan jumlah Riemann,

S

dAy16

g j ,dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik‐titik tengahtiap persegi sebagai titik

lsampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Jawab: Kita hitung nilai f di titik titik sampel:Jawab: Kita hitung nilai f di titik‐titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1 7) = 105/16 f(3 1) = 41/16 f(3 3) = 49/16f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.

L l d ∆A 4 kit l hLalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh

)(864 82

AfdAyx

4

),(1686

1

iiii

S

AyxfdAyx

.138)89654941105816557(164


Teorema KeterintegralanTeorema Keterintegralan

Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva)Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S,

k f t i t lk d Smaka f terintegralkan pada S.

Contoh: Setiap polinom dua peubahterintegralkan pada sembarang persegiterintegralkan pada sembarang persegipanjang.


Sifat‐Sifat Integral Lipat DuaSifat Sifat Integral Lipat Dua1. Linear: Jika k R, maka

a. . SS

dAyxfkdAyxkf ),(),(

b.

2 Aditif: Jika S = S U S maka

SSS

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

2. Aditif: Jika S = S1 U S2, maka

),(),(),(SSS

dAyxfdAyxfdAyxf

3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) S, maka21 SSS

)()( dAyxgdAyxf4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11

.),(),( SS

dAyxgdAyxf

13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A

13.2 INTEGRAL BERULANGMenghitung integral lipat dua (pada persegi

j ) b i i t l b lpanjang) sebagai integral berulang


Menghitung Integral Lipat DuaMenghitung Integral Lipat Dua

Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = f g p p g p j g[a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:p g g g g

atau d b

dxdyyxfdAyxf ),(),(atau c aS

( , ) ( , ) .b d

f x y dA f x y dydx Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu x terlebih dahulu

S a c

sumbu‐x terlebih dahulu.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Contoh 1Contoh 1Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],

864 2

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.

S

dAyx16864 2

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.

Jawab:

8 4 22

4864 dxdyyxdAyx

0 0 16216

yS

128 2

dy

25124

120

dyy


.32138

1251296

Contoh 2Contoh 2Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],

864 2

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.

S

dAyx16864 2

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.

Jawab:

4 8 22

4864 dydxyxdAyx

0 0 16216

yS


CatatanCatatanPengintegralan berulang:

Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,

l l h d l l h dlalu terhadap x: lalu terhadap y:

S S


SoalSoalJika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],

hitung sebagai integral berulang.S

xydAxe


13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHMA1201 MATEMATIKA 2A

BUKAN PERSEGI PANJANGMenghitung integral lipat dua atas daerahMenghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang


Bagaimana menghitung integral lipatd d h b kpada daerah bukan persegi panjang?

S


Integral pada Daerah y‐SederhanaIntegral pada Daerah y Sederhana

Himpunan S disebut y‐sederhanaHimpunan S disebut y sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x y) : u (x) ≤ y ≤ u (x) a ≤ x ≤ b}S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},

dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. D l h l i i i l f d S d SDalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai

S

b

a

xu

xuS

dydxyxfdAyxf)(

)(

2

.),(),( a b


a xuS )(1

Integral pada Daerah x‐SederhanaIntegral pada Daerah x Sederhana

Himpunan S disebut x‐sederhanaHimpunan S disebut x sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x y) : v (y) ≤ x ≤ v (y) c ≤ y ≤ d}d

S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},

dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. D l h l i i i l f d S SDalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai

S

2 ( )

( )

( , ) ( , ) .v yd

S c v y

f x y dA f x y dxdy c


1 ( )S c v y

Contoh 1Contoh 1Hitung apabila S adalah daerah tertutup xydA

yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.

J b

S

Jawab:


Contoh 2Contoh 2Hitung apabila S adalah daerah tertutup x dAe

2

yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu x

S

sumbu‐x.

Jawab:


Soal 1Soal 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.


Soal 2Soal 2

Hitung apabila S dAx2Hitung apabila S

adalah daerah cincin yg

S

dAx1 20

dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.


ma1201 m12-2 11-04-14

Documents